Zestaw 6
Topologiczne sprzężenie
6.1. (Z) Rozważmy funkcję kwadratową f (x) = Ax
2
+ Bx + C, x ∈ R. Wykaż, że istnieją takie
liczby α, β, c ∈ R, że funkcja liniowa τ (x) = αx + β jest topologicznym sprzężeniem funkcji f z
funkcją kwadratową q
c
(x) = x
2
+ c.
6.2. (Z) Znajdź funkcję kwadratową postaci q(x) = x
2
+ c, która jest topologicznie sprzężona z
odwzorowaniem logistycznym L(x) = 4x(1 − x).
6.3. Rozważmy rodzinę funkcji f
m
: R → R, m ∈ R
+
, określonych następująco
∀
x∈R
f
m
(x) = mx,
m > 0.
a) (Z) Wykaż, że jeżeli a ∈ (0, 1) i b ∈ (1, ∞), to funkcje f
a
, f
1
, f
b
nie są parami topologicznie
sprzężone.
b) Wykaż, że jeżeli a, b ∈ (0, 1), to f
a
∼ f
b
.
c) Wykaż, że jeżeli a, b ∈ (1, ∞), to f
a
∼ f
b
.
6.4. (Z) Dla liczb a, b ∈ R definiujemy funkcję f
a, b
: R → R wzorem
∀
x∈R
f
a, b
(x) = ax + b.
Wykaż, że dla dowolnych liczb a, b, b
1
, b
2
∈ R:
a) a 6= 1 ⇒ ∀
b∈R
f
a, b
∼ f
a, 0
,
b) b
1
, b
2
6= 0 ⇒ f
1, b
1
∼ f
1, b
2
,
c) b 6= 0 ⇒ f
1, b
6∼ f
1, 0
.