Tensory ortogonalne

Obrót układu współrzędnych (bazy)

1 2 3

Ox x x

- układ pierwotny

1 2 3

Ox x x

′ ′ ′

- po transformacji

Definiując kąty obrotu

(

)

,

ij

i

j

x x

α

′

=

Określa się macierz transformacji

(

)

cos

cos

,

ij

ij

i

j

A

x x

α

⎡

⎤

′

⎡

⎤

=

=

⎣

⎦ ⎣

⎦

np.

(

)

12

1

2

cos

,

A

x x

′

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

1

W układzie pierwotnym dowolny punkt P ma współrzędne

w nowym układzie ten sam punkt ma

współrzędne

{

1

2

3

T

j

x

x

x x x

=

=

}

{

}

1

2

3

T

j

x

x

x x x

′

′

′ ′ ′

=

=

Transformacja współrzędnych punktu P (zarazem współrzędnych
wektora wodzącego tego punktu)

.

T

x

A

= x

j

lub

i

ij

x

A x

′ =

1

11 1

12 2

13 3

2

21 1

22 2

23

3

31 1

32 2

33

x

A x

A x

A x

x

A x

A x

A x

x

A x

A x

A x

′ =

+

+

′ =

+

+

′ =

+

+

3

3

gdzie

(

)

cos

,

ij

i

j

A

x x

′

=

, np.

(

)

12

1

2

cos

,

A

x x

′

=

Własności macierzy transformacji
– długości wektorów wodzących i

x

x′

punktu P w obu układach są

jednakowe, stąd:

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

2

2

T

k k

jk

j k

x

x x

x x

x

δ

=

=

=

x

(

)

(

)

2

T

i i

ij

j

ik k

ij

ik

j k

x

x x

x x

A x

A x

A A x

′

′ ′

′ ′

=

=

=

=

x

Długość wektora jest stała:

(

)

0

ij

ik

ik

j k

A A

x x

δ

−

=

dla każdego

x

Stąd

ij ik

ik

A A

δ

=

lub

T

A A I

=

więc

1

T

A

A

−

=

ik

A A

≡

– tensor ortogonalny (reprezentacja: macierz ortogonalna)

Wyznacznik

( ) (

)

(

) (

)

2

det

det

det

det

1

T

T

A A

A

A

A

=

=

=

więc det

1

A

= ±

Macierz (tensory) o powyższych własnościach
– grupa ortogonalna – obroty i przekształcenia (odbicia) układów
współrzędnych ~

Gdy det

1

A

= → grupa obrotów

specjalna, ortogonalna, w

przestrzeni trójwymiarowej

(3)

SO

Gdy det

1

A

= − →

Łączne działania – grupa ortogonalna

.

odbicia (nie tworzą grupy),

(3)

O

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

3

Transformacja wielkości tensorowych
Podstawa – transformacja wektorów bazowych:

(

)

i

ij j

e

Ae

e

A e

′

′

=

=

Współrzędne dowolnego wektora:

(

)

i

ij j

u

Au

u

A u

′

′

=

=

Współrzędne tensora 2 walencji:

(

)

T

ij

ik

jl kl

T

ATA

T

A A T

′

′

=

=

Współrzędne tensora dowolnej walencji:

.....

....

....

ijk

ip

jq km

pqm

T

A A A

T

=

Formalna reprezentacja wielkości tensorowych
Tensor walencji 1 – wektor – składowe w danej bazie

{ } {

}

1

2

3

i

e

e

e e e

=

=

,

i i

k k

i i

u u e

u e

u

u e

′

′ ′

≡

=

≡

Tensor walencji 2 – składowe w 9-wymiarowej polibazie

(działanie mnożenia tensorowego) utworzonej z par wektorów
bazowych

i

j

e

e

⊗

kl k

l

kl k

l

T

T e

e

T e

e

′ ′

′

≡

⊗ =

⊗

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

4

Działania na tensorach walencji 1 i 2 – przykłady:

Zapis

wskaźnikowy

Zapis

absolutny

Nazwa działania i rezultat

i i

a b

ab a b

= ⋅

zwężenie (kontrakcja) – w przypadku

wektorów

Ø iloczyn skalarny - liczba

i j

a b

a b

⊗

mnożenie tensorowe (diada) wektorów –

Ø macierz (tensor walencji 2)

ij j

C b

C b

zwężenie (kontrakcja)

tensora walencji 2 i wektora

Ø wektor

ij k

C b

C

b

⊗

mnożenie tensorowe (diada) tensora

walencji 2 i wektora

Ø tensor walencji 3

ij

jk

E F

E F

zwężenie (kontrakcja) tensorów walencji 2

Ø tensor walencji 2

ij

km

E E

E

F

⊗

mnożenie tensorowe (diada) tensorów

walencji 2

Ø tensor walencji 4

ij

ij

E F

,

:

E F E F

i

zwężenie pełne tensorów walencji 2

Ø liczba

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

5

Przypadek tensora walencji II – problem własny
(analogia do problemu własnego macierzy)

Dany jest tensor

ij

A A

≡

, szukamy wektora

0

j

p

p

≡

≠

takiego,

że

Ap

p

λ

=

, gdzie

λ jest mnożnikiem.

Postać

(

)

0

A I

p

λ

−

=

det(

) 0

daje w rezultacie równanie algebraiczne

A I

λ

−

=

, trzy rozwiązania

i

λ (wartości własne tensora

A

)

i odpowiadające im wektory

(wektory własne).

( )

i

p

:

Inna postać równania

det(

) 0

A I

λ

−

=

3

2

0

A

A

A

I

II

III

λ

λ

λ

−

+

−

=

gdzie

11

22

33

A

ij ij

ii

I

trA A

A

A

A

A

δ

=

=

=

=

+

+

( )

2

2

1

1

2

2

A

ii

jj

ij

ji

II

trA

trA

A A

A A

⎡

⎤

⎡

⎤

=

−

=

−

⎣

⎦

⎣

⎦

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

6

1

2

det

3

A

ijk

i

j

k

III

A

A A A

ε

=

=

Unormowane wektory

,

i

tworzą ortonormalną bazę

(1)

p

(2)

p

(3)

p

tensor

11

12

13

21

22

23

31

32

33

ij

A

A

A

A A

A

A

A

A

A

A

⎡

⎤

⎢

⎥

≡

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

w bazie tej ma postać

1

2

3

0

0

'

0

0

0

0

A

λ

λ

λ

⎡

⎤

⎢

⎥

≡ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

tak więc

1

2

A

I

3

λ λ λ

=

+

+

,

1 2

2 3

1 3

A

II

λ λ λ λ λ λ

=

+

+

1 2 3

A

III

λ λ λ

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

7

Dowolny tensor walencji II można rozłożyć na tzw. część kulistą i
dewiator

11

12

13

11

12

13

21

22

23

21

22

23

31

32

33

31

32

33

0

0

0

0

0

0

A

A

A

p

A

p

A

A

A

A

A

p

A

A

p

A

A

A

A

p

A

A

A

p

−

⎡

⎤ ⎡

⎤ ⎡

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

=

+

−

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

−

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎣

⎦ ⎣

⎦ ⎣

⎤

⎥

⎥

⎥⎦

lub w zapisie absolutnym

A

pI S

=

+

gdzie

(

)

11

22

33

1

1

tr

3

3

ii

p

A

A

A

A

=

+

+

=

=

1

3

A

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

8

Wielkości tensorowe różnych walencji (z odpowiednią liczbą
składowych) traktowane są jako funkcje położenia punktu –
współrzędnych

,

1,2,

i

x i

3

=

Funkcja skalarna

( )

(

)

1

2

3

, ,

d

d x

d x x x

≡

=

(pole skalarne w

3

R

)

Funkcja wektorowa

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

2

3

1

2

3

2

1

2

3

3

1

2

3

, ,

, ,

, ,
, ,

u x x x

u u x

u x x x

u x x x
u x x x

⎧

⎫

⎪

⎪

≡

=

= ⎨

⎬

⎪

⎪

⎩

⎭

pole wektorowe - trzy funkcje skalarne

Funkcja tensorowa II walencji

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

11

12

13

21

22

23

31

32

33

A x

A

x

A

x

A A x

A

x

A

x

A

x

A

x

A

x

A

x

⎡

⎤

⎢

⎥

≡

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

pole tensorowe II walencji - 9 funkcji skalarnych

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

9

Oznaczenia pochodnych:

,i

i

M

M

x

∂

=

∂

M – funkcja skalarna lub składowa funkcji tensorowej

dowolnej walencji, np.

