Test Dickeya i Fullera (test jednostkowego pierwiastka, ang. unit-root test)

Jest to najpopularniejszy i najcz ciej stosowany test na obecno pierwiastków jednostkowych. Nie ma on du ej mocy1, w zwi zku z tym cz sto faworyzuje hipotez o istnieniu pierwiastka jednostkowego2.

Przyjmijmy nast puj ce zało enia:

1. {ξt} ~ AR(1) ⇔ ξ t = ϕ ξ

1 t−1 + ε t , {ε t }~WN( σ2),

[∀t ∈ lub t = 1, 2, ..., ξ0 – warunek pocz tkowy, odpowiednio dobrany]

2. ϕ1 ∈ (-1, 1]

3. {ε t } – biały szum gaussowski (zmienne losowe ε t , t =1, 2, ... musz by niezale ne, dla asymptotycznych wyników ani zało enie normalno ci ani homoskedastyczno ci nie s potrzebne3)

Układ hipotez:

H0: ϕ1 = 1 (proces {ξt} jest bł dzeniem przypadkowym, istnieje pierwiastek jednostkowy = 1, skutek szoku jest trwały, {ξt} ~ I(1))

H1: ϕ1 < 1 ({ξt} jest kowariancyjnie stacjonarnym procesem AR(1), skutek wyst pienia szoku stopniowo zmierza do zera, {ξt} ~ I(0))

Nie mo na bezpo rednio testowa czy ϕ1 = 1 w równaniu autoregresji ξ t = ϕ ξ

1 t−1 + ε t ,

szacuj c model MNK i u ywaj c statystyki t Studenta. Gdy ϕ1 = 1 proces generuj cy dane

{ξt} nie jest bowiem kowariancyjnie stacjonarny. Estymator MNK mo e by wtedy znacznie obci ony, a ponadto niewiele wiadomo o rozkładzie statystyki t Studenta, gdy zmienna ξt jest niestacjonarna4. Estymator MNK daj ocen obni on w kierunku zera (ale jest super zgodny). Podobnie gdy ϕ1 jest bliskie 1, ocena uzyskana za pomoc MNK jest obci ona w kierunku zera5 (Maddala (2006), str. 613).

Odpowiednia metoda testowania została podana przez Dickeya i Fullera. Test oparty jest na estymacji równania równowa nego.

1 Moc testu: 1-b, gdzie b=Pr(nieodrzucenia H0 | H0 jest fałszywa). Czyli moc testu to Pr(odrzucenia H0 | H0 jest fałszywa)

2 Osi ska (2006)

3 Mackinnon J.G. (1996), Numerical Distribution Functions for Unit Root and Cointegration Tests, Journal of Applied Econometrics, vol. 11, 601-618.

4 Charemza i Deadman (1997)

5 Maddala G. S. (2006), Ekonometria, PWN, Warszawa 2006

Reparametryzujemy proces:

ξ t = ϕ ξ

1 t−1 + ε t

ξ t −ξ t−1 = ϕ ξ

1 t−1 − ξ t−1 + ε t

∆ξ t = ϕ

( 1 − ξ

)

1 t−1 + ε t

∆ξ t = δξ t 1

− + ε t , gdzie δ = 1

ϕ −1∈(-2,0], t = 1, ..., T,

Struktura zale no ci:

przyrost = delta *opó niony poziom+ szum

Test Dickeya i Fullera polega na testowaniu nast puj cego układu hipotez: H0: δ = 0 ({∆ξt} jest białym szumem)

H1: δ < 0 ({ξt} jest kowariancyjnie stacjonarnym procesem AR(1)) Do tego celu wykorzystuje si m.in. iloraz oceny parametru δ, otrzymanej MNK, i jego bł du redniego szacunku.

Statystyka testowa:

ˆ

δ

DF =

,

ˆ D( ˆδ)

gdzie

T

T

∆ξ

1

2

tξ t −1

(∆ξ t − ˆξ

δ t−1)

t =

ˆ

δ = 1

,

T −1 t=

Dˆ( ˆ

δ ) =

1

T

2

T

ξ

2

t −1

ξ t−1

t =1

t=1

δˆ - estymator MNK parametru δ,

ˆ ˆ

D(δ ) - bł d redni szacunku parametru δ .

Przy prawdziwo ci hipotezy zerowej, ten iloraz (czyli DF) nie ma rozkładu t Studenta (mamy regresj zmiennych tworz cych proces I(0) wzgl dem zmiennych tworz cych proces I(1), iloraz nie ma granicznego rozkładu normalnego, Charemza i Deadman 1997, str.114). Jego rozkład cechuje „ujemna sko no ”.

Własno ci asymptotyczne statystyki DF :

N(0,1), DF ~ tT-1, ale T→∞

tT-1 → N(0,1)

H1 prawdziwa

DF

T →∞

Rozkład lewostronnie

asymetryczny,

H

niestandardowy, o grubym

0 prawdziwa

lewym ogonie

DFα - kwantyl rz du α w rozkładzie asymptotycznym.

