2009-05-12
Wykład 8
Test �2 (chi-kwadrat)
Analiza reszt
Marcin Kocór
WSE, Kraków 2008/2009
Test �2 (chi-kwadrat)
" Test zgodności ą�służący do porównywania dwóch
rozkładów.
" Test niezależnością�służący do badania związku
między dwiema zmiennymi (głównie nominalnymi).
" Obydwa testy opierają się na porównaniu liczebności
empirycznych (obserwowanych) z liczebnościami
teoretycznymi (oczekiwanymi).
" Hipoteza zerowa testu niezależności �2 brzmi po
prostu: w populacji zmienne są niezależne.
1
2009-05-12
Test �2 (chi-kwadrat)
Statystyka �2 jest sumą kwadratowych reszt
standaryzowanych:
2 2
ne -�no (�ne -�no)�
e
�2 =�
��(�n -�no)�
no no
no
ne  liczebności empiryczne
no  liczebności oczekiwane
Przykład zastosowania testu �2
Strona 60
Miejsca zajmowane
no(kp) = x 40 = 24
Ogółem
100
lewa prawa
w wiejskim kościółku
40
no(kp) = x 60 = 24
ne 42 18 60 100
kobieta
60
no(kl) = x 60 = 36
no 36 24 60
? ?
100
Płed
60
no(ml) = x 40 = 24
ne 18 22 40
100
mężczyzna
40
no 24 16 40
? ?
no(mp) = x 40 = 16
100
ne 60 40 100
df = 1
Ogółem
no 60 40 100 ogólnie:
df = (w-1)(k-1)
(42-36)2 (18-24)2 36 36
+
+
24 36 24
(ne-no)2 = 36
=
�2 =
Ł = 6,25
no
(18-24)2 + (22-16)2 + 36 36
+ +
24 16 24 16
2
2009-05-12
p
0,05 0,01
Rozkład �2 df
1 3,841 6,635
2 5,991 9,210
3 7,815 11,345
�2 = 6,25
4 9,488 13,277
5 11,070 15,086
6 12,592 16,812
7 14,067 18,475
8 15,507 20,090
9 16,919 21,666
10 18,307 23,209
11 19,675 24,725
12 21,026 26,217
13 22,362 27,688
14 23,685 29,141
15 24,996 30,578
16 26,296 32,000
17 27,587 33,409
18 28,869 34,805
19 30,144 36,191
20 31,410 37,566
Test �2 przy użyciu SPSS
Tabela krzyżowa Płeć * Strona
Strona
lewa prawa Ogółem
Płeć kobieta Liczebność 42 18 60
Liczebność oczekiwana 36,0 24,0 60,0
% z Strona 70,0% 45,0% 60,0%
mężczy zna Liczebność 18 22 40
Liczebność oczekiwana 24,0 16,0 40,0
% z Strona 30,0% 55,0% 40,0%
Ogółem Liczebność 60 40 100
Liczebność oczekiwana 60,0 40,0 100,0
% z Strona 100,0% 100,0% 100,0%
Testy Chi-kwadrat
Istotność Istotność
Wartość df asymptotyczna dokładna
Chi-kwadrat Pearsona 6,250b 1 ,012 ,021
Poprawka na ciągłośća 5,252 1 ,022
Dokładny test Fishera ,021
N Ważny ch obserwacji 100
a. Obliczone wyłącznie dla tabeli 2x2.
b. ,0% komórek (0) ma liczebność oczekiwaną mniejszą niż 5. Minimalna
liczebność oczekiwana wynosi 16,00.
3
2009-05-12
Uwagi
Test �2 nie mierzy siły związku, ale bada
prawdopodobieostwo, że związek ten występuje w
populacji.
Przy zachowaniu proporcji w tabeli wartośd �2 jest
wprost proporcjonalna do wielkości próby, dlatego �2
nie może byd stosowane jako miara siły związku.
2 2 2 2
e
(��2)�ó� =�
��(�k ��ne -�k ��no)� =���k (�ne -�no)� =� k ����(�n -�no)� =� k ���2
k ��no k ��no no
Reszty
Liczebności obserwowane i oczekiwane
ą�liczebności obserwowane = empiryczne
ą�liczebności oczekiwane = teoretyczne
liczebności w sytuacji braku zależności
Kiedy nie ma zależności?
