1
Zakład Elektrotechniki Teoretycznej
ĆWICZENIE 9
TRANSFORMATA  ZET
Celem ćwiczenia jest odwracanie transformaty ZET metodą rozkładu na ułamki proste, wykorzystując funkcje
MATLABa, opis matematyczny systemów LTI w dziedzinie transformaty, badanie stabilności i przyczynowości
systemów.
Wykonując ćwiczenie zwrócić uwagę na oznaczenia ikonami poszczególnych akapitów tej instrukcji. Mają one
na celu usprawnienie wykonywania ćwiczeń.
Oznaczenia
zadania do wykonania.
Czas wykonania ćwiczenia wynosi 180 minut.
Przykład Help Matlaba Zadanie (Czas)
 2
TRANSFORMATA  ZET
Dyskretny system LTI można opisać równaniem różnicowym:
NM
[ ] [ ]
"a y n - k = "b x n - i
ki
k =0 i=0
Transmitancja systemu jest wówczas ilorazem wielomianów zmiennej zespolonej w postaci:
M
-i
"bz
i
i=0
H z =
( )
N
z-k
"ak
k =0
Zera oraz bieguny systemu określa się stosując funkcję MATLABA roots, obliczającą odpowiednio pierwiastki
wielomianów w liczniku i mianowniku funkcji H(z). Dla przykładu, aby obliczyć pierwiastki wielomianu:
X (z)=1+ 4z-1 + 3z-2
należy wydać polecenie:
roots([1 4 3])
Obliczone pierwiastki wynoszą
ans =
-3
-1
Położenie zer oraz biegunów można wykreślić na płaszczyz
nie zespolonej stosując funkcję MATLABA
zplane(b,a). Jeżeli zmienne a, b są dane w postaci macierzy jednowierszowej, to oznaczają one współczynniki
obu wielomianów - czyli funkcja zplane przed wykreśleniem zer i biegunów oblicza pierwiastki wielomianów
w liczniku i mianowniku. Jeżeli zmienne a, b są dane w postaci macierzy jednokolumnowej to oznaczają one
już obliczone zera i bieguny funkcji.
b=[1 3 5 3 1];
a=[2 4 2];
roots(b)
ans =
-1.1217 + 1.3066i
-1.1217 - 1.3066i
-0.3783 + 0.4406i
-0.3783 - 0.4406i
roots(a)
ans =
-1
-1
zplane(b,a)
Przykład Help Matlaba Zadanie (Czas)
 3
1
0.5
22
0
-0.5
-1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Real Part
Na rysunku zera są oznaczone  kółkami , natomiast bieguny  krzyżykami . Jeżeli bieguny lub zera są
wielokrotne to na płaszczyz
nie pojawia liczba oznaczająca ich krotność.
(10)
ĆWICZENIE 1
Określanie zer i biegunów systemu

1. Stosując funkcję zplane określ położenie zer i biegunów następujących systemów:
a. y[n]+ 3y[n -1]+ 2y[n - 2]= 5x[n -1]+ 2x[n - 2]
b. y[n]= x[n]- x[n - 2]+ 2x[n - 4]- x[n - 6]
1 3 Ćw.1.1
c. y[n]- y[n -1]- y[n - 2]= -x[n]+ 2x[n -1]
4 8
Gr.
1 a d
1+ z-2
2 b e
d. H(z)=
1 1
3 c f
2 + z-1 - z-2 + z-3
2 4
4 a f
5 b d
3 1
1+ z-1 + z-2 + z-3
2 2
6 c e
e. H(z)=
3 1
1+ z-1 + z-2
2 2
5z + 2
f. H(z)=
z2 + 3z + 2

