Wykład 01

Witold Obłoza

20 stycznia 2011

KRESY

DEFINICJA 1
Mówimy, że liczba M ogranicza zbiór A z góry ( z dołu )
wtw, gdy ∀a ∈ A

M ≥ a ( odpowiednio M ≤ a ).

DEFINICJA 2
Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry ( z dołu ) wtw, gdy istnieje
liczba rzeczywista ograniczaj

,

aca ten zbiór z góry ( odpowiednio z dołu ).

Jeżeli zbiór A jest ograniczony i z góry i z dołu to mówimy, że jest
ograniczony.

DEFINICJA 3
Kresem dolnym ( górnym ) zbioru A nazywamy −∞ ( odpowiednio +∞)
jeżeli ten zbiór nie jest ograniczony z dołu ( z góry ). Jeżeli zbiór A jest
ograniczony z dołu ( z góry ) to kresem dolnym ( górnym ) zbioru A
nazywamy najwi

,

eksz

,

a ( odpowiednio najmniejsz

,

a ) liczb

,

e ograniczaj

,

aca

ten zbiór z dołu ( odpowiednio z góry ). Kres górny ( dolny ) zbioru A
oznaczamy przez sup A ( odpowiednio inf A).

KRESY

DEFINICJA 1
Mówimy, że liczba M ogranicza zbiór A z góry ( z dołu )
wtw, gdy ∀a ∈ A

M ≥ a ( odpowiednio M ≤ a ).

DEFINICJA 2
Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry ( z dołu ) wtw, gdy istnieje
liczba rzeczywista ograniczaj

,

aca ten zbiór z góry ( odpowiednio z dołu ).

Jeżeli zbiór A jest ograniczony i z góry i z dołu to mówimy, że jest
ograniczony.

DEFINICJA 3
Kresem dolnym ( górnym ) zbioru A nazywamy −∞ ( odpowiednio +∞)
jeżeli ten zbiór nie jest ograniczony z dołu ( z góry ). Jeżeli zbiór A jest
ograniczony z dołu ( z góry ) to kresem dolnym ( górnym ) zbioru A
nazywamy najwi

,

eksz

,

a ( odpowiednio najmniejsz

,

a ) liczb

,

e ograniczaj

,

aca

ten zbiór z dołu ( odpowiednio z góry ). Kres górny ( dolny ) zbioru A
oznaczamy przez sup A ( odpowiednio inf A).

KRESY

DEFINICJA 1
Mówimy, że liczba M ogranicza zbiór A z góry ( z dołu )
wtw, gdy ∀a ∈ A

M ≥ a ( odpowiednio M ≤ a ).

DEFINICJA 2
Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry ( z dołu ) wtw, gdy istnieje
liczba rzeczywista ograniczaj

,

aca ten zbiór z góry ( odpowiednio z dołu ).

Jeżeli zbiór A jest ograniczony i z góry i z dołu to mówimy, że jest
ograniczony.

DEFINICJA 3
Kresem dolnym ( górnym ) zbioru A nazywamy −∞ ( odpowiednio +∞)
jeżeli ten zbiór nie jest ograniczony z dołu ( z góry ). Jeżeli zbiór A jest
ograniczony z dołu ( z góry ) to kresem dolnym ( górnym ) zbioru A
nazywamy najwi

,

eksz

,

a ( odpowiednio najmniejsz

,

a ) liczb

,

e ograniczaj

,

aca

ten zbiór z dołu ( odpowiednio z góry ). Kres górny ( dolny ) zbioru A
oznaczamy przez sup A ( odpowiednio inf A).

KRESY

DEFINICJA 1
Mówimy, że liczba M ogranicza zbiór A z góry ( z dołu )
wtw, gdy ∀a ∈ A

M ≥ a ( odpowiednio M ≤ a ).

DEFINICJA 2
Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry ( z dołu ) wtw, gdy istnieje
liczba rzeczywista ograniczaj

,

aca ten zbiór z góry ( odpowiednio z dołu ).

Jeżeli zbiór A jest ograniczony i z góry i z dołu to mówimy, że jest
ograniczony.

