Wyrażenie miar odkształceń (tensorów odkształceń)
przez przemieszczenia

(I) OPIS MATERIALNY
Wektor przemieszczenia

u x X

= −







1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

i

j

u

u

u

X

X

X

u

u

u

u

u

X

X

X

X

u

u

u

X

X

X

⎡

⎤

∂

∂

∂

⎢

⎥

∂

∂

∂

⎢

⎥

⎢

⎥

∂

∂

∂

∂

∇ =

= ⎢

⎥

∂

∂

∂

∂

⎢

⎥

⎢

⎥

∂

∂

∂

⎢

⎥

∂

∂

∂

⎣

⎦



3

3

3

i

j

i

j

x

x

F

X

u

x

X

X

U

F I

stąd F

U I

X

I

X

∂

⎫

∇ =

= ⎪

∂

∇ = ∇ − ∇

⎪

⎬

∂

∇ = −

= ∇

⎪

∇ =

=

⎪

∂

⎭



























+

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 1

Stąd

( )

( )

( )

T

T

T

T

C F F

u

I

u

I

I

u

u

u

u

⎡

⎤ ⎡

⎤

=

= ∇

+

∇

+ = + ∇ + ∇ + ∇

∇

⎣

⎦ ⎣

⎦

 

















T





(

)

( )

1

1

2

2

T

T

E

C I

u

u

u

u

⎡

⎤

=

−

=

∇ + ∇ + ∇

∇

⎣

⎦















1
2

j

i

k

ij

k

j

i

i

u

u

u

E

X

X

X

X

⎛

⎞

∂

∂

∂

=

+

+

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

∂

∂

∂

⎝

⎠

j

u

∂

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 2

(I) OPIS PRZESTRZENNY

nadal

u x X

= −







1

1

1

1

2

3

2

2

2

1

2

3

3

3

3

1

2

3

i

j

u

u

u

x

x

x

u

u

u

u

u

x

x

x

x

u

u

u

x

x

x

⎡

⎤

∂

∂

∂

⎢

⎥

∂

∂

∂

⎢

⎥

⎢

⎥

∂

∂

∂

∂

∇ =

= ⎢

⎥

∂

∂

∂

∂

⎢

⎥

⎢

⎥

∂

∂

∂

⎢

⎥

∂

∂

∂

⎣

⎦



1

1

1

i

j

i

j

x

x

I

x

u

x

X

X

u I F

stąd F

I

u

X

F

x

−

−

−

∂

⎫

∇ =

=

⎪

∂

∇ = ∇ − ∇

⎪

⎬

∂

∇ = −

=

⎪

∇ =

=

⎪

∂

⎭



























− ∇

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 3

Stąd

(

) ( )

( )

( )

( )

1

1

1

T

T

T

T

T

T

c

FF

F

F

I

u

I

u

I

u

u

u

u

−

−

−

⎡

⎤ ⎡

⎤

=

=

=

− ∇

− ∇

=

⎣

⎦ ⎣

⎦

= − ∇ − ∇ + ∇

∇

 

























(

)

( )

1

1

2

2

T

T

e

I c

u

u

u

⎡

⎤

=

−

=

∇ + ∇ − ∇

∇

⎣

⎦













u



1
2

j

i

k

ij

k

j

i

i

u

u

u

e

x

x

x

x

⎛

⎞

∂

∂

∂

=

+

−

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

∂

∂ ∂

⎝

⎠

j

u

∂

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 4

Założenie małych odkształceń

1,

1

i

i

j

j

u

u

X

x

∂

∂

∂

∂





1
2

j

i

j

i

u

u

E

x

x

⎛

⎞

∂

∂

≈

+

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠



1
2

j

i

j

i

u

u

e

x

x

⎛

⎞

∂

∂

≈

+

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠



Założenie małych przemieszczeń

0

i

i

X

x

=

⇒

≈

B

B

Jeżeli przyjmiemy oba powyższe założenia:

(

)

1
2

T

E e

u

u

ε

= =

∇ + ∇

=











– tensor małych odkształceń

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 5

Związki znane z kursu wytrzymałości materiałów

(

,

,

1

1

2

2

j

i

ij

i j

j i

j

i

u

u

u

u

x

x

ε

⎛

⎞

∂

∂

=

+

=

+

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

)