2. Dla wybranych systemów (1.1.a-f) zaznacz na rysunku możliwe obszary zbieżności transformaty ZET.
Zastanów się jaki wpływ na analizę systemu ma wybór obszaru zbieżności.
Przykład Help Matlaba Zadanie (Czas)
Imaginary Part
 4
ĆWICZENIE 2
Obliczanie odwrotnej transformaty ZET
Funkcja MATLABA residuez pozwala rozkładać na ułamki proste transformatę ZET, wyrażoną w postaci
ilorazu dwóch wielomianów zmiennej z-1. Format polecenia jest następujący:
[r, p, k] = residuez(b,a)
gdzie b, a są wektorami reprezentującymi współczynniki wielomianów w liczniku i mianowniku w kierunku
malejących potęg zmiennej z-1. Wektor r reprezentuje współczynniki rozkładu na ułamki proste, odpowiednio do
biegunów danych jako wektor p. Wektor k zawiera współczynniki odpowiadające składnikom związanym z
kolejnymi potęgami z-1, które pojawiają się gdy stopień licznika jest równy lub większy od stopnia mianownika.
Przykład obliczania transformaty odwrotnej:
z3 -10z2 - 4z + 4
X (z)=
2z2 - 2z - 4
Przed zastosowaniem obliczeń w MATLABIE należy wielomiany w liczniku i mianowniku przedstawić
względem zmiennej z-1:
z3(1-10z-1 - 4z-2 + 4z-3)= z 1-10z-1 - 4z-2 + 4z-3
1
X (z)=
2
2z2(1- z-1 - 2z-2) 1- z-1 - 2z-2
1
X (z)= zY(z)
2
1-10z-1 - 4z-2 + 4z-3
Y(z)=
1- z-1 - 2z-2
Zastosujemy funkcję residuez do wyznaczenia rozkładu wyrażenia Y(z):
[r,p,k] = residuez([1  10  4 4], [1  1 -2])
r =
-3
1
p =
2
-1
k =
3 -2
Zatem rozkład jest następujący:
- 3 1
Y(z)= + + 3 - 2z-1
1- 2z-1 1+ z-1
Aby wyznaczyć transformatę odwrotną należy określić obszar zbieżności funkcji Y(z). Granice obszaru
zbieżności wyznaczają bieguny z1=2, z2=-1, z3=0.
zplane([1 -10 -4 4], [1 -1 -2])
Przykład Help Matlaba Zadanie (Czas)
 5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-2 0 2 4 6 8 10
Real Part
Jeżeli obszar zbieżności wybierzemy na zewnątrz okręgu o promieniu 2, to oryginał jest funkcją czasu
prawostronną, dla czasów od 0 do ".
n n
y(n)= -3(2) 1[n]+ (-1) 1[n]+ 3�[n]- 2�[n -1]
n+1 n+1
3 1 3
x(n)= - (2) 1[n +1]+ (-1) 1[n +1]+ �[n +1]-�[n]
2 2 2
Jeżeli obszar zbieżności wybierzemy wewnątrz okręgu o promieniu 1, (pomijając punkt zero) to oryginał jest
funkcją czasu lewostronną, dla czasów od -" do -1.
n n
y(n)= 3(2) 1[- n -1]-(-1) 1[- n -1]+ 3�[n]- 2�[n -1]
n+1 n+1
3 1 3
x(n)= (2) 1[- n - 2]- (-1) 1[- n - 2]+ �[n +1]-�[n]
2 2 2
Jeżeli obszar zbieżności jest pierścieniem pomiędzy okręgami o promieniu 1 i promieniu 2, to oryginał jest
funkcją czasu dwustronną, dla czasów od -" do ".
n n
y(n)= 3(2) 1[- n -1]+ (-1) 1[n]+ 3�[n]- 2�[n -1]
n+1 n+1
3 1 3
x(n)= (2) 1[- n - 2]+ (-1) 1[n +1]+ �[n +1]-�[n]
2 2 2

1. Stosując funkcje residuez rozłóż na ułamki proste następujące wyrażenia:
z2 - 3z
1
a. X (z)= , < z < 2
2
3
z2 + z -1
2
12(11z2 - 3z), z >
1
b. X (z)=
3
12z2 - 7z +1
Przykład Help Matlaba Zadanie (Czas)
Imaginary Part
 6
8z2 + 4z
1
c. X (z)= , z >
2
4z2 - 4z +1
Ćw.2.1
Gr.
3 1
1 a d
z3 + z2 + z +
2 2
1
d. X (z)= , z <
2 b e
2
3 1
z3 + z2 + z
2 2
3 c f
4 a f
3 1
z3 + z2 + z +
5 b d
2 2
e. X (z)= , z >1
3 1 6 c e
z2 + z +
2 2
2z4 - 2z3 - 2z2
f. X (z)= , z >1
z2 -1

