Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
1
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
Z10/1.1. Zadanie 1
W punkcie A przekroju przedstawionego na rysunku Z10/1.1 działa siła normalna -200,0 kN. Nary-sować wykres naprężenia normalnego σX w tym przekroju. Następnie wyznaczyć rdzeń przekroju. Wszystkie wymiary przekroju podane są w centymetrach. Przekrój posiada jedną oś symetrii.
4,0
12,0
4,0
4,0
5,0
15,0
A
4,0
12,0
4,0
[cm]
Rys. Z10/1.1. Przekrój pręta obciążony mimośrodowo Z10/1.2. Wyznaczenie charakterystyk geometrycznych przekroju Rysunek Z10/1.2 przedstawia podział przekroju na figury składowe. Na rysunku tym zaznaczony jest także początkowy układ współrzędnych. Oś ZP tego układu pokrywa się z osią symetrii przekroju.
4,0
12,0
4,0
2,0
YP
0
0
sc1
4,
4,
05,
14,0
19,0
,0
sc
20
2
,015
sc3
ZP
4,0
12,0
4,0
[cm]
20,0
Rys. Z10/1.2. Podział przekroju na figury składowe Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
2
Zgodnie z rysunkiem Z10/1.2 pole powierzchni przekroju pręta wynosi 1
A=12,0⋅4,020,0⋅20,0− ⋅12,0⋅15,0=358,0 cm 2 .
(Z10/1.1)
2
Współrzędne z środków ciężkości poszczególnych figur składowych wynoszą 4,0
z =
=2,0 cm ,
(Z10/1.2)
P1
2
20,0
z =4,0
=14,0 cm ,
(Z10/1.3)
P2
2
2
z =4,05,0 ⋅15,0=19,0 cm .
(Z10/1.4)
P3
3
Zgodnie ze wzorem (6.14) współrzędna z środka ciężkości przekroju wynosi 1
12,0⋅4,0⋅2,020,0⋅20,0⋅14,0− ⋅15,0⋅12,0⋅19,0
2
z =
=11,13 cm .
(Z10/1.5)
C
12,0
1
⋅4,020,0⋅20,0− ⋅15,0⋅12,0
2
Rysunek Z10/1.3 przedstawia położenie środka ciężkości przekroju.
4,0
6,0
6,0
4,0
04,
4,0
,1311
5,0
Y=Ygl
,020
,87
15,0
12
Z=Zgl
4,0
6,0
6,0
4,0
[cm]
10,0
10,0
Rys. Z10/1.3. Położenie środka ciężkości przekroju Oś Z=Zgl jest osią główną, ponieważ jest ona osią symetrii przekroju, a jak wiadomo w układzie, w którym przynajmniej jedna oś jest osią symetrii moment dewiacyjny wynosi zero. Moment ten jest równy Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
3
zero także w układzie osi głównych. Rysunek Z10/1.4 przedstawia podział przekroju na figury składowe. Jak widać na nim współrzędne y wszystkich środków ciężkości wynoszą zero. Współrzędne z możemy wyznaczyć z zależności
4,0
12,0
4,0
Y01
0
sc1
4,
4,0
,13
3
11
Z01
9,1
5,0
Y=Y
87
gl
2,
Y02
,0
7
sc
20
2
7,8
,87
15,0
12
Y03
sc3
Z=Z =Z =Z
02
03
gl
4,0
12,0
4,0
[cm]
20,0
Rys. Z10/1.4. Podział przekroju na figury składowe z =2,0−11,13=−9,13 cm
01
,
(Z10/1.6)
z =14,0−11,13=2,87 cm
02
,
(Z10/1.7)
z =19,0−11,13=7,87 cm
03
.
