Wykład 26
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
Wykład 26
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
) =
b−a
n
n
P
j=1
(f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
)) =
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
) =
b−a
n
n
P
j=1
(f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
)) =
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
) =
b−a
n
n
P
j=1
(f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
)) =
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
)
=
b−a
n
n
P
j=1
(f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
)) =
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
) =
b−a
n
n
P
j=1
(f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
))
=
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
) =
b−a
n
n
P
j=1
(f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
)) =
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] −→ R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x
(n)
j
}
n
j=0
określony wzorem
x
(n)
j
= a + j
b−a
n
.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
Mamy S
n
− S
n
=
b−a
n
n
P
j=1
(M
(n)
j
− m
(n)
j
) =
b−a
n
n
P
j=1
(f (x
(n)
j
) − f (x
(n)
j−1
)) =
b−a
n
(f (b) − f (a)).
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 374
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R dla dowolnych x
1
, x
2
∈ [a, b] spełniają
nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| ≤ |g(x
1
) − g(x
2
)| i g jest całkowalna to f
również jest całkowalna.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {∆
n
} mamy
0 ≤ S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
) ≤ S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
).
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z całkowalności funkcji g
wnioskujemy całkowalność funkcji f.
WNIOSEK 375
Jeżeli f jest całkowalna to |f | jest całkowalna.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 374
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R dla dowolnych x
1
, x
2
∈ [a, b] spełniają
nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| ≤ |g(x
1
) − g(x
2
)| i g jest całkowalna to f
również jest całkowalna.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {∆
n
} mamy
0 ≤ S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
) ≤ S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
).
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z całkowalności funkcji g
wnioskujemy całkowalność funkcji f.
WNIOSEK 375
Jeżeli f jest całkowalna to |f | jest całkowalna.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 374
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R dla dowolnych x
1
, x
2
∈ [a, b] spełniają
nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| ≤ |g(x
1
) − g(x
2
)| i g jest całkowalna to f
również jest całkowalna.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {∆
n
} mamy
0 ≤ S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
) ≤ S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
).
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z całkowalności funkcji g
wnioskujemy całkowalność funkcji f.
WNIOSEK 375
Jeżeli f jest całkowalna to |f | jest całkowalna.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 374
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R dla dowolnych x
1
, x
2
∈ [a, b] spełniają
nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| ≤ |g(x
1
) − g(x
2
)| i g jest całkowalna to f
również jest całkowalna.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {∆
n
} mamy
0 ≤ S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
) ≤ S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
).
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z całkowalności funkcji g
wnioskujemy całkowalność funkcji f.
WNIOSEK 375
Jeżeli f jest całkowalna to |f | jest całkowalna.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERDZENIE 374
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R dla dowolnych x
1
, x
2
∈ [a, b] spełniają
nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| ≤ |g(x
1
) − g(x
2
)| i g jest całkowalna to f
również jest całkowalna.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {∆
n
} mamy
0 ≤ S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
) ≤ S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
).
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z całkowalności funkcji g
wnioskujemy całkowalność funkcji f.
WNIOSEK 375
Jeżeli f jest całkowalna to |f | jest całkowalna.
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z nierówności ||f (x
1
)| − |f (x
2
)|| ≤ |f (x
1
) − f (x
2
)| na mocy Twierdzenia
374 mamy całkowalność |f |.
TWIERDZENIE 376
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f + g jest całkowalna i ponadto
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f +g, ∆
n
)−S(f +g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
)−S(f, ∆
n
)+S(g, ∆
n
)−S(g, ∆
n
).
Skąd całkowalność f + g. Mamy też
S(f + g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
) + S(g, ∆
n
).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z nierówności ||f (x
1
)| − |f (x
2
)|| ≤ |f (x
1
) − f (x
2
)| na mocy Twierdzenia
374 mamy całkowalność |f |.
TWIERDZENIE 376
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f + g jest całkowalna i ponadto
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f +g, ∆
n
)−S(f +g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
)−S(f, ∆
n
)+S(g, ∆
n
)−S(g, ∆
n
).
Skąd całkowalność f + g. Mamy też
S(f + g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
) + S(g, ∆
n
).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z nierówności ||f (x
1
)| − |f (x
2
)|| ≤ |f (x
1
) − f (x
2
)| na mocy Twierdzenia
374 mamy całkowalność |f |.
TWIERDZENIE 376
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f + g jest całkowalna i ponadto
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f +g, ∆
n
)−S(f +g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
)−S(f, ∆
n
)+S(g, ∆
n
)−S(g, ∆
n
).
