Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
Ćwiczenie 4.
Sterowanie wahadła z napędem śmigłowym – dSPACE
1
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
Ćwiczenie 4.
Sterowanie wahadła z napędem śmigłowym – dSPACE
1
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
1. Stanowisko laboratoryjne
Badany układ dynamiczny składa się z :
−
wahadła z napędem śmigłowy z układem zasilania
−
sterującego ww. obiektem komputera z kartą dSPACE z oprogramowaniem
Obiekt sterowany:
Oś wahadła wykonana jest z lekkiego profilu kwadratowego. Na jednym z końców zamocowany jest
silnik ze śmigłem generującym siłę działającą na wahadło w płaszczyźnie ruchu. Jest to jedyne wymuszenie
działające na obiekt. Parametry wahadła zestawiono w tabeli:
Parametr
Wartość
Moment bezwładności
0.1113
Współczynnik tarcia
0.0291
Moment od grawitacji
0.0383
Inercja napędu
0.918
Napęd zrealizowany jest za pomocą silnika prądu stałego połączonego bezpośrednio ze śmigłem o średnicy 9.5
cala. Charakterystyka statyczna napędu jest nieliniowa. Na osi poziomej umieszczona została wartość zadana
sterowania, na osi pionowej wartość siły ciągu niemianowana. Wartość sterowania pochodzi z przedziału 0-1 i
jest współczynnikiem wypełnienia sygnału PWM. Prezentowany zakres 0-0.45 wynika z ograniczeń fizycznych
obiektu w badanej konfiguracji.
Zasada działania zasilacza PWM jest następująca: Pełne napięcie zasilania podawane jest na silnik w
postaci sygnału prostokątnego. Regulując współczynnik wypełnienia uzyskujemy realny wpływ na średnią
napięcia widzianą przez odbiornik. Przy odpowiednio krótkim okresie sygnału i przy założeniu rezystancyjno –
indukcyjnego charakteru odbiornika uzyskujemy możliwość płynnej regulacji prądu quasi-stałego.
Napęd śmigłowy ma nieliniową charakterystykę, której opis związany jest ze zjawiskami
aerodynamicznymi nie będącymi przedmiotem badań. Jedyną dostępną informacją o ww. zjawiskach jest
uzyskana doświadczalnie charakterystyka kąta w funkcji PWM wyznaczana w trakcie zajęć.
2
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
Oprócz nieliniowej charakterystyki statycznej napęd cechuje się inercją wynikającą z konieczności
rozpędzenia śmigła do prędkości zadanej. Inercja ta jest trudne do wyznaczenia ze względu na brak dostępu do
wszystkich zmiennych wektora stanu. Jej wartość wynosi 0.918s. Została ona wyznaczona za pomocą algorytmu
rojowego. Umiejscowienie inercji w modelu i sposób jej powiązania z nieliniową charakterystyką zostały
podane w rozdziale opisującym model sterowanego obiektu.
Z drugiej strony pręta zamocowane jest regulowane obciążenie zmieniające moment bezwładności i
położenie środka ciężkości wahadła. Zmiana obciążenia odbywa się pod nadzorem prowadzącego ćwiczenie.
Oś obrotu wahadła zamocowana jest za pomocą łożyska do podstawy wahadła. Z drugiej strony
mocowania zamontowane jest sprzęgło i enkoder.
Enkoder
Enkoder jest urządzeniem służącym do pomiaru konta obrotu.
Typowy enkoder przyrostowy zbudowany jest z tarczy z zaznaczoną
podziałką. Najczęściej spotykaną techniką wykonania jest układ
naprzemiennie obszarów przezroczystych i absorbujących światło. Po
jednej stronie tarczy umieszcza się źródło światła, po drugiej zaś
element światłoczuły. W czasie obrotu tarczy następuje zasłanianie i
odsłanianie elementu fotoczułego. Zliczając impulsy otrzymujemy
informacje o przebytej drodze.
Chcąc uzyskać informacje o kierunku obrotów należy użyć dwóch
pierścieni przesłonek przesuniętych względem siebie o pi/2 radianów
i dwóch niezależnych fototranzystorów. Przy uwzględnieniu stałej szybkości obrotowej w czasie trwania
pojedynczego okresu przebiegu, na podstawie przesunięcia czasowego sygnałów odbieranych przez oba
fototranzystory otrzymujemy informację o kierunku obrotów. Najczęściej spotykane enkodery posiadają 500-
10000 działek / obrót. W zastosowaniach specjalnych spotykane są czujniki o wyższych dokładnościach.
Oprócz ww. Enkodera przyrostowego spotykanym rozwiązaniem są również
dekodery absoutne. Różnica polega na zastosowaniu zestawu elementów
fotoczułych w połaczeniu z wielorzędową tarczą. W takim systemie zawsze
znamy dokładne położenie kątowe wału. Należy zwrócić uwagę iż dokładność
pomiarowa określona jest wzorem 2
n
gdzie n jest ilością fototranzystorów
zliczających swoje rzędy podziałek. Wynika z tego większa złożoność układu i
związana z tym wyższa cena. Z tego powodu w zastosowaniach
niewymagających wiedzy o bezwzględnym położeniu, a wykorzystywanych
do pomiaru przebytej drobi, bądź prędkości nie ma potrzeby stosowania
bardziej złożonych elementów. Także w przypadku gdy możliwa jest łatwa
kalibracja sprzętu w położeniu zerowym nie ma potrzeby stosowania enkoderów bezwzględnych.
