WYśSZA SZKOA
A
FINANSÓW I ZARZ
DZANIA
Tok dzienny
Tok dzienny
ZarzÄ…dzanie ryzykiem
Oczekiwana stopa zwrotu
Mierniki ryzyka
Model jednowskaz
nikowy
Wykład II
D R R A F A A
K U S Y
Oczekiwana stopa zwrotu
" => podstawowa charakterystyka ka\
dej inwestycji;
" => określa dochód przypadający na jednostkę
zainwestowanego kapitału;
Rt = (Pt - Pt -1 )/ Pt -1
" Rt => stopa zwrotu instrumentu finansowego w t-tym
okresie;
" Pt , Pt-1 => cena instrumentu finansowego w t-tym
okresie.
" Zakup instrumentu finansowego - - oczekiwanie co do
zwy\
ki cen instrumentu finansowego;
Oczekiwana stopa zwrotu
" Inwestor = przyszła stopą zwrotu na instrumencie finansowym.
" przyszłość = niepewność = ryzyko
" Opis ryzyka => podejście wynikające z rachunku prawdopodobieństwa;
" Rozkład stopy zwrotu => mo\
liwe do osiągnięcia stopy zwrotu oraz
prawdopodobieństwa ich osiągnięcia (sytuacja na rynku).
" Syntetyczna miara dochodu wyznaczona na podstawie rozkładu stopy zwrotu to
oczekiwana stopa zwrotu.
m
m
R = p R
"
" i i
i = 1
" R  oczekiwana stopa zwrotu;
" Ri  i-ta mo\
liwa do osiągnięcia wartość stopy zwrotu;
" Pi  prawdopodobieństwa osiągnięcia i-tej mo\
liwej wartości
stopy zwrotu;
" m  liczba mo\
liwych do osiągnięcia wartości stopy zwrotu;
Oczekiwana stopa zwrotu
" Oczekiwana stopa zwrotu => średnia wa\
ona mo\
liwych do osiągnięcia stóp
zwrotu, przy czym wagami są prawdopodobieństwa ich osiągnięcia;
" Gdy nie ma mo\
liwości uzyskania informacji o rozkładzie stopy zwrotu do
oszacowania oczekiwanej stopy zwrotu mo\
na wykorzystać dane historyczne
(stopy zwrotu zrealizowane w przeszłości). Na tej podstawie szacuje się
oczekiwanÄ… stopÄ™ zwrotu:
n
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
R = R / n
R = R / n
"
"
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
t = 1
íÅ‚ t Å‚Å‚
" Rt  stopa zwrotu instrumentu finansowego zrealizowana w t-tym okresie;
" n  liczba okresów z których pochodzą dane;
Historyczne dane
" Określenie liczby okresów
- im większa liczba danych tym średnia arytmetyczna
bardziej stabilna;
- największy wpływ na kształtowanie stóp zwrotu mają
ich wartości w obecnym okresie i okresach
bezpośrednio go poprzedzających (nie za du\
a
liczba);
" Przyjęcie długości okresu (dzienne roczne stopy
" Przyjęcie długości okresu (dzienne roczne stopy
zwrotu);
- im dłu\
szy okres tym lepiej dla wyliczenia
oczekiwanej stopy zwrotu;
- najlepiej roczne stopy;
- okresy nie krótsze ni\
miesiÄ…c.
" niestabilne stopy zwrotu  inne miary statystyczne tj.
mediana stóp zwrotu;
Miary ryzyka
Ryzyko  występuję wtedy, gdy mo\
liwa do zrealizowania stopa
zwrotu ró\
ni siÄ™ od oczekiwanej;
Ryzyko decyzji inwestycyjnej:
1. Ryzyko (niepewność natury);
2. Awersja inwestora do ryzyka.
Miara ryzyka instrumentu finansowego wariancja stopy zwrotu
z niego;
z niego;
" Wariancja serii wartości jest to średnia kwadratów ró\
nic
między poszczególnymi wartościami danej serii i ich średnią
wartością.
