Wykład 01
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
Wykład 01
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
KRESY
DEFINICJA 1
Mówimy, że liczba M ogranicza zbiór A z góry ( z dołu )
wtw, gdy ∀a ∈ A
M ≥ a ( odpowiednio M ≤ a ).
DEFINICJA 2
Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry ( z dołu ) wtw, gdy istnieje
liczba rzeczywista ograniczaj
,
aca ten zbiór z góry ( odpowiednio z dołu ).
Jeżeli zbiór A jest ograniczony i z góry i z dołu to mówimy, że jest
ograniczony.
DEFINICJA 3
Kresem dolnym ( górnym ) zbioru A nazywamy −∞ ( odpowiednio +∞)
jeżeli ten zbiór nie jest ograniczony z dołu ( z góry ). Jeżeli zbiór A jest
ograniczony z dołu ( z góry ) to kresem dolnym ( górnym ) zbioru A
nazywamy najwi
,
eksz
,
a ( odpowiednio najmniejsz
,
a ) liczb
,
e ograniczaj
,
aca
ten zbiór z dołu ( odpowiednio z góry ). Kres górny ( dolny ) zbioru A
oznaczamy przez sup A ( odpowiednio inf A).
KRESY
DEFINICJA 1
Mówimy, że liczba M ogranicza zbiór A z góry ( z dołu )
wtw, gdy ∀a ∈ A
M ≥ a ( odpowiednio M ≤ a ).
DEFINICJA 2
Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry ( z dołu ) wtw, gdy istnieje
liczba rzeczywista ograniczaj
,
aca ten zbiór z góry ( odpowiednio z dołu ).
Jeżeli zbiór A jest ograniczony i z góry i z dołu to mówimy, że jest
ograniczony.
DEFINICJA 3
Kresem dolnym ( górnym ) zbioru A nazywamy −∞ ( odpowiednio +∞)
jeżeli ten zbiór nie jest ograniczony z dołu ( z góry ). Jeżeli zbiór A jest
ograniczony z dołu ( z góry ) to kresem dolnym ( górnym ) zbioru A
nazywamy najwi
,
eksz
,
a ( odpowiednio najmniejsz
,
a ) liczb
,
e ograniczaj
,
aca
ten zbiór z dołu ( odpowiednio z góry ). Kres górny ( dolny ) zbioru A
oznaczamy przez sup A ( odpowiednio inf A).
KRESY
DEFINICJA 1
Mówimy, że liczba M ogranicza zbiór A z góry ( z dołu )
wtw, gdy ∀a ∈ A
M ≥ a ( odpowiednio M ≤ a ).
DEFINICJA 2
Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry ( z dołu ) wtw, gdy istnieje
liczba rzeczywista ograniczaj
,
aca ten zbiór z góry ( odpowiednio z dołu ).
Jeżeli zbiór A jest ograniczony i z góry i z dołu to mówimy, że jest
ograniczony.
DEFINICJA 3
Kresem dolnym ( górnym ) zbioru A nazywamy −∞ ( odpowiednio +∞)
jeżeli ten zbiór nie jest ograniczony z dołu ( z góry ). Jeżeli zbiór A jest
ograniczony z dołu ( z góry ) to kresem dolnym ( górnym ) zbioru A
nazywamy najwi
,
eksz
,
a ( odpowiednio najmniejsz
,
a ) liczb
,
e ograniczaj
,
aca
ten zbiór z dołu ( odpowiednio z góry ). Kres górny ( dolny ) zbioru A
oznaczamy przez sup A ( odpowiednio inf A).
KRESY
DEFINICJA 1
Mówimy, że liczba M ogranicza zbiór A z góry ( z dołu )
wtw, gdy ∀a ∈ A
M ≥ a ( odpowiednio M ≤ a ).
DEFINICJA 2
Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry ( z dołu ) wtw, gdy istnieje
liczba rzeczywista ograniczaj
,
aca ten zbiór z góry ( odpowiednio z dołu ).
Jeżeli zbiór A jest ograniczony i z góry i z dołu to mówimy, że jest
ograniczony.