Komputer wykorzystywany w ćwiczeniu wyposażony jest we wbudowaną kartę z procesorem
sygnałowym dsp1102. Komputer jest zwykłą jednostką PC dysponującą złączem ISA. Karta stanowi
samodzielny system kontrolno-pomiarowy, dysponujący zestawem wejść – wyjść, z własną jednostką
obliczeniową i pamięcią. Komputer służy jedynie jako stanowisko programowania karty i umożliwia prezentację
3
Ilustracja 1: schemat budowy
tarczy enkodera przyrostowego
Ilustracja 2: enkoder
bezwzględny
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
obserwowanych przebiegów. W podstawowej wersji procesor DSP realizuje pliki C, odpowiednio przygotowane
z wykorzystaniem nagłówków dostarczonych przez producenta. Ze względu na potrzebę bardziej przyjaznego i
intuicyjnego środowiska pracy istnieje możliwość wykorzystania do programowania pakietu Simulink,
zintegrowanego z oprogramowaniem Matlab.
Simulink
Simulink jest częścią pakietu Matlab przeznaczoną
do łatwego modelowania i symulowania z
wykorzystaniem graficznego środowiska pracy.
Przyjęte rozwiązanie pozwala zachować
przejrzystość prac w porównaniu z matematycznym
opisem w postaci równań różniczkowych. Jednym ze
sposobów uruchomienia jest wykorzystanie
zaznaczonej ikony na pasku poleceń Matlaba. W
wykorzystywanym na laboratorium zakresie
opisywane narzędzie służy jednak do budowy modeli
za pomocą podstawowych elementów na podstawie
znanych równań fizycznych opisujących obiekt rzeczywisty. Rozwijalne menu z dostępnymi elementami do
stawienia zaprezentowane zostało na ilustracji 3. Z lewej strony widziane jest menu o strukturze drzewiastej.
Prawe okno to przestrzeń w
której możemy budować
schemat blokowy. Elementy z
menu umieszczamy na
schemacie przeciągając je
myszką. Na górze okna
wyboru elementów znajduje
się pole wyszukiwania
umożliwiające odnajdywanie
elementów po nazwach, bądź
też ich fragmentach. Na
przykładowym
schemacie
umieszczono podstawowy
zestaw elementów dla zadań
realizowanych na zajęciach. Łączenie bloków odbywa się poprzez przeciąganie linii pomiędzy strzałką
wchodzącą i wychodzącą z obiektu. Należy zwrócić uwagę iż połączenie pomiędzy blokami nie jest analogiczne
do połączenia w oprogramowaniu do symulacji elementów elektronicznych. Możliwe jest przekazywanie wielu
niezależnych sygnałów za pomocą jednego połączenia. W celu podziału bądź też scalenia sygnałów
wykorzystane są zaprezentowane na ilustracji 3 bloki mux i demux. W ramach programu ćwiczenia
przewidziano zarówno budowę schematów z przesyłaniem pojedynczej zmiennej jak i wektorowo – macierzową
postać tego samego modelu. Tak jak większość elementów bezpośrednio po przeciągnięciu do schematu
4
Ilustracja 3: uruchomienie Simulinka
Ilustracja 4: przykładowe elementy i schemat
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
elementy te posiadają wprowadzone parametry podstawowe. Właściwości poszczególnych elementów mogą być
konfigurowane w oknach parametrów rozwijających się po dwukrotnym kliknięciu na wybrany element. Po
zbudowaniu modelu możliwe jest przeprowadzenie symulacji. Obliczenia uruchamia się za pomocą przycisku
„play”. W trakcie trwania symulacji istnieje możliwość użycia pauzy, bądź też przerwania obliczeń, za pomocą
przycisku stop. Opcja ta jest szczególnie przydatna jeśli na skutek niepoprawnie dobranych parametrów
następuje znaczne wydłużenie czasu obliczeń, bądź w szczególnym przypadku dochodzi do utknięcia procesu. Z
taką sytuacją możemy mieć do czynienia np. w przypadku regulacji dwupołożeniowej, bez opóźnień i pętli
histerezy przy rozwiązywaniu równań różniczkowych metodą zmiennokrokową bez nałożonych ograniczeń na
długość kroku. Okres oscylacji dąży wówczas do zera, co prowadzi do utknięcia obliczeń. W prawym dolnym
rogu okna schematu w czasie symulacji pojawia się pasek postępu i zegar czasu symulacji. Jeśli następuje
zatrzymanie postępu prac, można domniemywać iż parametry symulacji zostały niepoprawnie dobrane.
Wybierając z menu tekstowego Simulation →
Parameters otwieramy okno wyboru parametrów
symulacji. Zakładka Solver służy do dobrania czasu
trwania symulacji i metody rozwiązywania równań
różniczkowych. Poniżej okienek wyboru znajdują się
pola konfiguracji aktualnie wybranej metody.
Osobnego omówienia wymaga jedynie blok
scope. Jest to oscyloskop służąc do bezpośredniej
obserwacji przebiegów. Parametry bloku znajdują się
pod ikoną properties, na lewo od ikony drukarki.
