Wykład 26
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
) =
b−a
n
n
P
j=1
(f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
)) =
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
) =
b−a
n
n
P
j=1
(f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
)) =
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
) =
b−a
n
n
P
j=1
(f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
)) =
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)
=
b−a
n
n
P
j=1
(f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
)) =
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
) =
b−a
n
n
P
j=1
(f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
))
=
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
) =
b−a
n
n
P
j=1
(f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
)) =
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
) =
b−a
n
n
P
j=1
(f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
)) =
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 374
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R dla dowolnych x
1
, x
2
∈ [a, b] spełniają
nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| ≤ |g(x
1
) − g(x
2
)| i g jest całkowalna to f
również jest całkowalna.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {∆
n
} mamy
0 ≤ S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
) ≤ S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
).
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z całkowalności funkcji g
wnioskujemy całkowalność funkcji f.
WNIOSEK 375
Jeżeli f jest całkowalna to |f | jest całkowalna.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 374
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R dla dowolnych x
1
, x
2
∈ [a, b] spełniają
nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| ≤ |g(x
1
) − g(x
2
)| i g jest całkowalna to f
również jest całkowalna.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {∆
n
} mamy
0 ≤ S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
) ≤ S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
).
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z całkowalności funkcji g
wnioskujemy całkowalność funkcji f.
WNIOSEK 375
Jeżeli f jest całkowalna to |f | jest całkowalna.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 374
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R dla dowolnych x
1
, x
2
∈ [a, b] spełniają
nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| ≤ |g(x
1
) − g(x
2
)| i g jest całkowalna to f
również jest całkowalna.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {∆
n
} mamy
0 ≤ S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
) ≤ S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
).
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z całkowalności funkcji g
wnioskujemy całkowalność funkcji f.
WNIOSEK 375
Jeżeli f jest całkowalna to |f | jest całkowalna.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 374
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R dla dowolnych x
1
, x
2
∈ [a, b] spełniają
nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| ≤ |g(x
1
) − g(x
2
)| i g jest całkowalna to f
również jest całkowalna.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {∆
n
} mamy
0 ≤ S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
) ≤ S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
).
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z całkowalności funkcji g
wnioskujemy całkowalność funkcji f.
WNIOSEK 375
Jeżeli f jest całkowalna to |f | jest całkowalna.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 374
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R dla dowolnych x
1
, x
2
∈ [a, b] spełniają
nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| ≤ |g(x
1
) − g(x
2
)| i g jest całkowalna to f
również jest całkowalna.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {∆
n
} mamy
0 ≤ S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
) ≤ S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
).
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z całkowalności funkcji g
wnioskujemy całkowalność funkcji f.
WNIOSEK 375
Jeżeli f jest całkowalna to |f | jest całkowalna.
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z nierówności ||f (x
1
)| − |f (x
2
)|| ≤ |f (x
1
) − f (x
2
)| na mocy Twierdzenia
374 mamy całkowalność |f |.
TWIERDZENIE 376
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f + g jest całkowalna i ponadto
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f +g, ∆
n
)−S(f +g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
)−S(f, ∆
n
)+S(g, ∆
n
)−S(g, ∆
n
).
Skąd całkowalność f + g. Mamy też
S(f + g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
) + S(g, ∆
n
).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z nierówności ||f (x
1
)| − |f (x
2
)|| ≤ |f (x
1
) − f (x
2
)| na mocy Twierdzenia
374 mamy całkowalność |f |.
TWIERDZENIE 376
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f + g jest całkowalna i ponadto
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f +g, ∆
n
)−S(f +g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
)−S(f, ∆
n
)+S(g, ∆
n
)−S(g, ∆
n
).
Skąd całkowalność f + g. Mamy też
S(f + g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
) + S(g, ∆
n
).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z nierówności ||f (x
1
)| − |f (x
2
)|| ≤ |f (x
1
) − f (x
2
)| na mocy Twierdzenia
374 mamy całkowalność |f |.
TWIERDZENIE 376
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f + g jest całkowalna i ponadto
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f +g, ∆
n
)−S(f +g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
)−S(f, ∆
n
)+S(g, ∆
n
)−S(g, ∆
n
).
Skąd całkowalność f + g. Mamy też
S(f + g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
) + S(g, ∆
n
).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z nierówności ||f (x
1
)| − |f (x
2
)|| ≤ |f (x
1
) − f (x
2
)| na mocy Twierdzenia
374 mamy całkowalność |f |.