" Åšrednia informuje nas o przybli\
onej wartości analizowanych
danych a ryzyko jest tym wy\
sze im wy\
sza jest wariancja.
m
2
V = p (R - R )
V  wariancja stopy zwrotu
"
i i
"
R  oczekiwana stopa zwrotu
i =1
Miary ryzyka
" Im większe są odchylenia mo\
liwych stóp zwrotu od oczekiwanej
stopy zwrotu, tym większa jest wariancja;
" Wariancja przyjmuje zawsze wartości nieujemne;
" Wariancja = 0 => wszystkie mo\
liwe stopy zwrotu są równe;
" Obliczenie wartości wariancji pewnego zbioru danych pod
warunkiem, \
e znamy wszystkie jego wartości.
" Do oszacowania wariancji mo\
na wykorzystać dane historyczne.
m
îÅ‚ Å‚Å‚
2
V = (Ri - R) /(n -1)
"
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ i=1 ûÅ‚
Miary ryzyka
" Odchylenie standardowe stopy zwrotu serii wartości to pierwiastek kwadratowy
z ich wariancji (miara oddalania się danych od wartości średniej - miara
rozpiętości). Jeśli wszystkie obserwowane dane są jednakowe to odchylenie równe
jest 0.
m
2
s = V = pi (Ri - R )
"
i =1
" s  odchylenie standardowe stopy zwrotu
=> zwykle wyra\
one w procentach;
=> wskazuje przeciętne odchylenie mo\
liwych stóp zwrotu od oczekiwanej stopy
zwrotu;
=> przyjmuje wartości nieujemne;
=> im wy\
sze standardowe odchylenie tym większe ryzyko związane z danym
instrumentem finansowym;
=> wartość zerowa oznacza brak ryzyka.
Miary ryzyka - korelacja
" Korelacja  stopień powiązania ze sobą dwóch zmiennych
losowych;
m
îÅ‚
Á12 = pi (R1i - R1)(R2i - R2 )Å‚Å‚ /(s1s2 )
"
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ i =1 ûÅ‚
" Á1 2 -współczynnik korelacji stóp zwrotu instrumentów
" Á1 2 -współczynnik korelacji stóp zwrotu instrumentów
finansowych;
" R1, R2  oczekiwana stopa zwrotu pierwszego i drugiego
instrumentu finansowego;
" s1 ,s2 - odchylenia standardowe pierwszego i drugiego
instrumentu finansowego;
" R1i , R2i - mo\
liwe stopy zwrotu pierwszego lub
drugiego instrumentu finansowego;
Miary ryzyka - korelacja
m
îÅ‚
Á12 = (R1i - R1)(R2i - R2 )Å‚Å‚ /[( n - 1)(s1s2 )]
"
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ i=1 ûÅ‚
" Wykorzystanie danych historycznych
" Wartość bezwzględna współczynnika korelacji
wskazuje na silę powiązania stóp zwrotu
wskazuje na silę powiązania stóp zwrotu
instrumentów finansowych;
" Im wy\
sza jest wartość bezwzględna tego
współczynnika tym powiązanie jest silniejsze
(najsilniej powiÄ…zane to instrumenty o
współczynnikach  1 oraz + 1 a najsłabiej te
bliskie 0).
Miary ryzyka - korelacja
" Wartość korelacji <  1 do +1.>
" korelacja = +1
=>dwie serie danych sÄ… ze sobÄ… doskonale
skorelowane;
" korelacja = --1
=> wartości zmiennych zmieniają się w podobny
sposób ale w przeciwnych kierunkach;
" korelacja = 0
=> niemo\
liwe jest znalezienie jakiegokolwiek
związku między zmianami wartości jednej serii i
zmianami wartości w serii drugiej.
Miary ryzyka - korelacja
" Znak współczynnika korelacji
=> kierunek powiązania stóp zwrotu instrumentu finansowego.