Reszta ą�różnica pomiędzy liczebnością obserwowaną
a oczekiwaną
4
2009-05-12
Reszty
" Reszta niestandaryzowana
no -�ne
" Reszta standaryzowana
no -�ne
ne
" Reszta skorygowana
no -�ne
(�1-� wi)�(�1-�kj)�
Reszty
Tabela krzyżowa CZY PALI * STAN CYWILNY
STAN CYWILNY
MALZ/KONK WDOWI ROZWIEDZ SEPARACJA KAW/PANNA Ogółem
CZY PALI Pali Liczebność 600 39 38 16 189 882
T * STAN CYWILNY
Liczebność oczekiwanaabela krzyżowa CZY PALI 7
563,0 76, 28,9 7,8 205,5 882,0
% z STAN CYWILNY 38,0% 18,1% 46,9% 72,7% 32,8% 35,7%
STAN CYWILNY
Nie Liczebność 978 176 43 6 387 1590
MALZ/KONK WDOWI ROZWIEDZ SEPARACJA KAW/PANNA Ogółem
CZY PALI Pali Liczebność oczekiwana 1015,0 138,3 52,138 14,2 370,189 1590,0
Liczebność 600 39 16 5 882
Tabela kr0% 81, 76,LI * STAN CYWILNY
zyżowa CZY9% 53,1% 7,8 2% 3%
PA7 28,
Tabela krzyżowa CZY PA CYWIL27,3% 67,205,5 64,882,0
LI * STAN 9 NY
%Liczebność WILNY 62,
z STAN CYoczekiwana 563,0
Ogółem Liczebność 1578 215 81 22 576 2472
Reszta 37,0 -37,7 9,1 8,2 -16,5
STAN
STCYWILNY
AN CYWILNY
Nie Liczebność oczekiwana 1578,0KONK 215,176 81, 22,0 6 576,PANNA2472,0
Liczebność 978 0 0
MALZ/ WDOWI ROZ043EDZ SEPARACJA KAW/387 1590em
WI Ogół
MALZ/KONK WDOWI ROZ38
WIEDZ0%SEPARACJA KAW/PANNA Ogółem
z STAN CYWI 1015,0 100,138,3 52,1 0% 100,0%
CZY PALI Pali % Liczebność oczekiwana 100,0% 600 0% 39 100,0% 100, 14,2 16 100,370,5 189 1590,0 882
LiczebnośćLNY
CZY PALI Pali Liczebność 600 39 38 16 189 882
Tabela krzyżowa 37,776,7 -9,128,9 -8,2 7,8 16,205,5 882,0
CZY PALI * STAN CYWILNY
ResLiczebność oczekiwana -37,563,0 5
zta 0
Liczebność oczekiwaowana 1578 1, 215 -4,3 81 1,7 22 2,9 576 -1,2 2472
na 563,6 76,7 28,9 7,8 205,5 882,0
0
Ogółem Liczebność
Reszta standaryz
STAN CYWILNY
z STAN CYWILNY 38,978 18,1% 43
Nie % Liczebność oczekiwana 1578,0 0% 215,0WDOWI 81,0ZWIEDZ 22,0 6 72,7% 387 2472,08% 35,7%
Liczebność 176 46,9% 576,0 32,1590
MALZ/KONK RO SEPARACJA KAW/PANNA Ogółem
Liczebność oczekiwana
CZY PALI Pali Liczebność 1015,0 138,3 52,1 14,2 370,5 1590,0
600 39 38 16 189 882
Reszta 37,0 -37,7 9,1 8,2 -16,5
ReszLicsebność zowana -1,2 3,2 -1,3 -2,2 ,9
ta
ztandary oczekiwana 76, 205,5
Reszta standary zowana 1,563,0 -4,37 28,9 7,8 2,9 -1,2882,0
6 1,7
Ogółem Liczebnośća skory 1578 215 -5,
2472
Reszt 81 22 576 -1,6
Reszta skory gowanagowana 3,2 -5,66 2,1 3,6 3,6 -1,6
3,2 2,1
Liczebność oczekiwana
Nie Liczebność 1578,0 215,0 81,0 22,0 576,0 2472,01590
978 176 43 6 387
Nie Liczebność 978 1763 52,1 14,2 6 387 1590
43
Liczebność oczekiwana 1015,0 138, 370,5 1590,0
Liczebność oczeskoryna 1015,0-3,2 138,5,6 -2,1 -3,614,2 370,5 1590,0
kiwa 3 52,1
Reszta gowana 1,6
% z STAN CYWILNY
Ogółem Liczebność 62,0% 81,9% 53,1% 27,3% 67,2% 64,3%
1578 215 81 22 576 2472
Liczebność oczekiwana -37,0 37,70 81,0 22,0-8,2 576,0 16,5
2472,0
Reszta 1578,0 215, -9,1
Reszta standary zowana -1,2 3,2 -1,3 -2,2 ,9
Reszta skory gowana -3,2 5,6 -2,1 -3,6 1,6
Ogółem Liczebność 1578 215 81 22 576 2472
Liczebność oczekiwana 1578,0 215,0 81,0 22,0 576,0 2472,0
% z STAN CYWILNY 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%
5