DEFINICJA 3
Kresem dolnym ( górnym ) zbioru A nazywamy −∞ ( odpowiednio +∞)
jeżeli ten zbiór nie jest ograniczony z dołu ( z góry ).
Jeżeli zbiór A jest
ograniczony z dołu ( z góry ) to kresem dolnym ( górnym ) zbioru A
nazywamy najwi
,
eksz
,
a ( odpowiednio najmniejsz
,
a ) liczb
,
e ograniczaj
,
aca
ten zbiór z dołu ( odpowiednio z góry ). Kres górny ( dolny ) zbioru A
oznaczamy przez sup A ( odpowiednio inf A).
KRESY
DEFINICJA 1
Mówimy, że liczba M ogranicza zbiór A z góry ( z dołu )
wtw, gdy ∀a ∈ A
M ≥ a ( odpowiednio M ≤ a ).
DEFINICJA 2
Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry ( z dołu ) wtw, gdy istnieje
liczba rzeczywista ograniczaj
,
aca ten zbiór z góry ( odpowiednio z dołu ).
Jeżeli zbiór A jest ograniczony i z góry i z dołu to mówimy, że jest
ograniczony.
DEFINICJA 3
Kresem dolnym ( górnym ) zbioru A nazywamy −∞ ( odpowiednio +∞)
jeżeli ten zbiór nie jest ograniczony z dołu ( z góry ). Jeżeli zbiór A jest
ograniczony z dołu ( z góry ) to kresem dolnym ( górnym ) zbioru A
nazywamy najwi
,
eksz
,
a ( odpowiednio najmniejsz
,
a ) liczb
,
e ograniczaj
,
aca
ten zbiór z dołu ( odpowiednio z góry ).
Kres górny ( dolny ) zbioru A
oznaczamy przez sup A ( odpowiednio inf A).
KRESY
DEFINICJA 1
Mówimy, że liczba M ogranicza zbiór A z góry ( z dołu )
wtw, gdy ∀a ∈ A
M ≥ a ( odpowiednio M ≤ a ).
DEFINICJA 2
Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry ( z dołu ) wtw, gdy istnieje
liczba rzeczywista ograniczaj
,
aca ten zbiór z góry ( odpowiednio z dołu ).
Jeżeli zbiór A jest ograniczony i z góry i z dołu to mówimy, że jest
ograniczony.
DEFINICJA 3
Kresem dolnym ( górnym ) zbioru A nazywamy −∞ ( odpowiednio +∞)
jeżeli ten zbiór nie jest ograniczony z dołu ( z góry ). Jeżeli zbiór A jest
ograniczony z dołu ( z góry ) to kresem dolnym ( górnym ) zbioru A
nazywamy najwi
,
eksz
,
a ( odpowiednio najmniejsz
,
a ) liczb
,
e ograniczaj
,
aca
ten zbiór z dołu ( odpowiednio z góry ). Kres górny ( dolny ) zbioru A
oznaczamy przez sup A ( odpowiednio inf A).
KRESY
TWIERDZENIE 4. W zbiorze liczb rzeczywistych każdy zbiór ograniczony
z dołu ( z góry ) ma kres dolny ( odpowiednio górny ).
TWIERDZENIE 5.
K jest kresem górnym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione s
,
a
warunki
1) ∀ a ∈ A a ≤ K,
2) ∀ ε > 0 ∃b ∈ A taki, że b ≥ K − ε.
DOWÓD;(⇒) K ogranicza zbiór A zatem jest spełniony warunek 1.
Gdyby nie był spełniony warunek 2 to istniałoby ε > 0 takie, że ∀b ∈ A
b ≤ K − ε. K nie byłoby najmniejsz
,
a liczb
,
a ograniczaj
,
ac
,
a zbiór A z góry.
(⇐) Z warunku 1 wynika, że K ogranicza zbiór A z góry. Przypuśćmy, że
istnieje L < K takie, że L ogranicza zbiór A z góry. Otrzymaliśmy, że dla
ε =
K − L
2
> 0 ∀b ∈ A b < K − ε. Otrzymana sprzeczność z warunkiem
2 dowodzi, że K jest najmniejsz
,
a liczb
,
a ograniczaj
,
ac
,
a zbiór A z góry.