" Dodatnia korelacja
wzrostowi (spadkowi) stopy zwrotu jednego instrumentu finansowego
towarzyszy wzrost (spadek) stopy zwrotu drugiego instrumentu
finansowego
(firmy z tej samej bran\
y).
(firmy z tej samej bran\
y).
" Ujemna korelacja
wzrostowi (spadkowi) stopy zwrotu jednego instrumentu finansowego
towarzyszy spadek (wzrost ) stopy zwrotu drugiego instrumentu
finansowego
(akcje firmy naftowej i akcje towarzystwa lotniczego lub akcje firmy
budowlanej i towarzystwa ubezpieczeniowego).
Miary ryzyka
" Kowariancja mierzy jak bardzo dane zmienne losowe ró\
niÄ… siÄ™ od siebie.
" Pojęcie które łączy korelację z wariancją.
" Wariancja => określa jak zmieniają się wartości pewnej zmiennej losowej;
" Kowariancja => mierzy jak zmieniajÄ… siÄ™ dwie zmienne losowe w zale\
ności od
siebie.
m
cov12 = pi(R1i - R1)(R2i - R2)
cov12 = pi(R1i - R1)(R2i - R2)
"
"
i=1
" cov1 2  kowariancja stóp zwrotu instrumentów finansowych;
" Kowariancja informuje jedynie o kierunku powiązania stóp zwrotu
instrumentów finansowych.
Ryzyko vs Dochód
" Oczekiwana stopa zwrotu i ryzyko => dwie podstawowe charakterystyki
ka\
dego instrumentu finansowego;
" Zasada maksymalizacji dochodu i minimalizacji ryzyka => naturalna zasada,
którą kieruje się ka\
dy inwestor;
" Inwestor kupuje więc instrumenty finansowe o największej oczekiwanej
stopie zwrotu i najmniejszym ryzyku (najmniejszym odchyleniu
standardowym);
" Graficzna analiza dochodu i ryzyka instrumentu finansowego;
R
R
s
" Oś odciętych  wartości odchyleń standardowych stopy zwrotu;
" Oś rzędnych  wartości oczekiwanych stóp zwrotu;
" Z reguły im wy\
szy dochód z instrumentu finansowego tym wy\
sze ryzyko;
Inne miary ryzyka - semiwariancja
Semiwariancja stopy zwrotu
" Uwzględnia się tylko ujemne odchylenia od oczekiwanej
stopy zwrotu
m
SV = pidi 2
"
"
i=1
i=1
di = Ri - R gdy Ri - R < 0
di = 0 gdy Ri - R e" 0
=> Wa\
ona suma kwadratów ujemnych odchyleń
mo\
liwych stóp zwrotu od oczekiwanej stopy
zwrotu
Inne miary ryzyka - semiodchylenie
Semiochylenie standardowe stopy zwrotu
" Pierwiastek kwadratowy z semiwariancji
0,5
m
ëÅ‚ öÅ‚
0,5
ss = SV = ìÅ‚ pidi 2 ÷Å‚
"
íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
Alternatywa gdy inwestor chce stopÄ™ zwrotu na
odpowiednim poziomie
Ujemne odchylenia od oczekiwanej stopy zwrotu
<=>
Ujemne odchylenia od stopy zwrotu ustalonej przez
inwestora
Inne miary ryzyka  odchylenie przeciętne
" Wada => Normalne odchylenie standardowe obarczone
ryzykiem złego wyniku (du\
e odchylenie  do 2 mo\
e
zawy\
yć wielkość ryzyka);
" Åšrednia wa\
ona wartości bezwzględnych odchyleń
mo\
liwych stóp zwrotu od oczekiwanej stopy zwrotu
przy czym wagami są prawdopodobieństwa osiągnięcia
stóp;
stóp;
m
d = pi Ri - R
"
i=1
d = odchylenie przeciętne stopy zwrotu
Ò!przyjmuje tylko wartoÅ›ci nieujemne;
Inne miary ryzyka  semiodchylenie przeciętne
Ryzyko  negatywna kategoria
(ujemne odchylenia od oczekiwanej stopy zwrotu);
m
sd = pi d
"
i
i =1
i =1
di = Ri - R gdy Ri - R < 0
di = 0 gdy Ri - R e" 0
=> Mo\
na stosować uogólnienie miary polegające
na zastÄ…pieniu oczekiwanej stopy zwrotu stopa
zwrotu określoną przez inwestora.