Skąd całkowalność f + g. Mamy też
S(f + g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
) + S(g, ∆
n
).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z nierówności ||f (x
1
)| − |f (x
2
)|| ≤ |f (x
1
) − f (x
2
)| na mocy Twierdzenia
374 mamy całkowalność |f |.
TWIERDZENIE 376
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f + g jest całkowalna i ponadto
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f +g, ∆
n
)−S(f +g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
)−S(f, ∆
n
)+S(g, ∆
n
)−S(g, ∆
n
).
Skąd całkowalność f + g.
Mamy też
S(f + g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
) + S(g, ∆
n
).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Z nierówności ||f (x
1
)| − |f (x
2
)|| ≤ |f (x
1
) − f (x
2
)| na mocy Twierdzenia
374 mamy całkowalność |f |.
TWIERDZENIE 376
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f + g jest całkowalna i ponadto
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f +g, ∆
n
)−S(f +g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
)−S(f, ∆
n
)+S(g, ∆
n
)−S(g, ∆
n
).
Skąd całkowalność f + g. Mamy też
S(f + g, ∆
n
) = S(f, ∆
n
) + S(g, ∆
n
).
CAŁKA OZNACZONA
Skąd wzór
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f · g jest całkowalna.
DOWÓD:
Niech |f | ≤ K |g| ≤ L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(f g)(x) − (f g)(y)| = |f (x)g(x) − f (x)g(y) + f (x)g(y) − f (y)g(y)| ≤
K|g(x) − g(y)| + L|f (x) − f (y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f g, ∆
n
) − S(f g, ∆
n
) ≤
M (S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
)) + L(S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAŁKA OZNACZONA
Skąd wzór
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f · g jest całkowalna.
DOWÓD:
Niech |f | ≤ K |g| ≤ L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(f g)(x) − (f g)(y)| = |f (x)g(x) − f (x)g(y) + f (x)g(y) − f (y)g(y)| ≤
K|g(x) − g(y)| + L|f (x) − f (y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f g, ∆
n
) − S(f g, ∆
n
) ≤
M (S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
)) + L(S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAŁKA OZNACZONA
Skąd wzór
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f · g jest całkowalna.
DOWÓD:
Niech |f | ≤ K |g| ≤ L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(f g)(x) − (f g)(y)| = |f (x)g(x) − f (x)g(y) + f (x)g(y) − f (y)g(y)| ≤
K|g(x) − g(y)| + L|f (x) − f (y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f g, ∆
n
) − S(f g, ∆
n
) ≤
M (S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
)) + L(S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAŁKA OZNACZONA
Skąd wzór
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f · g jest całkowalna.
DOWÓD:
Niech |f | ≤ K |g| ≤ L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(f g)(x) − (f g)(y)| = |f (x)g(x) − f (x)g(y) + f (x)g(y) − f (y)g(y)| ≤
K|g(x) − g(y)| + L|f (x) − f (y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f g, ∆
n
) − S(f g, ∆
n
) ≤
M (S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
)) + L(S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAŁKA OZNACZONA
Skąd wzór
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f · g jest całkowalna.
DOWÓD:
Niech |f | ≤ K |g| ≤ L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(f g)(x) − (f g)(y)| = |f (x)g(x) − f (x)g(y) + f (x)g(y) − f (y)g(y)| ≤
K|g(x) − g(y)| + L|f (x) − f (y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f g, ∆
n
) − S(f g, ∆
n
) ≤
M (S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
)) + L(S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAŁKA OZNACZONA
Skąd wzór
b
R
a
(f + g)(x) dx =
b
R
a
f (x) dx +
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] −→ R są całkowalne to f · g jest całkowalna.
DOWÓD:
Niech |f | ≤ K |g| ≤ L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(f g)(x) − (f g)(y)| = |f (x)g(x) − f (x)g(y) + f (x)g(y) − f (y)g(y)| ≤
K|g(x) − g(y)| + L|f (x) − f (y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Delta
n
} mamy
S(f g, ∆
n
) − S(f g, ∆
n
) ≤
M (S(g, ∆
n
) − S(g, ∆
n
)) + L(S(f, ∆
n
) − S(f, ∆
n
))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 378
Dla a < b definiujemy
a
R
b
f (x) dx = −
b
R
a
f (x) dx oraz
a
R
a
f (x) dx = 0.
TWIERDZENIE 379
Jeżeli dla x ∈ [a, b] zachodzi nierówność f (x) ≤ g(x) i funkcje f, g są
całkowalne na [a, b] to
b
R
a
f (x) dx ≤
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 380
Jeżeli f jest funkcją stałą w przedziale [a, b] taką, że f (x) = c to
b
R
a
f (x)dx = c(b − a).