KRESY
TWIERDZENIE 4. W zbiorze liczb rzeczywistych każdy zbiór ograniczony
z dołu ( z góry ) ma kres dolny ( odpowiednio górny ).
TWIERDZENIE 5.
K jest kresem górnym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione s
,
a
warunki
1) ∀ a ∈ A a ≤ K,
2) ∀ ε > 0 ∃b ∈ A taki, że b ≥ K − ε.
DOWÓD;(⇒) K ogranicza zbiór A zatem jest spełniony warunek 1.
Gdyby nie był spełniony warunek 2 to istniałoby ε > 0 takie, że ∀b ∈ A
b ≤ K − ε. K nie byłoby najmniejsz
,
a liczb
,
a ograniczaj
,
ac
,
a zbiór A z góry.
(⇐) Z warunku 1 wynika, że K ogranicza zbiór A z góry. Przypuśćmy, że
istnieje L < K takie, że L ogranicza zbiór A z góry. Otrzymaliśmy, że dla
ε =
K − L
2
> 0 ∀b ∈ A b < K − ε. Otrzymana sprzeczność z warunkiem
2 dowodzi, że K jest najmniejsz
,
a liczb
,
a ograniczaj
,
ac
,
a zbiór A z góry.
KRESY
TWIERDZENIE 4. W zbiorze liczb rzeczywistych każdy zbiór ograniczony
z dołu ( z góry ) ma kres dolny ( odpowiednio górny ).
TWIERDZENIE 5.
K jest kresem górnym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione s
,
a
warunki
1) ∀ a ∈ A a ≤ K,
2) ∀ ε > 0 ∃b ∈ A taki, że b ≥ K − ε.
DOWÓD;(⇒) K ogranicza zbiór A zatem jest spełniony warunek 1.
Gdyby nie był spełniony warunek 2 to istniałoby ε > 0 takie, że ∀b ∈ A
b ≤ K − ε. K nie byłoby najmniejsz
,
a liczb
,
a ograniczaj
,
ac
,
a zbiór A z góry.
(⇐) Z warunku 1 wynika, że K ogranicza zbiór A z góry. Przypuśćmy, że
istnieje L < K takie, że L ogranicza zbiór A z góry. Otrzymaliśmy, że dla
ε =
K − L
2
> 0 ∀b ∈ A b < K − ε. Otrzymana sprzeczność z warunkiem
2 dowodzi, że K jest najmniejsz
,
a liczb
,
a ograniczaj
,
ac
,
a zbiór A z góry.
KRESY
TWIERDZENIE 4. W zbiorze liczb rzeczywistych każdy zbiór ograniczony
z dołu ( z góry ) ma kres dolny ( odpowiednio górny ).
TWIERDZENIE 5.
K jest kresem górnym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione s
,
a
warunki
1) ∀ a ∈ A a ≤ K,
2) ∀ ε > 0 ∃b ∈ A taki, że b ≥ K − ε.
DOWÓD;(⇒) K ogranicza zbiór A zatem jest spełniony warunek 1.
Gdyby nie był spełniony warunek 2 to istniałoby ε > 0 takie, że ∀b ∈ A
b ≤ K − ε. K nie byłoby najmniejsz
,
a liczb
,
a ograniczaj
,
ac
,
a zbiór A z góry.
(⇐) Z warunku 1 wynika, że K ogranicza zbiór A z góry. Przypuśćmy, że
istnieje L < K takie, że L ogranicza zbiór A z góry. Otrzymaliśmy, że dla
ε =
K − L
2
> 0 ∀b ∈ A b < K − ε. Otrzymana sprzeczność z warunkiem
2 dowodzi, że K jest najmniejsz
,
a liczb
,
a ograniczaj
,
ac
,
a zbiór A z góry.
GRANICE CIĄGÓW
DEFINICJA 6
Mówimy, że ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e właściw
,
a g ∈ R przy n
zmierzaj
,
acym do nieskończoności i zapisujemy lim
n→∞
a
n
= g wtw, gdy
∀ε > 0 ∃n
0
: ∀n > n
0
|a
n
− g| < ε.