TWIERDZENIE 376
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f + g jest całkowalna i ponadto
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f +g, ∆
n
)−S(f +g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
)−S(f, ∆
n
)+S(g, ∆
n
)−S(g, ∆
n
).
Skąd całkowalność f + g.
Mamy też
S(f + g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
) + S(g, ∆
n
).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z nierówności ||f (x
1
)| − |f (x
2
)|| ≤ |f (x
1
) − f (x
2
)| na mocy Twierdzenia
374 mamy całkowalność |f |.
TWIERDZENIE 376
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f + g jest całkowalna i ponadto
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f +g, ∆
n
)−S(f +g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
)−S(f, ∆
n
)+S(g, ∆
n
)−S(g, ∆
n
).
Skąd całkowalność f + g. Mamy też
S(f + g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
) + S(g, ∆
n
).
CAŁKA OZNACZONA
Skąd wzór
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f · g jest całkowalna.
DOWÓD:
Niech |f | ≤ K |g| ≤ L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(f g)(x) − (f g)(y)| = |f (x)g(x) − f (x)g(y) + f (x)g(y) − f (y)g(y)| ≤
K|g(x) − g(y)| + L|f (x) − f (y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f g, ∆
n
) − S(f g, ∆
n
) ≤
M (S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
)) + L(S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAŁKA OZNACZONA
Skąd wzór
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f · g jest całkowalna.
DOWÓD:
Niech |f | ≤ K |g| ≤ L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(f g)(x) − (f g)(y)| = |f (x)g(x) − f (x)g(y) + f (x)g(y) − f (y)g(y)| ≤
K|g(x) − g(y)| + L|f (x) − f (y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f g, ∆
n
) − S(f g, ∆
n
) ≤
M (S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
)) + L(S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAŁKA OZNACZONA
Skąd wzór
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f · g jest całkowalna.
DOWÓD:
Niech |f | ≤ K |g| ≤ L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(f g)(x) − (f g)(y)| = |f (x)g(x) − f (x)g(y) + f (x)g(y) − f (y)g(y)| ≤
K|g(x) − g(y)| + L|f (x) − f (y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f g, ∆
n
) − S(f g, ∆
n
) ≤
M (S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
)) + L(S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAŁKA OZNACZONA
Skąd wzór
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f · g jest całkowalna.
DOWÓD:
Niech |f | ≤ K |g| ≤ L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(f g)(x) − (f g)(y)| = |f (x)g(x) − f (x)g(y) + f (x)g(y) − f (y)g(y)| ≤
K|g(x) − g(y)| + L|f (x) − f (y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f g, ∆
n
) − S(f g, ∆
n
) ≤
M (S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
)) + L(S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAŁKA OZNACZONA
Skąd wzór
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f · g jest całkowalna.
DOWÓD:
Niech |f | ≤ K |g| ≤ L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(f g)(x) − (f g)(y)| = |f (x)g(x) − f (x)g(y) + f (x)g(y) − f (y)g(y)| ≤
K|g(x) − g(y)| + L|f (x) − f (y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f g, ∆
n
) − S(f g, ∆
n
) ≤
M (S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
)) + L(S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAŁKA OZNACZONA
Skąd wzór
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f · g jest całkowalna.
DOWÓD:
Niech |f | ≤ K |g| ≤ L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(f g)(x) − (f g)(y)| = |f (x)g(x) − f (x)g(y) + f (x)g(y) − f (y)g(y)| ≤
K|g(x) − g(y)| + L|f (x) − f (y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f g, ∆
n
) − S(f g, ∆
n
) ≤
M (S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
)) + L(S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 378
Dla a < b definiujemy
a
R
b
f (x) dx = −
b
R
a
f (x) dx oraz
a
R
a
f (x) dx = 0.
TWIERDZENIE 379
Jeżeli dla x ∈ [a, b] zachodzi nierówność f (x) ≤ g(x) i funkcje f, g są
całkowalne na [a, b] to
b
R
a
f (x) dx ≤
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 380
Jeżeli f jest funkcją stałą w przedziale [a, b] taką, że f (x) = c to
b
R
a
f (x)dx = c(b − a).
TWIERDZENIE 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
wtedy funkcja F (x) =
x
R
a
f (t) dt jest pierwotn
,
a funkcji f.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 378
Dla a < b definiujemy
a
R
b
f (x) dx = −
b
R
a
f (x) dx oraz
a
R
a
f (x) dx = 0.