TWIERDZENIE 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
wtedy funkcja F (x) =
x
R
a
f (t) dt jest pierwotn
,
a funkcji f.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 378
Dla a < b definiujemy
a
R
b
f (x) dx = −
b
R
a
f (x) dx oraz
a
R
a
f (x) dx = 0.
TWIERDZENIE 379
Jeżeli dla x ∈ [a, b] zachodzi nierówność f (x) ≤ g(x) i funkcje f, g są
całkowalne na [a, b] to
b
R
a
f (x) dx ≤
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 380
Jeżeli f jest funkcją stałą w przedziale [a, b] taką, że f (x) = c to
b
R
a
f (x)dx = c(b − a).
TWIERDZENIE 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
wtedy funkcja F (x) =
x
R
a
f (t) dt jest pierwotn
,
a funkcji f.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 378
Dla a < b definiujemy
a
R
b
f (x) dx = −
b
R
a
f (x) dx oraz
a
R
a
f (x) dx = 0.
TWIERDZENIE 379
Jeżeli dla x ∈ [a, b] zachodzi nierówność f (x) ≤ g(x) i funkcje f, g są
całkowalne na [a, b] to
b
R
a
f (x) dx ≤
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 380
Jeżeli f jest funkcją stałą w przedziale [a, b] taką, że f (x) = c to
b
R
a
f (x)dx = c(b − a).
TWIERDZENIE 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
wtedy funkcja F (x) =
x
R
a
f (t) dt jest pierwotn
,
a funkcji f.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 378
Dla a < b definiujemy
a
R
b
f (x) dx = −
b
R
a
f (x) dx oraz
a
R
a
f (x) dx = 0.
TWIERDZENIE 379
Jeżeli dla x ∈ [a, b] zachodzi nierówność f (x) ≤ g(x) i funkcje f, g są
całkowalne na [a, b] to
b
R
a
f (x) dx ≤
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 380
Jeżeli f jest funkcją stałą w przedziale [a, b] taką, że f (x) = c to
b
R
a
f (x)dx = c(b − a).
TWIERDZENIE 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
wtedy funkcja F (x) =
x
R
a
f (t) dt jest pierwotn
,
a funkcji f.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 378
Dla a < b definiujemy
a
R
b
f (x) dx = −
b
R
a
f (x) dx oraz
a
R
a
f (x) dx = 0.
TWIERDZENIE 379
Jeżeli dla x ∈ [a, b] zachodzi nierówność f (x) ≤ g(x) i funkcje f, g są
całkowalne na [a, b] to
b
R
a
f (x) dx ≤
b
R
a
g(x) dx.
TWIERDZENIE 380
Jeżeli f jest funkcją stałą w przedziale [a, b] taką, że f (x) = c to
b
R
a
f (x)dx = c(b − a).
TWIERDZENIE 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
wtedy funkcja F (x) =
x
R
a
f (t) dt jest pierwotn
,
a funkcji f.
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
f ciągła w punkcie x
0
to dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 takie,że
x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) zachodzi nierówność |f (x
0
) − f (x)| < ε.
Dla h > 0
|
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) − f (x
0
)| = |
1
h
x
0
+h
R
x
0
(f (t) − f
(
x
0
))dt| =
=
1
h
x
0
+h
R
x
0
|f (t) − f
(
x
0
)|dt ≤ ε.
Mamy stąd lim
h→0
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) = f (x
0
).
WNIOSEK 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
a funkcja F (x) b
,
edzie pierwotn
,
a funkcji f wtedy
b
R
a
f (x) dx = F (b) − F (a).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
f ciągła w punkcie x
0
to dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 takie,że
x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) zachodzi nierówność |f (x
0
) − f (x)| < ε.
Dla h > 0
|
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) − f (x
0
)| = |
1
h
x
0
+h
R
x
0
(f (t) − f
(
x
0
))dt| =
=
1
h
x
0
+h
R
x
0
|f (t) − f
(
x
0
)|dt ≤ ε.
Mamy stąd lim
h→0
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) = f (x
0
).
WNIOSEK 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
a funkcja F (x) b
,
edzie pierwotn
,
a funkcji f wtedy
b
R
a
f (x) dx = F (b) − F (a).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
f ciągła w punkcie x
0
to dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 takie,że
x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) zachodzi nierówność |f (x
0
) − f (x)| < ε.