Współczynnik zmienności
" Miara ryzyka względnego;
CV = s / R
" CV  współczynnik zmienności;
" R  oczekiwana stopa zwrotu;
" s standardowe odchylenie stopy zwrotu (ryzyko);
Ò!wielkość ryzyka przypadajÄ…cego na jednostkÄ™ stopy
Ò!wielkość ryzyka przypadajÄ…cego na jednostkÄ™ stopy
zwrotu;
Ò!Inwestor  zakup instrumentu o jak najmniejszym
współczynniku zmienności;
Ò!Stosowane gdy instrumenty finansowe majÄ… zbli\
one
oczekiwane stopy zwrotu i zbli\
one poziomy ryzyka
(standardowe odchylenie);
Współczynnik zmienności
" Graficzna analiza współczynnika zmienności;
R
E
B
A
C
C
1
D
0,1 s
" Oś odciętych  wartości odchyleń standardowych stopy zwrotu;
" Oś rzędnych  wartości oczekiwanych stóp zwrotu;
" Współczynnik zmienności => cotangens kąta nachylenia do osi
odciętych prostej łączącej początek układu współrzędnych z
punktem odpowiadajÄ…cym tej akcji;
" Akcje A-B (te same współczynniki względności).
Teoria u\
yteczności - paradoks
Ò!Koncepcja awersji do ryzyka  teoria u\
yteczności;
Ò!Paradoks petersburski (wiek XVIII)  gra polegajÄ…ca na
rzucie monetÄ… (pojawienie siÄ™ reszki);
Wygrana => 2n (n  liczba wykonanych rzutów);
Ile powinien zapłacić gracz za udział w grze?
Wygrana (wartość oczekiwana)  wartość nieskończona;
Wygrana (wartość oczekiwana)  wartość nieskończona;
Zasada maksymalizacji wartości oczekiwanej => ka\
da
stawka (ró\
nica pomiędzy wygraną a ceną udziału w
grze jest nieskończona);
Praktyka=> Maksymalne stawki = kilka dukatów.
Daniel Bernoulli (1738r.)  zasada maksymalizacji
oczekiwanej u\
yteczności  zasada dla inwestorów przy
podejmowaniu decyzji
Teoria u\
yteczności  funkcja u\
yteczności
Ò! John von Neumann oraz Oskar Morgenstern (1944r.)
Ò! WartoÅ›ci funkcji  wartoÅ›ci u\
yteczności
( wartość satysfakcji, komfortu psychicznego) ;
Rodzaje u\
yteczności:
1. U\
yteczność pieniądza;
2. U\
yteczność bogactwa.
Ò! WartoÅ›ci pieniÄ™\
nej przyporzÄ…dkowuje u\
yteczność inwestora;
Ò! Funkcja rosnÄ…ca  wiÄ™ksze bogactwo = wiÄ™ksza u\
yteczność;
Ò! Funkcja rosnÄ…ca  wiÄ™ksze bogactwo = wiÄ™ksza u\
yteczność;
u\
yte
cznoÅ›
ć
bogactwo
U\
yteczność bogactwa
Ò! U\
yteczność stopy zwrotu  funkcja, która wartościom stóp
zwrotu osiągniętych przez inwestora przyporządkowuje
u\
yteczności
R = (W1  W0) / W0
gdzie
Ò! R  stopa zwrotu inwestora;
Ò! W1  wartość koÅ„cowa bogactwa inwestora;
Ò! W0  wartość poczÄ…tkowa bogactwa inwestora.
