Dynamika symboliczna
4.1
Przestrzeń ciągów binarnych
Definicja 1. Niech Σ2 oznacza zbiór wszystkich nieskończonych ciągów binarnych: Σ2 = {s = s 0 s 1 s 2 . . . : ∀i∈ ∗ s
N
i ∈ { 0 , 1 }}.
Niech d : Σ2 × Σ2 → R będzie funkcją zdefiniowaną wzorem:
∞ |t
X
i − si|
d( t, s) =
.
2 i
i=0
Twierdzenie 1. Para (Σ2 , d) jest przestrzenią metryczną.
Lemat 1. Niech s = s 0 s 1 s 2 . . . i t = t 0 t 1 t 2 . . . będą dwoma ciągami należącymi do Σ2 . Wówczas:
1
1)
∀i∈{ 0 , 1 , ..., n} si = ti ⇒ d( s, t) ¬
,
2 n
1
2) d( s, t) <
⇒ ∀
.
2 n
i∈{ 0 , 1 , ..., n} si = ti
4.2
Przesunięcie
Definicja 2. Odwzorowanie σ : Σ2 → Σ2 sdefiniowane wzorem:
σ( s 0 s 1 s 2 . . . ) = s 1 s 2 s 3 . . .
nazywamy przesunięciem (w lewo) lub shiftem.
Twierdzenie 2. Przesunięcie σ jest owzorowaniem ciągłym.
Twierdzenie 3. Dla każdego k ∈ N zbiór punktów okresowych Per k( σ) jest niepusty. Co więcej, zbiór Per( σ) jest gęsty w Σ2 .
Twierdzenie 4. Istnieje punkt s∗ ∈ Σ2 , którego orbita Oσ( s∗) jest gęsta w Σ2 .
1
Dowód. Takim punktem jest np.:
s∗ = 0 1 00 01 10 11 000 001 010 011 100 101 110 111 . . .
skonstruowany przez dopisywanie kolejno wszystkich możliwych ciągów binarnych o długości k, gdzie k = 1 , 2 , 3 , . . . .
Definicja 3. Skonstruowany powyżej ciąg s∗ nazywamy ciągiem Morse’a.
4.3
Własność mieszania i wrażliwość na warunki początkowe
Definicja 4. Niech X będzie przestrzenią metryczną i f : X → X. Odwzorowanie f nazywamy mieszającym (lub topologicznie tranzytywnym), jeżeli dla dowolnych niepustych podzbiorów U i V
przestrzeni X istnieje n ∈ N takie, że f n[ u] ∩ V 6= ∅.
Twierdzenie 5. Niech X będzie przestrzenią metryczną, w której każdy niepusty i otwarty podzbiór jest nieprzeliczalny. Jeżeli odwzorowanie ciągłe f : X → X ma gęstą orbitę, to f jest odwzorowaniem mieszającym.
Przestrzeń Σ2 i odwzorowanie σ spełniają założenia powyższego twierdzenia. Wobec tego za-chodzi:
Twierdzenie 6. Przesunięcie σ jest odwzorowaniem mieszającym.
Definicja 5. Niech ( X, ρ) będzie przestrzenią metryczną i f : X → X. Mówimy, że odwzorowanie f jest wrażliwe na warunki początkowe, jeżeli istnieje taka liczba c > 0, że
∀x∈X∀ε> 0 ∃y∈X∃n∈ ( ρ( x, y) < ε ∧ ρ( f n( x) , f n( y)) c) .
N
Twierdzenie 7. Przesunięcie σ jest odwzorowaniem wrażliwym na warunki początkowe.
2