,1

1

f

f

x

∂

=

∂

;

2

2,3

3

u

u

x

∂

=

∂

;

13

13,2

2

A

A

x

∂

=

∂

;

1

1,

,

1,2

k

k

u

u

k

x

,3

∂

=

=

∂

Gradient pola skalarnego

,1

,1

,2

,1

,2

,3

,3

grad =

T

i

x

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

⎡

⎤

∂

⎢

⎥

=

=

= ⎡

⎤

⎣

⎦

⎢

⎥

∂

⎢

⎥

⎣

⎦

-

wektor

Gradient pola wektorowego

1,1

1,2

1,3

,

2,1

2,2

2,3

3,1

3,2

3,3

grad =

T

i

i j

j

u

u

u

u

u

u

u

u

u

x

u

u

u

⎡

⎤

∂

⎢

⎥

=

= ⎢

⎥

∂

⎢

⎥

⎣

⎦

-

tensor walencji II

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

10

Dywergencja pola wektorowego

,

1,1

2,2

3

div =

i

i i

i

u

u

u

u

u

x

,3

u

∂

=

=

+

+

∂

-

skalar

Dywergencja pola tensorowego walencji 2:

1 ,

,

2 ,

3 ,

div =

j j

ij

ij j

j j

j

j j

A

A

A

A

A

x

A

⎡

⎤

∂

⎢

⎥

=

= ⎢

⎥

∂

⎢

⎥

⎣

⎦

- wektor

Laplasjan pola skalarnego

2

,

,11

,22

,33

=

ii

i

i

x x

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

∂

∆

=

=

+

+

∂ ∂

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

11

DEFORMACJA OŚRODKA CIĄGŁEGO

Opis zmian stanu geometrycznego.
Dowolny obiekt w przestrzeni rozpatrujemy w dwóch chwilach:

• początkowej (

0

t

=

) – konfiguracja początkowa

0

B

• aktualnej (określone t) – konfiguracja aktualna

B

Deformacja – całkowita zmiana stanu geometrycznego obiektu.
Dwa składniki:

1) translacja i obrót jak dla bryły sztywnej (bez zmiany

wzajemnych odległości)

2) zmiana wymiarów i kształtu (wzajemnych odległości między

punktami), tak globalne w skali całego obiektu jak i lokalne, w
otoczeniu danego punktu

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

12

Dwie formy opisu deformacji:

1) zmiana położenia wybranego punktu obiektu (np. punktu na

osi belki), współrzędne aktualne w funkcji współrzędnych
początkowych:

( )

x

X

ϕ

=

Jest to opis MATERIALNY (opis Lagrange’a) odnosi się do
współrzędnych początkowych – współrzędnych materialnych
(Lagrange’a) – opis właściwy w mechanice ciała stałego

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

13

2) Obserwacja wybranego punktu w przestrzeni (np. przepływ

cieczy przez określony punkt) – w punkcie tym, o
współrzędnych

, mogą pojawić się różne cząstki, o różnych

współrzędnych aktualnych , stąd

i

X

i

x

( )

(

1

X

x

γ

ϕ

−

=

=

)

x

.

Jest to opis PRZESTRZENNY (opis Eulera), odnosi się do
współrzędnych aktualnych – współrzędnych przestrzennych
(Eulera) – opis właściwy w mechanice płynów

Elementarny odcinek (wektor)

z konfiguracji początkowej

przyjmuje w konfiguracji aktualnej postać

.

dX

dx

Zachodzi

( )

dx

dX

ϕ

=

Gdy odcinki są nieskończenie małe (liniowe), odwzorowanie

ϕ

można zapisać jako liniowe przybliżenie (aproksymację):

dx FdX

=

lub

i

ij

dx

F dX

j

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

14

Macierz

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

i

ij

j

x

x

x

X

X

X

x

x

x

x

F

F

X

X

X

X

x

x

x

X

X

X

3

3

3

⎡

⎤

∂

∂

∂

⎢

⎥

∂

∂

∂

⎢

⎥

⎢

⎥

∂

∂

∂

∂

=

=

= ⎢

⎥

∂

∂

∂

∂

⎢

⎥

⎢

⎥

∂

∂

∂

⎢

⎥

∂

∂

∂

⎣

⎦

materialny

gradient

deformacji

Rozpisanie powyższego równania:

1

1

1

1

1

2

3

1

2

3

x

x

x

dx

dX

dX

dX

X

X

X

∂

∂

∂

=

+

+

∂

∂

∂

W opisie materialnym

(

)

1

1

1

2

3

,

,

x

x X X X

=

- zmienne niezależne, - zmienna zależna

,

1,2,

i

X

i

=

3

1

x

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

15

W prostszej notacji:

(

) (

1

2

3

,

,

, ,

)

X X X

x y z

→

F

F

F

dF

dx

dy

dz

x

y

z

∂

∂

∂

=

+

+

∂

∂

∂

1

( , , )

x

F

F x y

→

=

z

- wzór na różniczkę zupełną funkcji trzech zmiennych.

