Całka oznaczona. Część pierwsza.
Niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną w przedziale domknię-
tym [a, b].
Definicja. Podziałem odcinka [a, b] na n części nazywamy zbiór punk-
tów P = {x0, x1, . . . , xn}, gdzie
a = x0 < x1 < · · · < xn = b.
Długość odcinka [xk-1, xk] oznaczamy przez "xk:
"xk = xk - xk-1.
Największą z liczb "x1, "x2, . . . , "xn nazywamy średnicą podziału i
oznaczamy przez ´(P).
Z każdego odcinka [xk-1, xk] wybieramy jeden punkt pośredni
¾k " [xk-1, xk].
LiczbÄ™
Ã(f, P) = f(¾1)"x1 + f(¾2)"x2 + · · · + f(¾n)"xn
nazywamy sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi P oraz
punktom poÅ›rednim ¾k.
Uwaga. Jeżeli funkcja f jest nieujemna w przedziale [a, b], to suma
caÅ‚kowa Ã(f, P) jest równa sumie pól n prostokÄ…tów o podstawach "xk
i wysokoÅ›ciach f(¾k).
Definicja. Dla każdego n = 1, 2, . . . niech Pn będzie pewnym podzia-
Å‚em odcinka [a, b]. CiÄ…g {Pn} nazywamy normalnym ciÄ…giem podzia-
łów, jeżeli
lim ´(Pn) = 0.
n"
Każdemu ciÄ…gowi podziałów odpowiada ciÄ…g sum caÅ‚kowych {Ã(f, Pn)}.
Definicja. Jeżeli ciÄ…g sum caÅ‚kowych {Ã(f, Pn)} odpowiadajÄ…cy do-
wolnemu normalnemu ciągowi podziałów jest zbieżny, i to zawsze do
tej samej granicy, niezależnie od wyboru punktów podziału xk i punk-
tów poÅ›rednich ¾k, to granicÄ™ tÄ… nazywamy caÅ‚kÄ… oznaczonÄ… Riemanna
funkcji f w przedziale [a, b] i oznaczamy
b
f(x)dx.
a
Jeżeli powyższa całka istnieje, to funkcję f nazywamy całkowalną w
przedziale [a, b].
1
2
Ponadto przyjmujemy
a a b
f(x)dx = 0 oraz f(x)dx = - f(x)dx dla a < b.
a b a
Przykład. Niech f będzie funkcją stale równą c w przedziale [a, b].
Wtedy dla dowolnego podziału P = {x0, x1, . . . , xn} odcinka [a, b]
mamy
Ã(f, P) = c"x1+c"x2+· · ·+c"xn = c("x1+"x2+· · ·+"xn) = c(b-a).
Zatem f jest całkowalna w przedziale [a, b] i
b
f(x)dx = c(b - a).
a
Uwaga. W definicji całki oznaczonej zakładaliśmy, że funkcja f jest
ograniczona w przedziale w [a, b]. Sumy caÅ‚kowe Ã(f, Pn) możemy zde-
finiować również wtedy, gdy funkcja f jest nieograniczona, lecz wtedy
można zawsze wybrać punkty poÅ›rednie ¾k, tak, żeby suma |Ã(f, Pn)|
byÅ‚a dowolnie duża. CiÄ…g sum caÅ‚kowych Ã(f, Pn) jest wtedy rozbieżny,
zatem funkcja nieograniczona w przedziale [a, b] nie jest w tym prze-
dziale całkowalna.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale [a, b], to
jest również całkowalna w każdym przedziale [c, d], gdzie a d" c < d d" b.
Twierdzenie. Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest w
tym przedziale całkowalna.
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej. Załóżmy, że funk-
cja f(x) jest nieujemna i ciągła w przedziale [a, b]. Oznaczmy przez
D zbiór punktów na płaszczyz
nie o współrzędnych (x, y) spełniających
nierówności
a d" x d" b, 0 d" y d" f(x).
(D jest obszarem ograniczonym prostymi x = a, x = b, y = 0 i krzywÄ…
b
y = f(x).) Wtedy pole obszaru D równa się całce f(x)dx.
a
3
Twierdzenie. Załóżmy, że funkcje f i g są całkowalne w przedziale
[a, b], a ą " R jest dowolną stałą. Wtedy zachodzą wzory
b b b
(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx,
a a a
b b
Ä…f(x)dx = Ä… f(x)dx.
a a
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale [a, b] i jeżeli
a < c < b, to
b c b
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
a a c
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale [a, b] i
spełniona jest nierówność m d" f(x) d" M dla x " [a, b], to
b
m(b - a) d" f(x)dx d" M(b - a).
a
Twierdzenie. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w przedziale [a, b] i
spełniona jest nierówność f(x) d" g(x) dla x " [a, b], to
b b
f(x)dx d" g(x)dx.
a a
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalne w przedziale [a, b],
to funkcja |f(x)| również jest całkowalna i spełniona jest nierówność
b b
| f(x)dx| d" |f(x)|dx.
a a
4
Twierdzenie. (O wartości średniej.) Jeżeli f jest funkcją ciągłą w
przedziale [a, b], to istnieje c " [a, b], takie że
b
1
f(x)dx = f(c).
b - a
a
Wyrażenia po lewej stronie powyższego wzoru nazywamy wartością
średnią funkcji f w przedziale [a, b].