Pr(DF < DFα |H0, T→∞) = α.

Reguła decyzyjna:

Je eli DFemp < DFα , to H0 odrzucamy ({ξt} jest kowariancyjnie stacjonarnym procesem AR(1), {ξt} ~ I(0)).

Je eli DFemp ≥ DFα , to brak podstaw do odrzucenia H0 (proces ma raczej charakter bł dzenia przypadkowego).

N(0,1)

DFα

-1,64 w. kryt. dla N(0,1)

Je eli hipotez zerow odrzucamy, to proces {ξt} jest kowariancyjnie stacjonarnym procesem AR(1).

Je eli nie ma podstaw do odrzucenia H0, to zwykle testuje si wyst powanie pierwiastka jednostkowego = 1 dla pierwszych przyrostów.

∆ξ t = ϕ ξ

∆ t−1 + ε t

∆ ξ

2 t =δ ξ

∆ t−1 +ε t .

H0: δ = 0 ({∆2ξt} jest białym szumem)

H1: δ < 0 ({∆ξt} jest kowariancyjnie stacjonarnym procesem AR(1)) Cał procedur powtarza si dla kolejnych przyrostów, a H0 zostanie odrzucona. W ten sposób testuje si krotno pierwiastka jednostkowego równego 1. Sekwencja testów nie ma formalnego statystycznego uzasadnienia. Czasem, po prostu tak si robi, cho nie powinno.

Istnieje niebezpiecze stwo nadmiernego zró nicowania, czyli zastosowanie operatora odejmowania zbyt wiele razy. Nadmierne obliczanie przyrostów zwykle przejawia si bardzo wysok dodatni warto ci testu DF poł czon z bardzo wysokim współczynnikiem determinacji dla oszacowanego równania (Charemza i Deadman (1997), str. 116).

Nie ka dy proces poprzez ró nicowanie da si sprowadzi do stacjonarno ci, np.

ξ = ex

t

t , xt = xt− + ε t , {ε t} ~ WN( 2

1

σ ) , wtedy {ξt} ~ I(∞), ale poprzez logarytmowanie i

ró nicowanie sprowadzimy go do kowariancyjnej stacjonarno ci.

Rozszerzony test Dickeya i Fullera (ang. Augmented Dickey-Fuller test)

[testowanie pojedynczego pierwiastka jednostkowego = 1 w procesie AR(p)]

W te cie Dickeya i Fullera zakłada si , e zmienne losowe εt dla t = 1, 2, ... s niezale ne.

Problem wi c pojawia si wówczas gdy obserwowana jest wyra na ich korelacja. Aby zlikwidowa korelacj tych zmiennych losowych, do modelu wprowadza si opó nione przyrosty obserwowanej zmiennej.

Rozwa my proces autoregresyjny rz du p ≥ 2.

ξt ~ AR(p) ⇔∀t ∈ ξ t = ϕ ξ

1 t −1 + ϕ ξ

2 t −2 + ... + ϕ pξ t− p + ε t ,

{ε t }~i.i.N(0,σ2), ϕ

.

1,ϕ2 ,...,ϕ p ∈

Zakładamy, e wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego s co do modułu wi ksze od 1 lub dokładnie równe 1 (uwaga nie -1).

Jakie s warunki konieczne i wystarczaj ce na to, aby proces AR(p) posiadał pierwiastek jednostkowy równy jeden?

0

1

2

p

2

p

w( z) = z −ϕ z

1

−ϕ z

2

+...−ϕ z =1−ϕ z

1 − ϕ z

2

+ ...−ϕ z

p

p

p

w(1) =0 ⇔ 1-ϕ1 + …- ϕp = 0 ⇔ ϕ

.

j = 1

j 1

=

Reparametryzacja procesu AR(p):

ξ t =ϕ ξ

1 t−1 + ϕ ξ

2 t− + ...

2

+ϕ pξ t− p +ε t

ξ = ϕ

(

...

)

(

...

)

(

...

)

(

...

)

1 + ϕ2 +

+ ϕ ξ −1 − ϕ2 + +ϕ ξ −1 + ϕ2 + +ϕ ξ −2 − ϕ3 + +ϕ ξ −2 +

t

p

t

p

t

p

t

p

t

+ ... −ϕ ξ −( − )1 +ϕ ξ − + ε

p t

p

p t p

t

ξ −ξ

[(

...

)

]

1

(

...

)

(

...

)

(

...

)

−1 =

ϕ1 +ϕ2 + +ϕ − ξ −1 − ϕ2 + +ϕ ξ −1 + ϕ2 + +ϕ ξ −2 − ϕ3 + +ϕ ξ −2 +

t

t

p

t

p

t

p

t

p

t

+ ... −ϕ ξ −( − )1 +ϕ ξ − + ε

p t

p

p t p

t

∆ξ = δξ −

...