DEFINICJA 7
Mówimy, że ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e niewłaściw
,
a +∞ ( −∞ ) przy n
zmierzaj
,
acym do nieskończoności i zapisujemy lim
n→∞
a
n
= ∞
( odpowiednio lim
n→∞
a
n
= −∞ ) wtw, gdy ∀M ∃n
0
: ∀n > n
0
a
n
> M
( odpowiednio a
n
< M ).
TWIERDZENIE 8
lim
n→∞
a
n
= 0 wtw, gdy lim
n→∞
|a
n
| = 0.
lim
n→∞
a
n
= 0 wtw, gdy lim
n→∞
1
|a
n
|
= ∞.
(Przy założeniu, że ∀n ∈ N a
n
6= 0. )
GRANICE CIĄGÓW
DEFINICJA 6
Mówimy, że ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e właściw
,
a g ∈ R przy n
zmierzaj
,
acym do nieskończoności i zapisujemy lim
n→∞
a
n
= g wtw, gdy
∀ε > 0 ∃n
0
: ∀n > n
0
|a
n
− g| < ε.
DEFINICJA 7
Mówimy, że ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e niewłaściw
,
a +∞ ( −∞ ) przy n
zmierzaj
,
acym do nieskończoności i zapisujemy lim
n→∞
a
n
= ∞
( odpowiednio lim
n→∞
a
n
= −∞ ) wtw, gdy ∀M ∃n
0
: ∀n > n
0
a
n
> M
( odpowiednio a
n
< M ).
TWIERDZENIE 8
lim
n→∞
a
n
= 0 wtw, gdy lim
n→∞
|a
n
| = 0.
lim
n→∞
a
n
= 0 wtw, gdy lim
n→∞
1
|a
n
|
= ∞.
(Przy założeniu, że ∀n ∈ N a
n
6= 0. )
GRANICE CIĄGÓW
DEFINICJA 6
Mówimy, że ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e właściw
,
a g ∈ R przy n
zmierzaj
,
acym do nieskończoności i zapisujemy lim
n→∞
a
n
= g wtw, gdy
∀ε > 0 ∃n
0
: ∀n > n
0
|a
n
− g| < ε.
DEFINICJA 7
Mówimy, że ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e niewłaściw
,
a +∞ ( −∞ ) przy n
zmierzaj
,
acym do nieskończoności i zapisujemy lim
n→∞
a
n
= ∞
( odpowiednio lim
n→∞
a
n
= −∞ ) wtw, gdy ∀M ∃n
0
: ∀n > n
0
a
n
> M
( odpowiednio a
n
< M ).
TWIERDZENIE 8
lim
n→∞
a
n
= 0 wtw, gdy lim
n→∞
|a
n
| = 0.
lim
n→∞
a
n
= 0 wtw, gdy lim
n→∞
1
|a
n
|
= ∞.
(Przy założeniu, że ∀n ∈ N a
n
6= 0. )
GRANICE CIĄGÓW
DEFINICJA 6
Mówimy, że ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e właściw
,
a g ∈ R przy n
zmierzaj
,
acym do nieskończoności i zapisujemy lim
n→∞
a
n
= g wtw, gdy
∀ε > 0 ∃n
0
: ∀n > n
0
|a
n
− g| < ε.
DEFINICJA 7
Mówimy, że ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e niewłaściw
,
a +∞ ( −∞ ) przy n
zmierzaj
,
acym do nieskończoności i zapisujemy lim
n→∞
a
n
= ∞
( odpowiednio lim
n→∞
a
n
= −∞ ) wtw, gdy ∀M ∃n
0
: ∀n > n
0
a
n
> M
( odpowiednio a
n
< M ).
TWIERDZENIE 8
lim
n→∞
a
n
= 0 wtw, gdy lim
n→∞
|a
n
| = 0.
lim
n→∞
a
n
= 0 wtw, gdy lim
n→∞
1
|a
n
|
= ∞.
