notatki z kółka matematycznego rok szkolny 2004/2005 semestr II
Notatki z kółka matematycznego
Notatki z lekcji kółka matematycznego z panią mgr Alicją Jankowską z klasy 2G (LO7 we Wrocławiu).
Autorem notatek jest Mateusz Jędrzejewski. Niniejsza praca jest rozpowszechniana za darmo.
Rysunki wykresów są poglądowe i nie muszą dokładnie odzwierciedlać rzeczywistości.
Należy pamiętać, że praca możne zawierać błędy, mijać się z prawdą lub być niekompletna,
ale za to autor nie ponosi żadnej odpowiedzialności.
Temat: Data: 2-02-2004
Całka oznaczona.
1. Co to jest całka oznaczona.
Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale < a,b > .
Całką oznaczoną funkcji f w przedziale < a,b > nazywamy liczbę F(b) - F(a) ,
gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale < a,b > .
b
f (x) dx = F(b) - F(a)
+"
a
< a,b >  przedział całkowania,
a  dolna granica całkowania
b  górna granica całkowania
założenie b > a
2. Podstawowe własności całki oznaczonej.
a
f (x) dx = 0
+"
a
a b
f (x) dx = - f (x) dx
+" +"
b a
b c b
f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx gdzie c " (a,b)
+" +" +"
a a c
3. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej.
Niech f będzie funkcją ciągłą i większą od zera w przedziale < a,b >
x "< a,b > '" f (x) e" 0
wtedy całka
b
f (x) dx
+"
a
jest równa polu obszaru będącego zbiorem punktów XY płaszczyzny o współrzędnych
a d" x d" b '" 0 d" y d" f (x)
to znaczy obszaru wyznaczonego przez wykres funkcji i proste x = a i x = b oraz osi OX.
y
x
0 a b
strona 1 z 8
notatki z kółka matematycznego rok szkolny 2004/2005 semestr II
dla x "< a,b > '" f (x) < 0
y
x
0 a
b
b
P = - f (x) dx
+"
a
4. Twierdzenie o polu figury ograniczonej wykresami dwóch funkcji.
5. Dla funkcji f i g , które są ciągłe w przedziale < a,b > i g(x) e" f (x) dla x "< a,b >
pole figury ograniczonej wykresami funkcji f i g oraz prostymi x = a i x = b jest równe:
b
P =
+"(g(x) - f (x)) dx
a
y
g
f
x
0
a b
Zadania
I. Oblicza wartość całki oznaczonej.
3
3
3
a)
1
+"4xdx = 2x2 =[2x2] = 2�"9 - 2�"1 =16
1
1
1
4
1
1 5 3 1 5 3 5
b) (2x3 - 5x2 - 3x + 4) dx =[ x4 - x3 - x2 + 4x] = - - + 4 = 3 - =
2 3 2 2 3 2 3
0
+"
3
0

4

2
  
4
c) xdx =[tgx - x] = tg - - tg0 + 0 =1-
4
0 4 4
+"tg
0
sin2 x 1- cos2 x 1
�#
2
bo xdx = dx = dx =
ź#
+"tg +" +" +"ś# cos2 x -1ś# dx = tgx - x + c
cos2 x cos2 x
�# #
gdzie c to stała całkowania, czyli dowolna liczba rzeczywista
II. Oblicz pole figury ograniczonej funkcjami y = x2 i y = x2 + 2 oraz prostymi x =1 i x = 3.
y
3 3
3
P = (x2 + 2 - x2) dx = = [2x] = 4
1
+" +"2dx
1 1
Odp. Pole tej figury wynosi 4 j2 .
x
0 1 3
strona 2 z 8
notatki z kółka matematycznego rok szkolny 2004/2005 semestr II
III. Oblicz pole figury ograniczonej krzywą y2 = 8x i prostą x = 2 .
Równanie wierzchołkowe paraboli (potocznie  parabola leżąca ) ma postać y2 = ax .
Nie jest to funkcja.
y
y2 = 8x
y = 8x
y = 2 2x
x
0
2
x " R+ *"{0}
2 2
2
8�" 2�" 2 32
2
P = 2 2 xdx = 4 2 xdx =[4 2 �" �" x x] = =
3
0
+"2 +"
3 3
0 0
32
Odp. Pole tej figury wynosi j2 .
3
IV. Oblicz pole figury ograniczonej funkcją y = x2 i krzywą y2 = x .
 dwie parabole jedna normalna, a druga leżąca
Punkt wspólne to (0,0) i (1,1) .
y
1
1
1
2 1 2 1
1
P = ( x - x2) dx =[ x x - x3] = - =
3 3 3 3
0
+"
3
0
x
1
0
1
Odp. Pole tej figury wynosi j2 .
3
V. Oblicz pole figury ograniczonej funkcją y = x + sin2 x i prostą y = x w przedziale x "< 0,2  > .
VI. F ={ (x, y) : 2 x d" y d" 2 '" x " R }
VII. F ={ (x, y) : x3 d" y d" 8 '" x d" 2 }
1 1
VIII. F ={ (x, y) : - x2 + 2 x - 2 d" y d" x2 - 2 x + 2 '" x "< -2,2 > }
2 2
IX. Oblicz pole figury ograniczonej łukiem krzywej y = x2 ,
styczną do tej krzywej w punkcie A(3,9) i osią OX.
1
X. Dana jest krzywa y = oraz proste x =1i x = m gdzie m > 1.
x2
a) Wyznacz pole figury ograniczonej daną krzywą i danymi prostymi,
b) Oblicz granicę dla m zmierzającego do " .
strona 3 z 8
notatki z kółka matematycznego rok szkolny 2004/2005 semestr II
Temat: Data: 3-02-2004
Całka oznaczona  zadania.
Rozwiązania do zadań z poprzedniej lekcji.
V. Oblicz pole figury ograniczonej funkcją y = x + sin2 x i prostą y = x w przedziale x "< 0,2  > .
 
