Stochastyczne równania różniczkowe. Minimalne wymagania programowe na ocenę trzy (obowiazują również inne wymagania (m. in. obecność na ćwiczeniach)
- szczegóły były podane na pierwszych ćwiczeniach 24. lutego 2009) 1. Proces Wienera (definicja, definicja równoważna, podstawowe własności) 2. Wyznaczanie całek Itô dla procesów prostych: zgodnych i prognozowalnych 3. Warunki istnienia całki Itô (nie obowiązuje na I terminie kolokwium) 4. Własności całki Itô
5. Wyznaczanie całek Itô przy wykorzystaniu jednowymiarowego wzoru Itô (postać całkowa, szczególne przypadki wzoru Itô) 6. Różniczka stochastyczna. Badanie martyngałów 7. Całka Paleya-Wienera-Zygmunda (P-W-Z) i jej charakterystyki liczbowe 8. Stochastyczne równania różniczkowe (nie obowiązuje na I terminie kolokwium)
9. Wielowymiarowy wzór Itô w postaci różniczkowej i zastosowanie jego szczególnych przypadków do obliczania różniczek stochastycznych Stochastyczne równania różniczkowe. Przykładowe zadania w zakresie po-wyższych minimalnych wymagań na ocenę trzy (wszystkie zostały rozwiązane na ćwiczeniach)
Przykładowe zadanie 1 Niech Wt, t 0 oznacza proces Wienera. Pokazać, że dla ustalonego t 0 zmienna losowa Wt ma rozkład N (0 , t) oraz że dla ustalonych s, t 0 cov( Ws, Wt) = min {s, t}.
Przykładowe zadanie 2 Ustalmy b > 0. Dla dowolnej stałej rzeczywistej a wy-znaczyć
b
Z
a dWt ,
0
gdzie Wt jest procesem Wienera.
Przykładowe zadanie 3 Niech Wt, t 0 będzie procesem Wienera. Ustalmy b > 0. Pokazać, że całka Itô b
Z
eWt dWt
0
istnieje.
Przykładowe zadanie 4 Ustalmy T > 0. Skonstruować kontrprzykład (zdefi-niować funkcję g i przeprowadzić stosowne obliczenia) pokazujący, że całka Itô nie posiada następującej własności:
T
T
Z
Z
g dW ¬
|g| dW
t
t ,
0
0
gdzie Wt jest procesem Wienera.
Przykładowe zadanie 5 Ustalmy b > 0. Dla dowolnej stałej rzeczywistej a wy-znaczyć
b
Z
Wt + a dWt ,
0
gdzie Wt jest procesem Wienera.
Przykładowe zadanie 6 Niech Wt, t 0 będzie procesem Wienera. Korzysta-jąc ze wzoru Itô, obliczyć różniczkę stochastyczną procesu t
At = e 2 sin Wt, t 0 .
Sprawdzić czy proces At, t 0 jest martyngałem.
Przykładowe zadanie 7 Niech Wt - proces Wienera, g - jak w definicji (P-W-Z). Obliczyć
1
Z
h
i
V ar
g( t) dWt .
0
Przykładowe zadanie 8 Niech Wt, t 0 będzie procesem Wienera. Rozwiązać stochastyczne równanie różniczkowe
dXt = µXtdt + σXtdWt, t 0 ,
−∞ < µ < + ∞,
σ > 0 .
Przykładowe zadanie 9 Wyznaczyć (w postaci różniczkowej) wzór na różniczkę stochastyczną ilorazu.