(Przy założeniu, że ∀n ∈ N a
n
6= 0. )
GRANICE CIĄGÓW
DEFINICJA 6
Mówimy, że ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e właściw
,
a g ∈ R przy n
zmierzaj
,
acym do nieskończoności i zapisujemy lim
n→∞
a
n
= g wtw, gdy
∀ε > 0 ∃n
0
: ∀n > n
0
|a
n
− g| < ε.
DEFINICJA 7
Mówimy, że ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e niewłaściw
,
a +∞ ( −∞ ) przy n
zmierzaj
,
acym do nieskończoności i zapisujemy lim
n→∞
a
n
= ∞
( odpowiednio lim
n→∞
a
n
= −∞ ) wtw, gdy ∀M ∃n
0
: ∀n > n
0
a
n
> M
( odpowiednio a
n
< M ).
TWIERDZENIE 8
lim
n→∞
a
n
= 0 wtw, gdy lim
n→∞
|a
n
| = 0.
lim
n→∞
a
n
= 0 wtw, gdy lim
n→∞
1
|a
n
|
= ∞.
(Przy założeniu, że ∀n ∈ N a
n
6= 0. )
GRANICE CIĄGÓW
DEFINICJA 9
Ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
nazywamy ci
,
agiem Cauchy’ego wtw, gdy
∀ε > 0∃n
0
: ∀m, n > n
0
|a
m
− a
n
| < ε.
TWIERDZENIE 10
Każdy ci
,
ag zbieżny do granicy właściwej jest ci
,
agiem Cauchy’ego.
W zbiorze liczb rzeczywistych każdy ci
,
ag Cauchy’ego ma granic
,
e
właściw
,
a.
TWIERDZENIE 11
Ci
,
ag rosn
,
acy ( malej
,
acy ) i ograniczony z góry ( odpowiednio z dołu )
jest zbieżny do granicy właściwej.
DEFINICJA 12
Dla danego {a
n
}
∞
n=1
ci
,
agu liczbowego i ci
,
agu rosn
,
acego {n
k
}
∞
k=1
o
wyrazach naturalnych ci
,
ag {a
n
k
}
∞
k=1
nazywamy podci
,
agiem ci
,
agu
{a
n
}
∞
n=1
.
GRANICE CIĄGÓW
DEFINICJA 9
Ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
nazywamy ci
,
agiem Cauchy’ego wtw, gdy
∀ε > 0∃n
0
: ∀m, n > n
0
|a
m
− a
n
| < ε.
TWIERDZENIE 10
Każdy ci
,
ag zbieżny do granicy właściwej jest ci
,
agiem Cauchy’ego.
W zbiorze liczb rzeczywistych każdy ci
,
ag Cauchy’ego ma granic
,
e
właściw
,
a.
TWIERDZENIE 11
Ci
,
ag rosn
,
acy ( malej
,
acy ) i ograniczony z góry ( odpowiednio z dołu )
jest zbieżny do granicy właściwej.
DEFINICJA 12
Dla danego {a
n
}
∞
n=1
ci
,
agu liczbowego i ci
,
agu rosn
,
acego {n
k
}
∞
k=1
o
wyrazach naturalnych ci
,
ag {a
n
k
}
∞
k=1
nazywamy podci
,
agiem ci
,
agu
{a
n
}
∞
n=1
.
GRANICE CIĄGÓW
DEFINICJA 9
Ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
nazywamy ci
,
agiem Cauchy’ego wtw, gdy
∀ε > 0∃n
0
: ∀m, n > n
0
|a
m
− a
n
| < ε.
TWIERDZENIE 10
Każdy ci
,
ag zbieżny do granicy właściwej jest ci
,
agiem Cauchy’ego.
W zbiorze liczb rzeczywistych każdy ci
,
ag Cauchy’ego ma granic
,
e
właściw
,
a.
TWIERDZENIE 11
Ci
,
ag rosn
,
acy ( malej
,
acy ) i ograniczony z góry ( odpowiednio z dołu )
jest zbieżny do granicy właściwej.
DEFINICJA 12
Dla danego {a
n
}
∞
n=1
ci
,
agu liczbowego i ci
,
agu rosn
,
acego {n
k
}
∞
k=1
o
wyrazach naturalnych ci
,
ag {a
n
k
}
∞
k=1
nazywamy podci
,
agiem ci
,
agu
{a
n
}
∞
n=1
.
