Całka oznaczona
1. Za pomocą definicji obliczyć całkę
Ą
3 1
2
(a) x2dx ; (b) x3dx ; (c) cos xdx.
-2 0 0
2. Obliczyć całki
"

3 2
dx
(a) " , (b) |1 - x|dx,
3
1 + x2 0
3


4Ą 5
xdx
"
(c) 1 - cos(2x)dx, (d) ,
0 0 1 + 3x
Ą
1
x2dx 2
(e) , (f) sin2 x cos xdx,
0 (x + 1)4 0
Ą Ą
2 2 cos x
"
(g) x sin xdx, (h) dx,
0 0 1 + sin x

2 -1
2
(i) x(x2 + 1)ex dx, (j) x2e-2xdx,
1 -2
"
Ą 1 1 1
Odpowiedzi (a) , (b) 1, (c)4, (d) 4, (e) , (f) , (g) 1, (h) ( 2 - 1),
6 24 3 2
1 1
(i)2e4 - e, (j) e2(5e2 - 1).
2 4
3. Przy pomocy definicji całki oznaczonej znalez
ć granice

1 1 1
(a) limn" + + ... + ,
n + 1 n + 2 n + n

1 Ą 2Ą (n - 1)Ą
(b) lim sin + sin + ... + sin .
n"
n n n n
3. Obliczyć granice

x
cos t2dt
0
(a) lim ;
x0
x
2 2
x
et dt
0
(b) lim ;
x 2
x"
e2t dt
0
"

sin x
tan t dt
0
"
(c) lim .

x0+ tan x
sin t dt
0
4. Wyznaczyć ekstrema funkcji

x
2
x eu (u2 - 3u + 2)du.
0
5. Niech f " C([0, +")) bedzie funkcją rosnacą na przedziale [0, +"). Poka-
zać, że

x
1
g(x) := f(u)du, x > 0
x 0
jest rosnąca na (0, +").
6*. Znalez
ć funkcje f " C([0, +")) spełniające warunek


x
x
"x>0 sin f(u)du = .
0 1 + x
(wskazówka: zróżniczkować obustronnie powyższą równość.)
7. Na podstawie twierdzenia o wartości średniej podać ocenę wartości nastę-
pujących całek
Ą
1 2
x10 3
"
(a) x2exdx; (b) dx; (c) x3 tan xdx.
5
Ą
0 0
1 + x7
4
11. Obliczyć pole obszarów ograniczonych liniami
(a) parabolami y = x2 i x = y2,
1
(b) prostymi x = -1, x = 1, osią OX oraz łukiem linii y = ,
x2+1
(c) parabolą 4y = 8x - x2 i prostą 4y = x + 6,
(d) parabolami y = 4 - x2, y = x2 - 2x,
(e) parabolą y = 6x - x2 i osią OX,
(f) parabolą y = 2x - x2 i prostą x + y = 0,
(g) linią x = a cos t, y = b sin t.
1 Ą 5 9
Odpowiedzi (a) , (b) , (c) 524, (d) 9, (e) 36, (f) , (g) Ąab.
3 2 2
11. Obliczyć całki niewłaściwe lub uzasadnić ich rozbieżność

0
dx
(a) ;
-2 x + 1

1
(b) ln xdx;
0

+"
(c) x sin xdx;
-"

+"
dx
(d) .
-" x2 + 2x + 2
2