DEFINICJA 3
Kresem dolnym ( górnym ) zbioru A nazywamy −∞ ( odpowiednio +∞)
jeżeli ten zbiór nie jest ograniczony z dołu ( z góry ).

Jeżeli zbiór A jest

ograniczony z dołu ( z góry ) to kresem dolnym ( górnym ) zbioru A
nazywamy najwi

,

eksz

,

a ( odpowiednio najmniejsz

,

a ) liczb

,

e ograniczaj

,

aca

ten zbiór z dołu ( odpowiednio z góry ). Kres górny ( dolny ) zbioru A
oznaczamy przez sup A ( odpowiednio inf A).

KRESY

DEFINICJA 1
Mówimy, że liczba M ogranicza zbiór A z góry ( z dołu )
wtw, gdy ∀a ∈ A

M ≥ a ( odpowiednio M ≤ a ).

DEFINICJA 2
Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry ( z dołu ) wtw, gdy istnieje
liczba rzeczywista ograniczaj

,

aca ten zbiór z góry ( odpowiednio z dołu ).

Jeżeli zbiór A jest ograniczony i z góry i z dołu to mówimy, że jest
ograniczony.

DEFINICJA 3
Kresem dolnym ( górnym ) zbioru A nazywamy −∞ ( odpowiednio +∞)
jeżeli ten zbiór nie jest ograniczony z dołu ( z góry ). Jeżeli zbiór A jest
ograniczony z dołu ( z góry ) to kresem dolnym ( górnym ) zbioru A
nazywamy najwi

,

eksz

,

a ( odpowiednio najmniejsz

,

a ) liczb

,

e ograniczaj

,

aca

ten zbiór z dołu ( odpowiednio z góry ).

Kres górny ( dolny ) zbioru A

oznaczamy przez sup A ( odpowiednio inf A).

KRESY

DEFINICJA 1
Mówimy, że liczba M ogranicza zbiór A z góry ( z dołu )
wtw, gdy ∀a ∈ A

M ≥ a ( odpowiednio M ≤ a ).

DEFINICJA 2
Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry ( z dołu ) wtw, gdy istnieje
liczba rzeczywista ograniczaj

,

aca ten zbiór z góry ( odpowiednio z dołu ).

Jeżeli zbiór A jest ograniczony i z góry i z dołu to mówimy, że jest
ograniczony.

DEFINICJA 3
Kresem dolnym ( górnym ) zbioru A nazywamy −∞ ( odpowiednio +∞)
jeżeli ten zbiór nie jest ograniczony z dołu ( z góry ). Jeżeli zbiór A jest
ograniczony z dołu ( z góry ) to kresem dolnym ( górnym ) zbioru A
nazywamy najwi

,

eksz

,

a ( odpowiednio najmniejsz

,

a ) liczb

,

e ograniczaj

,

aca

ten zbiór z dołu ( odpowiednio z góry ). Kres górny ( dolny ) zbioru A
oznaczamy przez sup A ( odpowiednio inf A).

KRESY

TWIERDZENIE 4. W zbiorze liczb rzeczywistych każdy zbiór ograniczony
z dołu ( z góry ) ma kres dolny ( odpowiednio górny ).

TWIERDZENIE 5.
K jest kresem górnym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione s

,

a

warunki
1) ∀ a ∈ A a ≤ K,
2) ∀ ε > 0 ∃b ∈ A taki, że b ≥ K − ε.

DOWÓD;(⇒) K ogranicza zbiór A zatem jest spełniony warunek 1.
Gdyby nie był spełniony warunek 2 to istniałoby ε > 0 takie, że ∀b ∈ A
b ≤ K − ε. K nie byłoby najmniejsz

,

a liczb

,

a ograniczaj

,

ac

,

a zbiór A z góry.

(⇐) Z warunku 1 wynika, że K ogranicza zbiór A z góry. Przypuśćmy, że
istnieje L < K takie, że L ogranicza zbiór A z góry. Otrzymaliśmy, że dla

ε =

K − L

2

> 0 ∀b ∈ A b < K − ε. Otrzymana sprzeczność z warunkiem

2 dowodzi, że K jest najmniejsz

,

a liczb

,

a ograniczaj

,

ac

,

a zbiór A z góry.