Dla h > 0
|
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) − f (x
0
)| = |
1
h
x
0
+h
R
x
0
(f (t) − f
(
x
0
))dt| =
=
1
h
x
0
+h
R
x
0
|f (t) − f
(
x
0
)|dt ≤ ε.
Mamy stąd lim
h→0
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) = f (x
0
).
WNIOSEK 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
a funkcja F (x) b
,
edzie pierwotn
,
a funkcji f wtedy
b
R
a
f (x) dx = F (b) − F (a).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
f ciągła w punkcie x
0
to dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 takie,że
x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) zachodzi nierówność |f (x
0
) − f (x)| < ε.
Dla h > 0
|
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) − f (x
0
)| = |
1
h
x
0
+h
R
x
0
(f (t) − f
(
x
0
))dt| =
=
1
h
x
0
+h
R
x
0
|f (t) − f
(
x
0
)|dt ≤ ε.
Mamy stąd lim
h→0
1
h
(F (x
0
+ h) − F (x
0
)) = f (x
0
).
WNIOSEK 381
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ci
,
agła na przedziale zamkni
,
etym [a, b]
a funkcja F (x) b
,
edzie pierwotn
,
a funkcji f wtedy
b
R
a
f (x) dx = F (b) − F (a).
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Dowolne dwie pierwoyne różnią się o stałą. Mamy zatem
F (x) = C +
R
x
a
f (t)dt.
b
R
a
f (x) dx = (C +
R
b
a
f (t)dt) − (C +
R
a
a
f (t)dt) = F (b) − F (a).
TWIERZENIE 382
Jeżeli funkcje f, g : [a, b] −→ R s
,
a klasy C
1
to
b
R
a
f
0
(x)g(x) dx = f (x)g(x)|
b
a
−
b
R
a
f (x)g
0
(x) dx.
TWIERZENIE 383
Jeżeli funkcja f : [a, b] −→ [c, d] jest klasy C
1
i f (a) = c, f (b) = d a
funkcja g : [c, d] −→ R jest ci
,
agła to
b
R
a
g(f (x))f
0
(x) dx =
d
R
c
g(y) dy.
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Dowolne dwie pierwoyne różnią się o stałą. Mamy zatem
F (x) = C +
R
x
a
f (t)dt.
b
R
a
f (x) dx = (C +
R
b
a
f (t)dt) − (C +
R
a
a
f (t)dt) = F (b) − F (a).
TWIERZENIE 382
Jeżeli funkcje f, g : [a, b] −→ R s
,
a klasy C
1
to
b
R
a
f
0
(x)g(x) dx = f (x)g(x)|
b
a
−
b
R
a
f (x)g
0
(x) dx.
TWIERZENIE 383
Jeżeli funkcja f : [a, b] −→ [c, d] jest klasy C
1
i f (a) = c, f (b) = d a
funkcja g : [c, d] −→ R jest ci
,
agła to
b
R
a
g(f (x))f
0
(x) dx =
d
R
c
g(y) dy.
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Dowolne dwie pierwoyne różnią się o stałą. Mamy zatem
F (x) = C +
R
x
a
f (t)dt.
b
R
a
f (x) dx = (C +
R
b
a
f (t)dt) − (C +
R
a
a
f (t)dt) = F (b) − F (a).
TWIERZENIE 382
Jeżeli funkcje f, g : [a, b] −→ R s
,
a klasy C
1
to
b
R
a
f
0
(x)g(x) dx = f (x)g(x)|
b
a
−
b
R
a
f (x)g
0
(x) dx.
TWIERZENIE 383
Jeżeli funkcja f : [a, b] −→ [c, d] jest klasy C
1
i f (a) = c, f (b) = d a
funkcja g : [c, d] −→ R jest ci
,
agła to
b
R
a
g(f (x))f
0
(x) dx =
d
R
c
g(y) dy.
CAŁKA OZNACZONA
DOWÓD:
Dowolne dwie pierwoyne różnią się o stałą. Mamy zatem
F (x) = C +
R
x
a
f (t)dt.
b
R
a
f (x) dx = (C +
R
b
a
f (t)dt) − (C +
R
a
a
f (t)dt) = F (b) − F (a).
TWIERZENIE 382
Jeżeli funkcje f, g : [a, b] −→ R s
,
a klasy C
1
to
b
R
a
f
0
(x)g(x) dx = f (x)g(x)|
b
a
−
b
R
a
f (x)g
0
(x) dx.