Ò! JeÅ›li wartość poczÄ…tkowa jest ustalona obie funkcje
Ò! JeÅ›li wartość poczÄ…tkowa jest ustalona obie funkcje
równowa\
ne;
Podstawowym kryterium podejmowania decyzji:
Ò! maksymalizacja u\
yteczności inwestora (maksymalizacja
oczekiwanej u\
yteczności inwestora).
Ò! oczekiwana u\
yteczność inwestora:
Funkcja u\
yteczności
Ò! PojÄ™cie psychologiczne (ka\
dy ma własną
funkcjÄ™ u\
yteczności):
1. Inwestor woli posiadać więcej ni\
mniej 
funkcja jest rosnÄ…ca (pochodna funkcji jest
dodatnia);
2. Krańcowa u\
yteczność jest malejąca i wklęsła
2. Krańcowa u\
yteczność jest malejąca i wklęsła
(druga pochodna jest ujemna)  ka\
dy
dodatkowy procent wzrostu bogactwa powoduje
coraz mniejszy przyrost u\
yteczności;
Krzywe obojętności
Krzywe wyznaczone w układzie dochód-ryzyko odpowiadające
poszczególnym poziomom u\
yteczności inwestora;
Krzywe jednakowej u\
yteczności;
Zmiany oczekiwanej stopy zwrotu i ryzyka => zmiany oczekiwanej
u\
yteczności;
R
R
R
B
C
A
s - ryzyko
s - ryzyko
s - ryzyko
Oczekiwana stopa zwrotu portfela
" Udziały są liczbami z przedziału [0, 1] (nie ma krótkiej sprzeda\
y).
n
n
Rp =
"w Ri
i
w = 1
"
i
i=1
i = 1
" n  liczba instrumentów finansowych;
" n  liczba instrumentów finansowych;
" Ri  oczekiwana stopa zwrotu i-tego instrumentu finansowego;
" wi  udział instrumentu finansowego w portfelu;
" Rp  oczekiwana stopa zwrotu portfela;
" Stopa zwrotu portfela jest wa\
oną średnią oczekiwanych stóp zwrotu
poszczególnych instrumentów finansowych, przy czym wagami są ich udziały w
portfelu;
Ryzyko portfela
" si - ryzyko (odchylenie standardowe) i-tego instrumentu finansowego;
" wi  udział instrumentu finansowego w portfelu;
" Ái j - współczynnik korelacji stóp zwrotu i-tego oraz j-tego instrumentu finansowego;
" Vp  wariancja portfela
" sp  odchylenie standardowe portfela;
n n - 1 n
"
2 2
" V = w s + 2 w w s s Á
" " "
p i i i j i j ij
i =1 i = 1 j = i + 1
i =1 i = 1 j = i + 1
sp = Vp
" Wariancja (czyli ryzyko) portfela zale\
y od ryzyka oraz od korelacji stóp
zwrotu par składników. Widać \
e ujemne wartości współczynników korelacji
powodujÄ… zmniejszanie siÄ™ ryzyka (wariancji) portfela. Im bardziej ujemne
powiązane są instrumenty finansowe w danym portfelu tym większy jest spadek
wariancji portfela.
Ryzyko portfela - dywersyfikacja
sp
Ryzyko
systematyczne
n
n
Oś odciętych => liczba składników portfela
Oś rzędnych => ryzyko portfela
Zwiększanie liczby składników portfela prowadzi tylko do pewnego
momentu do znacznego zmniejszenia ryzyka portfela. W miarÄ™
.
wzrostu liczby składników portfela spadki ryzyka są nieznaczne.
