WM

Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH - 

ZADANIE 23

1

Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – 

ZADANIE 23

Z5/23.1. Zadanie 23

Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku 

Z5/23.1. Wymiary belki podane są w metrach.

A

B

C

D

24,0 kN

16,0 kN/m

3,0

2,0

2,0

[m]

Rys. Z5/23.1. Belka prosta

Z5/23.2. Analiza kinematyczna belki

Rysunek Z5/23.2 przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę 

sztywną.

1

2

3

I

A

C

D

Rys. Z5/23.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna

Jak widać na rysunku Z5/23.2 tarcza sztywna posiada trzy stopnie swobody. Tarcza ta jest podparta 

trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem trzy stopnie swobody. Został 
więc   spełniony  warunek   konieczny  geometrycznej   niezmienności   (2.4).   Belka   może  więc   być   układem 
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. 

Tarcza numer  I jest  podparta trzema prętami  podporowymi  numer 1, 2 i 3, których  kierunki  nie 

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony także i warunek dostateczny geometrycznej nie-
zmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.

Z5/23.3. Wyznaczenie reakcji podporowych

Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty. 

Rysunek Z5/23.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki. 

Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na 

belkę na oś poziomą X.



X =H

A

=

0

H

A

=

0,0 kN

.

(Z5/23.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH - 

ZADANIE 23

2

X

Y

A

B

C

D

24,0 kN

16,0 kN/m

3,0

2,0

2,0

[m]

V

A

H

A

V

C

Rys. Z5/23.3. Założone zwroty reakcji podporowych

Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających 

na belkę względem punktu C.



M

C

=

V

A

⋅

5,0−

1
2

⋅

16,0⋅3,0⋅



2,0

1
3

⋅

3,0





24,0⋅2,0=0

V

A

=

4,8 kN

.

(Z5/23.2)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Pionową reakcję na podporze C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających 

na belkę względem punktu A.



M

A

=−

V

C

⋅

5,0

1
2

⋅

16,0⋅3,0⋅

2
3

⋅

3,024,0⋅7,0=0

V

C

=

43,2 kN

.

(Z5/23.3)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił 

działających na belkę na oś pionową Y.



Y =V

A



V

C

−

1

2

⋅

16,0⋅3,0−24,0=4,843,2−24,0−24,0=0

.

(Z5/23.4)

Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się 
w równowadze.

Rysunek Z5/23.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej 

belki.

Z5/23.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB

Rysunek Z5/23.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym 

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

W dalszej części przy wyznaczaniu  postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu 

zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:

•

siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać 
z minusem

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH - 

ZADANIE 23

3

•

siły,   które   działają   przeciwnie   do   dodatniego   zwrotu   siły  normalnej   lub   poprzecznej   będziemy 
zapisywać z plusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy 
zapisywać z minusem

•

siły  i   momenty   skupione,   które   kręcą   przeciwnie   do   dodatniego   zwrotu   momentu   zginającego 
będziemy zapisywać z plusem.

A

B

C

D

24,0 kN

16,0 kN/m

3,0

2,0

2,0

[m]

4,8 kN

43,2 kN

Rys. Z5/23.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej

A

x

4,8 kN

q(x)

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z5/23.5. Siły działające w przedziale AB

Funkcja obciążenia ciągłego trójkątnego prostopadłego do osi belki będzie miała, zgodnie ze wzorem 

(5.3), postać

q



x



=

16,0

3,0

⋅

x=

16

3

⋅

x

.

(Z5/23.5)

Jak widać na rysunku Z5/23.5 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy 

z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta 
ma postać

T



x



=

4,8−

1

2

⋅

q



x



⋅

x=4,8−

1
2

⋅

16

3

⋅

x⋅x=4,8−

8

3

⋅

x

2

.

(Z5/23.6)

Funkcja siły poprzecznej jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej 
wartości w trzech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału wynoszą

T



0,0



=

4,8 kN

T



3,0



=

4,8−

8
3

⋅

3,0

2

=−

19,2 kN

.

(Z5/23.7)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH - 

ZADANIE 23

4

Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc w prze-
dziale AB miejsce zerowe, które znajduje się w odległości

4,8−

8
3

⋅

x

0

2

=

0

x

0

=

1,342 m

(Z5/23.8)

od początku przedziału czyli od punktu A. Współczynnik przy x

2

 jest ujemny więc parabola siły poprzecznej 

będzie miała „brzuszek” do góry. Ekstremum tego wykresu znajduje się w punkcie A, w którym obciążenie 
trójkątne ma wartość zero.

Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą 

część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający. 

M



x



=

4,8⋅x−

1
2

⋅

q



x



⋅

x⋅

1

3

⋅

x=4,8⋅x−

1
2

⋅

16

3

⋅

x⋅x⋅

1
3

⋅

x

M



x



=−

8
9

⋅

x

3



4,8⋅x

.

(Z5/23.9)

Funkcja   momentu   zginającego   jest   wielomianem   trzeciego   stopnia   i   aby   ją   jednoznacznie   narysować 
potrzebujemy jej wartości w czterech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału oraz w miejscu 
ekstremum wynoszą

M



0,0



=

0,0 kNm

M



1,342



=−

8
9

⋅

1,342

3



4,8⋅1,342=4,293 kNm

M



3,0



=−

8
9

⋅

3,0

3



4,8⋅3,0=−9,6 kNm

.

(Z5/23.10)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na 
górze, dodatnie zaś na dole. Czwartym punktem funkcji będzie fakt, że „brzuszek” jej musi być skierowany 
w stronę obciążenia trójkątnego czyli w dół. 

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania rów-

nowagi (5.22) i (5.23). Pierwsze z nich ma postać

dT



x



dx

=−

16

3

⋅

x=−q



x



.

(Z5/23.11)

Drugie ma postać

dM



x



dx

=

4,8−

8
3

⋅

x

2

=

T



x



.

(Z5/23.12)

Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.

Wykresy  funkcji   siły  poprzecznej   i   momentu   zginającego   w   przedziale  AB   przedstawia   rysunek 

Z5/23.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH - 

ZADANIE 23

5

Z5/23.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC

Rysunek Z5/23.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym 

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe. 

C

D

24,0 kN

x

2,0

[m]

43,2 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z5/23.6. Siły działające w przedziale BC

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa. 

Jak   widać   na   rysunku   Z5/23.6   funkcja   siły   normalnej   w   tym   przedziale   jest   równa   także   zero.   Siła 
poprzeczna ma postać

T



x



=−

43,224,0=−19,2 kN

.

(Z5/23.13)

Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać

M



x



=

43,2⋅x−24,0⋅



x2,0



=

19,2⋅x−48,0

.

(Z5/23.14)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej 
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=−

48,0kNm

M



2,0



=

19,2⋅2,0−48,0=−9,6 kNm

.

(Z5/23.15)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na 
górze.

Oś   X   układu   współrzędnych   jest   skierowana   w   lewo,   zastosujemy   więc   różniczkowe   równania 

równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=

19,2=−T



x



.

(Z5/23.16)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy  funkcji   siły  poprzecznej   i   momentu   zginającego   w   przedziale   BC   przedstawia   rysunek 

Z5/23.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.

Z5/23.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD

Rysunek Z5/23.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym 

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe. 

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH - 

ZADANIE 23

6

D

24,0 kN

x

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z5/23.7. Siły działające w przedziale CD

A

B

C

D

24,0 kN

16,0 kN/m

3,0

2,0

2,0

[m]

4,8 kN

43,2 kN

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

4,8

19,2

24,0

0,0

9,

6

48

,0

0,

0

1,342

1,658

1,342

1,658

4,

29

3

Rys. Z5/23.8. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa. 

Jak   widać   na   rysunku   Z5/23.7   funkcja   siły   normalnej   w   tym   przedziale   jest   równa   także   zero.   Siła 
poprzeczna ma postać

T



x



=

24,0 kN

.

(Z5/23.17)

Moment zginający w przedziale CD będzie miał postać

M



x



=−

24,0⋅x

.

(Z5/23.18)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej 
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/23. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH - 

ZADANIE 23

7

M



0,0



=

0,0 kNm

M



2,0



=−

24,0⋅2,0=−48,0 kNm

.

(Z5/23.19)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na 
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania rów-

nowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=−

24,0=−T



x



.

(Z5/23.20)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy  funkcji   siły  poprzecznej   i   momentu   zginającego   w   przedziale   CD   przedstawia   rysunek 

Z5/23.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.

Dr inż. Janusz Dębiński