Gradient deformacji jest liniowym przybliżeniem
odwzorowania

F

ϕ

.

Własności gradientu deformacji:

1)

- tensor nieosobliwy

det

0

F

≠

2) W ogólnym przypadku

lub

T

F

F

≠

ij

ji

F

F

≠

Naturalna miara odkształcenia jest zmienna długość w obu
konfiguracjach (różnica kwadratu ich długości)

2

2

T

T

dx

dX

dx dx dX dX

−

=

−

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

16

a) Opis materialny (współrzędne aktualne względem

początkowych ):

i

miary zmian w opisie materialnym (odnośnie konfiguracji
początkowej):

x

X

dx FdX

=

T

T

dx

dX F

=

T

=

(

)

2

2

T

T

T

T

T

T

T

dx

dX

dx dx dX dX

dX F FdX dX dX

dX

F F I dX

−

=

−

=

−

=

−

• tensor deformacji Greena

T

C

F F

=

ij

ki kj

C

F F

=

• tensor odkształceń Lagrange’a - Greena

(

)

(

)

1

1

2

2

T

E

C I

F F

=

−

=

− I

wtedy

(

)

2

2

2

2

T

T

ij

i

j

dx

dX

dX

C I dX

dX EdX

E dX dX

−

=

−

=

≡

forma kwadratowa tensora względem

- odniesienie

do konfiguracji początkowej.

E

dX

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

17

Własności: oba tensory

C

i (reprezentujące je macierze)

są symetryczne

E

T

C C

=

(

ij

ji

C

C

=

) oraz

T

E E

=

(

ij

ji

E

E

=

)

b) Opis przestrzenny (współrzędne początkowe względem

aktualnych ):

i

X

x

1

dX

F dx

−

=

( )

1

T

T

T

dX

dx F

−

=

stąd

(

)

1

2

2

T

T

dx

dX

dx I

FF

dx

−

⎡

⎤

−

=

−

⎢

⎥

⎣

⎦

miary zmian stanu geometrycznego w opisie przestrzennym
(względem konfiguracji aktualnej):

• tensor Fingera

T

b FF

=

ij

ik

jk

b

F F

=

• tensor deformacji Cauchy

(

) ( )

1

1

1

_

T

T

c b

FF

F

F

−

−

−

=

=

=

1

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

18

• tensor odkształceń Eulera – Almansi

(

)

(

)

1

1

1

2

2

T

e

I c

I

FF

−

⎡

⎤

=

−

=

−

⎢

⎥

⎣

⎦

stąd

(

)

2

2

2

2

T

T

ij

i

j

dx

dX

dx I c dx

dx edx

e dx dx

−

=

−

=

≡

forma kwadratowa tensora względem wektora

-

odniesienie do konfiguracji aktualnej

e

dx

Własności: oba tensory c i (reprezentujące je macierze)
są symetryczne

e

T

c c

=

(

ij

ji

c

c

=

) oraz

(

T

e e

=

ij

ji

e

e

=

)

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

19

Rozciąganie osiowe (bez zmiany pozostałych wymiarów)

1

1

1

l

x

X

X

L

λ

=

=

l

L

λ

=

rozciąganie

(w WM w stanie jednoosiowym definiowane

x

ε ε

=

1

λ

ε

→ +

)

Gradient deformacji

F

Ø

1

11

1

x

F

X

λ

∂

=

=

∂

,

Opis materialny (składowe diagonalne w kierunku X

1

):

z tensora deformacji Greena

C

Ø

2

11

C

λ

=

z tensora odkształceń Lagrange-Greena

E

Ø

(

)

2

11

1

1

2

E

λ

=

−

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• Teoria sprężystości i plastyczności – Wykład. 1 • KMBiM WILiŚ PG

20