WM

Z14/1. TENSOMETRIA ELEKTROOPOROWA - OPRACOWANIE

1

Z14/1. TENSOMETRIA ELEKTROOPOROWA - OPRACOWANIE

Z14/1.1. Opis ćwiczenia

Ćwiczenie laboratoryjne polegało na pomiarze odkształceń liniowych

ε

X

za pomocą tensometrów

elektrooporowych. Następnie na podstawie równań fizycznych wyznaczymy wartości naprężeń normalnych

σ

X

. Wartości naprężeń normalnych

σ

X

wyznaczone doświadczalnie porównamy następnie z wartościami

obliczonymi na postawie teorii zginania. Ponadto w ćwiczeniu mierzyliśmy ugięcia za pomocą czujników
zegarowych. Wartości ugięć wyznaczone doświadczalnie porównamy następnie z wartościami obliczonymi
metodą Clebscha.

Z14/1.2. Odkształcenie liniowe i naprężenie normalne

Rysunek Z14/1.1 przedstawia wymiary badanej belki oraz wykresy siły poprzecznej i momentu

zginającego. Rysunek Z14/1.2 przedstawia rozmieszczenie tensometrów elektrooporowych na wysokości
przekroju belki. Przekrojem belki jest dwuteownik 160. Moment bezwładności przekroju belki względem
głównej osi bezwładności Y=Y

gl

wynosi

J

Y

=

935 cm

4

.

(Z14/1.1)

A

A

[cm]

95,0

95,0

50,0

130,0

110,0

240,0

T

M

0,0

P

2

P

2

P

2

P

2

47,5⋅P

P

2

P

2

Rys. Z14/1.1. Badana belka swobodnie podparta

Tabela Z14/1.1 przedstawia wartości odkształceń liniowych

ε

X

pomierzonych w punktach 1, 2, 3, 4 i 5

przekroju belki za pomocą tensometrów elektrooporowych.

Rysunek Z14/1.3 przedstawia wykres zależności pomiędzy odkształceniem liniowym

ε

X

a siłą P dla

punktów numer 1, 2, 4 i 5 przekroju belki. Jak widać zależności przedstawione na tym wykresie są liniowe.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z14/1. TENSOMETRIA ELEKTROOPOROWA - OPRACOWANIE

2

Z=Z

gl

Y=Y

gl

16

,0

1

5

2

3

4

[cm]

4,

0

4,

0

4,

0

4,

0

A - A

Rys. Z14/1.2. Rozmieszczenie tensometrów na wysokości przekroju belki

Tabela Z14/1.1. Doświadczalne wartości odkształcenia

ε

X

pomierzone w punktach od 1 do 5 przekroju belki.

Siła P

Odkształcenia

ε

X

Punkt 1

Punkt 2

Punkt 3

Punkt 4

Punkt 5

[kN]

[‰]

[‰]

[‰]

[‰]

[‰]

0,0

0,003

0,002

-0,001

0,001

-0,002

12,4

-0,241

-0,125

0,003

0,121

0,252

25,3

-0,510

-0,248

0,004

0,254

0,499

39,6

-0,782

-0,390

0,004

0,397

0,790

P [kN]

40,0

30,0

20,0

10,0

0,0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-0,2

-0,4

-0,6

-8,0

-1,0

Punkt 1

Punkt 2

Punkt 4

Punkt 5

ε

X

[‰]

Rys. Z14/1.3. Wykres zależności pomiędzy odkształceniem liniowym

ε

X

a siłą P w punktach 1, 2, 4 i 5 przekroju belki

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z14/1. TENSOMETRIA ELEKTROOPOROWA - OPRACOWANIE

3

Moduł Younga dla stali, z której wykonana jest belka badana w naszym doświadczeniu, przyjmiemy

równy

E=205GPa=205000 MPa

.

(Z14/1.2)

Dla siły P = 39,6 kN bezwzględne odkształcenie liniowe

ε

X

w punkcie 1 wynosi



X



1

=−

0,782−0,003=−0,785 =−0,000785

.

(Z14/1.3)

Dla siły P = 39,6 kN bezwzględne odkształcenie liniowe

ε

X

w punkcie 2 wynosi



X



2

=−

0,390−0,002=−0,392 =−0,000392

.