KRESY

TWIERDZENIE 4. W zbiorze liczb rzeczywistych każdy zbiór ograniczony
z dołu ( z góry ) ma kres dolny ( odpowiednio górny ).

TWIERDZENIE 5.
K jest kresem górnym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione s

,

a

warunki
1) ∀ a ∈ A a ≤ K,
2) ∀ ε > 0 ∃b ∈ A taki, że b ≥ K − ε.

DOWÓD;(⇒) K ogranicza zbiór A zatem jest spełniony warunek 1.
Gdyby nie był spełniony warunek 2 to istniałoby ε > 0 takie, że ∀b ∈ A
b ≤ K − ε. K nie byłoby najmniejsz

,

a liczb

,

a ograniczaj

,

ac

,

a zbiór A z góry.

(⇐) Z warunku 1 wynika, że K ogranicza zbiór A z góry. Przypuśćmy, że
istnieje L < K takie, że L ogranicza zbiór A z góry. Otrzymaliśmy, że dla

ε =

K − L

2

> 0 ∀b ∈ A b < K − ε. Otrzymana sprzeczność z warunkiem

2 dowodzi, że K jest najmniejsz

,

a liczb

,

a ograniczaj

,

ac

,

a zbiór A z góry.

KRESY

TWIERDZENIE 4. W zbiorze liczb rzeczywistych każdy zbiór ograniczony
z dołu ( z góry ) ma kres dolny ( odpowiednio górny ).

TWIERDZENIE 5.
K jest kresem górnym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione s

,

a

warunki
1) ∀ a ∈ A a ≤ K,
2) ∀ ε > 0 ∃b ∈ A taki, że b ≥ K − ε.

DOWÓD;(⇒) K ogranicza zbiór A zatem jest spełniony warunek 1.
Gdyby nie był spełniony warunek 2 to istniałoby ε > 0 takie, że ∀b ∈ A
b ≤ K − ε. K nie byłoby najmniejsz

,

a liczb

,

a ograniczaj

,

ac

,

a zbiór A z góry.

(⇐) Z warunku 1 wynika, że K ogranicza zbiór A z góry. Przypuśćmy, że
istnieje L < K takie, że L ogranicza zbiór A z góry. Otrzymaliśmy, że dla

ε =

K − L

2

> 0 ∀b ∈ A b < K − ε. Otrzymana sprzeczność z warunkiem

2 dowodzi, że K jest najmniejsz

,

a liczb

,

a ograniczaj

,

ac

,

a zbiór A z góry.

KRESY

TWIERDZENIE 4. W zbiorze liczb rzeczywistych każdy zbiór ograniczony
z dołu ( z góry ) ma kres dolny ( odpowiednio górny ).

TWIERDZENIE 5.
K jest kresem górnym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione s

,

a

warunki
1) ∀ a ∈ A a ≤ K,
2) ∀ ε > 0 ∃b ∈ A taki, że b ≥ K − ε.

DOWÓD;(⇒) K ogranicza zbiór A zatem jest spełniony warunek 1.
Gdyby nie był spełniony warunek 2 to istniałoby ε > 0 takie, że ∀b ∈ A
b ≤ K − ε. K nie byłoby najmniejsz

,

a liczb

,

a ograniczaj

,

ac

,

a zbiór A z góry.

(⇐) Z warunku 1 wynika, że K ogranicza zbiór A z góry. Przypuśćmy, że
istnieje L < K takie, że L ogranicza zbiór A z góry. Otrzymaliśmy, że dla

ε =

K − L

2

> 0 ∀b ∈ A b < K − ε. Otrzymana sprzeczność z warunkiem

2 dowodzi, że K jest najmniejsz

,

a liczb

,

a ograniczaj

,

ac

,

a zbiór A z góry.

GRANICE CIĄGÓW

DEFINICJA 6
Mówimy, że ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e właściw

,

a g ∈ R przy n

zmierzaj

,

acym do nieskończoności i zapisujemy lim

n→∞

a

n

= g wtw, gdy

∀ε > 0 ∃n

0

: ∀n > n

0

|a

n

− g| < ε.