2
P = 2 (x + sin2 x - x)dx =
+" +"2sin x dx =
y
0 0


1 1
= cos 2x) dx = [x - sin 2x] =  - sin 2  = 
2 2
0
+"(1-
0
x
0
 2 
cos2x =1- sin2 x
bo
2sin2 x =1- cos2x
Odp. Pole tej figury wynosi  j2 .
y
2
VI. Oblicz pole figury F .
F ={ (x, y) : 2 x d" y d" 2 '" x " R }
1
P = �" 2�" 2 = 2
2
x
-1 0 1
Odp. Pole tej figury wynosi 2 j2 .
y
8
VII. Oblicz pole figury F .
F ={ (x, y) : x3 d" y d" 8 '" x d" 2 }
Po odcięciu figury pod osią OX i połączeniu jej z figurą
nad osią OX otrzymuje się prostokąt od bokach 4 na 8.
P = 4 �"8 = 32
-2 0 2
Odp. Pole tej figury wynosi 32 j2 .
x
-8
VIII. Oblicz pole figury F .
1 1
F ={ (x, y) : - x2 + 2 x - 2 d" y d" x2 - 2 x + 2 '" x "< -2,2 > }
2 2
Po narysowaniu wykresów funkcji i zaznaczeniu
półpłaszczyzny widać, że otrzymana figur
składa się z czterech jednakowych części.
Więc można policzyć pole figury w I ćw. układu XY.
1
y = - x2 - 2x + 2 dla x e" 0
2
1
0 = - x2 - 2x + 2
2
x = 8 - 2 dla x e" 0
( 8 -2)
1
P = 4 (- x2 - 2x + 2)dx =
2
+"
0
2
8 -2) 64 2 80
1 Ą#- 1
= 4[- x3 - x2 + 2x]( = 4 �"( 8 - 2)�" ( 8 - 2) -( 8 - 2)+ 2ń# = -
6 6
0
ó# Ą#
Ł# Ś#
3 3
strona 4 z 8
notatki z kółka matematycznego rok szkolny 2004/2005 semestr II
IX. Oblicz pole figury ograniczonej łukiem krzywej y = x2 ,
y
styczną do tej krzywej w punkcie A(3,9) i osią OX.
y - y0 = f '(x0) �" (x - x0)  ogólne równanie prostej stycznej
f '(x) = 2x
f '(3) = 6
x
y - 9 = 6(x - 3)
0
y = 6x - 9
3
3
1 1
P = (x2 - 6x + 9) dx = [ x3 - 3x2 + 9x] = �" 33 - 33 + 9 �" 3 = 9
3 3
0
+"
0
Odp. Pole tej figury wynosi 9 j2 .
1
X. Dana jest krzywa y = oraz proste x =1i x = m gdzie m > 1.
x2
a. Wyznacz pole figury ograniczonej
y
daną krzywą i danymi prostymi,
m
m
1 1 1
Ą# ń#
P = dx = = - +1
+"
Ą#
x2 ó#- x
Ł# Ś# 1 m
1
m -1
x
f (m) = m
0 1
m
b. Oblicz granicę dla m zmierzającego do " .
1
m(1- )
m
lim = 1
m"
m
Nowa zadanie. y
I. Oblicz pole figury F .