2. Wybrane transformaty 2.1.a-f rozłóż na ułamki proste, wykreśl położenie zer i biegunów, zaznacz na
wykresie zadany obszar zbieżności oraz na tej podstawie wyznacz funkcje oryginalne.
ĆWICZENIE 3
Charakterystyki systemów LTI
Modele matematyczne takie jak: odpowiedz
impulsowa, równanie różnicowe, funkcja transmitancji,
rozmieszczenie zer i biegunów, charakterystyka widmowej, opis w przestrzeni stanu oferują różną, ale tożsamą
reprezentację charakterystyki wejściowo- wyjściowej systemu LTI.
System LTI opisany w przestrzeni stanu:
q[n +1]= Aq[n]+ bx[n]
y[n]= cq[n]+ Dx[n]
Niech
Q1(z)
Ą# ń#
ó#Q
(z)Ą#
2
ó# Ą#
Q(z)=
ó# Ą#

ó#
(z)Ą#
Ł#QN Ś#
Transformata pierwszego równania macierzowego wynosi
zQ(z)= AQ(z)+ bX (z)
-1
Q(z)= (zI - A) bX (z)
Dla drugiego równania mamy
Y(z)= cQ(z)+ DX (z)
Ą#c -1
Y z = zI - A b + Dń# X z
( ) ( ) ( )
Ł#Ś#
Przykład Help Matlaba Zadanie (Czas)
 7
Stąd transmitancja
-1
H z = c zI - A b + D
( ) ( )
MATLAB zawiera szereg specjalnych funkcji pozwalających na swobodne przechodzenie między tymi różnymi
opisami systemu. Jeżeli wektory b i a zawierają współczynniki wielomianów funkcji transmitancji odpowiednio
licznika i mianownika, to w porządku malejących potęg zmiennej z-1, funkcja tf2ss(b,a) określa opis systemu w
przestrzeni stanu, natomiast tf2zp(b,a) przekształca funkcję transmitancji do postaci zero-biegunowej. Podobnie
zp2ss i zp2tf konwertują opis zero-biegunowy do opisów odpowiednio w przestrzeni stanu oraz transmitancji.
Funkcje ss2tf i ss2zp to konwersje opisu w przestrzeni stanu do opisu w postaci transmitancji i zero-biegunowej.
Charakterystykę częstotliwościową pozwala określić funkcja freqz.
Rozpatrzymy system opisany funkcją transmitancji:
0.094(1+ 4z-1 + 6z-2 + 4z-3 + z-4)
H(z)=
1+ 0.4860z-2 + 0.0177z-4
b=.094*[1 4 6 4 1];
a=[1 0 0.486 0 0.0177];
zplane(b,a)
[A,B,C,D]=tf2ss(b,a) % opis w przestrzeni stanu
[H,w]=freqz(b,a,250); % charakterystyka widmowa
plot(w,abs(H))
1
0.8
0.6
0.4
0.2
4
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1 -0.5 0 0.5 1
Real Part
Przykład Help Matlaba Zadanie (Czas)
Imaginary Part
 8
Widmo amplitudowe
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Czestotliwosc
System posiada zero ( o krotności 4) w punkcie z=-1 oraz cztery bieguny na osi urojonych. Takie położenie zer
implikuje, bardzo małe wartości na charakterystyce amplitudowej dla wysokich częstotliwości.

1. Stosując funkcję MATLABA tf2ss znajdz
opis układów w przestrzeni stanów:
Ćw.3.1
Gr.
a. y[n]+ 3y[n -1]+ 2y[n - 2]= 5x[n -1]+ 2x[n - 2]
1 a
2 b
b. y[n]= x[n]- x[n - 2]+ 2x[n - 4]- x[n - 6]
3 c
4 a
1 3
5 b
c. y[n]- y[n -1]- y[n - 2]= -x[n]+ 2x[n -1]
4 8
6 c