DEFINICJA 7
Mówimy, że ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e niewłaściw

,

a +∞ ( −∞ ) przy n

zmierzaj

,

acym do nieskończoności i zapisujemy lim

n→∞

a

n

= ∞

( odpowiednio lim

n→∞

a

n

= −∞ ) wtw, gdy ∀M ∃n

0

: ∀n > n

0

a

n

> M

( odpowiednio a

n

< M ).

TWIERDZENIE 8

lim

n→∞

a

n

= 0 wtw, gdy lim

n→∞

|a

n

| = 0.

lim

n→∞

a

n

= 0 wtw, gdy lim

n→∞

1

|a

n

|

= ∞.

(Przy założeniu, że ∀n ∈ N a

n

6= 0. )

GRANICE CIĄGÓW

DEFINICJA 6
Mówimy, że ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e właściw

,

a g ∈ R przy n

zmierzaj

,

acym do nieskończoności i zapisujemy lim

n→∞

a

n

= g wtw, gdy

∀ε > 0 ∃n

0

: ∀n > n

0

|a

n

− g| < ε.

DEFINICJA 7
Mówimy, że ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e niewłaściw

,

a +∞ ( −∞ ) przy n

zmierzaj

,

acym do nieskończoności i zapisujemy lim

n→∞

a

n

= ∞

( odpowiednio lim

n→∞

a

n

= −∞ ) wtw, gdy ∀M ∃n

0

: ∀n > n

0

a

n

> M

( odpowiednio a

n

< M ).

TWIERDZENIE 8

lim

n→∞

a

n

= 0 wtw, gdy lim

n→∞

|a

n

| = 0.

lim

n→∞

a

n

= 0 wtw, gdy lim

n→∞

1

|a

n

|

= ∞.

(Przy założeniu, że ∀n ∈ N a

n

6= 0. )

GRANICE CIĄGÓW

DEFINICJA 6
Mówimy, że ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e właściw

,

a g ∈ R przy n

zmierzaj

,

acym do nieskończoności i zapisujemy lim

n→∞

a

n

= g wtw, gdy

∀ε > 0 ∃n

0

: ∀n > n

0

|a

n

− g| < ε.

DEFINICJA 7
Mówimy, że ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e niewłaściw

,

a +∞ ( −∞ ) przy n

zmierzaj

,

acym do nieskończoności i zapisujemy lim

n→∞

a

n

= ∞

( odpowiednio lim

n→∞

a

n

= −∞ ) wtw, gdy ∀M ∃n

0

: ∀n > n

0

a

n

> M

( odpowiednio a

n

< M ).

TWIERDZENIE 8

lim

n→∞

a

n

= 0 wtw, gdy lim

n→∞

|a

n

| = 0.

lim

n→∞

a

n

= 0 wtw, gdy lim

n→∞

1

|a

n

|

= ∞.

(Przy założeniu, że ∀n ∈ N a

n

6= 0. )

GRANICE CIĄGÓW

DEFINICJA 6
Mówimy, że ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e właściw

,

a g ∈ R przy n

zmierzaj

,

acym do nieskończoności i zapisujemy lim

n→∞

a

n

= g wtw, gdy

∀ε > 0 ∃n

0

: ∀n > n

0

|a

n

− g| < ε.

DEFINICJA 7
Mówimy, że ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e niewłaściw

,

a +∞ ( −∞ ) przy n

zmierzaj

,

acym do nieskończoności i zapisujemy lim

n→∞

a

n

= ∞

( odpowiednio lim

n→∞

a

n

= −∞ ) wtw, gdy ∀M ∃n

0

: ∀n > n

0

a

n

> M

( odpowiednio a

n

< M ).

TWIERDZENIE 8

lim

n→∞

a

n

= 0 wtw, gdy lim

n→∞

|a

n

| = 0.

lim

n→∞

a

n

= 0 wtw, gdy lim

n→∞

1

|a

n

|

= ∞.