(Z14/1.4)

Dla siły P = 39,6 kN bezwzględne odkształcenie liniowe

ε

X

w punkcie 3 wynosi



X



3

=

0,004−



−

0,001



=

0,005 =0,000005

.

(Z14/1.5)

Dla siły P = 39,6 kN bezwzględne odkształcenie liniowe

ε

X

w punkcie 4 wynosi



X



4 

=

0,397−0,001=0,396 =0,000396

.

(Z14/1.6)

Dla siły P = 39,6 kN bezwzględne odkształcenie liniowe

ε

X

w punkcie 5 wynosi



X



5

=

0,790−



−

0,002



=

0,792 =0,000792

.

(Z14/1.7)

Doświadczalne naprężenie normalne

σ

X

wyznaczymy ze wzoru (14.4). Teoretycznie naprężenie normalne

w punktach od 1 do 5 wyznaczymy na podstawie wzorów (14.3) i (14.6). Funkcja naprężenia normalnego na
wysokości przekroju belki będzie miała postać



X

=

47,5⋅39,6

935

⋅

z =2,012⋅z

.

(Z14/1.8)

Tabela Z14/1.2 przedstawia porównanie wartości naprężenia normalnego

σ

X

wyznaczonego doświad-

czalnie i teoretycznie. Rysunek Z14/1.4 przedstawia teoretyczny wykres zmienności naprężenia normalnego
na wysokości przekroju belki oraz doświadczalnie wyznaczone w punktach od 1 do 5 naprężenia normalne

σ

X

.

Z14/1.3. Ugięcia belki

Rysunek Z14/1.5 przedstawia położenie czujników zegarowych służących do odczytu ugięć belki

swobodnie podpartej.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z14/1. TENSOMETRIA ELEKTROOPOROWA - OPRACOWANIE

4

Tabela Z14/1.2. Doświadczalne i teoretyczne wartości naprężenia normalnego

σ

X

w punktach od 1 do 5

przekroju belki dla siły P = 39,6 kN.

Dane przekroju belki

Wartości doświadczalne

Wartości teoretyczne

Numer punktu

z

ε

X

σ

X

σ

X

[cm]

[-]

[MPa]

[kN/cm

2

]

[MPa]

1

-8,0

-0,000785

-160,9

-16,10

-161,0

2

-4,0

-0,000392

-80,36

-8,048

-80,48

3

0,0

0,000005

1,025

0,0

0,0

4

4,0

0,000396

81,18

8,048

80,48

5

8,0

0,000792

162,4

16,10

161,0

z [cm]

-8,0

-4,0

0,0

4,0

8,0

0,0

50

100

150

200

-50

-100

-150

-200

Teoria

Doświadczenie

σ

X

[MPa]

Rys. Z14/1.4. Porównanie doświadczalnych i teoretycznych wartości naprężenia normalnego

σ

X

w punktach od 1 do 5

przekroju belki dla siły P = 39,6 kN

Moduł Younga dla stali, z której wykonana jest badana w doświadczeniu belka, wynosi

E=205 GPa=205.000 MPa=20500

kN

cm

2

.

(Z14/1.9)

Sztywność belki na zginanie wynosi

E⋅J

Y

=

20500⋅935=19.170.000 kNcm

2

.

(Z14/1.10)

Tabela Z14/1.3 przedstawia wartości względne (w układzie czujnika zegarowego) i rzeczywiste ugięć

w punktach 1, 2 i 3 belki. Wartości rzeczywiste ugięć dla sił P większych od zera wyznaczymy z nastę-
pującego wzoru

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z14/1. TENSOMETRIA ELEKTROOPOROWA - OPRACOWANIE

5

1

[cm]

95,0

95,0

50,0

60,0

240,0

60,0

60,0

60,0

2

3

P

2

P

2

P

2

P

2

Rys. Z14/1.5. Rozmieszczenie czujników zegarowych służących do pomiaru ugięć

Tabela Z14/1.3. Ugięcia pomierzone doświadczalnie w punktach 1, 2 i 3.