– związki geometryczne

(kinematyczne)

,

,

x

x

xy

u

v

x

y

ε

ε

γ

∂

∂

∂

=

=

=

∂

∂

∂

u

u

y

x

∂

+

∂

1

2

1

2

11

1,1

22

2,2

12

21

1

2

2

1

1
2

2

xy

u

u

u

u

u

u

x

x

x

x

γ

ε

ε

ε

ε

⎛

⎞

∂

∂

∂

∂

=

=

=

=

=

=

+

→

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

∂

∂

∂

⎝

⎠

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 6

Problem własny tensora małych odkształceń
(odkształcenia główne i ich kierunki)
Poszukiwane są kierunki (wektory)



, dla których istnieją

niezerowe rozwiązania

n

ε

równania

n

n

ε

ε

=

lub

(

)

0

I n

ε ε

−

=

 



 



Iloczyn macierzy



ε

i wektora (mnożnik

n

ε

)





Trzy rozwiązania



– wektory własne macierzy,

odpowiadają im mnożniki

( )

i

n

ε

– wartości własne

Warunkiem rozwiązania

0

n

≠





:

(

)

det

0

I

ε ε

−

=





– równanie algebraiczne 3-go stopnia względem

ε

Postać:

3

2

0

I

II

III

ε

ε

ε

ε

ε

ε

−

+

+

=

ii

I

tr

ε

ε ε

=

=



( )

2

2

1
2

II

tr

tr

ε

ε

ε

⎡

⎤

=

−

⎣

⎦



det

III

ε

ε

=



J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 7

Rozwiązanie: trzy wartości (odkształcenia główne)

(1)

ε

,

(2)

ε

,

(3)

ε

i odpowiadające im wektory (kierunki odkształceń głównych)

,

,

(1)

n



(2)

n

(3)

n





Unormowane wektory własne



ustawione wierszami tworzą

ortogonalną macierz obrotu

( )

i

n

A



Wskutek transformacji tensor wyjściowy przyjmuje postać
diagonalną

.

(1)

(2)

(3)

0

0

'

0

0

0

0

ε

ε

ε

ε

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦



Interpretacja: w kartezjańskim układzie kierunków głównych
(wektorów własnych) istnieją jedynie odkształcenia podłużne, brak
odkształceń postaciowych.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 8

W danym stanie odkształcenia 3D dany jest tensor

ε



Odkształcenia podłużne w kierunku dowolnego wersora dane
jest:

.

n



( )

n

T

n n

ε

ε

=

  

- forma kwadratowa tensora małych odkształceń

(

)

( )

n

ij i

j

n n

ε

ε

=

ε



względem wektora

n



J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 9

Równania nierozdzielności (ciągłości) w R

3

Konsekwencją związków geometrycznych (kinematycznych) są
równania wiążące ze sobą poszczególne składowe tensora małych
odkształceń

(

)

1

2

3

, ,

x x x

ε ε

=

.



Zapis ogólny:



,

,

,

,

0

ij kl

kl ij

ik jl

il ik

ε

ε

ε

ε

+

−

−

=

np.

2

12

12,13

1

3

x x

ε

ε

∂

=

∂ ∂

Ogólnie powinno być 81 równań, tylko 6 niezależnych.
Na płaszczyźnie jedno:

11,22

22,11

12,12

2

0

ε

ε

ε

+

−

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 10

Opis stanu naprężenia

Kurs Wytrzymałości Materiałów: naprężenia

( ,

1,2,3)

ij

i j

σ

=

" "

i – indeks wersora prostopadły do ścianki

" "

j – oś równoległa do danej składowej

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 11

W ustalonym układzie współrzędnych

można utworzyć

macierz naprężeń Cauchy (reprezentacja tensora naprężeń)

1 2 3

Ox x x

11

12

13

21

22

23

31

32

33

x

xy

xz

ij

yx

y

yz

zx

zy

z

σ

σ

σ

σ

τ

τ

σ σ

σ

σ

σ

τ

σ

τ

σ

σ

σ

τ

τ

σ

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

≡

=

→

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦



Prawo transformacji tensora

σ



(jako tensora II walencji)

z układu

do układu

1 2 3

Ox x x

1 2 3

Ox x x

′ ′ ′ :

A A

σ

σ

′ ≡





gdzie





)