GRANICE CIĄGÓW
DEFINICJA 9
Ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
nazywamy ci
,
agiem Cauchy’ego wtw, gdy
∀ε > 0∃n
0
: ∀m, n > n
0
|a
m
− a
n
| < ε.
TWIERDZENIE 10
Każdy ci
,
ag zbieżny do granicy właściwej jest ci
,
agiem Cauchy’ego.
W zbiorze liczb rzeczywistych każdy ci
,
ag Cauchy’ego ma granic
,
e
właściw
,
a.
TWIERDZENIE 11
Ci
,
ag rosn
,
acy ( malej
,
acy ) i ograniczony z góry ( odpowiednio z dołu )
jest zbieżny do granicy właściwej.
DEFINICJA 12
Dla danego {a
n
}
∞
n=1
ci
,
agu liczbowego i ci
,
agu rosn
,
acego {n
k
}
∞
k=1
o
wyrazach naturalnych ci
,
ag {a
n
k
}
∞
k=1
nazywamy podci
,
agiem ci
,
agu
{a
n
}
∞
n=1
.
GRANICE CIĄGÓW
DEFINICJA 9
Ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
nazywamy ci
,
agiem Cauchy’ego wtw, gdy
∀ε > 0∃n
0
: ∀m, n > n
0
|a
m
− a
n
| < ε.
TWIERDZENIE 10
Każdy ci
,
ag zbieżny do granicy właściwej jest ci
,
agiem Cauchy’ego.
W zbiorze liczb rzeczywistych każdy ci
,
ag Cauchy’ego ma granic
,
e
właściw
,
a.
TWIERDZENIE 11
Ci
,
ag rosn
,
acy ( malej
,
acy ) i ograniczony z góry ( odpowiednio z dołu )
jest zbieżny do granicy właściwej.
DEFINICJA 12
Dla danego {a
n
}
∞
n=1
ci
,
agu liczbowego i ci
,
agu rosn
,
acego {n
k
}
∞
k=1
o
wyrazach naturalnych ci
,
ag {a
n
k
}
∞
k=1
nazywamy podci
,
agiem ci
,
agu
{a
n
}
∞
n=1
.
GRANICE CIĄGÓW
DEFINICJA 13
Jeżeli {a
n
k
}
∞
k=1
podci
,
ag ci
,
agu {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e właściw
,
a g przy k
zmierzaj
,
acym do nieskończoności to liczb
,
e g nazywamy punktem
skupienia tego ci
,
agu.
Jeżeli lim
n→∞
a
n
k
= ∞ ( lim
n→∞
a
n
k
= −∞) to mówimy, że ∞
( odpowiednio −∞ ) jest niewłaściwym punktem skupienia ci
,
agu
{a
n
}
∞
n=1
.
TWIERDZENIE 14
Każdy ci
,
ag ograniczony posiada właściwy punkt skupienia należ
,
acy do
[inf a
n
, sup a
n
].
TWIERDZENIE 15
Ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e g wtw, gdy g jest jedynym punktem skupienia
tego ci
,
agu.
TWIERDZENIE 16
Każdy ci
,
ag maj
,
acy granic
,
e właściw
,
a jest ograniczony.
GRANICE CIĄGÓW
DEFINICJA 13
Jeżeli {a
n
k
}
∞
k=1
podci
,
ag ci
,
agu {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e właściw
,
a g przy k
zmierzaj
,
acym do nieskończoności to liczb
,
e g nazywamy punktem
skupienia tego ci
,
agu.
Jeżeli lim
n→∞
a
n
k
= ∞ ( lim
n→∞
a
n
k
= −∞) to mówimy, że ∞
( odpowiednio −∞ ) jest niewłaściwym punktem skupienia ci
,
agu
{a
n
}
∞
n=1
.
TWIERDZENIE 14
Każdy ci
,
ag ograniczony posiada właściwy punkt skupienia należ
,
acy do
[inf a
n
, sup a
n
].
TWIERDZENIE 15
Ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e g wtw, gdy g jest jedynym punktem skupienia
tego ci
,
agu.