Siła P

Punkt 1

Punkt 2

Punkt 3

w

0i

w

i

w

0i

w

i

w

0i

w

i

[kN]

[mm]

[mm]

[mm]

[mm]

[mm]

[mm]

0,0

1,23

0,00

3,36

0,00

2,53

0,00

12,4

2,42

1,19

5,18

1,82

3,82

1,29

25,3

3,83

2,60

6,99

3,63

4,97

2,44

39,6

5,24

4,01

8,90

5,54

6,49

3,96

w

i

=

w

0i

−

w

0

,

(Z14/1.11)

w którym w

i

oznacza ugięcie dla i-tej siły P, w

0i

oznacza wartość odczytaną na czujniku zegarowym dla i-tej

siły P, w

0

oznacza wartość odczytaną na czujniku zegarowym dla siły P = 0,0 kN. Rysunki od Z14/1.6 do

Z14/1.8 przedstawiają wykresy zależności ugięcia w punktach 1, 2 i 3 belki od siły P. Jak widać dla
wszystkich punktów zależności te są liniowe. Linię ugięcia belki opisuje równanie (14.21). Uwzględniając
wartość sztywności na zginanie (Z14/1.10) ugięcia w miejscu czujników 1, 2 i 3 wynoszą (wymiary belki
swobodnie podpartej są takie same jak w rozdziale 14)

w

1

=

1

19.170.000

⋅

[

3444⋅P⋅60,0 −

P⋅60,0

3

12

]

=

0,009840⋅P

.

(Z14/1.12)

w

2

=

1

19.170.000

⋅

[

3444⋅P⋅120,0 −

P⋅120,0

3

12



P⋅



120,0−95,0



3

12

]

=

0,01411⋅P

.

(Z14/1.13)

w

3

=

1

19.170.000

⋅

[

3444⋅P⋅180 ,0 −

P⋅180,0

3

12



P⋅



180,0−95,0



3

12



P⋅



180,0−145,0



3

12

]

=

0,009842⋅P≈0,009840⋅P=w

1

.

(Z14/1.14)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z14/1. TENSOMETRIA ELEKTROOPOROWA - OPRACOWANIE

6

P [kN]

40,0

30,0

20,0

10,0

0,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

w [mm]

Rys. Z14/1.6. Wykres zależności ugięcia w punkcie 1 od siły P

P [kN]

40,0

30,0

20,0

10,0

0,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

w [mm]

Rys. Z14/1.7. Wykres zależności ugięcia w punkcie 2 od siły P

Tabela Z14/1.4 przedstawia porównanie ugięć wyznaczonych doświadczalnie i teoretycznie ze

wzorów (Z14/1.12), (Z14/1.13) i (Z14/1.14) dla maksymalnej siły P = 39,6 kN.

Rysunek Z14/1.9 przedstawia porównanie teoretycznej linii ugięcia oraz wartości ugięć otrzymanych

drogą doświadczalną w punktach 1, 2 i 3 dla siły P = 39,6 kN. Linię ugięcia możemy otrzymać na podstawie
załączonego do niniejszego opracowania arkusza kalkulacyjnego, w którym zastosowana jest metoda
Clebscha opisana w rozdziale 14. W arkuszu tym należy wypełnić tylko zielone pola.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z14/1. TENSOMETRIA ELEKTROOPOROWA - OPRACOWANIE

7

P [kN]

40,0

30,0

20,0

10,0

0,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

w [mm]

Rys. Z14/1.8. Wykres zależności ugięcia w punkcie 3 od siły P

w [cm]

x [cm]

0

60

120

180

240

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

Teoria

Doświadczenie

Rys. Z14/1.9. Porównanie teoretycznej linii ugięcia i wartości doświadczalnych w punktach 1, 2 i 3 belki

Tabela Z14/1.4. Porównanie ugięć wyznaczonych doświadczalnie i teoretycznie dla siły P = 39,6 kN.

Numer punktu

Wartości doświadczalne

Wartości teoretyczne

[mm]

[cm]

[cm]

1

4,01

0,401

0,390

2

5,54

0,554

0,559

3

3,96

0,396

0,390

Dr inż. Janusz Dębiński