TWIERDZENIE 379
Jeżeli dla x ∈ [a, b] zachodzi nierówność f (x) ≤ g(x) i funkcje f, g są
całkowalne na [a, b] to
b
R
a
f (x) dx ≤
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 380
Jeżeli f jest funkcją stałą w przedziale [a, b] taką, że f (x) = c to
b
R
a
f (x)dx = c(b − a).
TWIERDZENIE 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
wtedy funkcja F (x) =
x
R
a
f (t) dt jest pierwotn
,
a funkcji f.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 378
Dla a < b definiujemy
a
R
b
f (x) dx = −
b
R
a
f (x) dx oraz
a
R
a
f (x) dx = 0.
TWIERDZENIE 379
Jeżeli dla x ∈ [a, b] zachodzi nierówność f (x) ≤ g(x) i funkcje f, g są
całkowalne na [a, b] to
b
R
a
f (x) dx ≤
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 380
Jeżeli f jest funkcją stałą w przedziale [a, b] taką, że f (x) = c to
b
R
a
f (x)dx = c(b − a).
TWIERDZENIE 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
wtedy funkcja F (x) =
x
R
a
f (t) dt jest pierwotn
,
a funkcji f.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 378
Dla a < b definiujemy
a
R
b
f (x) dx = −
b
R
a
f (x) dx oraz
a
R
a
f (x) dx = 0.
TWIERDZENIE 379
Jeżeli dla x ∈ [a, b] zachodzi nierówność f (x) ≤ g(x) i funkcje f, g są
całkowalne na [a, b] to
b
R
a
f (x) dx ≤
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 380
Jeżeli f jest funkcją stałą w przedziale [a, b] taką, że f (x) = c to
b
R
a
f (x)dx = c(b − a).
TWIERDZENIE 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
wtedy funkcja F (x) =
x
R
a
f (t) dt jest pierwotn
,
a funkcji f.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 378
Dla a < b definiujemy
a
R
b
f (x) dx = −
b
R
a
f (x) dx oraz
a
R
a
f (x) dx = 0.
TWIERDZENIE 379
Jeżeli dla x ∈ [a, b] zachodzi nierówność f (x) ≤ g(x) i funkcje f, g są
całkowalne na [a, b] to
b
R
a
f (x) dx ≤
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 380
Jeżeli f jest funkcją stałą w przedziale [a, b] taką, że f (x) = c to
b
R
a
f (x)dx = c(b − a).
TWIERDZENIE 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
wtedy funkcja F (x) =
x
R
a
f (t) dt jest pierwotn
,
a funkcji f.
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
f ciągła w punkcie x
0
to dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 takie,że
x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) zachodzi nierówność |f (x
0
) − f (x)| < ε.
Dla h > 0
|
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) − f (x
0
)| = |
1
h
x
0
+h
R
x
0
(f (t) − f
(
x
0
))dt| =
=
1
h
x
0
+h
R
x
0
|f (t) − f
(
x
0
)|dt ≤ ε.
Mamy stąd lim
h→0
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) = f (x
0
).
WNIOSEK 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
a funkcja F (x) b
,
edzie pierwotn
,
a funkcji f wtedy
b
R
a
f (x) dx = F (b) − F (a).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
f ciągła w punkcie x
0
to dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 takie,że
x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) zachodzi nierówność |f (x
0
) − f (x)| < ε.
Dla h > 0
|
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) − f (x
0
)| = |
1
h
x
0
+h
R
x
0
(f (t) − f
(
x
0
))dt| =
=
1
h
x
0
+h
R
x
0
|f (t) − f
(
x
0
)|dt ≤ ε.
Mamy stąd lim
h→0
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) = f (x
0
).
WNIOSEK 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
a funkcja F (x) b
,
edzie pierwotn
,
a funkcji f wtedy
b
R
a
f (x) dx = F (b) − F (a).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
f ciągła w punkcie x
0
to dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 takie,że
x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) zachodzi nierówność |f (x
0
) − f (x)| < ε.
Dla h > 0
|
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) − f (x
0
)| = |
1
h
x
0
+h
R
x
0
(f (t) − f
(
x
0
))dt| =
=
1
h
x
0
+h
R
x
0
|f (t) − f
(
x
0
)|dt ≤ ε.
Mamy stąd lim
h→0
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) = f (x
0
).
WNIOSEK 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
a funkcja F (x) b
,
edzie pierwotn
,
a funkcji f wtedy
b
R
a
f (x) dx = F (b) − F (a).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
f ciągła w punkcie x
0
to dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 takie,że
x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) zachodzi nierówność |f (x
0
) − f (x)| < ε.