5
Ilustracja 3: parametry symulacji
Ilustracja 4: wirtualny oscyloskop i okno właściwości
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
W zakładce Data history umieszczone jest pole wyboru liczby wyświetlanych próbek. Standardowo wartość ta
ustawiona jest na 5000. Łatwo policzyć że w przypadku symulacji stałokrokowej przy kroku 1e-3odpowiada to
5s. Ograniczenie to ma na celu optymalizację użycia pamięci i w przypadku zaistnienia konieczności obserwacji
dłuższych przebiegów jego wartość może zostać zwiększona, bądź też można je wyłączyć całkowicie.
Simulink RTW (Real Time Workshop)
Możliwości pakietu Matlab – Simulink są wciąż rozszerzane poprzez kolejne dodatki (toolboxy). Są to
zestawy przygotowanych modeli, bądź też charakterystycznych elementów składowych umożliwiających
składanie modeli z gotowych bloków.
Modułem umożliwiającym wykonywanie programu w czasie rzeczywistym jest Toolbox RTW.
Przeprowadza on kompilację programu i po przesłaniu uruchamia go na karcie dSPACE. W trakcie pracy z
modułem RTW musimy rozróżnić wykonanie schematu w trybie symulacji i w trybie czasu rzeczywistego. Aby
możliwe było to ostatnie należy z menu Tools wybrać opcję RTW Build.
Simulink – NCD (Nonlinear Control Design)
Blok NCD służy do dobierania zestawu parametrów tak, aby przebieg podawany na wejście bloku
zmieścił się w narzuconych ograniczeniach. Istnieją liczne zastosowania tak uniwersalnego narzędzia, W trakcie
laboratorium zostanie ono wykorzystane do dobrania parametrów modelu obiektu rzeczywistego. Pierwszym
krokiem pracy z blokiem NCD jest podłączenie go do schematu optymalizowanego. Należy pamiętać, aby w
schemacie występowała/y zmienne dobierane przez mechanizm dostrajana. Zmienna taka musi być
wprowadzona w przestrzeni roboczej. Nazwę zmiennej wpisujemy w pole oznaczone na ilustracji cyfrą 4.
Zmienna ta może być wektorem, macierzą jak i pojedynczą wielkością. Istnieje również możliwość podania
kilku niezależnych zmiennych optymalizowanych. Po podaniu zmiennej możemy rozpocząć proces strojenia.
W dalszym etapie prac wykorzystany zostanie blok NCD. Na ilustracji 7 pokazane zostały:
1) blok NCD
2) jego położenie w menu
3) Optimization → Parameters
4) Strojona wartość / wartości
5) Przycisk uruchamiający dostrajanie
6) tolerancję błędu
6
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
Ograniczenia nakładane na przebieg mogą być zmieniane myszką poprzez przeciąganie linii ograniczeń, jak i
wpisywane z klawiatury w stosowne pole rozwijane z menu. Jeśli proces doboru zatrzyma się zbyt wcześnie
może wystąpić potrzeba zmiany warunków zatrzymania procesu. Stosowne pola oznaczone zostały cyfrą 6.
P zaprezentowanej postaci blok NCD nie jest najwygodniejszym narzędziem do modelowania procesu o
złożonej odpowiedzi. Aby wykorzystać go do doboru nastaw modelu należy wykorzystać koncepcję widoczną
na ilustracji 8. Przedstawiony poniżej schemat oddaje sytuację gdzie wektory zmiennych a i b są modyfikowane
przez blok ncd tak, aby różnica odpowiedzi obiektu i modelu mieściła się w założonych granicach. Jeśli
wymagana trajektoria będzie przebiegała w pobliżu 0 blok NCD dobierze nastawy a i b tak, aby odpowiedź
modelu pokrywała się z odpowiedzią obiektu
7
Ilustracja 5: blok NCD, absolutne podstawy konfiguracji
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
Kolejnym elementem zastosowanym w ćwiczeniu jest filtr. Różniczkowane sygnału zawsze powoduje
wzmocnienie szumów. Poprawa jakości
różniczkowania możliwa jest poprzez
zastosowanie filtrów które wygładzą
przebieg. Chcąc uzyskać zadowalającą
jakość pochodnej wykorzystamy filtr Golaya
Savitzkiego. Ideą prezentowanego filtru jest
aproksymacja
zestawu
punktów
pomiarowych za pomocą wielomianu
wybranego stopnia i analityczne
wyznaczenie pochodnej wielomianu.
Ograniczenia dotyczące stopnia wielomianu
i ilości punktów aproksymowanych są takie
same jak w zagadnieniu aproksymacji,
omawianym na metodach numerycznych.
Na ilustracji 9 zamieszczono filtr (1) i okno
konfiguracji. Pola oznaczone (2) to: Liczba
punktów
wykorzystywanych
do
przybliżenia,
stopień
wielomianu
przybliżającego, rząd pochodnej i krok
różniczkowania. Na przedstawionym
schemacie przy podaniu sygnałów
przesuniętych o pi/2 możemy zaobserwować
różnice pomiędzy wartością filtrowaną i rzeczywistą pochodną przy różnych parametrach filtra.