(Przy założeniu, że ∀n ∈ N a

n

6= 0. )

GRANICE CIĄGÓW

DEFINICJA 6
Mówimy, że ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e właściw

,

a g ∈ R przy n

zmierzaj

,

acym do nieskończoności i zapisujemy lim

n→∞

a

n

= g wtw, gdy

∀ε > 0 ∃n

0

: ∀n > n

0

|a

n

− g| < ε.

DEFINICJA 7
Mówimy, że ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e niewłaściw

,

a +∞ ( −∞ ) przy n

zmierzaj

,

acym do nieskończoności i zapisujemy lim

n→∞

a

n

= ∞

( odpowiednio lim

n→∞

a

n

= −∞ ) wtw, gdy ∀M ∃n

0

: ∀n > n

0

a

n

> M

( odpowiednio a

n

< M ).

TWIERDZENIE 8

lim

n→∞

a

n

= 0 wtw, gdy lim

n→∞

|a

n

| = 0.

lim

n→∞

a

n

= 0 wtw, gdy lim

n→∞

1

|a

n

|

= ∞.

(Przy założeniu, że ∀n ∈ N a

n

6= 0. )

GRANICE CIĄGÓW

DEFINICJA 9
Ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

nazywamy ci

,

agiem Cauchy’ego wtw, gdy

∀ε > 0∃n

0

: ∀m, n > n

0

|a

m

− a

n

| < ε.

TWIERDZENIE 10
Każdy ci

,

ag zbieżny do granicy właściwej jest ci

,

agiem Cauchy’ego.

W zbiorze liczb rzeczywistych każdy ci

,

ag Cauchy’ego ma granic

,

e

właściw

,

a.

TWIERDZENIE 11
Ci

,

ag rosn

,

acy ( malej

,

acy ) i ograniczony z góry ( odpowiednio z dołu )

jest zbieżny do granicy właściwej.

DEFINICJA 12
Dla danego {a

n

}

∞

n=1

ci

,

agu liczbowego i ci

,

agu rosn

,

acego {n

k

}

∞
k=1

o

wyrazach naturalnych ci

,

ag {a

n

k

}

∞
k=1

nazywamy podci

,

agiem ci

,

agu

{a

n

}

∞

n=1

.

GRANICE CIĄGÓW

DEFINICJA 9
Ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

nazywamy ci

,

agiem Cauchy’ego wtw, gdy

∀ε > 0∃n

0

: ∀m, n > n

0

|a

m

− a

n

| < ε.

TWIERDZENIE 10
Każdy ci

,

ag zbieżny do granicy właściwej jest ci

,

agiem Cauchy’ego.

W zbiorze liczb rzeczywistych każdy ci

,

ag Cauchy’ego ma granic

,

e

właściw

,

a.

TWIERDZENIE 11
Ci

,

ag rosn

,

acy ( malej

,

acy ) i ograniczony z góry ( odpowiednio z dołu )

jest zbieżny do granicy właściwej.

DEFINICJA 12
Dla danego {a

n

}

∞

n=1

ci

,

agu liczbowego i ci

,

agu rosn

,

acego {n

k

}

∞
k=1

o

wyrazach naturalnych ci

,

ag {a

n

k

}

∞
k=1

nazywamy podci

,

agiem ci

,

agu

{a

n

}

∞

n=1

.

GRANICE CIĄGÓW

DEFINICJA 9
Ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

nazywamy ci

,

agiem Cauchy’ego wtw, gdy

∀ε > 0∃n

0

: ∀m, n > n

0

|a

m

− a

n

| < ε.

TWIERDZENIE 10
Każdy ci

,

ag zbieżny do granicy właściwej jest ci

,

agiem Cauchy’ego.

W zbiorze liczb rzeczywistych każdy ci

,

ag Cauchy’ego ma granic

,

e

właściw

,

a.

TWIERDZENIE 11
Ci

,

ag rosn

,

acy ( malej

,

acy ) i ograniczony z góry ( odpowiednio z dołu )

jest zbieżny do granicy właściwej.

