CHiF zadania 04 2013

background image

Zestaw 4

Dynamika symboliczna

4.1. (Z) Wykaż, że funkcja d : Σ

2

× Σ

2

R zdefiniowana wzorem:

d(t, s) =

X

i=0

|t

i

− s

i

|

2

i

jest metryką.

4.2. (Z) Wykaż, że przestrzeń metryczna (Σ

2

, d) jest ograniczona.

4.3. Zbadaj, czy przestrzeń metryczna (Σ

2

, d) jest zupełna.

4.4. (Z) (a) Niech S = {s ∈ Σ

2

: s

0

= 0 ∧ s

1

= 1 ∧ s

2

= 1}. Wykaż, że S jest domkniętym

podzbiorem przestrzeni Σ

2

. Czy jest to zbiór gęsty w Σ

2

?

(b) Niech A = {s ∈ Σ

2

:

n∈N

i­n

s

i

= 0}. Wykaż, że S jest gęstym podzbiorem przestrzeni Σ

2

.

Czy jest to zbiór domknięty w Σ

2

?

4.5. Wykaż, że każdy niepusty i otwarty podzbiór przestrzeni Σ

2

jest nieprzeliczalny.

4.6. (Z) Wyznacz zbiory: Fix(σ), Per

2

(σ), Per

3

(σ) i Per

4

(σ).

4.7. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele par (s, t) punktów przestrzeni Σ

2

o następujących

własnościach:

a) orbity O(s) i O(t) są gęste w Σ

2

,

b) dla każdego n ∈ N zachodzi równość d(σ

n

(s), σ

n

(t)) = 2.

4.8. Dla ciągu s = 10100100010000 . . ., w którym po każdej k-tej jedynce występuje k zer, znajdź

zbiór punktów skupienia orbity O(s).


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
CHiF zadania 04 2013
CHiF zadania 06 2013
CHiF zadania 05 2013
CHiF zadania 02 2013
CHiF zadania 02 2013
CHiF zadania 03 2013
CHiF zadania 05 2013
CHiF wyklad 04 2013
CHiF zadania 01 2013
CHiF wyklad 04 2013
CHiF zadania 06 2013
CHiF zadania 01 2013
OM z 04 2013 05 02 ko

więcej podobnych podstron