F = { (x, y) : sinx d" y d" cosx '" x "< 0, > } 1
2

4

2
4
P = x - sin x) dx =[sin x + cos x] = 2 �" -1 = 2 -1
0
+"(cos
 
2 x
0
0
2
4
Odp. Pole tej figury wynosi 2 -1 j2 .
strona 5 z 8
notatki z kółka matematycznego rok szkolny 2004/2005 semestr II
Temat: Data: 9-02-2004
Obliczanie objętości brył za pomocą całki oznaczona.
1 4
I. Oblicz pole figury ograniczonej funkcjami y = i y = oraz prostymi y =1 i y = 4 .
x x
1 4
1 4
1 4
P = - ) dx + -1) dx = [4x - ln x] +[4ln x - x] = y
1
x x
+"(4 +"(
1
4
1
1
4
4
1
= 4 - ln1-1+ ln + 4ln 4 - 4 - 4ln1+1 =
4
1
= ln 4-1 + 4ln 4 = -ln 4 + 4ln 4 = 3ln 4
bo wiadomo, że ln1 = 0 x
1
4
0 1
4
Przydatne wzory:
a) na obliczanie objętości bryły obrotowej
b
2
V =  (x)] dx
+"[f
a
b) na obliczanie pola powierzchni bryły obrotowej
b
2
S = 2  f (x)�" 1+[f '(x)] dx
+"
a
c) na obliczanie długości łuku
b
2
L = 1+[f '(x)] dx
+"
a
zakłada się że funkcja f jest ciągła i nieujemna w przedziale < a,b > .
II. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi OX.
y
y = 2x2 �! y + x - 3 = 0 �! y = - x + 3 �! 2x2 = -x + 3
3
2x2 + x - 3 = 0 " = 1+ 24 = 25
3
((x1 = 1 (" x2 = - ) '" x e" 0)�! x = 1
2
x
-3 3
0
1 1
2
V = 2  [(- x + 3) - 4x4] dx =2  (x2 - 6x + 9 - 4x4)dx =
+" +"
0 0
1
1 4 1 4 90 7 166
= 2 [ x3 - 3x2 + 9x - x5] = 2 [ - 3 + 9 - ]= 2 (15 - ) = 
3 5 3 5 15 15
0
y
1
III. Oblicz pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu funkcji
 
y = cos x wokół osi OX dla x"< - , > .
2 2
x

2


0
-
2
S = 2  x( 1+ sin2 x) dx = 2
+"cos
- 
-1
2

2
2 2
1 1
= 2 Ą#1 ln sin x + sin2 x +1 + sin x sin2 x +1ń# = 2 [ln(1+ 2)+ - ln(1- 2)+ ]=
2 2 2 2
ó#2 Ą# - 
Ł# Ś#
2
= [ln(1+ 2)- ln(1- 2)+ 2 2]= (ln(3 + 2 2)+ 2)
Całka elementarna (czyli jest w tablicach matematycznych):
k x
x2 + k dx = ln x + x2 + k + x2 + k + c
2 2
+"
Różnica logarytmów to logarytm różnic.
strona 6 z 8
notatki z kółka matematycznego rok szkolny 2004/2005 semestr II
Temat: Data: 10-02-2004
Obliczaniu pól figur  zadania.
y
I. Oblicz pole figury ograniczonej
funkcją kwadratową y = x2 + bx + c
A2 A1
oraz
y = 4x -13
stycznymi .
x
y = -4x + 3
f (x) = x2 + bx + c
f '(x) = 2x + b
B
f '(x1) = 2x1 + b f '(x2) = 2x2 + b
2x1 + b = 4 2x2 + b = -4
1 1
x1 = 2 - b x2 = -2 - b
2 2
y1 = 8 - 2b -13 y2 = 2b +11
1 1
A1(2 - b, 8 - 2b -13) A2(- 2 - b, 2b +11)
2 2
ż#2b +11 = 2 - 1 b)2 + b(- 2 - 1 b)+ c
(-
�#
2 2
�#
2
1 1
�#- 2b - 5 = (2 - b) + b(2 - b)+ c
�# 2 2
ż#2b +11 = 1 + b)2 - 1 b(4 + b)+ c /�" 4
(4
�#
4 2
�#
2
1 1
�#- 2b - 5 = (4 - b) + b(4 - b) + c /�" 4
�# 4 2
ż#
�#8b + 44 = 16 + 8b + b2 - 8b - 2b2 + 4c
�#
�#
�#8b + 20 = -16 + 8b - b2 - 8b + 2b2 - 4c
16b + 64 = 0 �! b = -4
1
8 - 5 = �" 64 -16 + c �! c = 3
4
y = x2 - 4 + 3
" = 4
4 - 2 4 + 2
x1 = = 1 x2 = = 3 W (2,-1)
2 2
A1(4, 3) A2(0, 3)
0 = 4x -13 0 = -4x + 3
13 3
x = x =
4 4
y = 4x
ż# -13
�#y = -4x + 3
�#
2y = -10
y = -5
�#
�#
�! B(2, - 5)
3 - y 3 + 5 Ź#
x = = = 2�#
4 4 �#
1
P" = �" (3 -1) �" - 5 = 5
2
strona 7 z 8
notatki z kółka matematycznego rok szkolny 2004/2005 semestr II
3
3
1 1 4
P0 = - (x2 - 4x + 3) dx = [- ( x3 - 2x2 + 3x)] = 9 -18 + 9 - 2 + 3 + =
3 3 3
1
+"
1
13 13
4 4
13
4
1 37
P1 = (x2 - 4x + 3 - 4x +13) dx = (x2 - 8x +16) dx =[ x3 - 4x2 +16x] =
3 192
3
+" +"
3 3
1 1
1
1 37
P2 = (x2 - 4x + 3 + 4x - 3) dx = x2dx = [ x3] =
3
3 192
+" +"
4
3 3
4 4
P = P2 + P1 - P0 + P"
389
37 4 37 4 5
P = 2 �" - + 5 = - + 5 = = 4 H" 4,052
192 3 96 3 96
96
389
Odp. Pole tej figury wynosi j2 .
96
strona 8 z 8