DEFINICJA 12
Dla danego {a

n

}

∞

n=1

ci

,

agu liczbowego i ci

,

agu rosn

,

acego {n

k

}

∞
k=1

o

wyrazach naturalnych ci

,

ag {a

n

k

}

∞
k=1

nazywamy podci

,

agiem ci

,

agu

{a

n

}

∞

n=1

.

GRANICE CIĄGÓW

DEFINICJA 9
Ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

nazywamy ci

,

agiem Cauchy’ego wtw, gdy

∀ε > 0∃n

0

: ∀m, n > n

0

|a

m

− a

n

| < ε.

TWIERDZENIE 10
Każdy ci

,

ag zbieżny do granicy właściwej jest ci

,

agiem Cauchy’ego.

W zbiorze liczb rzeczywistych każdy ci

,

ag Cauchy’ego ma granic

,

e

właściw

,

a.

TWIERDZENIE 11
Ci

,

ag rosn

,

acy ( malej

,

acy ) i ograniczony z góry ( odpowiednio z dołu )

jest zbieżny do granicy właściwej.

DEFINICJA 12
Dla danego {a

n

}

∞

n=1

ci

,

agu liczbowego i ci

,

agu rosn

,

acego {n

k

}

∞
k=1

o

wyrazach naturalnych ci

,

ag {a

n

k

}

∞
k=1

nazywamy podci

,

agiem ci

,

agu

{a

n

}

∞

n=1

.

GRANICE CIĄGÓW

DEFINICJA 9
Ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

nazywamy ci

,

agiem Cauchy’ego wtw, gdy

∀ε > 0∃n

0

: ∀m, n > n

0

|a

m

− a

n

| < ε.

TWIERDZENIE 10
Każdy ci

,

ag zbieżny do granicy właściwej jest ci

,

agiem Cauchy’ego.

W zbiorze liczb rzeczywistych każdy ci

,

ag Cauchy’ego ma granic

,

e

właściw

,

a.

TWIERDZENIE 11
Ci

,

ag rosn

,

acy ( malej

,

acy ) i ograniczony z góry ( odpowiednio z dołu )

jest zbieżny do granicy właściwej.

DEFINICJA 12
Dla danego {a

n

}

∞

n=1

ci

,

agu liczbowego i ci

,

agu rosn

,

acego {n

k

}

∞
k=1

o

wyrazach naturalnych ci

,

ag {a

n

k

}

∞
k=1

nazywamy podci

,

agiem ci

,

agu

{a

n

}

∞

n=1

.

GRANICE CIĄGÓW

DEFINICJA 13
Jeżeli {a

n

k

}

∞
k=1

podci

,

ag ci

,

agu {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e właściw

,

a g przy k

zmierzaj

,

acym do nieskończoności to liczb

,

e g nazywamy punktem

skupienia tego ci

,

agu.

Jeżeli lim

n→∞

a

n

k

= ∞ ( lim

n→∞

a

n

k

= −∞) to mówimy, że ∞

( odpowiednio −∞ ) jest niewłaściwym punktem skupienia ci

,

agu

{a

n

}

∞

n=1

.

TWIERDZENIE 14
Każdy ci

,

ag ograniczony posiada właściwy punkt skupienia należ

,

acy do

[inf a

n

, sup a

n

].

TWIERDZENIE 15
Ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e g wtw, gdy g jest jedynym punktem skupienia

tego ci

,

agu.

TWIERDZENIE 16
Każdy ci

,

ag maj

,

acy granic

,

e właściw

,

a jest ograniczony.

GRANICE CIĄGÓW

DEFINICJA 13
Jeżeli {a

n

k

}

∞
k=1

podci

,

ag ci

,

agu {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e właściw

,

a g przy k

zmierzaj

,

acym do nieskończoności to liczb

,

e g nazywamy punktem

skupienia tego ci

,

agu.

Jeżeli lim

n→∞

a

n

k

= ∞ ( lim

n→∞

a

n

k

= −∞) to mówimy, że ∞

( odpowiednio −∞ ) jest niewłaściwym punktem skupienia ci

,

agu

{a

n

}

∞

n=1

.

TWIERDZENIE 14
Każdy ci

,

ag ograniczony posiada właściwy punkt skupienia należ

,

acy do

[inf a

n

, sup a

n

].

