11 stycznia 2011 r.
Wariant nr
Zadanie nr 1
Królestwo Matematyki podzielone jest na Księstwo Algebry, Analizy i Geometrii, pomiędzy którymi zachodzi wymiana dóbr i usług gospodarczych. Poniżej dana jest niepełna informacja o macierzy struktury kosztów A, macierzy Leontiewa L i macierzy do niej odwrotnej L-1
dotyczących trzech księstw Królestwa Matematyki (pierwszy wiersz i kolumna odpowiadają Księstwu Algebry, drugi wiersz i kolumna Księstwu Analizy, a trzeci Księstwu Geometrii).
0,2 0,2
1,4 0,32 0,2
,
,
0,6 1,28
0,2
1,5
Wiadomo ponadto, że Księstwo Analizy w procesie produkcji nie zużywa wytworzonych u siebie materiałów, a Księstwo Algebry zużywa w procesie produkcji materiały własne i materiały z Księstwa Geometrii w równej wysokości. Współczynnik materiałochłonności w Księstwie Geometrii jest równy 0,7. Wiadomo też, że spadek produkcji globalnej w Księstwie Algebry o 100, przy niezmienionej produkcji globalnej w pozostałych księstwach spowoduje wzrost produkcji końcowej w Księstwie Analizy o 25 oraz aby uzyskać wzrost produkcji końcowej w Księstwie Geometrii o 10, przy niezmienionej produkcji końcowej w pozostałych księstwach, należy zwiększyć produkcję globalną w Księstwie Analizy o 8. W okresie t produkcja globalna wyniosła w poszczególnych księstwach odpowiednio 400, 200 i 160. W
Księstwie Algebry zużycie środków trwałych nie występowało, w Księstwie Analizy było równe co do wartości zyskowi, a w Księstwie Geometrii wartość dodana brutto była o 50%
wyższa od wartości dodanej netto. W każdym księstwie współczynnik płacochłonności wynosił 10%.
a) (4 pkt) Uzupełnij brakujące pola macierzy A, L i L-1.
b) (2 pkt) Zapisz tabelę przepływów międzygałęziowych dla Królestwa Matematyki w okresie t.
c) (2 pkt) Policz współczynniki rentowności brutto każdego księstwa. W którym księstwie rentowność brutto jest najwyższa?
d) (2 pkt) W okresie t+ 1 produkcja końcowa w Księstwie Algebry spadła o 80, produkcja końcowa w Księstwie Geometrii wzrosła o 60, a produkcja końcowa w Księstwie Analizy nie zmieniła się. Wyznacz nowy wektor produkcji globalnej.
e) (2 pkt) Wyznacz wektor produkcji globalnej i końcowej w Królestwie Matematyki w okresie t+2, przy założeniu, że w stosunku do okresu t+1 planowane jest zwiększenie produkcji końcowej w Księstwie Geometrii o 28, zwiększenie produkcji globalnej w Księstwie Analizy o 20 i pozostawienie produkcji globalnej w Księstwie Algebry na niezmienionym poziomie.
Zadanie nr 2
Znany nam dobrze student, z racji tego że zaczęło mu się lepiej powodzić, postanowił zmienić swą dietę. Zrezygnował z zupek Vifon i psiej karmy na rzecz chleba „Królewski” firmy Oskroba i piersi kurczaka marki Tesco. Wciąż jednak zależy mu na minimalizacji dziennych kosztów wyżywienia, aby mieć więcej kasy na imprezy. 500 g chleba kosztuje 4 zł, zaś 1 kg piersi z kurczaka 15 zł. Kromka chleba o masie 50 g zawiera 100 kcal i 10 g białka. Porcja piersi z kurczaka zaś, o masie 100 g, zawiera 300 kcal i 40 g białka. Student chce dostarczyć swojemu organizmowi dziennie co najmniej 3000 kcal i 320 g białka. Chce również, aby masa spożytego przez niego chleba była nie mniejsza niż masa spożytego mięsa.
a) (2 pkt) Zapisz zadanie PL, którego rozwiązanie pozwoli studentowi wyznaczyć optymalny menu.
b) (3 pkt) Wyznacz optymalne menu studenta i minimalny koszt dziennego wyżywienia rozwiązując zadanie PL metodą graficzną.
c) (1 pkt) Które warunki są luźne w rozwiązaniu optymalnym?
d) (2 pkt) W jakich granicach może się zmieniać cena chleba, aby decyzja optymalna nie uległa zmianie?
e) (2 pkt) Przypuśćmy, że student postanowił zwiększyć minimalną dzienną dawkę białka do 340 g. Jaka będzie wówczas decyzja optymalna studenta? Ile wyniesie minimalny koszt?
f) (2 pkt) Jakie wartości powinna przyjmować cena piersi, aby zbiór rozwiązań optymalnych zadania był nieograniczony (przyjmij, że cena piersi może wyrażać się dowolną liczbą rzeczywistą, również ujemną)?