1 + γ 1 ξ

∆ −1 + + γ −1∆ξ −( − )1 + ε

t

t

t

p

t p

t

p

p

δ = ϕ

γ

ϕ

.

j − ,

1

i = −

h ,

i = ,

1 ,

2 ... p −1

j 1

=

h= i 1

+

Test ADF

Zało enia:

1. {ξt} ~ AR(p) ⇔ ξ t = ϕ ξ

1 t−1 + ϕ ξ

2 t− + ...

2

+ϕ pξ t− p +ε t ,

[∀t ∈ lub t = 1, 2, ..., ξ0 – warunek pocz tkowy, odpowiednio dobrany]

2. {ε t } ~ i.i.N(0,σ2),

3. w(z) posiada co najwy ej jeden pierwiastek jednostkowy = 1 lub nie posiada adnych pierwiastków jednostkowych, a wszystkie pozostałe pierwiastki le poza kołem jednostkowym.

p

w( z) = 1−ϕ z ϕ

... ϕ

ϕ

(

)

1 −

z 2

2

+ −

p

z

z z

p

= − p∏ − i

i=1

zało enie 3. mo na zapisa :

∀ i ∈ ,

1

{ ..., }

p | z

i

p z

i

p

i

z

i |> 1 ∨ ( !

∃ ∈

i =

∧ ∀ ∈

i >

0

,

1

{ ..., }:

1

,

1

{ ..., } \ { 0}| | 1 )

Układ hipotez:

H0: δ = 0 [proces {ξt} nie jest kowariancyjnie stacjonarny, ale proces przyrostów jest AR(p-1) kow. stacjonarny]

H1: δ < 0 [{ξt}~AR(p) jest kowariancyjnie stacjonarny]

Regresja Dickey’a i Fullera: ξ

∆ = δξ −

...

, t = 1, ..., T.

1 + γ 1 ξ

∆ −1 + + γ −1 ξ

∆ −( − )1 + ε

t

t

t

p

t p

t

Estymacja metod najmniejszych kwadratów.

Statystyka testowa:

ˆ

δ

ADF = ˆ ˆ ,

D(δ )

δˆ - estymator MNK parametru δ,

ˆ ˆ

D(δ ) - bł d redni szacunku parametru δ .

Przy prawdziwo ci hipotezy zerowej, ten iloraz nie ma rozkładu t Studenta. Jego rozkład cechuje asymetria i gruby lewy ogon.

DFα - kwantyl rz du α w rozkładzie asymptotycznym (α - poziom istotno ci).

Pr(ADF < DFα |H0, T→∞) = α.

Reguła decyzyjna:

Je eli ADFemp < DFα , to H0 odrzucamy ({ξt} jest kowariancyjnie stacjonarnym procesem AR(p)).

Je eli ADFemp ≥ DFα, to brak podstaw do odrzucenia H0.

Asymptotyczne warto ci krytyczne s takie same jak dla testu DF.

W praktyce stosuje si sekwencj testów (post powanie nieformalne): Niech ξt ~ AR(p) ⇔∀t ∈ ξ t = ϕ ξ

1 t −1 + ϕ ξ

2 t−2 + ... + ϕ pξ t− p + ε t ,

{ε t }~i.i.N(0,σ2), ϕ

1,ϕ2 ,...,ϕ p ∈

1)

H0 nie odrzucamy {∆ξt} ~ AR(p-1) i testujemy stacjonarno {∆ξt}, H0 nie odrzucamy {∆2ξt} ~ AR(p-2) i testujemy stacjonarno {∆2ξt},

….

H0 odrzucamy {ξt} ~ AR(p) - stacjonarny.

Ten sposób testowania nie jest dobry. Gdy {ξt} ~ I(2), to test mo e pokaza , e jest I(0).

2)

Troch bardziej poprawne (ale dalej nieformalne) jest testowanie od góry. Gdy spodziewamy si , e proces jest I(3), to testujemy:

H0 : {∆2ξt} ~ I(1) vs. H1 : {∆2ξt} ~ I(0)

H0 nie odrzucamy {ξt} ~ I(3),

H0 odrzucamy {∆2ξt} ~ I(0) → testujemy: H0 : {∆ξt} ~ I(1) vs. H1 : {∆ξt} ~ I(0), H0 nie odrzucamy {ξt} ~ I(2),

H0 odrzucamy {∆ξt} ~ I(0) → testujemy: H0 : {ξt} ~ I(1) vs. H1 : {ξt} ~ I(0), Jak dobra p? Wykorzysta statystyk Durbina i Watsona. Gdy statystyka DW jest niska zwi kszamy p z nadziej , e zniknie autokorelacja (nie jest to formalnie poprawne –

niespełnione s zało enia testu DW, Charemza i Deadman (1997), str. 117).