TWIERDZENIE 15
Ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e g wtw, gdy g jest jedynym punktem skupienia

tego ci

,

agu.

TWIERDZENIE 16
Każdy ci

,

ag maj

,

acy granic

,

e właściw

,

a jest ograniczony.

GRANICE CIĄGÓW

DEFINICJA 13
Jeżeli {a

n

k

}

∞
k=1

podci

,

ag ci

,

agu {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e właściw

,

a g przy k

zmierzaj

,

acym do nieskończoności to liczb

,

e g nazywamy punktem

skupienia tego ci

,

agu.

Jeżeli lim

n→∞

a

n

k

= ∞ ( lim

n→∞

a

n

k

= −∞) to mówimy, że ∞

( odpowiednio −∞ ) jest niewłaściwym punktem skupienia ci

,

agu

{a

n

}

∞

n=1

.

TWIERDZENIE 14
Każdy ci

,

ag ograniczony posiada właściwy punkt skupienia należ

,

acy do

[inf a

n

, sup a

n

].

TWIERDZENIE 15
Ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e g wtw, gdy g jest jedynym punktem skupienia

tego ci

,

agu.

TWIERDZENIE 16
Każdy ci

,

ag maj

,

acy granic

,

e właściw

,

a jest ograniczony.

GRANICE CIĄGÓW

DEFINICJA 13
Jeżeli {a

n

k

}

∞
k=1

podci

,

ag ci

,

agu {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e właściw

,

a g przy k

zmierzaj

,

acym do nieskończoności to liczb

,

e g nazywamy punktem

skupienia tego ci

,

agu.

Jeżeli lim

n→∞

a

n

k

= ∞ ( lim

n→∞

a

n

k

= −∞) to mówimy, że ∞

( odpowiednio −∞ ) jest niewłaściwym punktem skupienia ci

,

agu

{a

n

}

∞

n=1

.

TWIERDZENIE 14
Każdy ci

,

ag ograniczony posiada właściwy punkt skupienia należ

,

acy do

[inf a

n

, sup a

n

].

TWIERDZENIE 15
Ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e g wtw, gdy g jest jedynym punktem skupienia

tego ci

,

agu.

TWIERDZENIE 16
Każdy ci

,

ag maj

,

acy granic

,

e właściw

,

a jest ograniczony.

GRANICE CIĄGÓW

DEFINICJA 13
Jeżeli {a

n

k

}

∞
k=1

podci

,

ag ci

,

agu {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e właściw

,

a g przy k

zmierzaj

,

acym do nieskończoności to liczb

,

e g nazywamy punktem

skupienia tego ci

,

agu.

Jeżeli lim

n→∞

a

n

k

= ∞ ( lim

n→∞

a

n

k

= −∞) to mówimy, że ∞

( odpowiednio −∞ ) jest niewłaściwym punktem skupienia ci

,

agu

{a

n

}

∞

n=1

.

TWIERDZENIE 14
Każdy ci

,

ag ograniczony posiada właściwy punkt skupienia należ

,

acy do

[inf a

n

, sup a

n

].

TWIERDZENIE 15
Ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

ma granic

,

e g wtw, gdy g jest jedynym punktem skupienia

tego ci

,

agu.

TWIERDZENIE 16
Każdy ci

,

ag maj

,

acy granic

,

e właściw

,

a jest ograniczony.

TWIUERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

oraz istnieją granice lim

n→∞

a

n

= a oraz

lim

n→∞

b

n

= b to a ≥ b.

TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

≥ c

n

oraz istnieją granice

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= a to istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n

1

∀n > n

1

a + ε > a

n

oraz
∀ε > 0 ∃n

2

∀n > n

2

a − ε < c

n

.

Wówczas dla n > n

3

= max{n

0

, n

1

, n

2

}

a − ε < c

n

≤ b

n

≤ a

n

≤ a + ε.

Stąd istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

TWIUERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

oraz istnieją granice lim

n→∞

a

n

= a oraz

lim

n→∞

b

n

= b to a ≥ b.

TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

≥ c

n

oraz istnieją granice

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= a to istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n

1

∀n > n

1

a + ε > a

n

oraz
∀ε > 0 ∃n

2

∀n > n

2

a − ε < c

n

.

