Wykład 6

Topologiczne sprzężenie

6.1

Definicja i przykłady

Definicja 1. Załóżmy, że X i Y są przestrzeniami metrycznymi i f : X → X oraz g : Y → Y

są odwzorowaniami ciągłymi. Jeżeli istnieje taki homeomorfizm τ : X → Y , że τ ◦ f = g ◦ τ , to

mówimy, że odwzorowania f i g (lub kaskady generowane przez f i g) są topologicznie sprzężone,

zaś homeomorfizm τ nazywamy topologicznym sprzężeniem f i g. Zapisujemy ten fakt: f ∼

τ

g lub,

po prostu, f ∼ g.

Przykład 1. Niech a, b ∈ R. Rozważmy dwa odwzorowania stałe f (x) = a i g(x) = b dla x ∈ R.

Topologicznym sprzężeniem funkcji f i g jest homeomorfizm τ : R → R zdefiniowany wzorem

τ (x) = x + b − a dla x ∈ R.

Przykład 2. Odwzorowanie logistyczne L(x) = 4x(1 − x), x ∈ [0, 1], oraz odwzorowanie trójkątne

T (x) = 1 − |2x − 1|, x ∈ [0, 1], są topologicznie sprzężone za pomocą homeomorfizmu τ : [0, 1] →

[0, 1] zdefiniowanego wzorem τ (x) = cos

2 π

2

(1 − x) dla x ∈ [0, 1].

6.2

Własności

Twierdzenie 1. Niech X, Y , Z będą przestrzeniami metrycznymi oraz f : X → X, g : Y → XY

i h : Z → Z będą odwzorowaniami ciągłymi. Wówczas

1) f ∼ f ,

2) f ∼ g =⇒ g ∼ f ,

3) (f ∼ g ∧ g ∼ h) =⇒ f ∼ h.

Twierdzenie 2. Niech τ : X → Y będzie topologicznym sprzężeniem funkcji ciągłych f : X → X

i g : Y → Y . Wówczas

∀

n∈N

τ ◦ f

n

= g

n

◦ τ.

1

Twierdzenie 3. Niech X i Y będą przestrzeniami metrycznymi. Niech τ : X → Y będzie topolo-

gicznym sprzężeniem funkcji ciągłych f : X → X i g : Y → Y . Wówczas

1) ∀

k∈N

τ [Per

k

(f )] = Per

k

(g),

2) ∀

k∈N

∀

p∈Per

(

f )

τ [W

s

f

(p)] = W

s

g

(p),

3) Per(f ) = X ⇔ Per(g) = Y ,

4) f jest odwzorowaniem mieszającym w X ⇔ g jest odwzorowaniem mieszającym w X,

5) f ma gęstą orbitą w X ⇔ g ma gęstą orbitę w X.

Przykład 3. Niech funkcje f, g, h : [0, 1] → [0, 1] będę zdefiniowane wzorami:

f (x) =

1

2

x(1 − x),

g(x) = 2x(1 − x),

h(x) =

7

2

x(1 − x).

Jak łatwo sprawdzić

Fix(f ) = {0},

Fix(g) =



0,

1

2



,

Fix(h) =



0,

5

7



.

Na mocy pierwszego punktu tezy twierdzenia 3 wynika stąd, że f 6∼ g i f 6∼ h, bo odwzorowanie f

ma tylko jeden punkt stały. Dla odwzorowań g i h zauważmy, że

g

0

(0) = −4,

g

0



1

2



= 0

h

0

(0) =

7

2

,

h

0



5

7



= −

3

2

,

a więc g ma jeden przyciągający i jeden odpychający punkt stały, zaś h ma dwa odpychające

punkty stałe. Wobec tego g 6∼ h na mocy drugiego punktu tezy twierdzenia 3.

6.3

Topologiczne sprzężenie i chaos

Z trzech ostatnich punktów tezy twierdzenia 3 wynika natychmiast następujące twierdzenie.

Twierdzenie 4. Niech τ : X → Y będzie topologicznym sprzężeniem funkcji ciągłych f : X → X

i g : Y → Y . Wówczas f jest odwzorowaniem chaotycznym w X wtedy i tylko wtedy, gdy g jest

odwzorowaniem chaotycznym w Y .

Przykład 4. Wykazaliśmy bezpośrednio, że odwzorowanie trójkątne T (x) = 1 − |2x − 1|, x ∈ [0, 1],

jest chaotyczne. Z przykładu 2 wynika, że jest ono sprzężone z odwzorowaniem logistycznym L(x) =

4x(1 − x), x ∈ [0, 1]. Wobec tego, odwzorowanie logistyczne jest chaotyczne, na mocy ostatniego

twierdzenia.

2