2. Stosując funkcję MATLABA ss2tf wyznacz transmitancję systemu:
1
Ą#- 0 0
ń# Ą# ń#
2
A = b = Ćw.3.2
ó# Ą# ó#2Ą#
1
a. 0
Ł# 2Ś# Ł# Ś#
Gr.
1 a
c = [1 -1] D = [1]
2 b
3 c
4 a
1 1
1
Ą#- - ń# Ą# ń#
2 2
5 b
A = b =
ó# Ą# ó#0Ą#
1 1
b. - 6 c
Ł#- 2 4Ś# Ł# Ś#
c = [2 1] D = [0]
1 1
2
Ą#- ń# Ą# ń#
4 8
A = b =
ó# Ą# ó#2Ą#
7 3
c.
Ł#- 2 4Ś# Ł# Ś#
c = [0 1] D = [0]
Przykład Help Matlaba Zadanie (Czas)
Amplituda
 9
ĆWICZENIE 4
Stabilność, przyczynowość systemów LTI
Odpowiedz
impulsowa systemu przyczynowego jest zerowa dla n<0. Dlatego odpowiedz
impulsowa systemu
przyczynowego jest zdeterminowana przez prawostronną transformatę odwrotną transmitancji. Bieguny
znajdujące się wewnątrz okręgu jednostkowego na płaszczyz
nie zespolonej zmiennej z generują składniki
wykładnicze malejące, znajdujące się na zewnątrz okręgu jednostkowego generują składniki wykładnicze
rosnące. Oba przypadki przedstawia przykład.
b=[0 1];
a=[1 0.5];
x=[1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
zplane(b,a);
y=filter(b,a,x);
stem(y);
1
1
0.8
0.6
0.4
0.5
0.2
0
-0.2
0
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-0.5
-1 -0.5 0 0.5 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Real Part
a=[1 -1.5];
700
1
0.8
600
0.6
500
0.4
0.2
400
0
300
-0.2
-0.4
200
-0.6
100
-0.8
-1
0
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Real Part
System jest stabilny jeżeli odpowiedz
impulsowa jest bezwzględnie sumowalna. Oznacza to, że obszar
zbieżności transformaty musi zawierać okrąg jednostkowy. Położenie poszczególnych biegunów względem
okręgu jednostkowego określa (dla układu stabilnego) jakiego rodzaju - prawostronny czy lewostronny ciąg
dany biegun generuje. Bieguny o promieniu mniejszym niż 1 generują składniki prawostronne, bieguny
o promieniu większym niż 1 generują składniki lewostronne.
System jest stabilny i przyczynowy jeżeli wszystkie bieguny są położone wewnątrz okręgu jednostkowego.
System przyczynowy, stabilny jest minimalnofazowy jeżeli wszystkie zera i bieguny są położone wewnątrz
okręgu jednostkowego
Przykład Help Matlaba Zadanie (Czas)
Imaginary Part
Imaginary Part
 10

1. Stosując funkcję MATLABA zplane określ czy system jest stabilny, przyczynowy i minimalnofazowy:
2z +1
Ćw.4.1
a. H(z)=
5
z2 + z -
Gr.
16
1 a c e
2 b d f
1+ 2z-1
b. H(z)=
3 a d e
14 49
1+ z-1 + z-2
8 64
4 b c f
5 a c f
6 16
c. y[n]- y[n -1]- y[n - 2]= 2x[n]+ x[n -1]
6 b d e
5 25
1
d. y[n]- 2y[n - 2]= x[n]- x[n -1]
2
1 1
0
Ą#- ń# Ą# ń#
4 8
A = b =
ó# Ą# ó#2Ą#
7 3
e.
Ł#- 2 4Ś# Ł# Ś#
c = [1 1] D = [0]
1 1
2
Ą#- ń# Ą# ń#
4 8
A = b =
ó# Ą# ó#2Ą#
7 3
f.
Ł#- 2 4Ś# Ł# Ś#
c = [0 1] D = [0]

