Wykład 02

Witold Obłoza

24 listopada 2010

TWIERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciągach )
Jeżeli ∃n

0

∀n > n

0

a

n

≥ b

n

≥ c

n

oraz istnieją granice

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= a to istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

DOWÓD: Z definicji granicy ∀ε > 0 ∃n

1

∀n > n

1

a + ε > a

n

oraz
∀ε > 0 ∃n

2

∀n > n

2

a − ε < c

n

.

Wówczas dla n > n

3

= max{n

0

, n

1

, n

2

}

a − ε < c

n

≤ b

n

≤ a

n

≤ a + ε.

Stąd istnieje lim

n→∞

b

n

oraz lim

n→∞

b

n

= a.

TWIERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 19
Jeżeli istnieją granice lim

n→∞

a

n

= a oraz lim

n→∞

b

n

= b to istnieją granice

lim

n→∞

(a

n

+ b

n

),

lim

n→∞

(a

n

− b

n

),

lim

n→∞

(a

n

· b

n

).

Ponadto lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = a + b,

lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = a − b,

lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = a · b.

Jeżeli b 6= 0 i ∀n ∈ N b

n

6= 0 istnieje też

lim

n→∞

a

n

b

n

oraz lim

n→∞

a

n

b

n

=

a

b

.

GRANICE SPECJALNE

TWIERDZENIE 20 Zachodz

,

a nast

,

epuj

,

ace równości

1) lim

n→∞

n

α

=











∞

gdy α > 0,

1

gdy α = 0,

0

gdy α < 0

2) lim

n→∞

n

√

A = 1, gdzie A > 0.

3) lim

n→∞

n

√

n = 1.

4) lim

n→∞

q

n

=



















+∞

gdy q > 1,

1

gdy q = 1,

0

gdy |q| < 1,

nie istnieje

gdy |q| ≤ −1.

5) Istnieje granica lim

n→∞

(1 +

1

n

)

n

= e.

GRANICE SPECJALNE

Ponadto
6) jeżeli ci

,

ag {a

n

} o wyrazach dodatnich jest ograniczony przez liczby

dodatnie to lim

n→∞

n

√

a

n

= 1,

w szczególności, jeżeli lim

n→∞

a

n

= g ∈ (0, ∞), to lim

n→∞

n

√

a

n

= 1,

7) jeżeli ∀n a

n

6= 0 i lim

n→∞

|a

n

| = ∞ to

lim

n→∞

(1 +

1

a

n

)

a

n

= e.

GRANICE SPECJALNE

DOWÓD:
1) Było na zajęciach wyrównawczych.

2) Załóżmy najpierw, że A ≥ 1. Wtedy

n

√

A = 1 + δ

n

, gdzie δ

n

≥ 0.

Mamy A = (1 + δ

n

)

n

≥ 1 + nδ

n

(z nierówności Bernoulliego).

St

,

ad

A−1

n

≥ δ

n

≥ 0 i z twierdzenia o trzech ci

,

agach lim

n→∞

δ

n

= 0. Zatem

lim

n→∞

n

√

A = lim

n→∞

(1 + δ

n

) = 1.

Jeżeli teraz A ∈ (0, 1) to

1

A

> 1 i st

,

ad

lim

n→∞

n

√

A = lim

n→∞

1

n

q

1

A

=

1

lim

n→∞

n

q

1

A

= 1

GRANICE SPECJALNE

DOWÓD:
3) Niech

n

√

n = 1 + δ

n

, gdzie δ

n

≥ 0.

Mamy ze wzoru dwumianowego Newtona:

n = (1 + δ

n

)

n

=

n

P

k=0

n
k

1

n−k

δ

k

n

≥ 1 +

n(n−1)

2

δ

2

n

.

St

,

ad

n−1

n(n−1)

≥ δ

2

n

≥ 0, a zatem

1

√

n

≥ δ

n

≥ 0

i z twierdzenia o trzech ci

,

agach lim

n→∞

δ

n

= 0.

Mamy wi

,

ec lim

n→∞

n

√

n = lim

n→∞

(1 + δ

n

) = 1.

4) Było na zajęciach wyrównawczych.

GRANICE SPECJALNE

5) Pokażemy, że ci

,

ag o wyrazach a

n

= (1 +

1

n

)

n

jest rosn

,

acy i

ograniczony z góry.

Z nierówności Bernoulliego mamy (1 −

1

n

2

)

n

≥ 1 −

1

n

, a st

,

ad

(1 +

1

n

)

n

(1 −

1

n

)

n

≥ 1 −

1

n

.

Łatwo st

,

ad widać, że

a

n

= (1 +

1

n

)

n

≥ (1 −

1

n

)

1−n

= (1 +

1

n − 1

)

n−1

= a

n−1

.

GRANICE SPECJALNE

Teraz wykażemy, że ∀n a

n

≤ 3.