Linia asymptotyczna, do której zbli\
a się ryzyko całkowite obrazuje
poziom ryzyka systematycznego
Model jedno wskaz
nikowy Sharpe`a
" Kształtowanie się stóp zwrotu akcji jest zdeterminowane działaniem czynnika
odzwierciedlającego zmiany na rynku kapitałowym. Obserwacje empiryczne
potwierdzają, ze na wielu rynkach stopy zwrotu większości akcji są powiązane
ze stopą zwrotu indeksu rynku akcji (ogólna sytuacja na rynku). Indeks giełdy
 substytut portfela rynkowego;
" Zale\
ność stopy zwrotu akcji od stopy zwrotu indeksu rynku (indeksu giełdy,
portfela rynkowego) pokazuje następujące równanie:
R = Ä… + ² " R + e
Ri = Ä…i + ²i " RM + ei
" Ri  stopa zwrotu i-tej akcji;
" RM  stopa zwrotu indeksu rynku;
" Ä…i , ²i  współczynniki równania;
" ei  składnik losowy równania;
Model jedno wskaz
nikowy Sharpe`a
" Jest to równanie regresji  liniowa zale\
ność stopy zwrotu akcji od
stopy zwrotu indeksu rynku. Działanie innych czynników nie
mających wpływ na stopę zwrotu akcji wyra\
one jest przez składnik
losowy e.
Ri = Ä…i + ²i " RM
i i i M
Równanie to linia charakterystyczna akcji;
Linia charakterystyczna papieru wartościowego (security market line).
Współczynnik ą - współczynnik alfa linii charakterystycznej akcji. Linia jest
Ä…
Ä…
Ä…
szacowana i stosuje się do niej dane historyczne dotyczące zrealizowanych stóp
zwrotu akcji i stóp zwrotu indeksu rynku.
Model jedno wskaz
nikowy Sharpe`a
" Współczynnik beta ² (beta coefficient)
=>ile % wzrośnie stopa zwrotu akcji, gdy stopa
zwrotu indeksu rynku (portfela rynkowego)
wzrośnie o 1%.
wzrośnie o 1%.
=> w jakim stopniu stopa zwrotu akcji reaguje
na zmiany stopy zwrotu indeksu rynku
(zmiany zachodzÄ…ce na rynku akcji).
Model jedno wskaz
nikowy Sharpe`a
" Współczynnik beta ²:
0 < ² < 1 oznacza, \
e stopa zwrotu akcji w małym stopniu
reaguje na zmiany zachodzÄ…ce na rynku, - akcja
defensywna;
² > 1 oznacza, \
e stopa zwrotu akcji w du\
ym stopniu reaguje
na zmiany zachodzÄ…ce na rynku, - akcja agresywna
na zmiany zachodzÄ…ce na rynku, - akcja agresywna
² = 1 oznacza, \
e stopa zwrotu akcji zmienia siÄ™ w takim
samym stopniu jak stopa zwrotu rynku, (portfel rynkowy na
² = 1);
² = 0 oznacza, \
e stopa zwrotu akcji nie reaguje na zmiany
rynku  akcja wolna od ryzyka rynku (taki jest bon
skarbowy);
² < 1 oznacza, \
e stopa zwrotu akcji reaguje na zmiany
odwrotnie ni\
rynek, (rzadki przypadek ale po\
Ä…dany).
Model jedno wskaz
nikowy Sharpe`a
Ri
Ä…
RM
Odcięta  wartość stopy zwrotu indeksu rynku w danym okresie
Rzędna  wartość stopy zwrotu akcji w danym okresie
Linia charakterystyczna  linia hipotetyczna prosta,
Współczynnik beta akcji to tangens kąta nachylenia prostej do osi odciętych;
Współczynnik alfa linii to wyraz wolny prostej;
Do szacowania linii charakterystycznej akcji na podstawie danych z przeszłości
stosuje się metodę najmniejszych kwadratów. Polega ona na wyznaczeniu
prostej w taki sposób, \
e suma kwadratów odchyleń punktów od prostej (linii
charakterystycznej) jest minimalna, przy czym odchylenia mierzone są wzdłu\

osi rzędnych.