TWIERDZENIE 16
Każdy ci
,
ag maj
,
acy granic
,
e właściw
,
a jest ograniczony.
GRANICE CIĄGÓW
DEFINICJA 13
Jeżeli {a
n
k
}
∞
k=1
podci
,
ag ci
,
agu {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e właściw
,
a g przy k
zmierzaj
,
acym do nieskończoności to liczb
,
e g nazywamy punktem
skupienia tego ci
,
agu.
Jeżeli lim
n→∞
a
n
k
= ∞ ( lim
n→∞
a
n
k
= −∞) to mówimy, że ∞
( odpowiednio −∞ ) jest niewłaściwym punktem skupienia ci
,
agu
{a
n
}
∞
n=1
.
TWIERDZENIE 14
Każdy ci
,
ag ograniczony posiada właściwy punkt skupienia należ
,
acy do
[inf a
n
, sup a
n
].
TWIERDZENIE 15
Ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e g wtw, gdy g jest jedynym punktem skupienia
tego ci
,
agu.
TWIERDZENIE 16
Każdy ci
,
ag maj
,
acy granic
,
e właściw
,
a jest ograniczony.
GRANICE CIĄGÓW
DEFINICJA 13
Jeżeli {a
n
k
}
∞
k=1
podci
,
ag ci
,
agu {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e właściw
,
a g przy k
zmierzaj
,
acym do nieskończoności to liczb
,
e g nazywamy punktem
skupienia tego ci
,
agu.
Jeżeli lim
n→∞
a
n
k
= ∞ ( lim
n→∞
a
n
k
= −∞) to mówimy, że ∞
( odpowiednio −∞ ) jest niewłaściwym punktem skupienia ci
,
agu
{a
n
}
∞
n=1
.
TWIERDZENIE 14
Każdy ci
,
ag ograniczony posiada właściwy punkt skupienia należ
,
acy do
[inf a
n
, sup a
n
].
TWIERDZENIE 15
Ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e g wtw, gdy g jest jedynym punktem skupienia
tego ci
,
agu.
TWIERDZENIE 16
Każdy ci
,
ag maj
,
acy granic
,
e właściw
,
a jest ograniczony.
GRANICE CIĄGÓW
DEFINICJA 13
Jeżeli {a
n
k
}
∞
k=1
podci
,
ag ci
,
agu {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e właściw
,
a g przy k
zmierzaj
,
acym do nieskończoności to liczb
,
e g nazywamy punktem
skupienia tego ci
,
agu.
Jeżeli lim
n→∞
a
n
k
= ∞ ( lim
n→∞
a
n
k
= −∞) to mówimy, że ∞
( odpowiednio −∞ ) jest niewłaściwym punktem skupienia ci
,
agu
{a
n
}
∞
n=1
.
TWIERDZENIE 14
Każdy ci
,
ag ograniczony posiada właściwy punkt skupienia należ
,
acy do
[inf a
n
, sup a
n
].
TWIERDZENIE 15
Ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
ma granic
,
e g wtw, gdy g jest jedynym punktem skupienia
tego ci
,
agu.
TWIERDZENIE 16
Każdy ci
,
ag maj
,
acy granic
,
e właściw
,
a jest ograniczony.
TWIUERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
oraz istnieją granice lim
n→∞
a
n
= a oraz
lim
n→∞
b
n
= b to a ≥ b.
TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
≥ c
n
oraz istnieją granice
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= a to istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n
1
∀n > n
1
a + ε > a
n
oraz
∀ε > 0 ∃n
2
∀n > n
2
a − ε < c
n
.
Wówczas dla n > n
3
= max{n
0
, n
1
, n
2
}
a − ε < c
n
≤ b
n
≤ a
n
≤ a + ε.
Stąd istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
TWIUERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
oraz istnieją granice lim
n→∞
a
n
= a oraz
lim
n→∞
b
n
= b to a ≥ b.
TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
≥ c
n
oraz istnieją granice
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= a to istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n
1
∀n > n
1
a + ε > a
n
oraz
∀ε > 0 ∃n
2
∀n > n
2
a − ε < c
n
.