8
Ilustracja 6: wykorzystanie bloku NCD do strojenia modelu
Ilustracja 7: Filtr Golaya Savitzkiego
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
Do realizacji w trakcie laboratorium:
•
Zbudować model wybranego czwórnika RLC
•
Zaobserwować wpływ parametrów symulacji na otrzymane wyniki i czas trwania obliczeń
•
Porównać różniczkowanie bez filtrów i z wykorzystaniem filtra Golaya Savitzkiego dla przebiegu sin z
zakłóceniem w postaci nałożonej wyższej harmonicznej.
Karta kontrolno-pomiarowa
Przy wykorzystaniu odpowiedniego oprogramowania schematy tworzone w programie simulink są kompilowane
do postaci plików C i wgrywane na kartę dsp. W odpowiednio skonfigurowanym środowisku Simulink wśród
dostępnych bloków pojawiają się bloki odpowiadające fizycznym wejściom i wyjściom karty. Schematy
zawierające elementy wejścia wyjścia po przesłaniu do karty stają się samodzielnymi programami działającymi
w czasie rzeczywistym. Jednocześnie w przypadku potrzeby wykorzystania bardziej złożonego programu
sterowania istnej możliwość napisania fragmentów kodu w postaci m-pliku i wykorzystaniu ich w postaci bloku
Embedded Matlab. Dostarczane wraz z kartą oprogramowania umożliwia rejestrację, podgląd na żywo i zmianę
parametrów modyfikowalnych. Jeśli w schemacie znajduje się blok źródła sygnału istnieje możliwość zmiany
jego wartości, także podczas działania programu na karcie w czasie rzeczywistym. Istnieje oczywiście
możliwość podglądu dowolnego sygnału występującego w schemacie. Dostęp do poszczególnych zmiennych
nie musi być deklarowany przed rozpoczęciem symulacji, istnieje możliwość zmiany liczby parametrów
obserwowanych bądź edytowanych w trakcie pracy systemu. Stwarza to możliwość wykorzystania omawianego
sprzętu jako uniwersalnego układu sterowania i modelowania procesów, wyposażonego w wejścia fizyczne, przy
zachowaniu uniwersalności komputera klasy PC. Ze względu na znaczne rozpowszechnienie i graficzny styl
środowiska rozwiązanie takie pozwala na łatwe budowanie i testowanie różnych wariantów sterowania.
Możliwość budowy wirtualnych modeli jest szczególnie istotna w trakcie pracy z procesami które mogą łatwo
ulec zniszczeniu.
Poszczególne modele kart mogą bardzo znacząco różnić się parametrami, zestawem wejść/wyjść i
łączem danych Mogą występować w postaci kart wewnętrznych, bądź niezależnych skrzynek z własnym
zasilaniem. Kata wykorzystywana na stanowisku laboratoryjnym wykorzystuje do komunikacji z komputerem
magistralę ISA. Należy tu nadmienić że żywotność systemów kontrolno-pomiarowych jest zazwyczaj znacznie
dłuższa niż żywotność moralna komputerów w których były one zastosowane pierwotnie. Ze względu na
znaczną cenę sprzętu i zmiany w architekturze współczesnych komputerów firma dSPACE oferuje do znacznej
części systemów bazujących na szynie ISA samodzielne płytki wyposażone w ww. złącze komunikujące się z
komputerem za pomocą światłowodu, bądź też sieci LAN. Ze względu na konieczność podłączania znacznej
liczby wyprowadzeń zazwyczaj do karty przez złącze wielopinowe dołączany jest panel z wygodnymi w
obsłudze punktami przyłączania przewodów w różnych standardach.
Centralnym układem karty jest 60 MHz procesor DSP TMS320C31. Układ ten odpowiedzialny jest za
wykonywanie w czasie rzeczywistym programu sterowania wgranego z jednostki nadrzędnej. Zestaw wejść
wyjść obejmuje 4 wejścia i wyjścia analogowe. 2 wejścia wyposażone są w 16 bitowe przetworniki AC,
9
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
pozostałe dysponują rozdzielczością 12 bitów. Oprócz tego karta posiada 16 wejść/wyjść cyfrowych i możliwość
generowania 6 sygnałów PWM.
Środowisko Control Desk
Oprogramowanie dostarczane wraz z kartą umożliwia podgląd i edycję parametrów obiektu.
Na umieszczonym zrzucie ekranu zaznaczono podstawowe elementy niezbędne do obsługi programu w trakcie
zajęć:
1)
Tworzenie nowego obszaru roboczego
2)
Wstawianie elementów do obszaru roboczego. Elementy umieszcza się inaczej niż w Simulinku. Po
wybraniu elementu z menu należy przytrzymując lewy klawisz przeciągnąć myszkę tworząc element o
potrzebnym rozmiarze.
3)
Po załadowaniu modelu do karty możliwe staje się podłączenie zmiennych do poszczególnych
elementów stworzonego layoutu. Z lewego dolnego menu drzewiastego (3a) należy wybrać element zmienne
wyjściowe, a następnie przeciągnąć dostępne zmienne (3b) na poszczególne pola w obszarze kontrolnym.
4)
Posiadając połączone zmienne klikamy przycisk Play i uzyskujemy dostęp do zmiennych w trybie
online. Chcąc przeprowadzać dalsze modyfikacje schematu należy powrócić do trybu offline.