Dowód. Ponieważ f jest funkcją ciągłą w przedziale domkniętym [a, b],
więc przyjmuje w tym przedziale wartość najmniejszą m i wartość naj-
większą M (patrz wykład o funkcjach ciągłych). Skoro m d" f(x) d" M
dla x " [a, b], więc
b
m(b - a) d" f(x)dx d" M(b - a).
a
b
1
Oznaczmy przez y wartość f(x)dx. Dzieląc w powyższych
b - a
a
nierównościach przez b - a otrzymujemy
m d" y d" M.
Na mocy własności Darboux, funkcja ciągła f przyjmuje w przedziale
[a, b] każdą wartość pośrednią pomiędzy m i M, więc y = f(c) dla
pewnego c " [a, b].
Twierdzenie. (Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.) Załóżmy,
że f jest funkcją całkowalną w przedziale [a, b]. Definiujemy funkcją
F (x) wzorem
x
F (x) = f(t)dt dla x " [a, b].
a
Funkcja F (x)
1) jest ciągła w przedziale [a, b];
2) ma pochodną F (x) równą f(x) w każdym punkcie, w którym funkcja
f jest ciągła.
Wniosek. Każda funkcja ciągła w przedziale [a, b] ma w tym przedziale
funkcjÄ… pierwotnÄ….
Dowód. Niech f będzie dowolną funkcją ciągłą w przedziale [a, b] Wtedy
funkcja
x
F (x) = f(t)dt
a
jest różniczkowalna w przedziale [a, b] i F (x) = f(x). Zatem F (x) jest
funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f w przedziale [a, b].
5
Twierdzenie. (Związek całki oznaczonej z całką nieoznaczoną.) Jeżeli
G(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji ciągłej f w przedziale [a, b],
to
b
f(x)dx = G(b) - G(a).
a
Dowód. Załóżmy, że G(x) jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
[a, b]. Na mocy ostatniego twierdzenia,
x
F (x) = f(t)dt
a
również jest funkcją pierwotną funkcji f. Ponieważ dwie funkcje pier-
wotne tej samej funkcji różnią się o stałą, więc
F (x) = G(x) + C, dla pewnego C " R.
Dla x = a mamy F (a) = 0, więc C = -G(a), skąd
b
f(x)dx = F (b) = G(b) + C = G(b) - G(a).
a
Uwaga. Powyższe twierdzenie pozwala obliczyć całką oznaczoną, gdy
znamy całką nieoznaczoną. Różnicę G(b) - G(a) będziemy często za-
pisywać krócej: G(x)|b. Wtedy wzór w twierdzeniu przyjmuje postać
a
b
f(x)dx = G(x)|b.
a
a
Przykład. a) Ponieważ funkcją pierwotną funkcji cos x jest sin x, więc
Ä„
2
Ä„
cos x dx = sin - sin 0 = 1 - 0 = 1.
2
0
1 1
b) Ponieważ dx = - + C, więc
x2 x
2
2
1 1 1 1
dx = - = - + 1 = .
x2 x 1 2 2
1
6
Twierdzenie. (Całkowanie przez części.) Jeżeli funkcje f i g mają w
przedziale [a, b] ciągłe pochodne, to
b b
f(x)g (x)dx = f(x)g(x)|b - f (x)g(x)dx.
a
a a
Dowód. Ponieważ (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x), więc
b b b
(f(x)g(x)) dx = f (x)g(x)dx + f(x)g (x)dx.
a a a
Oczywiście f(x)g(x) jest funkcją pierwotną funkcji (f(x)g(x)) , więc
b
(f(x)g(x)) dx = f(x)g(x)|b,
a
a
czyli
b b
f(x)g(x)|b = f (x)g(x)dx + f(x)g (x)dx.
a
a a
Przykład.
Ä„ Ä„ Ä„
x sin x dx = -x(cos x) dx = -x cos x|Ä„ - (-x) cos x dx =
0
0 0 0
Ä„
= Ä„ + cos x = Ä„ + sin x|Ä„ = Ä„.
0
0
Twierdzenie. (Całkowanie przez podstawienie.) Jeżeli funkcja f(x)
jest ciÄ…gÅ‚a w zbiorze wartoÅ›ci funkcji Õ(t), ciÄ…gÅ‚ej i majÄ…cej ciÄ…gÅ‚Ä… po-
chodnÄ… w przedziale [Ä…, ²], i jeżeli a = Õ(Ä…), b = Õ(²), to
b ²
f(x)dx = f(Õ(t))Õ (t)dt.
a Ä…
7
1
"
Przykład. Aby obliczyć całkę 1 + 2x dx, przyjmujemy t = 2x+1.