2. Dla wybranego systemu 4.1.a-f , stosując funkcję MATLABA freqz oblicz i wykreśl widmo
amplitudowe i fazowe.
ĆWICZENIE 5
Schematy blokowe
Systemy dyskretne w czasie można przedstawić w postaci przejrzystego schematu blokowego. Taki sposób
opisu pozwala na analizę systemu metodami numerycznymi. Przykładem może być program SIMULINK.
MATLAB pozwala na konwersję modelu  zero-biegunowego lub opisanego w przestrzeni stanu na kaskadowe
połączenie układów drugiego rzędu, których transmitancja ma postać:
b0 + b1z-1 + b2z-2
H(z)=
1+ a1z-1 + a2z-2
W dziedzinie czasu taki system opisuje równanie różnicowe
y[n]+ a1y[n -1]+ a2 y[n - 2]= b0x[n]+ b1x[n -1]+ b2x[n - 2]
Przykład Help Matlaba Zadanie (Czas)
 11
Schemat blokowy, który odpowiada powyższym równaniom:
X(z) b0 Y(z)
Ł Ł
z-1
b1
-a1
Ł Ł
z-1
-a2 b2
Współczynniki kaskadowo połączonych układów 2 rzędu otrzymuje się stosując funkcję MATLABA zp2sos lub
ss2sos. Format funkcji jest następujący:
sos=zp2sos(z,p,k)
gdzie z- wektor zawierający zera transmitancji, p- wektor zawierający bieguny transmitancji, k- wzmocnienie.
W wyniku otrzymuje się macierz 6 kolumnową o liczbie wierszy zależnej od liczby wyznaczonych kaskad.
Kolejne elementy każdego wiersza zawierają współczynniki transmitancji kolejno b0, b1, b2, 1, a1, a2.
Przykład:
(1+ jz-1)(1- jz-1)(1+ z-1)
H(z)=
jĄ / 4 jĄ / 8
1 1 3 3
(1- e z-1)(1- e- jĄ / 4z-1)(1- e z-1)(1- e- jĄ / 8z-1)
2 2 4 4
1 3
System posiada zera dla z=ąj oraz z=-1, bieguny dla z = eą jĄ / 4 oraz z = eą jĄ / 8 . Zastosujemy funkcję
2 4
zp2sos:
z=[-1 -j j];
p=[.5*exp(j*pi/4), .5*exp(-j*pi/4), .75*exp(j*pi/8), .75*exp(-j*pi/8)];
k=1;
sos=zp2sos(z,p,k);
sos =
0 1.0000 1.0000 1.0000 -0.7071 0.2500
1.0000 0 1.0000 1.0000 -1.3858 0.5625
Wyznaczone kaskady 2 rzędu mają następujące transmitancje:
z-1 + z-2
H1(z)=
1- 0.7071z-1 + 0.25z-2
1+ z-2
H2(z)=
1-1.3858z-1 + 0.5625z-2
Przykład Help Matlaba Zadanie (Czas)
 12
Na tej podstawie można narysować schemat blokowy systemu.
X(z) Y(z)
Ł Ł Ł
z-1 z-1
0.0171
1.3858
Ł Ł Ł
z-1 z-1
-0.25
-0.5625

1. System przyczynowy jest opisany transmitancją:
2 2
0.0976 z -1 z +1
( ) ( )
H z =
( )
z
( - 0.357 - j0.589 z - 0.357 + j0.589 z - 0.769 - j0.334 z - 0.769 + j0.334
)()()()
a. Wyznacz położenie zer i biegunów systemu (zplane) postaraj się na tej podstawie oszacować
kształt charakterystyki amplitudowej.
b. Stosując funkcje zp2tf oraz freqz wyznacz i wykreśl charakterystykę amplitudową i fazową.
c. Stosując zp2sos wyznacz schemat blokowy systemu, jako połączenie kaskadowe układów
2 rzędu.
d. Stosując funkcję freqz wyznacz charakterystyki amplitudowe dla każdej kaskady schematu
blokowego w c).
e. Wykonaj punkty 5.1a-d dla dowolnego układu o transmitancji zawierającej więcej niż
6 różnych biegunów.
(180)
Ćwiczenie opracowano na podstawie:
Haykin S, Van Veen B.: Signals and Systems Jon Wiley & Sons Inc. 1999
 Matlab Signal Processing Toolbox- User s Guide The MathWorks Inc.1996
Przykład Help Matlaba Zadanie (Czas)