Dla n ≥ 2 mamy ze wzoru dwumianowego Newtona:

a

n

= (1 +

1

n

)

n

= 1 + 1 +

n

P

k=2

n
k

1

n−k

1

n

k

=

2 +

n

P

k=2

n(n − 1) . . . (n + 1 − k)

k!n

k

=

2 +

n

P

k=2

1

k!

(n − 1)

n

(n − 1)

n

(n − 2)

n

. . .

(n + 1 − k)

n

≤ 2 +

n

P

k=2

1

k!

≤

2 +

n

P

k=2

1

2

k−1

≤ 2 +

1

2

1 − (

1
2

)

n−1

1 −

1
2

≤ 3.

Ci

,

ag (1 +

1

n

)

n

ma wi

,

ec granic

,

e oznaczamy j

,

a liter

,

a e.

GRANICE SPECJALNE

DOWÓD:
6) Jeżeli 0 < L ≤ a

n

≤ K to

n

√

L ≤

n

√

a

n

≤

n

√

K.

Mamy lim

n→∞

n

√

L = lim

n→∞

n

√

K = 1 z twierdzenia o trzech ci

,

agach

lim

n

√

a

n

= 1.

GRANICE SPECJALNE

DOWÓD:
7) Założymy najpierw, że lim

n→∞

a

n

= ∞.

Określamy ci

,

ag liczb naturalnych p

n

< a

n

≤ p

n

+ 1.

Oczywiście lim

n→∞

p

n

= ∞.

Mamy nierówności (1 +

1

p

n

+ 1

)

p

n

≤ (1 +

1

a

n

)

a

n

≤ (1 +

1

p

n

)

p

n

+1

.

Z uwagi na równości (1 +

1

p

n

+ 1

)

p

n

= (1 +

1

p

n

+ 1

)

p

n

+1

1

1 +

1

p

n

+ 1

oraz

(1 +

1

p

n

)

p

n

+1

= (1 +

1

p

n

)

p

n

(1 +

1

p

n

)

1

skrajne ci

,

agi maj

,

a granic

,

e równ

,

a e.

GRANICE SPECJALNE

Z twierdzenia o trzech ci

,

agach granic

,

a środkowego też jest e.

Jeżeli teraz a

n

< 0 to (1 +

1

a

n

)

a

n

= (1 +

1

|a

n

| − 1

)

|a

n

|−1

(1 +

1

|a

n

| − 1

)

Łatwo widać, że granica prawej strony przy |a

n

| zmierzającym do

nieskończoności w powyższej równości jest równa e.

SYMBOLE OZNACZONE

DEFINICJA 22
Mówimy, że ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

zmierza do 0 po wartościach dodatnich

( ujemnych ) wtw, gdy ∃n

0

∀n > n

0

a

n

> 0 ( odpowiednio ∃n

0

∀n > n

0

a

n

< 0 ) oraz lim

n→∞

a

n

= 0. Zapisujemy lim

n→∞

a

n

= 0

+

( odpowiednio

lim

n→∞

a

n

= 0

−

).

TWIERDZENIE 23
Jeżeli lim

n→∞

a

n

= 0

+

, lim

n→∞

b

n

= 0

−

lim

n→∞

c

n

= c > 0, lim

n→∞

d

n

= d < 0

lim

n→∞

p

n

= +∞, lim

n→∞

q

n

= −∞ to

lim

n→∞

c

n

a

n

= ∞,

lim

n→∞

c

n

b

n

= −∞,

lim

n→∞

d

n

a

n

= −∞,

lim

n→∞

d

n

b

n

= ∞,

lim

n→∞

p

n

a

n

= ∞,

lim

n→∞

p

n

b

n

= −∞,

lim

n→∞

q

n

a

n

= −∞,

lim

n→∞

q

n

b

n

= ∞,

lim

n→∞

p

n

· c

n

= ∞,

lim

n→∞

p

n

· d

n

= −∞,

lim

n→∞

q

n

· c

n

= −∞,

lim

n→∞

q

n

· d

n

= ∞.

SYMBOLE OZNACZONE

TWIERDZENIE 23
Jeżeli lim

n→∞

c

n

= c ≥ 0, lim

n→∞

p

n

= +∞, lim

n→∞

q

n

= −∞ i c < 1 to

lim

n→∞

c

p

n

n

= 0,

lim

n→∞

c

q

n

n

= ∞,

gdy c > 1 to

lim

n→∞

c

q

n

n

= 0,

lim

n→∞

c

p

n

n

= ∞.

UWAGA 24 Na mocy powyższego twierdzenia symbole

a

0

+

,

a

0

−

,

±∞

0

+

,

±∞

0

−

, ±∞ · a oraz c

±∞

dla c 6= 1 s

,

a symbolami

oznaczonymi.

SYMBOLE NIEOZNACZONE

TWIERDZENIE 25
Symbolami nieoznaczonymi s

,

a

0 · (±∞),

0

0

,

∞
∞

, ∞ − ∞, 0

0

, ∞

0

, 1

±∞

.