1
Pole trapezu krzywoliniowego
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xi < xi+1 < . . . < xn = b
"xi = xi+1 - xi
x" " (xi, xi+1)
i
2
Pole prostokÄ…ta o podstawie "xi = f(x") · "xi
i
|P | - Pole trapezu krzywoliniowego
n-1

|P | H" f(x") · "xi
i
i=0
Oznaczenie: ´ = max { "xi : i = 0, 1, . . . , n - 1 }
3
Całka oznaczona
Definicja Założmy, że funkcja f jest funkcją ograniczoną na
przedziale [a, b] . Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na
przedziale [a, b] definiujemy wzorem:
b
n-1

f(x) dx = lim f(x") · "xi
i
a
´0
i=0
o ile granica ta istnieje i jest niezależna od sposobu podziału odcinka
[a, b] i wyboru punktów x" .
i
Funkcję f nazywamy wówczas funkcją całkowalną w sensie Riemanna.
Krańce przedziału [a, b] nazywamy odpowiednio - dolną i górną
granicą całkowania.
4
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
" Jeżeli f jest funkcją ciągłą i nieujemną na przedziale [a, b] , to
b

f(x) dx = |P |.
a
5
" Jeżeli f jest funkcją ciągłą i ujemną na przedziale [a, b] , to
b

f(x) dx = - |P |.
a
6
Przykład Oblicz z definicji całkę oznaczoną:
b

dx.
a
Przykład (Funkcji niecałkowalnej w sensie Riemanna)
Wykaż, że funkcja Dirichleta
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1 x " Q
ôÅ‚
òÅ‚
D(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
0 x " R Q
ôÅ‚
ół
nie jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna w dowolnym przedziale
[a, b] .
7
Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna
Twierdzenie Każda funkcja ciągła na przedziale [a, b] jest na
tym przedziale całkowalna w sensie Riemanna.
Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale
[a, b] i ma w tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości
(pierwszego rodzaju), to jest na tym przedziale całkowalna w sensie
Riemanna.
8
Własności całki oznaczonej
Uwaga Pisząc w poniższych twierdzeniach całkę:
b

f(x) dx
a
zakładamy automatycznie, że funkcja f jest funkcją całkowalną w
sensie Riemanna na przedziale [a, b] .
"
a

f(x) dx = 0
a
"
b a

f(x) dx = - f(x) dx
a
b
9
"
b b

c · f(x) dx = c · f(x) dx, c " R
a a
"
b b b

( f(x) Ä… g(x) ) dx = f(x) dx Ä… g(x) dx
a a a
"
b c b

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx, c " (a, b)
a a c
" Jeżeli funkcja f jest funkcją nieujemną na przedziale [a, b] , to
b

f(x) dx 0.
a
10
" Jeżeli dla każdego x " [a, b] zachodzi nierówność f(x) g(x) ,
to
b b

f(x) dx g(x) dx.
a a
Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest funkcją całkowalną w sensie
Riemanna na przedziale [a, b] , to istnieją takie stałe rzeczywiste m
i M , że
b

m (b - a) f(x) dx M (b - a).
a
11
Uwaga Jeżeli funkcja f jest funkcją ciągłą na przedziale [a, b] ,
to w powyższym twierdzeniu można przyjąć
m = min f(x)
x"[a,b]
M = max f(x).
x"[a,b]
Twierdzenie (O wartości średniej)
Jeżeli funkcja f jest funkcją ciągłą na przedziale [a, b] , to istnieje
punkt c " [a, b] taki, że
b

f(x) dx = f(c) (b - a).
a
12
Przykład Korzystając z twierdzenia o wartości średniej oszacuj
całkę

1

1 + x4 dx.
0
13
Uwaga Niech a > 0 .
" Jeżeli funkcja f jest całkowalna i nieparzysta na przedziale
[-a, a] , to
a

f(x) dx = 0.
-a
14
" Jeżeli funkcja f jest całkowalna i parzysta na przedziale [-a, a] ,
to
a a

f(x) dx = 2 · f(x) dx.
-a
0
15
" Jeżeli funkcja f jest okresowa z okresem T > 0 i całkowalna
na każdym skończonym przedziale, to
a+T T

f(x) dx = f(x) dx.
a
0
Przykład Korzystając z powyższych stwierdzeń oblicz całki:
1 101Ä„
3 - x
a) x2012 ln dx b) sin x dx.
3 + x
-1 99Ä„
16
Całka oznaczona a całka nieoznaczona
Niech f będzie funkcją ciągłą na [a, b] . Wówczas dla dowolnego
x " [a, b] funkcja f jest całkowalna na [a, x] .
Oznaczmy:
x

Åš(x) = f(t) dt.
a
Wówczas:
" Åš jest funkcjÄ… zmiennej x " [a, b]
" Ś jest funkcją ciągłą
" Ś jest funkcją różniczkowalną i
x
d
Åš (x) = f(t) dt = f(x).
a
dx
17
" Zatem Ś jest funkcją pierwotną dla funkcji f taką, że
a