Dla h > 0
|
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) − f (x
0
)| = |
1
h
x
0
+h
R
x
0
(f (t) − f
(
x
0
))dt| =
=
1
h
x
0
+h
R
x
0
|f (t) − f
(
x
0
)|dt ≤ ε.
Mamy stąd lim
h→0
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) = f (x
0
).
WNIOSEK 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
a funkcja F (x) b
,
edzie pierwotn
,
a funkcji f wtedy
b
R
a
f (x) dx = F (b) − F (a).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Dowolne dwie pierwoyne różnią się o stałą. Mamy zatem
F (x) = C +
R
x
a
f (t)dt.
b
R
a
f (x) dx = (C +
R
b
a
f (t)dt) − (C +
R
a
a
f (t)dt) = F (b) − F (a).
TWIERZENIE 382
Jeżeli funkcje f, g : [a, b] −→ R s
,
a klasy C
1
to
b
R
a
f
0
(x)g(x) dx = f (x)g(x)|
b
a
−
b
R
a
f (x)g
0
(x) dx.
TWIERZENIE 383
Jeżeli funkcja f : [a, b] −→ [c, d] jest klasy C
1
i f (a) = c, f (b) = d a
funkcja g : [c, d] −→ R jest ci
,
agła to
b
R
a
g(f (x))f
0
(x) dx =
d
R
c
g(y) dy.
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Dowolne dwie pierwoyne różnią się o stałą. Mamy zatem
F (x) = C +
R
x
a
f (t)dt.
b
R
a
f (x) dx = (C +
R
b
a
f (t)dt) − (C +
R
a
a
f (t)dt) = F (b) − F (a).
TWIERZENIE 382
Jeżeli funkcje f, g : [a, b] −→ R s
,
a klasy C
1
to
b
R
a
f
0
(x)g(x) dx = f (x)g(x)|
b
a
−
b
R
a
f (x)g
0
(x) dx.
TWIERZENIE 383
Jeżeli funkcja f : [a, b] −→ [c, d] jest klasy C
1
i f (a) = c, f (b) = d a
funkcja g : [c, d] −→ R jest ci
,
agła to
b
R
a
g(f (x))f
0
(x) dx =
d
R
c
g(y) dy.
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Dowolne dwie pierwoyne różnią się o stałą. Mamy zatem
F (x) = C +
R
x
a
f (t)dt.
b
R
a
f (x) dx = (C +
R
b
a
f (t)dt) − (C +
R
a
a
f (t)dt) = F (b) − F (a).
TWIERZENIE 382
Jeżeli funkcje f, g : [a, b] −→ R s
,
a klasy C
1
to
b
R
a
f
0
(x)g(x) dx = f (x)g(x)|
b
a
−
b
R
a
f (x)g
0
(x) dx.
TWIERZENIE 383
Jeżeli funkcja f : [a, b] −→ [c, d] jest klasy C
1
i f (a) = c, f (b) = d a
funkcja g : [c, d] −→ R jest ci
,
agła to
b
R
a
g(f (x))f
0
(x) dx =
d
R
c
g(y) dy.
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Dowolne dwie pierwoyne różnią się o stałą. Mamy zatem
F (x) = C +
R
x
a
f (t)dt.
b
R
a
f (x) dx = (C +
R
b
a
f (t)dt) − (C +
R
a
a
f (t)dt) = F (b) − F (a).
TWIERZENIE 382
Jeżeli funkcje f, g : [a, b] −→ R s
,
a klasy C
1
to
b
R
a
f
0
(x)g(x) dx = f (x)g(x)|
b
a
−
b
R
a
f (x)g
0
(x) dx.
TWIERZENIE 383
Jeżeli funkcja f : [a, b] −→ [c, d] jest klasy C
1
i f (a) = c, f (b) = d a
funkcja g : [c, d] −→ R jest ci
,
agła to
b
R
a
g(f (x))f
0
(x) dx =
d
R
c
g(y) dy.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERZENIE 384
Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b)
jest różniczkowaln
,
a bijekcj
,
a przy czym ϕ(c) = a to
b
R
a
f (x) dx =
d
R
c
f (φ(t)) ϕ
0
(t) dt.
DEFINICJA 385
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, b), nieograniczona w
sąsiedztwie b i niech ∀β ∈ [a, b) istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→b
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale [a, b).