(

cos

,

ij

i

j

A

x x

α

⎡

⎤

′ ′

≡

= ⎣ )



⎦

– ortogonalna macierz transformacji

(tensor obrotu)

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 12

Zależność między wektorem naprężenia a tensorem naprężenia
Wektor naprężenia

w płaszczyźnie o normalnej

(wersor osi ) obliczamy z zależności

(1)

t



[

(1)

1 0 0

T

n

=



]

11

12

13

11

(1)

21

22

23

12

31

32

33

13

1
0
0

t

1

x

(1)

(1)

T

t

n

σ

≡



 

- jest to działanie tensorowe – kontrakcja, zwężenie proste,

interpretacja macierzowa

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

⎡

⎤ ⎧ ⎫ ⎧

⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎪

⎢

⎥

=

=

⎨ ⎬ ⎨

⎬

⎢

⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢

⎥

⎣

⎦ ⎩ ⎭ ⎩

⎭



n

Analogiczne wzory zapisać można dla ścianek o normalnych

i

a

(2)

n





W ogólnym przypadku równanie



 

obowiązuje w danym

stanie naprężenia (tensor

(3)

n

(1)

(1)

T

t

σ

≡

σ



) dla dowolnie zorientowanej

płaszczyzny, określonej wersorem

n

.



J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 13

Jest to tzw. postulat Cauchy, wiążący wektor naprężenia w
przekroju o normalnej z tensorem

t



n



σ



j

.

Zapis wskaźnikowy

i

ij

t

n

σ

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 14

Równania równowagi ośrodka ciągłego

V

– objętość obszaru

B

w konfiguracji aktualnej

– odkształconej

3

[m ]

A

– pole powierzchni ograniczającej obszar

B

2

[m ]

i

b b

≡



– wektor sił masowych

[k

N/kg]

i

f

f

≡



– wektor sił powierzchniowych

2

[kN/m ]

ρ – gęstość ośrodka

3

[kN/m ]

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 15

Założenia podstawowe:

• Materia wypełnia objętość

V

w sposób ciągły, ciągłość w sensie

matematycznym – pola gęstości, sił masowych i
powierzchniowych, naprężeń, itp. składają się z funkcji ciągłych
odpowiedniej klasy (

) zmiennych

i czasu .

0

1

,

, ....

C C

1

2

,

,

x x x

3

0

i

i

S

V

t dS

b dV

ρ

⎛

⎞

t

• ośrodek jest jednorodny (własności niezależne od punktu) i

izotropowy (własności niezależne od kierunku)

Równowaga obszaru

B

(suma rzutów sił)

0

S

V

tdS

bdV

ρ

+

=

∫∫

∫∫∫







+

=

⎝

⎠

∫∫

∫∫∫

⎜

⎟

Postulat Cauchy

t

n

σ

=



 

(

)

i

ij

j

t

n

σ

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 16

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego (o dywergencji)

div

T

T

S

V

ndS

dV

σ

σ

=

∫∫

∫∫∫

 



,

0

ji

j

ji j

S

V

n dS

dV

σ

σ

⎛

⎞

=

=

⎜

⎟

⎝

⎠

∫∫

∫∫∫

– równanie równowagi globalnej obszaru

B

o objętości

V

Równanie to musi być spełnione lokalnie w każdym punkcie, stad

div

0

T

b

σ

ρ

+

=







(

)

,

0

ji j

i

b

σ

ρ

+

=

Równowaga sumy momentów – rezultat, lokalnie w każdym
punkcie

T

σ σ

=





(

)

0

lub

ij

ij

ij ijk

σ

σ

σ ε

=

=

Zagadnienia teorii sprężystości są na ogół statycznie
niewyznaczalne – z samych równań równowagi nie możemy
wyznaczyć niewiadomych tensora naprężeń

σ



J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 17

Naprężenia główne i ich kierunki.
Niezmienniki tensora naprężeń.