10
Ilustracja 8: Okno programu Control Desk
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
Zagadnieniem wymagającym osobnego wyjaśnienia jest zapis wartości występujących w modelu po
uruchomieniu programu na karcie sygnałowej. Bloki służące do zwracania do przestrzeni roboczej zmiennych w
trybie symulacyjnym nie mogą zostać tu wykorzystane. Jedyną możliwością jest wykorzystanie stosownych
opcji programie ControlDesk. Na ilustracji 10 zaznaczono kluczowe pola, których opis zamieszczony został
poniżej
Zakładamy że model został załadowany do karty i w programie Control Desk mamy dostęp do zmiennych.
Chcąc dokonać rejestracji wybranej wartości należy przeprowadzić następujące .
1)
Wstawić bloki CaptureSetings i Plotter z menu Acquisition
2)
Podpiąć zmienną rejestrowaną do wykresu
3)
Wybrać z rozwijanego menu menu model z którego będziemy pobierać dane
4)
Ustawić spodziewany maksymalny czas rejestracji
5)
Wcisnąć przycisk Start
Po uzyskaniu interesującego przebiegu wcisnąć Stop. Wybrana wartość zarejestrowana zostanie od momentu
wciśnięcia start do wciśnięcia stop, jednak nie dłużej niż przez czas deklarowany. Po przekroczeniu czasu
nastąpi wyzerowanie próbki i rejestracja rozpocznie się od nowa.
6)
Wciskając Save zachować dane w postaci pliku w wybranym katalogu.
Wybrane dane zapisywane są w postaci pliku który może zostać wczytany do przestrzeni roboczej matlaba.
Do realizacji w trakcie laboratorium:
Zbudować warstwę wyjściową umożliwiającą efektywną obserwację i rejestrację istotnych przebiegów.
11
Ilustracja 9: Rejestracja danych z karty sygnałowej
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
2. Model sterowanego obiektu
Sygnałem wejściowym dla sterowanego układu jest współczynnik wypełnienia fali PWM napięcia podawanego
na zaciski silnika prądu stałego. Współczynnik ten jest proporcjonalny do składowej stałej napięcia U. Równie
dynamiki prądu silnika
)
(
)
(
)
(
)
(
t
E
dt
t
dI
L
t
I
R
t
U
t
t
t
t
+
+
=
s
E( t ) c
( t )
= Ω
Przy małej indukcyjności otrzymamy:
t t
s
U( t ) R I ( t ) c
( t )
=
+ Ω
Moment napędowy rozwijany przez silnik jest proporcjonalny do prądu. Równanie dynamiki ruchu obrotowego
układu silnik-śmigło:
(
)
s
s
t
o
s
d
J
kI
M
( t )
dt
Ω = −
Ω
Moment oporowy jest nieliniową funkcją prędkości śmigła. Gdybyśmy zlinearyzowali zależność momentu
oporowego od prędkości śmigła, to otrzymalibyśmy:
(
)
s
s
s
s
t
d
k
J
U( t ) c
( t )
b ( t )
dt
R
Ω =
− Ω
− Ω
(
)
s
s
s
t
t
d
k
k
J
c b
( t )
U( t )
dt
R
R
Ω = −
+
Ω
+
czyli zależność między napięciem a prędkością śmigła miałaby charakter inercyjny. Siła ciągu śmigła, która
powoduje ruch wahadła jest nieliniową funkcją prędkości śmigła. Podsumowując te rozważania możemy
zaproponować model zależności między sygnałem wejściowym (współczynnikiem wypełnienia fali PWM) a
momentem napędowym wahadła w postaci szeregowego połączenia elementu inercyjnego o współczynniku
wzmocnienia równego 1 i statycznego elementu nieliniowego. Charakterystykę tego elementu można wyznaczyć
eksperymentalnie w sposób zaproponowany w następnym paragrafie.
Do realizacji w trakcie laboratorium:
Po rozpoznaniu parametrów modelu porównać rezultaty otrzymane umieszczając charakterystykę nieliniową
przed i za inercją związaną z bezwładnością śmigła, jak na ilustracji 12.
12
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
Zastanowić który z prezentowanych wariantów jest poprawny. Wybór uzasadnić.
Dynamika ruchu obrotowego wahadła jest opisana równaniem
(
)
w
w
w
n
g
o
w
d
( t )
dt
d
J
M ( t ) M ( t ) M
( t )
dt
θ = Ω
Ω =
−
−
Ω
gdzie moment pochodzący od siły grawitacji jest równy
0
0
g
M ( t ) d m g sin( )
θ
=
a moment oporowy (tarcie) proporcjonalny do prędkości
13
Ilustracja 10: Różnie ulokowanie nieliniowości
Ilustracja 11: Schemat budowy wahadła
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
o
w
M ( t )
( t )
β
= Ω
Istotnym elementem układu jest ograniczenie sygnału wejściowego. W układzie stosuje się tylko
dodatnie wartości współczynnika wypełnienia, co odpowiada obrotom śmigła powodującym powstanie siły
ciągu skierowanej „ do góry”.