Model jedno wskaz
nikowy Sharpe`a
Szacowanie parametrów linii charakterystycznej
otrzymane metodą najmniejszych kwadratów:
n n
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ ëÅ‚ 2 öÅ‚
`
` `
ìÅ‚ ÷Å‚
² = ìÅ‚ (R - R )" (R - R )öÅ‚ / (R - R ) ÷Å‚
÷Å‚ ìÅ‚
i " it i Mt M " Mt M
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ i =1 Å‚Å‚ íÅ‚ i =1 Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
` `
Ä… = R - ² " R
Ä… = R - ² " R
i i i M
i i i M
" n  liczba okresów z których pochodzą informacje;
" Rit  stopa zwrotu i-tej akcji w t-tym okresie
" RMt  stopa zwrotu indeksu rynku w t-tym okresie
" Ri` - średnia arytmetyczna stóp zwrotu i-tej akcji
" RM` - średnia arytmetyczna stóp zwrotu indeksu rynku
Model jedno wskaz
nikowy Sharpe`a
(single-index model)
Dywersyfikacja portfela
sp
Ryzyko
systematyczne
n
n
Oś odciętych => liczba składników portfela
Oś rzędnych => ryzyko portfela
Zwiększanie liczby składników portfela prowadzi tylko do pewnego
momentu do znacznego zmniejszenia ryzyka portfela. W miarÄ™
.
wzrostu liczby składników portfela spadki ryzyka są nieznaczne.
Linia asymptotyczna, do której zbli\
a się ryzyko całkowite obrazuje
poziom ryzyka systematycznego
Model jedno wskaz
nikowy Sharpe`a
(single-index model)
Stopy Stopa
zwrotu zwrotu
Rok Ceny akcji akcji Stopa indeksu indeksu
(Ri t  Ri``)
x
( RM t -
Ri t  Ri`` RM t -- RM`` RM``) (RM t -- RM``)2
Ri t RM t
1989 67,0 zł
1 123,0
1990 56,0 zł -16,42% 1 089,0 -3,03% -24,62% -6,89% 0,02 0,00
1991 77,5 zł 38,39% 1 234,0 13,31% 30,19% 9,45% 0,03 0,01
1992 34,0 zł -56,13% 780,0 -36,79% -64,33% -40,65% 0,26 0,17
1992 34,0 zł -56,13% 780,0 -36,79% -64,33% -40,65% 0,26 0,17
1993 56,0 zł 64,71% 986,0 26,41% 56,50% 22,55% 0,13 0,05
1994 57,0 zł 1,79% 900,0 -8,72% -6,42% -12,58% 0,01 0,02
1995 123,0 zł 115,79% 1 345,0 49,44% 107,59% 45,58% 0,49 0,21
1996 100,0 zł -18,70% 1 098,0 -18,36% -26,90% -22,23% 0,06 0,05
1997 124,0 zł 24,00% 1 567,0 42,71% 15,80% 38,85% 0,06 0,15
1998 125,0 zł 0,81% 1 678,0 7,08% -7,39% 3,22% - 0,00 0,00
1999 113,0 zł -9,60% 1 790,0 6,67% -17,80% 2,81% - 0,01 0,00
2000 73,0 zł -35,40% 1 680,0 -6,15% -43,60% -10,01% 0,04 0,01
2001 57,0 zł -21,92% 1 456,0 -13,33% -30,12% -17,19% 0,05 0,03
2002 68,0 zł 19,30% 1 324,0 -9,07% 11,10% -12,93% - 0,01 0,02
Ri`` RM``
Åšrednia 8,20% 3,86% 0,71
1,13
Współczynnik Beta 1,58
Współczynnik Alfa 0,02
Model jedno wskaz
nikowy Sharpe`a
(single-index model)
Stopy zwrotu akcji vs. rynku
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
Stopy zwrotu rynku
Stopy zwrotu akcji
Stopy zwrotu akcji
Model jedno wskaz
nikowy Sharpe`a
(single-index model)
Linia charakterystyczna akcji
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5
-0,2
-0,4
-0,6
Stopa zwrotu rynku
Stopa zwrotu akcji
Stopa zwrotu akcji