W dowolnym stanie naprężenia szukamy w przestrzeni takich
kierunków , by wektory i były współliniowe

n







(

t

n

σ – współczynnik liczbowy, długość wektora )

t



Szukane kierunki to tzw. kierunki główne (osie główne) danego
tensora naprężeń

n



σ



Warunek analityczny

(

)

(

)

0

0

ij

ij

j

t

n

n

I n

n

σ

σ

σ σ

σ

σδ

=

=

⇒

−

=

−

=





 









Po rozpisaniu: równanie algebraiczne III stopnia względem
niewiadomej

σ

3

2

0

I

II

III

σ

σ

σ

σ

σ

σ

−

+

−

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 18

gdzie

ii

I

tr

σ

σ σ

=

=



( )

2

2

1

1

2

2

ii

jj

ij

ji

II

tr

tr

σ

σ

σ

σ σ

σ σ

⎡

⎤

⎡

⎤

=

−

=

−

⎣

⎦

⎣

⎦





1

2

3

det

ijk

i

j

k

III

σ

σ ε σ σ σ

=

=



Rozwiązanie:
trzy wartości własne – naprężenia główne

(1)

σ

,

(2)

σ

,

(3)

σ

i odpowiadające im wektory własne (kierunki główne)

(1)

n



,

,

.

(2)

n



(3)

n



J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 19

Unormowane wektory



,



,



tworzą macierz

transformacji

(1)

n

(2)

n

(3)

n

A



, po transformacji do bazy wektorów własnych

(kierunków głównych) tensor naprężeń ma postać diagonalną

(1)

(2)

(3)

0

0

'

0

0

0

0

σ

σ

σ

σ

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦



stąd wartości niezmienników tensora naprężeń

(1)

(2)

(3)

I

σ

σ

σ

σ

=

+

+

(1)

(2)

(2)

(3)

(1)

(3)

II

σ

σ σ

σ σ

σ σ

=

+

+

(1)

(2)

(3)

III

σ

σ σ σ

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 20

Rozkład tensora (macierzy) naprężeń na tensor kulisty i
deviator

(

)

M

ij

m ij

ij

I S

S

σ σ

σ

σ δ

=

+

=

+

0







Pierwszy składnik – tensor kulisty

0

0

0
0

0

M

M

M

M

I

σ

σ

σ

σ

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦



1

1

3

3

M

ii

tr

tr

σ

σ

σ

=

=



(wszechstronne rozciąganie lub ściskanie naprężeniem o jednej
wartości, w każdym kierunku takiej samej)
drugi składnik – dewiator

11

12

13

11

12

13

21

22

23

21

22

23

31

32

33

31

32

22

M

M

M

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

−

⎡

⎤ ⎡

⎢

⎥ ⎢

=

=

−

⎢

⎥ ⎢

−

⎢

⎥ ⎢

⎣

⎦ ⎣



⎤

⎥

⎥

⎥⎦

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 21

Niezmienniki dewiatora

r

0

S

I

t S

=

=



2

1

1

tr

2

2

S

i

II

S

S S

= −

= −



j ij

można wyrazić w zależności od

ij

σ

Wykazać, że dewiator tensora naprężeń jest równoważny pięciu
niezależnym stanom czystego ścinania
Czyste ścinanie – uwagi ogólne
Przypadek czystego ścinania w płaszczyźnie

1 2

Ox x

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 22

12

12

0

0

0

0

0

0

0

σ

σ

σ

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦



(1)

12

σ

σ

= −

,

(2)

0

σ

=

,

(3)

12

σ

σ

=

,

Stąd stanem równoważnym jest rozciąganie i ściskanie w układzie
os głównych

12

12

12

12

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

σ

σ

σ

σ

σ

σ

⎡

⎤

⎡

⎢

⎥

⎢

′

=

⇒

=

⎢

⎥

⎢

⎢

⎥

⎢

⎣

⎦

⎣





⎤

⎥

−

⎥

⎥⎦

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 23

Dewiator stanu naprężenia można więc rozłożyć w następujący
sposób:

12

13

12

23

13

23

11

11

33

33

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

⎡

⎤ ⎡

⎤ ⎡

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

=

+

+

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎣

⎦ ⎣

⎦ ⎣

⎡

⎤ ⎡

⎤

⎢

⎥ ⎢

⎥

+

−

+

−

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦ ⎣

⎦



⎤

⎥ +

⎥

⎥⎦

22

11

23

S

S

S

= −

−

z warunku

wynika

11

22

33

tr

0

S

S

S

S

=

+

+

=



Dewiator stanu naprężenia jest więc równoważny stanowi czystego
ścinania.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 03 – str. 24