0
Wtedy
t - 1 1
x = , dx = dt.
2 2
Aby obliczyć nowe granice całkowania, wstawiamy stare granice do
wzoru na t:
2 · 0 + 1 = 1, 2 · 1 + 1 = 3,
stÄ…d
1 3
" " " "
1 1" 1 1
1 + 2x dx = t dt = t3|3 = ( 27 - 1) = 3 - .
1
2 3 3 3
0 1
Definicja. Załóżmy, że funkcja f jest określona w przedziale [a, b) i
całkowalna (a więc w szczególności ograniczona) w każdym przedziale
[a, ²], gdzie a < ² < b.
Punkt b nazywamy punktem osobliwym funkcji f, jeżeli albo b = +",
a więc przedział [a, b) jest nieograniczony, albo b jest liczbą rzeczywistą,
lecz funkcja f jest nieograniczona w przedziale [a, b).
Jeżeli b jest punktem osobliwym funkcji f i istnieje granica skończona
²
lim f(x)dx,
²b- a
to granice tą nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale [a, b)
i oznaczamy
b
f(x)dx.
a
Analogicznie definiujemy całką niewłaściwą w przedziale (a, b], gdy a
jest punktem osobliwym funkcji f, to znaczy albo a = -", albo a jest
liczbÄ… rzeczywistÄ…, lecz funkcja jest nieograniczona w sÄ…siedztwie (pra-
wostronnym) punktu a . Zakładając, że f jest całkowalna w każdym
przedziale [Ä…, b], gdzie a < Ä… < b, przyjmujemy
b b
= lim f(x)dx.
Ä…a+
a Ä…
1
Przykład. a) Funkcja ma w przedziale [1, +") całkę niewłaściwą
x2
równą 1, bo
²
+" ²
1 1 1 1
dx = lim dx = lim - = lim 1 - = 1.
²+" ²+" ²+"
x2 x2 x 1 ²
1 1
8
1
"
b) Funkcja f(x) = ma w przedziale (0, 1] punkt osobliwy 0. Istot-
x
1
"
nie, f jest nieograniczona w sÄ…siedztwie 0, bo lim = +". W
x0+ x
dowolnym przedziale [ą, 1], gdzie 0 < ą < 1, f jest całkowalna, jako
funkcja ciągła i
1
" "
1
" dx = 2 x|1 = 2(1 - Ä…).
Ä…
x
Ä…
Ponieważ
1
"
1
lim " dx = lim 2(1 - Ä…) = 2,
Ä…0+ Ä… x Ä…0+
więc f ma w przedziale (0, 1] całką niewłaściwą równą 2.
1
c) Funkcja f(x) = ma w przedziale [0, 1) punkt osobliwy 1.
1 - x
1
Istotnie, f jest nieograniczona w sÄ…siedztwie 1 (bo lim = +"),
x1- 1 - x
ale jest caÅ‚kowalna w każdym przedziale [0, ²], gdzie 0 < ² < 1, i
²
1 1
dx = - ln(1 - x)|² = - ln(1 - ²) = ln .
0
1 - x 1 - ²
0
1
1 1
Ponieważ lim ln = +", więc całka niewłaściwa dx nie
²1- 1 - ² 1 - x
0
istnieje.
Jeżeli funkcja f ma w przedziale (a, b) dwa punkty osobliwe, jeden na
początku, a drugi na końcu przedziału, to obieramy wewnątrz prze-
działu dowolny punkt c i sumę całek niewłaściwych
c b
f(x)dx + f(x)dx
a c
(jeśli obie istnieją) nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale
(a, b).
9
1
Przykład. a) Funkcja f(x) = " ma w przedziale (0, 1) dwa
x - x2
1
punkty osobliwe 0 i 1. Dzielimy przedział na dwie części (0, ] i [1, 1)
2 2
i obliczamy całki niewłaściwe w tych przedziałach
1
2
1
1 Ä„
2
lim " dx = lim arcsin(2x - 1)|Ä… = lim arcsin(2Ä…-1) = ,
Ä…0+ Ä… Ä…0+ 2
x - x2 Ä…0+
²
1 Ä„
lim " dx = lim arcsin(2x - 1)|² = lim arcsin(2²-1) = ,
1
²1- 1 2 ²1-
2
x - x2 ²1-
2
więc całka niewłaściwa funkcji f w przedziale (0, 1) istnieje i równa się
Ä„:
1
1
" dx = Ä„.
x - x2
0
b)
" 0 "
dx dx dx
= + =
1 + x2 -" 1 + x2 0 1 + x2
-"
0 ²
dx dx
= lim + lim =
Ä…-" ²+"
1 + x2 1 + x2
Ä… 0
Ä„ Ä„
= lim (0 - arctg Ä…) + lim (arctg ² - 0) = + = Ä„.
Ä…-" ²+"
2 2