Åš(a) = f(t) dt = 0
a
b

Åš(b) = f(t) dt.
a
Niech

f(x) dx = F (x) + C.
Wówczas istnieje stała C0 taka, że
Åš(x) = F (x) + C0
dla dowolnego x " [a, b] .
18
Twierdzenie (Leibnitza - Newtona)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na [a, b] a F jest funkcją pierwotną
dla funkcji f , to
b

f(x) dx = F (b) - F (a).
a
Wzór powyższy nosi nazwę podstawowego wzoru rachunku całkowego
i wyraża związek pomiędzy całką oznaczoną i nieoznaczoną.
Oznaczenie:


b
b




f(x) dx = F (x) = F (b) - F (a)


a
a
19
Przykład Oblicz całkę oznaczoną:
Ä„
3 3
4
dx
a) cos 2x dx b) dx c) |x - 2| dx
x2 - 1
0 2 1
Twierdzenie (Całkowanie przez podstawianie)
Jeżeli:
na
" funkcja Õ : [Ä…, ²] [a, b] ma ciÄ…gÅ‚Ä… pochodnÄ… w przedziale
[Ä…, ²]
" Õ(Ä…) = a i Õ(²) = b
" funkcja f jest ciągła na [a, b] ,
to
²
b

f(Õ(t)) Õ (t) dt = f(x) dx.
Ä… a
20
Przykład Oblicz całkę oznaczoną:
2
1

3 0
Ä„
3 sin
3
x
a) x 9 - x2 dx b) x2 e-x dx c) dx
x2
1
1 -1
Ä„
Twierdzenie (Całkowanie przez części)
Załóżmy, że funkcje f i g są różniczkowalne a
f , g są funkcjami ciągłymi w przedziale [a, b] . Wówczas


b
b b




f(x) · g (x) dx = f(x) · g(x) - f (x) · g(x) dx.


a a
a
21
Przykład Oblicz całkę oznaczoną:
Ä„
e
2

a) x sin 2x dx b) x | ln x| dx
1
0
e
22
Całki niewłaściwie
Całki niewłaściwie pierwszego rodzaju (na przedziale nieograniczonym)
Definicja Założmy, że funkcja f jest funkcją określoną na
przedziale [a, +") i całkowalną na dowolnym przedziale [a, A] .
Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju na [a, +") definiujemy
wzorem:
+" A

f(x) dx = lim f(x) dx.
a A+" a
Jeżeli granica ta istnieje i jest właściwa (skończona), to mówimy, że
całka niewłaściwa jest zbieżna. Jeżeli granica nie istnieje, badz
jest
równa ą" , to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.
23
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju na
(-", b] , tj.
b b

f(x) dx = lim f(x) dx.
B-"
-"
B
Przykład Zbadaj zbieżność całki niewłaściwej:
+" +"
x dx
a) b) e-x dx
1 + x2
0 1
1 Ä„
dx
c) d) cos x dx
1 + x2
-" -"
24
Definicja (Całki niewłaściwej na prostej) Założmy, że funkcja
f jest funkcją określoną na przedziale (-", +") i całkowalną na
dowolnym przedziale ograniczonym. Całkę niewłaściwą pierwszego
rodzaju na (-", +") definiujemy wzorem:
+" c +"

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx,
c
-" -"
gdzie c jest dowolnÄ… liczbÄ… rzeczywistÄ….
Całka niewłaściwa na prostej jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy
jednocześnie zbieżne są obie całki: na (-", c] i na [c, +") .
Przykład Zbadaj zbieżność całki niewłaściwej:
+"
dx
.
x2 + 4x + 5
-"
25
Całki niewłaściwie drugiego rodzaju (z funkcji nieograniczonej)
Definicja Założmy, że funkcja f jest funkcją:
" określoną na przedziale (a, b] ,
" całkowalną na dowolnym przedziale [A, b] , gdzie a < A < b ,
" nieograniczoną na każdym przedziale (a, A) , co wyrażamy mówiąc,
że punkt a jest punktem osobliwym funkcji f .
Wówczas:
b b

f(x) dx = lim f(x) dx.
a
Aa+ A
Jeżeli granica ta istnieje i jest właściwa (skończona), to mówimy, że
całka niewłaściwa jest zbieżna.
26
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą drugiego rodzaju z funkcji
f określonej na przedziale [a, b) i nieograniczonej w lewostronnym
sÄ…siedztwie punktu b , tj.
b B

f(x) dx = lim f(x) dx.
a
Bb- a
Przykład Zbadaj zbieżność całki niewłaściwej:
4
1
e
Ä„
sin 1
x
"
a) dx b) dx
3
x2
x ln x
0 1
Ä„
1
6
dx cos x
"
c) d) dx
x2 - 1 1 - 2 sin x
0 0
27
Definicja Założmy, że funkcja f jest funkcją:
" określoną na przedziale (a, b) ,
" całkowalną na dowolnym przedziale [A, B] , gdzie
a < A < B < b ,
" nieograniczoną na każdym przedziale (a, A) i (B, b)
Wówczas:
b c b

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx,
a a c
gdzie c " (a, b) .
Całka ta jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie zbieżne
są obie całki: na (a, c] i na [c, b) .
28
Definicja Założmy, że funkcja f jest funkcją:
" określoną na zbiorze [a, c) *" (c, b] ,
" całkowalną na każdym przedziale [a, C1] i [C2, b] , gdzie
a < C1 < c < C2 < b ,
" nieograniczonÄ… w sÄ…siedztwie punktu c .
Wówczas:
b c b

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx,
a a c
gdzie c " (a, b) .
Całka ta jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie zbieżne
są obie całki: na [a, c) i na (c, b] .
29
Przykład Oblicz całkę niewłaściwą:
3 2
1 1

"
a) dx b) dx
-x2 + 4x - 3 |1 - x2|
1 0