Wówczas dla n > n

3

= max{n

0

, n

1

, n

2

}

a − ε < c

n

≤ b

n

≤ a

n

≤ a + ε.

Stąd istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

TWIUERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

oraz istnieją granice lim

n→∞

a

n

= a oraz

lim

n→∞

b

n

= b to a ≥ b.

TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

≥ c

n

oraz istnieją granice

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= a to istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n

1

∀n > n

1

a + ε > a

n

oraz
∀ε > 0 ∃n

2

∀n > n

2

a − ε < c

n

.

Wówczas dla n > n

3

= max{n

0

, n

1

, n

2

}

a − ε < c

n

≤ b

n

≤ a

n

≤ a + ε.

Stąd istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

TWIUERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

oraz istnieją granice lim

n→∞

a

n

= a oraz

lim

n→∞

b

n

= b to a ≥ b.

TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

≥ c

n

oraz istnieją granice

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= a to istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n

1

∀n > n

1

a + ε > a

n

oraz
∀ε > 0 ∃n

2

∀n > n

2

a − ε < c

n

.

Wówczas dla n > n

3

= max{n

0

, n

1

, n

2

}

a − ε < c

n

≤ b

n

≤ a

n

≤ a + ε.

Stąd istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

TWIUERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

oraz istnieją granice lim

n→∞

a

n

= a oraz

lim

n→∞

b

n

= b to a ≥ b.

TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

≥ c

n

oraz istnieją granice

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= a to istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n

1

∀n > n

1

a + ε > a

n

oraz
∀ε > 0 ∃n

2

∀n > n

2

a − ε < c

n

.

Wówczas dla n > n

3

= max{n

0

, n

1

, n

2

}

a − ε < c

n

≤ b

n

≤ a

n

≤ a + ε.

Stąd istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

TWIUERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

oraz istnieją granice lim

n→∞

a

n

= a oraz

lim

n→∞

b

n

= b to a ≥ b.

TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

≥ c

n

oraz istnieją granice

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= a to istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n

1

∀n > n

1

a + ε > a

n

oraz
∀ε > 0 ∃n

2

∀n > n

2

a − ε < c

n

.

Wówczas dla n > n

3

= max{n

0

, n

1

, n

2

}

a − ε < c

n

≤ b

n

≤ a

n

≤ a + ε.

Stąd istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

TWIUERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

oraz istnieją granice lim

n→∞

a

n

= a oraz

lim

n→∞

b

n

= b to a ≥ b.

TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

≥ c

n

oraz istnieją granice

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= a to istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n

1

∀n > n

1

a + ε > a

n

oraz
∀ε > 0 ∃n

2

∀n > n

2

a − ε < c

n

.

Wówczas dla n > n

3

= max{n

0

, n

1

, n

2

}

a − ε < c

n

≤ b

n

≤ a

n

≤ a + ε.

Stąd istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

TWIUERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

oraz istnieją granice lim

n→∞

a

n

= a oraz

lim

n→∞

b

n

= b to a ≥ b.

TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

≥ c

n

oraz istnieją granice

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= a to istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n

1

∀n > n

1

a + ε > a

n

oraz
∀ε > 0 ∃n

2

∀n > n

2

a − ε < c

n

.

Wówczas dla n > n

3

= max{n

0

, n

1

, n

2

}

a − ε < c

n

≤ b

n

≤ a

n

≤ a + ε.

Stąd istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

TWIUERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 17 ( o monotoni)
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

oraz istnieją granice lim

n→∞

a

n

= a oraz

lim

n→∞

b

n

= b to a ≥ b.

TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

≥ c

n

oraz istnieją granice

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= a to istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n

1

∀n > n

1

a + ε > a

n

oraz
∀ε > 0 ∃n

2

∀n > n

2

a − ε < c

n

.

Wówczas dla n > n

3

= max{n

0

, n

1

, n

2

}

a − ε < c

n

≤ b

n

≤ a

n

≤ a + ε.

Stąd istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.