CAŁKA OZNACZONA
TWIERZENIE 384
Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b)
jest różniczkowaln
,
a bijekcj
,
a przy czym ϕ(c) = a to
b
R
a
f (x) dx =
d
R
c
f (φ(t)) ϕ
0
(t) dt.
DEFINICJA 385
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, b), nieograniczona w
sąsiedztwie b i niech ∀β ∈ [a, b) istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→b
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale [a, b).
CAŁKA OZNACZONA
TWIERZENIE 384
Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b)
jest różniczkowaln
,
a bijekcj
,
a przy czym ϕ(c) = a to
b
R
a
f (x) dx =
d
R
c
f (φ(t)) ϕ
0
(t) dt.
DEFINICJA 385
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, b), nieograniczona w
sąsiedztwie b i niech ∀β ∈ [a, b) istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→b
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale [a, b).
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b], nieograniczona w
sąsiedztwie a i niech ∀α ∈ (a, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [α, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale (a, b].
DEFINICJA 386
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, ∞) i niech ∀β ∈ [a, ∞)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→∞
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II
rodzaju funkcji f na przedziale [a, ∞).
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b], nieograniczona w
sąsiedztwie a i niech ∀α ∈ (a, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [α, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale (a, b].
DEFINICJA 386
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, ∞) i niech ∀β ∈ [a, ∞)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→∞
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II
rodzaju funkcji f na przedziale [a, ∞).
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b], nieograniczona w
sąsiedztwie a i niech ∀α ∈ (a, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [α, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale (a, b].
DEFINICJA 386
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, ∞) i niech ∀β ∈ [a, ∞)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→∞
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II
rodzaju funkcji f na przedziale [a, ∞).
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b], nieograniczona w
sąsiedztwie a i niech ∀α ∈ (a, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [α, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale (a, b].
DEFINICJA 386
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, ∞) i niech ∀β ∈ [a, ∞)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→∞
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II
rodzaju funkcji f na przedziale [a, ∞).
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b], nieograniczona w
sąsiedztwie a i niech ∀α ∈ (a, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [α, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale (a, b].
DEFINICJA 386
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, ∞) i niech ∀β ∈ [a, ∞)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→∞
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II
rodzaju funkcji f na przedziale [a, ∞).
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (−∞, b] i niech
∀α ∈ (−∞, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [−∞, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II rodzaju
funkcji f na przedziale (−∞, b].
DEFINICJA 387
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b) i niech ∀α, β ∈ (a, b)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [α, β] Wtedy całk
,
e
niewłaściw
,
a
b
R
a
f (x) dx określamy jako sum
,
e
β
R
a
f (x) dx oraz
b
R
β
f (x) dx
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (−∞, b] i niech
∀α ∈ (−∞, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [−∞, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II rodzaju
funkcji f na przedziale (−∞, b].
DEFINICJA 387
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b) i niech ∀α, β ∈ (a, b)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [α, β] Wtedy całk
,
e
niewłaściw
,
a
b
R
a
f (x) dx określamy jako sum
,
e
β
R
a
f (x) dx oraz
b
R
β
f (x) dx
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (−∞, b] i niech
∀α ∈ (−∞, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [−∞, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II rodzaju
funkcji f na przedziale (−∞, b].
DEFINICJA 387
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b) i niech ∀α, β ∈ (a, b)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [α, β] Wtedy całk
,
e
niewłaściw
,
a
b
R
a
f (x) dx określamy jako sum
,
e
β
R
a
f (x) dx oraz
b
R
β
f (x) dx
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2010 11 04 WIL Wyklad 04id 2717 Nieznany
2011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)
2011 03 08 WIL Wyklad 24
2011 01 09 WIL Wyklad 15id 2752 Nieznany (2)
2011 02 21 WIL Wyklad 19(1)
2011 03 24 WIL Wyklad 25id 2752 Nieznany
2011 01 09 WIL Wyklad 17id 2752 Nieznany
2011 02 21 WIL Wyklad 18(1)
2011 02 25 WIL Wyklad 21id 2752 Nieznany (2)
2011 02 21 WIL Wyklad 20id 2752 Nieznany (2)
2011 01 09 WIL Wyklad 16
2011 02 21 WIL Wyklad 20(1)
2011 02 21 WIL Wyklad 19id 2752 Nieznany
2011 02 21 WIL Wyklad 18
2011 01 07 WIL Wyklad 14id 2751 Nieznany (2)
2011 01 09 WIL Wyklad 17(1)
więcej podobnych podstron