TWIERZENIE 383
Jeżeli funkcja f : [a, b] −→ [c, d] jest klasy C
1
i f (a) = c, f (b) = d a
funkcja g : [c, d] −→ R jest ci
,
agła to
b
R
a
g(f (x))f
0
(x) dx =
d
R
c
g(y) dy.
CAŁKA OZNACZONA
TWIERZENIE 384
Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b)
jest różniczkowaln
,
a bijekcj
,
a przy czym ϕ(c) = a to
b
R
a
f (x) dx =
d
R
c
f (φ(t)) ϕ
0
(t) dt.
DEFINICJA 385
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, b), nieograniczona w
sąsiedztwie b i niech ∀β ∈ [a, b) istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→b
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale [a, b).
CAŁKA OZNACZONA
TWIERZENIE 384
Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b)
jest różniczkowaln
,
a bijekcj
,
a przy czym ϕ(c) = a to
b
R
a
f (x) dx =
d
R
c
f (φ(t)) ϕ
0
(t) dt.
DEFINICJA 385
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, b), nieograniczona w
sąsiedztwie b i niech ∀β ∈ [a, b) istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→b
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale [a, b).
CAŁKA OZNACZONA
TWIERZENIE 384
Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b)
jest różniczkowaln
,
a bijekcj
,
a przy czym ϕ(c) = a to
b
R
a
f (x) dx =
d
R
c
f (φ(t)) ϕ
0
(t) dt.
DEFINICJA 385
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, b), nieograniczona w
sąsiedztwie b i niech ∀β ∈ [a, b) istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→b
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale [a, b).
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b], nieograniczona w
sąsiedztwie a i niech ∀α ∈ (a, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [α, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale (a, b].
DEFINICJA 386
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, ∞) i niech ∀β ∈ [a, ∞)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→∞
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II
rodzaju funkcji f na przedziale [a, ∞).
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b], nieograniczona w
sąsiedztwie a i niech ∀α ∈ (a, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [α, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale (a, b].
DEFINICJA 386
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, ∞) i niech ∀β ∈ [a, ∞)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→∞
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II
rodzaju funkcji f na przedziale [a, ∞).
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b], nieograniczona w
sąsiedztwie a i niech ∀α ∈ (a, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [α, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale (a, b].
DEFINICJA 386
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, ∞) i niech ∀β ∈ [a, ∞)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→∞
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II
rodzaju funkcji f na przedziale [a, ∞).
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b], nieograniczona w
sąsiedztwie a i niech ∀α ∈ (a, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [α, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale (a, b].
DEFINICJA 386
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, ∞) i niech ∀β ∈ [a, ∞)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→∞
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II
rodzaju funkcji f na przedziale [a, ∞).
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b], nieograniczona w
sąsiedztwie a i niech ∀α ∈ (a, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na
przedziale [α, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a I rodzaju
funkcji funkcji f na przedziale (a, b].
DEFINICJA 386
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale [a, ∞) i niech ∀β ∈ [a, ∞)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [a, β].
Jeżeli istnieje lim
β→∞
β
R
a
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II
rodzaju funkcji f na przedziale [a, ∞).
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (−∞, b] i niech
∀α ∈ (−∞, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [−∞, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II rodzaju
funkcji f na przedziale (−∞, b].
DEFINICJA 387
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b) i niech ∀α, β ∈ (a, b)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [α, β] Wtedy całk
,
e
niewłaściw
,
a
b
R
a
f (x) dx określamy jako sum
,
e
β
R
a
f (x) dx oraz
b
R
β
f (x) dx
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (−∞, b] i niech
∀α ∈ (−∞, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [−∞, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II rodzaju
funkcji f na przedziale (−∞, b].
DEFINICJA 387
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b) i niech ∀α, β ∈ (a, b)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [α, β] Wtedy całk
,
e
niewłaściw
,
a
b
R
a
f (x) dx określamy jako sum
,
e
β
R
a
f (x) dx oraz
b
R
β
f (x) dx
CAŁKA OZNACZONA
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (−∞, b] i niech
∀α ∈ (−∞, b] istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [−∞, b].
Jeżeli istnieje lim
α→a
b
R
α
f (x) dx to nazywamy j
,
a całk
,
a niewłaściw
,
a II rodzaju
funkcji f na przedziale (−∞, b].
DEFINICJA 387
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale (a, b) i niech ∀α, β ∈ (a, b)
istnieje całk
,
a Riemana funkcji f na przedziale [α, β] Wtedy całk
,
e
niewłaściw
,
a
b
R
a
f (x) dx określamy jako sum
,
e
β
R
a
f (x) dx oraz
b
R
β
f (x) dx