Sygnałem wyjściowym obiektu jest położenie kątowe wahadła, które jest bezpośrednio mierzone przy
pomocy enkodera. W badanym przykładzie informacje o prędkości kątowej wahadła można uzyskać na dwa
sposoby. Metodą prostszą konstrukcyjnie jest różniczkowanie sygnału położenia kątowego. Alternatywą jest
wykorzystanie obserwatora, który odtworzy niedostępne zmienne stanu. Metoda ta omówiona jest w dalszej
części instrukcji.
Zagadnienia do opracowania przed laboratorium:
•
Wyjaśnić ograniczenia i możliwości wykorzystania różniczkowania do odtworzenia niedostępnej
zmiennej stanu.
•
Poprawa działania różniczkowania - projektowanie filtru i badanie jego właściwości (charakterystyki
częstotliwościowe i wnioski z nich)
•
Przemyśleć budowę modelu badanego układu.
Do realizacji w trakcie laboratorium:
•
Zbudować model o strukturze odpowiadającej badanemu obiektowi. Skorzystać z pojedynczych
integratorów obwiedzionych sprzężeniami zwrotnymi.
•
Po rozpoznaniu parametrów modelu wykorzystując różniczkowanie zmiennej wyjściowej wyznaczyć
prędkość i przyspieszenie wahadła, dla modelu liniowego, nieliniowego i obiektu fizycznego.
•
Dobrać filtr uśredniający minimalizujący błąd różniczkowania. Uwzględnić zarówno poprawę związaną
ze zmniejszaniem wpływu szumu jak i zwiększanie opóźnienia.
3. Identyfikacja parametrów modelu
W sensie ogólnym identyfikacja jest zadaniem którego celem jest poznanie struktury i parametrów
badanego obiektu. Zazwyczaj uzyskana wiedza wykorzystywana jest do budowy modelu obiektu. W badanym
przykładzie znana jest struktura obiektu i jego parametry fizyczne. Naszym celem jest stworzenie modelu
odwzorowującego obiekt. Pierwszą metodą jest budowa modelu na podstawie równań ruchu wahadła. Drugą
wykorzystanie narzędzi służących do automatyzacji pewnych procesów.
Zagadnienia do opracowania przed laboratorium:
•
Zastanowić się w jaki sposób można wyznaczyć parametry obiektu, w tym jego charakterystykę
statyczną.
Do realizacji w trakcie laboratorium:
14
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
•
Wykorzystując podane przez prowadzącego parametry mierzone obiektu - masy i długości, dokończyć
budowę modelu z poprzedniego punktu, z uwzględnieniem fizycznych parametrów wahadła.
•
Dokonać identyfikacji statycznej charakterystyki momentu napędowego wahadła w funkcji
współczynnika wypełnienia.
•
Identyfikacja parametrów modelu na podstawie dopasowania odpowiedzi do zarejestrowanej
odpowiedzi układu rzeczywistego. (wykorzystać bloczek NCD). Dobierając zestaw parametrów
optymalizowanych należy uwzględnić strukturę obiektu modelowanego.
•
Porównać wyniki uzyskane metodą analityczną i z wykorzystaniem bloku NCD.
4. Model liniowy obiektu
Innym sposobem linearyzacji może być zlinearyzowanie pojedynczych nieliniowości występujących w
równaniach różniczkowych opisujących model i uzyskanie w ten sposób równań liniowych. Jeżeli przyjmiemy,
że kąt wychylenia wahadła jest niewielki, to
sin( )
θ
θ
≈
. Nieliniową charakterystykę statyczną na wejściu
układu zastąpić można stałym współczynnikiem wzmocnienia, lub jeśli jest odwracalna, to zastosować jej
odwrotność na wejściu układu. Sposób realizacji zaprezentowany został na ilustracji 10.
Nie można zapomnieć o ograniczeniach sygnału wejściowego, które ewentualnie trzeba odpowiednio przeliczyć
i umieścić na wejściu układu.
Stosując ostatni sposób otrzymamy równania:
)
(t
dt
d
Ω
=
θ
))
(
(
)
(
)
(
0
t
M
t
M
t
M
dt
d
J
w
g
n
w
Ω
−
−
=
Ω
θ
α
θ
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
g
m
d
t
M
g
0
0
)
(
w
t
M
Ω
⋅
=
β
)
(
0
15
Ilustracja 12: Dołączenie odwrotnej charakterystyki nieliniowej
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
)
(
)
(
t
u
t
M
dt
dM
T
n
n
+
−
=
⋅
Otrzymujemy z nich transmitancję:
)
(
1
1
)
(
s
u
sT
s
M
n
⋅
+
=
)
(
1
)
(
s
s
s
w
Ω
⋅
=
θ
)
(
)
(
)
(
)
(
s
s
ctod
s
M
s
s
J
w
n
w
w
Ω
⋅
−
−
=
Ω
⋅
⋅
β
θ
α
(
)
)
(
)
(
1
)
(
s
s
M
s
J
s
n
w
w
θ
α
β
⋅
−
⋅
+
⋅
=
Ω
)
(
1
)
(
s
M
s
J
s
s
J
s
n
w
w
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
β
θ
β
α
)
(
1
)
(
2
s
M
s
J
s
s
J
s
s
J
n
w
w
w
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
β
θ
β
α
β
)
(
1
1
1
)
(
2
s
u
T
s
s
s
J
s
w
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=
α
β
θ
Przeprowadzić analizę transmitancji, jakie ma bieguny, jaki współczynnik wzmocnienia, jaki jest charakter
odpowiedzi jednostkowej, jak zmienią się właściwości gdy wzrośnie współczynnik tarcia beta, jak biegun
rzeczywisty jest położony w stosunku do zespolonych.
