Wykład 3

Kaskady generowane przez funkcje

rzeczywiste klasy C

1

3.1

Wnioski z twierdzenia Lagrange’a

Twierdzenie 1 (Lagrange). Jeśli f : [a, b] → R jest funkcją ciągłą na przedziale [a, b] i różnicz-

kowalną na przedziale otwartym (a, b), to istnieje taka liczba c ∈ (a, b), że

f (b) − f (a) = f

0

(c)(b − a).

Twierdzenie 2. Niech I ⊂ R będzie przedziałem zwartym i f : I → I będzie funkcją klasy C

1

spełniającą warunek

∀

x, y∈I

|f

0

(x)| < 1.

(3.1)

Wówczas

1) jeżeli x, y ∈ I oraz x 6= y, to |f (x) − f (y)| < |x − y|,

2) dla każdego x ∈ I ciąg iteracyjny (x

n

), gdzie x

n

= f

n

(x) dla n ∈ N, jest zbieżny do pewnego

punktu ¯

x ∈ I,

3) punkt ¯

x jest jedynym punktem stałym odwzorowania f .

Wniosek 1. Niech I ⊂ R będzie przedziałem domkniętym, f : I → R będzie funkcją klasy C

1

spełniającą warunek (3.1) i niech p ∈ I będzie punktem stałym funkcji f . Wówczas

1) Fix(f ) = {p},

2) W

s

(p) = I, czyli lim

n→∞

f

n

(x) = p dla każdego x ∈ I.

Przykład 1. Rozważmy funkcję

f (x) =

1

2

x +

3

2

dla

x ∈ R.

Oczywiście f

0

(x) =

1
2

i Fix(f ) = {3}. Na mocy wniosku 1 dostajemy W

s

(3) = R.

1

Przykład 2. Rozważmy funkcję

h(x) = 2x − 3

dla

x ∈ R.

Oczywiście f

0

(x) = 2 i Fix(f ) = {3}. Tym razem nie są spełnione założenia wniosku 1. Tym nie

mniej można łatwo pokazać, że |h

n

(x) − 3| = 2

n

|x − 3|, skąd wynika, że lim

n→∞

|h

n

(x) − 3| = ∞

dla x 6= 3 i, w konsekwencji, W

s

(3) = {3} oraz W

s

(∞) = R \ {3}.

3.2

Punkty hiperboliczne

Definicja 1. Punkt stały p funkcji f : I → R klasy C

1

nazywamy hiperbolicznym, jeżeli |f

0

(p)| 6= 1

Definicja 2. Niech I bedzie przedziałem, f : I → R będzie funkcją ciągłą i p ∈ Fix(f ). Punkt

stały p nazywamy

• przyciagającym, jeżeli istnieje jego otwarte otoczenie U ⊂ I takie, że

∀

x∈U

lim

n→∞

f

n

(x) = p;

• odpychającym, jeżeli istnieje jego otwarte otoczenie U ⊂ I takie, że

∀

x∈U

∃

n∈N

f

n

(x) 6∈ U.

Twierdzenie 3. Niech I ⊂ R będzie przedziałem, f : I → R będzie funkcją klasy C

1

i p ∈ Fix(f ).

Wówczas

1) jeżeli |f

0

(p)| < 1, to p jest przyciągającym punktem stałym;

2) jeżeli |f

0

(p)| > 1, to p jest odpychającym punktem stałym.

3.3

Punkty niehiperboliczne

Dynamika kaskady w otoczeniu niehiperbolicznego punktu stałego nie daje się opisać za pomocą

ogólnych praw. Wskazują na to poniższe przykłady.

Przykład 3. Rozważmy funkcję g(x) = x − x

3

, x ∈ R. Łatwo można sprawdzić, że Fix(g) =

{0} i g

0

(0) = 1, a więc 0 nie jest hiperbolicznym punktem stałym. Pokażemy, że jest to punkt

przyciągający. Przede wszystkim zauważmy, że 0 < g

0

(x) < 1 dla x ∈



−

1

√

3

,

1

√

3



\ {0}. Z drugiej

strony, jeśli x

0

∈ (0, 1), to x

1

:= g(x

0

) ∈



0,

1

√

3



. Dalej, przyjmując x

2

:= g(x

1

) dostajemy na

mocy twierdzenia Lagrange’a:

0 < x

2

= g(x

1

) − g(0) = g

0

(ξ)(x

1

− 0) = g

0

(ξ)x

1

< x

1

,

gdzie ξ jest pewną liczbą z przedziału (0, x

1

). Podobnie 0 < x

3

:= g(x

2

) < x

2

i, ogólnie, ciąg

iteracyjny x

n

:= g(x

n−1

), n ∈ N, jest ciągiem malejącym o wyrazach zawartych w przedziale (0, 1),

2

a więc ograniczonym. Wobec tego jest zbieżny, a ponieważ granicą ciągu iteracyjnego funkcji ciągłej

może być jedynie punkt stały, to lim x

n

= 0. Z dowolności wyboru punktu x

0

∈ (0, 1) wynika, że

(0, 1) ⊂ W

s

(0). Analogicznie dowodzi się, że (−1, 0) ⊂ W

s

(0). Ostatecznie dostajemy inkluzję

(−1, 1) ⊂ W

s

(0),

z której wynika, że 0 jest przyciągającym punktem stałym.

