Topologiczne sprzężenie
6.1
Definicja i przykłady
Definicja 1. Załóżmy, że X i Y są przestrzeniami metrycznymi i f : X → X oraz g : Y → Y
są odwzorowaniami ciągłymi. Jeżeli istnieje taki homeomorfizm τ : X → Y , że τ ◦ f = g ◦ τ , to mówimy, że odwzorowania f i g (lub kaskady generowane przez f i g) są topologicznie sprzężone, zaś homeomorfizm τ nazywamy topologicznym sprzężeniem f i g. Zapisujemy ten fakt: f ∼τ g lub, po prostu, f ∼ g.
Przykład 1 . Niech a, b ∈ R. Rozważmy dwa odwzorowania stałe f ( x) = a i g( x) = b dla x ∈ R.
Topologicznym sprzężeniem funkcji f i g jest homeomorfizm τ : R → R zdefiniowany wzorem τ ( x) = x + b − a dla x ∈ R.
Przykład 2 . Odwzorowanie logistyczne L( x) = 4 x(1 − x), x ∈ [0 , 1], oraz odwzorowanie trójkątne T ( x) = 1 − | 2 x − 1 |, x ∈ [0 , 1], są topologicznie sprzężone za pomocą homeomorfizmu τ : [0 , 1] →
[0 , 1] zdefiniowanego wzorem τ ( x) = cos2 π (1 − x) dla x ∈ [0 , 1].
2
6.2
Własności
Twierdzenie 1. Niech X, Y , Z będą przestrzeniami metrycznymi oraz f : X → X, g : Y → XY
i h : Z → Z będą odwzorowaniami ciągłymi. Wówczas 1) f ∼ f ,
2) f ∼ g = ⇒ g ∼ f ,
3) ( f ∼ g ∧ g ∼ h) = ⇒ f ∼ h.
Twierdzenie 2. Niech τ : X → Y będzie topologicznym sprzężeniem funkcji ciągłych f : X → X
i g : Y → Y . Wówczas
∀n∈ τ ◦ f n = gn ◦ τ.
N
1
Twierdzenie 3. Niech X i Y będą przestrzeniami metrycznymi. Niech τ : X → Y będzie topologicznym sprzężeniem funkcji ciągłych f : X → X i g : Y → Y . Wówczas 1) ∀k∈ τ [Per
N
k ( f )] = Per k ( g) , 2) ∀k∈ ∀
( p)] = W s
N
p∈ Per( f ) τ [ W s f
g ( p) ,
3) Per( f ) = X ⇔ Per( g) = Y , 4) f jest odwzorowaniem mieszającym w X ⇔ g jest odwzorowaniem mieszającym w X, 5) f ma gęstą orbitą w X ⇔ g ma gęstą orbitę w X.
Przykład 3 . Niech funkcje f, g, h : [0 , 1] → [0 , 1] będę zdefiniowane wzorami: 1
7
f ( x) =
x(1 − x) ,
g( x) = 2 x(1 − x) , h( x) =
x(1 − x) .
2
2
Jak łatwo sprawdzić
1
5
Fix( f ) = { 0 },
Fix( g) =
0 ,
,
Fix( h) =
0 ,
.
2
7
Na mocy pierwszego punktu tezy twierdzenia 3 wynika stąd, że f 6∼ g i f 6∼ h, bo odwzorowanie f ma tylko jeden punkt stały. Dla odwzorowań g i h zauważmy, że
1
7
5
3
g0(0) = − 4 ,
g0
= 0
h0(0) =
,
h0
= − ,
2
2
7
2
a więc g ma jeden przyciągający i jeden odpychający punkt stały, zaś h ma dwa odpychające punkty stałe. Wobec tego g 6∼ h na mocy drugiego punktu tezy twierdzenia 3.
6.3
Topologiczne sprzężenie i chaos
Z trzech ostatnich punktów tezy twierdzenia 3 wynika natychmiast następujące twierdzenie.
Twierdzenie 4. Niech τ : X → Y będzie topologicznym sprzężeniem funkcji ciągłych f : X → X
i g : Y → Y . Wówczas f jest odwzorowaniem chaotycznym w X wtedy i tylko wtedy, gdy g jest odwzorowaniem chaotycznym w Y .
Przykład 4 . Wykazaliśmy bezpośrednio, że odwzorowanie trójkątne T ( x) = 1 − | 2 x − 1 |, x ∈ [0 , 1], jest chaotyczne. Z przykładu 2 wynika, że jest ono sprzężone z odwzorowaniem logistycznym L( x) =
4 x(1 − x), x ∈ [0 , 1]. Wobec tego, odwzorowanie logistyczne jest chaotyczne, na mocy ostatniego twierdzenia.
2