Szeregiem symetrycznym nazywamy taki szereg, w którym liczebności rozkładają w identyczny sposób po obu stronach dominanty. Szereg symetryczny posiada następującą własność: x =Me=Do. Własność ta jest wykorzystywana przy określaniu kierunku asymetrii.
O asymetrii dodatniej mówimy, gdy Do< x czyli x -Do>0.
O asymetrii ujemnej mówimy, gdy Do> x czyli x -Do<0.
W szeregach asymetrycznych (skośnych) z reguły mediana znajduje się między Do a x . Jeżeli:
Do<Me< x - mówimy o skośności dodatniej (prawostronnej);
x <Me<Do – mówimy o skośności ujemnej (lewostronnej).
Jeżeli szereg nie jest skrajnie asymetryczny to między tymi miarami zachodzi przybliżona równość:
x -Do ≈ 3( x -Me). Z tej zależności wynika, że mediana w szeregu łagodnie asymetrycznym leży znacznie bliżej średniej arytmetycznej niż dominanta.
Miary stopnia asymetrii:
współczynnik skośności – miara klasyczna, względna, niemianowana do porównań 2 zbiorowości:
x − Do
W =
s
sx
Może być wyrażony w % (interpretacja: np. Ws = 40% - skośność szeregu wynosi 40% jego rozrzutu). Ws ∈[-1, 1].
pozycyjny współczynnik asymetrii As – zdefiniowany za pomocą kwartyli; przy jego określeniu korzysta się z faktu, iż w rozkładzie symetrycznym kwartyl III jest tak samo odległy od Me jak kwartyl I czyli Q3 – Me = Me
– Q1.
Dla asymetrii prawostronnej: Q3 – Me > Me – Q1.
Dla asymetrii lewostronnej Q3 – Me < Me – Q1.
Q
(
− Me) − ( Me − Q ) Q − 2 Me + Q
3
1
3
1
=
=
,
s
A
Q
2 x
Q
2 x
gdzie Qx jest odchyleniem ćwiartkowym. As ∈ [-1, 1].
Szereg symetryczny
szereg o asymetrii prawostronnej
szereg o asymetrii lewostronnej
szereg skrajnie asymetryczny