Zestaw 4
Dynamika symboliczna
4.1. (Z) Wykaż, że funkcja d : Σ
2
× Σ
2
→ R zdefiniowana wzorem:
d(t, s) =
∞
X
i=0
|t
i
− s
i
|
2
i
jest metryką.
4.2. (Z) Wykaż, że przestrzeń metryczna (Σ
2
, d) jest ograniczona.
4.3. Zbadaj, czy przestrzeń metryczna (Σ
2
, d) jest zupełna.
4.4. (Z) (a) Niech S = {s ∈ Σ
2
: s
0
= 0 ∧ s
1
= 1 ∧ s
2
= 1}. Wykaż, że S jest domkniętym
podzbiorem przestrzeni Σ
2
. Czy jest to zbiór gęsty w Σ
2
?
(b) Niech A = {s ∈ Σ
2
: ∃
n∈N
∗
∀
in
s
i
= 0}. Wykaż, że S jest gęstym podzbiorem przestrzeni Σ
2
.
Czy jest to zbiór domknięty w Σ
2
?
4.5. Wykaż, że każdy niepusty i otwarty podzbiór przestrzeni Σ
2
jest nieprzeliczalny.
4.6. (Z) Wyznacz zbiory: Fix(σ), Per
2
(σ), Per
3
(σ) i Per
4
(σ).
4.7. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele par (s, t) punktów przestrzeni Σ
2
o następujących
własnościach:
a) orbity O(s) i O(t) są gęste w Σ
2
,
b) dla każdego n ∈ N zachodzi równość d(σ
n
(s), σ
n
(t)) = 2.
4.8. Dla ciągu s = 10100100010000 . . ., w którym po każdej k-tej jedynce występuje k zer, znajdź
zbiór punktów skupienia orbity O(s).