Przyjmując zmienne stanu
Ω
n
w
M
θ
otrzymujemy równania:
)
(t
dt
d
w
Ω
=
θ
)
(
1
)
(
)
(
t
M
J
t
J
t
dt
d
n
w
w
w
w
⋅
+
Ω
⋅
−
⋅
Ω
β
θ
)
(
1
)
(
1
t
u
T
t
M
T
dt
dM
n
n
⋅
+
⋅
−
=
16
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
co w zapisie macierzowym daje równanie stanu
)
(
1
0
0
)
(
)
(
)
(
1
0
0
1
0
1
0
)
(
)
(
)
(
t
u
t
M
t
t
T
J
J
J
dt
t
dM
dt
t
d
dt
t
d
n
w
w
w
w
n
w
⋅
+
Ω
⋅
−
−
=
Ω
θ
β
α
θ
i wyjścia
[
]
Ω
⋅
=
)
(
)
(
)
(
0
0
1
)
(
t
M
t
t
t
y
n
w
θ
Podstawiając parametry obiektu:
1113
.
0
9180
.
0
0291
.
0
3757
.
0
=
=
=
=
w
J
T
β
α
Otrzymujemy macierze:
−
−
−
=
0893
.
1
0
0
9847
.
8
2615
.
0
3758
.
0
0
1
0
A
=
0893
.
1
0
0
B
[
]
0
0
1
=
C
Wyznaczamy na tej podstawie pierwiastki:
[np, dp]=ss2tf(A,B,C,D)
pierwiastki = roots(dp)
−
−
−
+
−
=
0893
.
1
8327
.
1
1307
.
0
8327
.
1
1307
.
0
i
i
i
pierwiastk
Sprawdźmy sterowalność uzyskanego obiektu
Qs=[B A*B A*A*B]
−
−
=
2926
.
1
1866
.
1
0893
.
1
205
.
13
7873
.
9
0
7873
.
9
0
0
S
Q
17
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
r1=rank(Qs)
r1=3
I obserwowalność
Qo=[C; C*A; C*A*A]
−
−
=
9847
.
8
2615
.
0
3758
.
3
0
1
0
0
0
1
O
Q
r2 = rank(Qo)
r2=3
Wyznaczmy transmitancję obiektu:
tf(np, dp)
>>Transfer function:
1
---------------------------------------------------
0.1022 s^3 + 0.138 s^2 + 0.374 s + 0.3757
Do realizacji w trakcie laboratorium:
•
Zbadać wierność modelu dla małych i dużych wymuszeń, uzasadnić różnice
•
Zbadać czy układ będzie stabilny po zamknięciu, wykorzystać charakterystyki częstotliwościowe
•
Zbudować model obiektu wykorzystując posiadane macierze A B C D z wykorzystaniem bloków
matrix gain. Porównać z poprzednim modelem. Zastanowić się nad przejrzystością obu modeli.
5. Dobór regulatora
Regulatory włączane szeregowo są jednym z podstawowych sposobów zmiany charakterystyki obiektu.
Dobór typu i nastaw regulatora uwarunkowany jest posiadaną wiedzą o obiekcie sterowanym, oczekiwanymi
właściwościami układu z regulatorem i możliwościami technicznymi realizacji. W trakcie zajęć mamy do
dyspozycji 3 obiekty:
model liniowy, model nieliniowy i układ rzeczywisty. Zadaniem jest dobranie nastaw regulatora tak, aby
poprawić stabilność działania układu skorygowanego. Rozpatrzmy najpierw model liniowy. Jest to element 3-go
rzędu.
W przypadku modelu 2-go rzędu o znanych parametrach metoda postępowania jest dość oczywista. Znając
transmitancję układu
c
s
b
s
k
s
G
ob
ob
+
⋅
+
=
2
)
(
18
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
Zapisując transmitancję regulatora PID w postaci:
d
d
i
d
reg
t
s
t
t
t
s
s
k
s
G
⋅
+
+
⋅
=
1
)
(
2
Dobieramy parametry regulatora tak, aby nastąpiło skrócenie mianownika transmitancji obiektu z licznikiem
transmitancji regulatora. Jest to rozwiązanie bardzo wygodne, jednak stosowalne tylko w przypadku układu 2-go
rzędu.
Przyjrzyjmy się jednak bliżej badanemu układowi. Znając opis układu w przestrzeni stanów z pomocą polecenia
[np, dp]=ss2tf(A,B,C,D)
wyznaczamy współczynniki wielomianów licznika i mianownika transmitancji obiektu.
Następnie za pomocą polecenia
roots (dp)
wyznaczamy pierwiastki mianownika transmitancji. Zauważmy że dwa pierwiastki sprzężone mają znaczną
przewagę części urojonej w stosunku do części rzeczywistej. Można przypuszczać iż są to elementy
odpowiedzialne za silnie oscylacyjny charakter układu. Spróbujmy zatem zminimalizować ich wpływ na pracę
układu. Pierwszym krokiem jaki należy uczynić jest poznanie składnika poddawanego eliminacji.