Zadanie nr 3
Justynka chciała za pomocą Solvera rozwiązać następujące zadanie PL:
! 2 ! 3 " # $%
przy poniższym zestawie warunków ograniczających:
! ! " ' 10
& 2 ' 30 )
! 2,5 " ( 20
, , " ' 0
Poniżej przedstawiony jest raport wrażliwości wygenerowany przez Solver dla rozwiązania optymalnego do tego zadania. Niestety, Staszek – złośliwy brat Justynki – pozmieniał część liczb w przeklejonym do Worda wydruku. Justynka, gdy ponownie usiadła do komputera zobaczyła, że coś jest nie tak. Brat przyznał się przy których liczbach majstrował (zostały one zaznaczone gwiazdką). Dzięki temu Justynka wie, że wszystkie pozostałe liczby są poprawne, wśród tych zaznaczonych gwiazdką zaś część jest poprawna a część błędna.
Wartość
Przyrost
Współczynnik
Dopuszczalny
Dopuszczalny
Nazwa
Końcowa
Krańcowy
funkcji celu
wzrost
Spadek
x1
20
3,5(*)
1(*)
1E+30
3,8
x2
10
0
2
1E+30
1,9
x3
0
-9,5
3
9,5(*)
0,5(*)
Warunki ograniczające
Wartość
Cena
Prawa strona
Dopuszczalny
Dopuszczalny
Nazwa
Końcowa
Dualna
w. o.
wzrost
Spadek
I
10,00(*)
0,00
10
20
10(*)
II
30,00
2,00(*)
30
10(*)
1E+30
III
20,00
5,00
20
1E+30
5
a) (4 pkt) Wypowiedz się, wraz z uzasadnieniem, na temat każdej liczby zaznaczonej gwiazdką czy może ona być poprawna czy też musi być błędna.
b) (1 pkt) Które warunki są napięte w rozwiązaniu optymalnym?
c) (2 pkt) Ile wyniesie maksymalna wartość funkcji celu, gdy współczynnik funkcji celu przy x2 wyniesie 0?
d) (2 pkt) Ile wyniesie maksymalna wartość funkcji celu, gdy wyraz wolny w trzecim warunku ograniczającym zmieni swą wartość na 30?
e) (2 pkt) Czy istnieją takie wartości współczynników funkcji celu, dla których rozwiązanie (17,5; 5; 1) jest jedynym rozwiązaniem optymalnym przy danych warunkach ograniczających? Dlaczego?
f) (1 pkt) Jakie rozwiązanie byłoby optymalne w przypadku maksymalizacji funkcji
*+ , , ", 3 ! 6 ! 9 " przy niezmienionych warunkach ograniczających?
Zadanie nr 4
Przedsiębiorstwo spedycyjne „Śmieciowóz” świadczy usługi transportowe spółce „Pleśń”
produkującej sałatkę warzywną. Trzy wytwórnie spółki przygotowują dziennie odpowiednio 600 kg, 500 kg i 700 kg sałatki. Sałatka jest przewożona do trzech sklepów, które stale zamawiają po 600 kg sałatki. Dana jest macierz C, której elementy cij są kosztami transportu (w zł/100 kg sałatki) między i-tą wytwórnią a j-tym sklepem; i,j = 1, 2, 3.
2 4 6
. 3 5 1
5 1 8
Spółka „Pleśń” żąda od przedsiębiorstwa spedycyjnego opracowania takiego planu dziennych przewozów sałatki warzywnej między wytwórniami a sklepami, aby łączny koszt transportu był minimalny.
a) (3 pkt) Zapisz zadanie PL, pozwalające ustalić optymalny plan przewozów sałatki.
b) (1 pkt) Czy prawdą jest, że w optymalnym planie transportu sałatka warzywna przewożona jest na co najmniej czterech trasach między wytwórniami a sklepami?
Uzasadnij.
Zadanie nr 5
Poniżej opisane jest przedsięwzięcie wieloczynnościowe wdrażania nowego produktu przez firmę X:
Czas
Czynności
Czynność
Opis czynności
trwania
bezpośrednio
[tydzień]
poprzedzające
A
Wykonanie projektu produktu
6
--
B
Wykonanie planu badań rynku
2
--
C
Przygotowanie technologii produkcji
4
A
D
Zbudowanie prototypu
6
A
E
Przygotowanie broszury reklamowej
3
A
F
Ocena kosztów
2
C, D
G
Wstępne testowanie produktu
5
D
H
Badanie rynku
3
B, E
I
Raport cenowy i prognozy
2
H
J
Raport końcowy
2
F, G, I
a) (3 pkt) Narysuj graf tego przedsięwzięcia wieloczynnościowego.
b) (2 pkt) Wyznacz ścieżkę krytyczną w tym grafie.
c) (1 pkt) Jaki jest najkrótszy możliwy czas realizacji przedsięwzięcia?
d) (2 pkt) Jak zmieni się czas krytyczny jeśli czas wykonania czynności G zostanie skrócony do 1 tygodnia?
e) (2 pkt) Oblicz i zinterpretuj luz zdarzenia polegającego na zakończeniu czynności B i E.