Przykład 4. Rozważmy funkcję h(x) = x + x

3

, x ∈ R. Bezpośrednim rachunkiem sprawdza się, że

Fix(h) = {0}, h

0

(0) = 1 i h

0

(x) > 1 dla x 6= 0. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a można pokazać,

że jeżeli x

0

6= 0 i x

n

:= h(x

n−1

) dla n ∈ N, to lim

n→∞

|x

n

| = ∞. Oznacza to, że W

s

(0) = {0} i

W

s

(∞) = R \ {0}.

Definicja 3. Niehiperboliczny punkt przyciągający nazywamy słabo przyciągającym, a niehiper-

boliczny punkt odpychający nazywamy słabo odpychającym.

Możliwe są także inne typy zachowania się kaskady wokół niehiperbolicznych punktów stałych.

Przykład 5. Łatwo sprawdzić, że jeżeli k(x) = e

x

− 1, to Fix(k) = {0} i k

0

(x) = 1. Korzystając

z twierdzenia Lagrange’a można pokazać, że zachodzą równości W

s

(0) = (−∞, 0] oraz W

s

(∞) =

(0, ∞). Wynika stąd, że punkt stały 0 nie jest ani punktem przyciągającym, ani odpychającym.

Przykład 6. Niech s(x) = −x. Dla tej funkcji mamy: Fix(s) = {0} i Per

2

(s) = R \ {0}. Wobec tego

W

s

(0) = {0} oraz W

s

(p) = {p} dla każdego punktu p ∈ R \ {0}.

3.4

Atraktory i repilery

Definicja 4. Niech f : I → R będzie funkcją ciągłą i A ⊂ I. Zbiór A nazywamy niezmienniczym

zbiorem kaskady f , jeżeli f [A] = A.

Definicja 5. Niech f : I → R będzie funkcją ciągłą i A ⊂ I. Zbiór A nazywamy atraktorem (lub

zbiorem przyciągającym) kaskady f , jeżeli

1) A jest zbiorem zwartym,

2) A jest zbiorem niezmienniczym,

3) istnieje otoczenie otwarte U zbioru A takie, że

(i) ∀

x∈U

∀

n∈N

f

n

(x) ∈ U , czyli O(x) ⊂ U dla każdego x ∈ U ,

(ii) ∀

x∈U

lim

n→∞

d(f

n

(x), A) = 0, czyli d(O(x), A) = 0 dla każdego x ∈ U ,

(iii) ∀

a∈A

∃

x∈U

a ∈ (O(x)), czyli każdy punkt zbioru A jest punktem skupienia pewnej orbity

kaskady f .

3

Przykład 7. Jeżeli p jest przyciągającym punktem stałym kaskady f , to {p} jest atraktorem tej

kaskady. Podobnie, jeżeli p jest punktem okresowym o okresie podstawowym k takim, że każdy

punkt orbity O(p) jest przyciągającym punktem stałym kaskady f

k

, to orbita O(p) jest atraktorem

kaskady f .

Definicja 6. Niech f : I → R będzie funkcją ciągłą i B ⊂ I. Zbiór B nazywamy repilerem (lub

zbiorem odpychającym) kaskady f , jeżeli

1) B jest zbiorem zwartym,

2) B jest zbiorem niezmienniczym,

3) istnieje otoczenie otwarte U zbioru B takie, że

∀

x∈U \B

∃

n∈N

f

n

(x) 6∈ U.

Przykład 8. Jeżeli p jest odpychającym punktem stałym kaskady f , to {p} jest repilerem tej

kaskady. Podobnie, jeżeli p jest punktem okresowym o okresie podstawowym k takim, że każdy

punkt orbity O(p) jest odpychającym punktem stałym kaskady f

k

, to orbita O(p) jest repilerem

kaskady f .

Definicja 7. Niech f : I → R będzie funkcją różniczkowalną i p ∈ Per

k

(f ) dla pewnego k > 1.

Jeżeli |(f

k

)

0

(p)| 6= 1, to p nazywamy hiperbolicznym punktem okresowym. Orbitę O(p) nazywamy

hiperboliczną, jeżeli każdy jej element jest hiperbolicznym punktem okresowym.

Twierdzenie 4. Niech O(p) będzie hiperboliczną orbitą okresową o długości k kaskady f : I → R

klasy C

1

.

1) Jeżeli |(f

k

)

0

(q)| < 1 dla każdego q ∈ O(p), to O(p) jest atraktorem kaskady f .

2) Jeżeli |(f

k

)

0

(q)| > 1 dla każdego q ∈ O(p), to O(p) jest repilerem kaskady f .

4