Zapiszmy mianownik transmitancji jako
(
)
(
)
b
s
a
s
t
s
+
⋅
+
⋅
+
2
1
Jeśli pierwsza część wielomianu zawiera pierwiastek rzeczywisty, to eliminacji powinna podlegać druga część
wyażęnia. Wyznaczmy jej parametry. W tym celu wykorzystajmy polecenie deconv
wsp=deconv (dp, [1 t
1
])
Otrzymane wsp to współczynniki wielomianu otrzymanego przez podzielenie wielomianu o współczynnikach dp
i [1 t
1
]. Sprawdźmy poprawność prac. Polecenie:
roots (wsp)
powinno zwrócić dwa pierwiastki identyczne jak w wielomianie dp.
Do realizacji w trakcie laboratorium:
•
Policzyć nastawy regulatora PID potrzebne do skorygowania układu
•
Zbudować regulator PID o zadanych parametrach, uruchomić układ liniowy ze sprzężeniem zwrotnym.
•
Po potwierdzeniu poprawnego działania układu z wykorzystaniem modelu nieliniowego zastosować
zaprojektowany regulator w układzie rzeczywistym.
Przedstawiona metoda jest tylko jedną z dróg prowadzących do korekcji układu. W łatwy sposób możemy
zastosować znane metody częstotliwościowe.
19
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
Za pomocą polecenia
g = tf([np],[dp])
generujemy transmitancję obiektu.
Za pomocą polecenia
bode(g)
generujemy charakterystyki częstotliwościowe.
Wykorzystując znane metody korekcji dobrać typ i nastawy układu stabilizującego pracę obiektu. Uzyskane
rezultaty możemy porównać z wcześniej zaproponowanym regulatorem PID. Trzecią proponowaną drogą
doboru nastaw jest znana z wykładu metoda Ziglera Nicholsa.
6. Przesuwanie biegunów
Przesuwanie biegunów będące następną proponowaną metodą korekcji układu wymaga dostępu do zmiennych
stanu. Nie ma z tym problemu w przypadku układu symulacyjnego. Zgodnie z wiedzą z wykładu przy
wykorzystaniu formuły Ackermana dla układu jednowejściowego wystarczy podać
p=[a b c]
a następnie za pomocą polecenia
K=acker(A,B,p)
wyznaczyć parametry korekcyjnego sprzężenia zwrotnego. Jeśli na wejściu układu dodamy współczynnik
wzmocnienia odpowiadający wzmocnieniu sprzężenia od wyjścia obiektu, wówczas uzyskamy zamknięty układ
sterowania, który łatwo będzie porównać z układem z punktu 5.
Do realizacji w trakcie laboratorium:
•
Za pomocą korekcyjnego sprzężenia zwrotnego przesunąć bieguny do położenia gwarantującego
stabilną pracę układu z zadowalającą szybkością
•
Sprawdzić zachowanie wyznaczonego układu korekcyjnego dla modelu nieliniowego
7.
Obserwator
Obiekt rzeczywisty nie daje nam dostępu do wszystkich zmiennych stanu. Proponowanym wcześniej
rozwiązaniem jest wykorzystanie różniczkowania zmiennej wyjściowej. Alternatywą pozwalającą uniknąć
niedogodności związanych z różniczkowaniem jest wykorzystanie obserwatorów. Obserwator jest układem który
umożliwia estymację niedostępnych zmiennych stanu.
20
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
.
Budowa obserwatora sprowadza się do utworzenia obiektu o strukturze analogicznej do obserwowanego z
dodanym członem od różnicy sygnału wyjściowego obiektu i wyjścia estymowanego przez obserwator. Na
ilustracji 16 zamieszczony został przykład budowy obserwatora w programie Simulink.
Przystępując do budowy narzucamy bieguny obserwatora. Należy pamiętać o konieczności zapewnienia
większej prędkości obserwatora niż układu obserwowanego, także po korekcie. Zaproponujmy zatem bieguny:
p=2*[a b c]
Następnie wykorzystując znane już polecenie:
Ke=acker(A', C', p)
Generujemy macierz Ke niezbędną do poprawnego funkcjonowania obserwatora.
Do realizacji w trakcie laboratorium:
•
Porównać wartości otrzymane za pomocą obserwatora z wielkościami rzeczywistymi dla modelu
liniowego i nieliniowego
•
Zaobserwować przebiegi odtworzone dla układu rzeczywistego, porównać z oczekiwanymi.
•
Porównać uzyskane rezultaty z rezultatami różniczkowania zmiennej wyjściowej
21
Ilustracja 13: Obiekt obserwowany
Ilustracja 14: Obserwator odtwarzający zmienne stanu
Instrukcja do ćwiczenia nr 4 z Laboratorium Automatyki
8. Przesuwanie biegunów obiektu rzeczywistego
Wykorzystując rezultaty z punktów 2,7 i 6 dokonać korekty układu fizycznego wykorzystując zmienne
stanu uzyskane za pomocą obserwatora jak i z wykorzystaniem różniczkowania za pomocą użytego filtru.
Porównać otrzymane rezultaty.
22