Wówczas dla n > n
3
= max{n
0
, n
1
, n
2
}
a − ε < c
n
≤ b
n
≤ a
n
≤ a + ε.
Stąd istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
TWIUERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
oraz istnieją granice lim
n→∞
a
n
= a oraz
lim
n→∞
b
n
= b to a ≥ b.
TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
≥ c
n
oraz istnieją granice
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= a to istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n
1
∀n > n
1
a + ε > a
n
oraz
∀ε > 0 ∃n
2
∀n > n
2
a − ε < c
n
.
Wówczas dla n > n
3
= max{n
0
, n
1
, n
2
}
a − ε < c
n
≤ b
n
≤ a
n
≤ a + ε.
Stąd istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
TWIUERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
oraz istnieją granice lim
n→∞
a
n
= a oraz
lim
n→∞
b
n
= b to a ≥ b.
TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
≥ c
n
oraz istnieją granice
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= a to istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n
1
∀n > n
1
a + ε > a
n
oraz
∀ε > 0 ∃n
2
∀n > n
2
a − ε < c
n
.
Wówczas dla n > n
3
= max{n
0
, n
1
, n
2
}
a − ε < c
n
≤ b
n
≤ a
n
≤ a + ε.
Stąd istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
TWIUERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
oraz istnieją granice lim
n→∞
a
n
= a oraz
lim
n→∞
b
n
= b to a ≥ b.
TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
≥ c
n
oraz istnieją granice
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= a to istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n
1
∀n > n
1
a + ε > a
n
oraz
∀ε > 0 ∃n
2
∀n > n
2
a − ε < c
n
.
Wówczas dla n > n
3
= max{n
0
, n
1
, n
2
}
a − ε < c
n
≤ b
n
≤ a
n
≤ a + ε.
Stąd istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
TWIUERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
oraz istnieją granice lim
n→∞
a
n
= a oraz
lim
n→∞
b
n
= b to a ≥ b.
TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
≥ c
n
oraz istnieją granice
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= a to istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n
1
∀n > n
1
a + ε > a
n
oraz
∀ε > 0 ∃n
2
∀n > n
2
a − ε < c
n
.
Wówczas dla n > n
3
= max{n
0
, n
1
, n
2
}
a − ε < c
n
≤ b
n
≤ a
n
≤ a + ε.
Stąd istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
TWIUERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
oraz istnieją granice lim
n→∞
a
n
= a oraz
lim
n→∞
b
n
= b to a ≥ b.
TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
≥ c
n
oraz istnieją granice
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= a to istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n
1
∀n > n
1
a + ε > a
n
oraz
∀ε > 0 ∃n
2
∀n > n
2
a − ε < c
n
.
Wówczas dla n > n
3
= max{n
0
, n
1
, n
2
}
a − ε < c
n
≤ b
n
≤ a
n
≤ a + ε.
Stąd istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
TWIUERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
oraz istnieją granice lim
n→∞
a
n
= a oraz
lim
n→∞
b
n
= b to a ≥ b.
TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
≥ c
n
oraz istnieją granice
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= a to istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n
1
∀n > n
1
a + ε > a
n
oraz
∀ε > 0 ∃n
2
∀n > n
2
a − ε < c
n
.
Wówczas dla n > n
3
= max{n
0
, n
1
, n
2
}
a − ε < c
n
≤ b
n
≤ a
n
≤ a + ε.
Stąd istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
TWIUERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
oraz istnieją granice lim
n→∞
a
n
= a oraz
lim
n→∞
b
n
= b to a ≥ b.
TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n
0
∀n > n
0
a
n
≥ b
n
≥ c
n
oraz istnieją granice
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= a to istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.
DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n
1
∀n > n
1
a + ε > a
n
oraz
∀ε > 0 ∃n
2
∀n > n
2
a − ε < c
n
.
Wówczas dla n > n
3
= max{n
0
, n
1
, n
2
}
a − ε < c
n
≤ b
n
≤ a
n
≤ a + ε.
Stąd istnieje lim
n→∞
b
n
oraz lim
n→∞
b
n
= a.