(Z10/1.8)
Zgodnie z wzorami (6.31) i (6.32) główne momenty bezwładności przekroju wynoszą 12,0⋅4,03
J = J =
−9,132⋅12,0⋅4,0
Y
Ygl
12
20,0⋅20,03
2,872⋅20,0⋅20,0
,
(Z10/1.9)
12
1
−12,0⋅15,037,872⋅ ⋅12,0⋅15,0=13990 cm 4
36
2
4,0⋅12,03
J = J
=
0,02⋅12,0⋅4,0
Z
Zgl
12
20,0⋅20,03
0,02⋅20,0⋅20,0
12
.
(Z10/1.10)
1
−15,0⋅12,030,02⋅ ⋅12,0⋅15,0=13370 cm 4
48
2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
4
Z10/1.3. Wykres naprężenia normalnego
Rysunek Z10/1.5 przedstawia położenie punktu przyłożenia siły normalnej o wartości -200,0 kN
w przekroju pręta. Mimośrody wynoszą więc y =−10,0 cm
N
,
(Z10/1.11)
z =12,87 cm
N
.
(Z10/1.12)
Zgodnie z (10.3) i (10.4) momenty zginające wynoszą M =−200,0⋅12,87=−2574 kNcm
Y
,
(Z10/1.12)
M =−−200,0 ⋅−10,0=−2000 kNcm Z
.
(Z10/1.13)
Jak więc widać oba momenty zginające są ujemne. Momenty te przedstawia także rysunek Z10/1.5.
4,0
6,0
6,0
4,0
04,
4,0
,1311
2000 kNcm
5,0
Y=Y
2574 kNcm
gl
,020
,87
15,0
12
Z=Zgl
A
4,0
6,0
6,0
4,0
[cm]
10,0
10,0
Rys. Z10/1.5. Momenty zginające w przekroju pręta Zgodnie z (10.16) funkcja naprężenia normalnego będzie miała postać
−200,0
−2000
−2574
=
−
⋅ y
⋅ z ,
(Z10/1.14)
X
358,0
13370
13990
=−0,55870,1496⋅ y−0,1840⋅ z
X
.
(Z10/1.15)
Równanie osi obojętnej będzie miało postać Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
5
−0,55870,1496⋅ y−0,1840⋅ z=0 , (Z10/1.16)
które możemy przedstawić w postaci
0,1496⋅ y−0,1840⋅ z=0,5587 .
(Z10/1.17)
Po podzieleniu przez wyraz wolny otrzymamy 0,2678⋅ y −0,3293⋅ z=1 .
(Z10/1.18)
Postać odcinkowa osi obojętnej będzie miała postać y
z
=1 .
(Z10/1.19)
3,734 −3,037
Współrzędne odcinkowe osi obojętnej wynoszą więc y =3,734 cm
0
,
(Z10/1.20)
z =−3,037 cm
0
.
(Z10/1.21)
Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/1.6. Na rysunku tym widać, że najdalej oddalonymi punktami od osi obojętnej są punkty A i B. Naprężenia normalne w tych punktach wynoszą kN
A
X =−0,55870,1496⋅−10,0 − 0,1840⋅12,87=−4,423
=−44,23 MPa ,
(Z10/1.22)
cm 2
kN
B=−0,55870,1496⋅6,0−0,1840⋅−11,13=2,387
=23,87 MPa
X
.
(Z10/1.23)
cm 2
Wykres naprężenia normalnego w przekroju przedstawia rysunek Z10/1.7.
Z10/1.4. Wyznaczenie rdzenia przekroju Zgodnie z wzorami (10.22) i (10.23) kwadraty promieni bezwładności względem osi Y=Ygl oraz Z=Zgl wynoszą
13990
i 2=
=39,08 cm ,
(Z10/1.24)
Y
358,0
13370
i 2 =
=37,35 cm .
(Z10/1.25)
Z
358,0
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
6
4,0
6,0
6,0
4,0
B
3
37
3,734
11,1
3,0
Y=Ygl
7
12,8
Z=Zgl
[cm]
A
10,0
10,0
Rys. Z10/1.6. Położenie osi obojętnej 23,87
0,0
5,587
B
44,23
Y=Ygl
σ X a]
[MP
Z=Zgl
A
Rys. Z10/1.7. Wykres naprężenia normalnego w przekroju Ponieważ przekrój jest symetryczny wyznaczymy tylko osie obojętne dla punktów znajdujących się po lewej stronie osi Z=Zgl, która jest osią symetrii tego przekroju. Rysunek Z10/1.8 przedstawia wszystkie wierz-chołki zastępczego konturu wypukłego opisanego na przekroju, dla których powinniśmy wyznaczyć położenie odpowiadających im osi obojętnych. My wykorzystamy tylko punkty 1, 2 i 3.
Współrzędne punktu 1 wynoszą
y1=6,0 cm , z1=−11,13 cm .
(Z10/1.26)
N
N
Współrzędne odpowiadającej osi obojętnej wynoszą więc Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
7
4,0
6,0
6,0
4,0
1
4
04,
4,0
2
5
,1311
5,0
Y=Ygl
,020
,87
15,0
12
3
6
Z=Zgl
4,0
6,0
6,0
4,0
[cm]
10,0
10,0
Rys. Z10/1.8. Wierzchołki zastępczego konturu wypukłego opisanego na przekroju 37,35
y1=−
=−6,225 cm ,
(Z10/1.27)
0
6,0
39,08
z1=−
=3,511 cm .
(Z10/1.28)
0
−11,13
Położenie tej osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/1.9.
4,0
6,0
6,0
4,0
1
3
6,225
11,1
11
Y=Ygl
3,5
7
12,8
Z=Zgl
[cm]
10,0
10,0
Rys. Z10/1.9. Oś obojętna odpowiadająca punktowi numer 1
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
8
Współrzędne punktu 2 wynoszą
y2=10,0 cm , z2=−7,13 cm .
(Z10/1.29)
N
N
Współrzędne odpowiadającej osi obojętnej wynoszą więc 37,35
y2=−
=−3,735 cm ,
(Z10/1.30)
0
10,0
39,08
z2=−
=5,481 cm .
(Z10/1.31)
0
−7,13
Położenie tej osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/1.10.
4,0
6,0
6,0
4,0
3
2
3,735
11,1
Y=Ygl
4815,
7
12,8
Z=Z
[cm]
gl
10,0
10,0
Rys. Z10/1.10. Oś obojętna odpowiadająca punktowi numer 2
Współrzędne punktu 3 wynoszą
y3=10,0 cm , z3=12,87 cm .
(Z10/1.32)
N
N
Współrzędne odpowiadającej osi obojętnej wynoszą więc 37,35
y3=−
=−3,735 cm ,
(Z10/1.33)
0
10,0
39,08
z3=−
=−3,037 cm .
(Z10/1.34)
0
12,87
Położenie tej osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/1.11.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1
9
4,0
6,0
6,0
4,0
3
037
3,735
11,1
3,
Y=Ygl
7
12,8
3
Z=Zgl
10,0
10,0
[cm]
Rys. Z10/1.11. Oś obojętna odpowiadająca punktowi numer 3
Rysunek Z10/1.12 a) przedstawia wszystkie trzy osie obojętne odpowiadające punktom numer 1, 2 i 3.
Obszar leżący pomiędzy tymi osiami a osią Z=Zgl jest połową szukanego rdzenia przekroju. Rysunek Z10/1.12 b) przedstawia cały rdzeń przekroju.
a)
b)
4,0
6,0
6,0
4,0
4,0
6,0
6,0
4,0
3
3
11,1
11,13
2
Y=Y
Y=Y
gl
1
gl
3
7
1
12,8
12,87
2
Z=Z
[cm]
Z=Z
gl
gl
[cm]
10,0
10,0
10,0
10,0
Rys. Z10/1.12. Rdzeń przekroju
Dr inż. Janusz Dębiński