CIEKAWE

LICZBY

DAWID ŁUBIK

PALIDROM

• To liczba naturalna, którą czyta się

tak samo

• od początku i od końca.
• Przykłady liczb palindromicznych

to:

• 55

474 50805

1235321

LICZBA AUTOMORFICZNA

• To liczba, której kwadrat

zakończony

• jest tymi samymi cyframi co sama

liczba.

• Przykład:

762 = 5776
252 = 625

LICZBA ZŁOTA

• To liczba ½(√5 – 1). Wyraża ona długość

odcinka

• spełniającego warunek tzw. złotego podziału.
• Jest to liczba niewymierna, równa ułamkowi
• dziesiętnemu 0,61804… albo też bardzo
• niezwykłemu ułamkowi łańcuchowemu:

1

•

1 + 1

•

1 + 1

•

1 + 1

•

1 + …

• Złoty podział jako pierwszy wyrysował Hippasus w

V wieku p.n.e..

• Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną

proporcję, którą chętnie realizowali w

architekturze.

•

Przykładem złotej figury może być złoty

prostokąt, w którym po odcięciu od niego

kwadratu otrzymujemy prostokąt podobny do

poprzedniego.

• Liczba złota ma ciekawe właściwości:
• Aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do

niej jedynkę,

• Aby zaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć od

niej jedynkę.

LICZBA DOSKONAŁA

• To liczba naturalna, która jest sumą

wszystkich

• swoich dzielników właściwych (czyli

mniejszych

• od wartości danej liczby).

• Przykład:

• 6 bo D6 = {1,2,3};

1+2+3= 6

• 28 bo D28 = {1, 2, 4, 7, 14};

1+2+4+7+14=28

• Pierwsze dwie liczby doskonałe 6 i 28 znane

• były starożytnym.

•

Kolejne dwie:

496

i

8128

znalazł

Euklides.

•

Następna liczba –

33550336

– została

• znaleziona ponad tysiąc lat później.

•

Dziś znamy zaledwie kilkadziesiąt liczb

• doskonałych. Nie wiemy też, czy istnieją

• nieparzyste liczby doskonałe.

• Jeśli tak to są to okazy niezwykle rzadkie i

wielkie.

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE

• Dwie liczby naturalne takie, że każda z nich

jest

• równa sumie wszystkich naturalnych

dzielników

• właściwych drugiej liczby.

• Przykłady liczb zaprzyjaźnionych to:

220

i

284

.

• Dzielniki właściwe liczby 220 i 284 to:

• D

220

= {

1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110

}

• 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

• D

284

= {

1, 2, 4, 71, 142

}

• 1+2+4+71+142 = 220

LICZBY LUSTRZANE

• 125 i 521
• 68 i 86
• 325 i 5423
• 17 i 71

LICZBY BLIŹNIACZE

• To dwie liczby pierwsze różniące

się o

2

.

• Przykłady to:

3

i

5

;

5

i

7

;

11

i

13

;

17

i

19

.

• Do chwili obecnej nie wiadomo czy istnieje
• nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych.
• Największa znana para to:

• 260497545 x 26625 + 1 i 260497545 x

26625 – 1.

• Bliźniaki rekordzistki mają po

11 713

cyfr.

• Zapisanie każdej z nich w postaci

rozwiniętej

• zajęłoby zatem ponad

6.5

strony

• znormalizowanego maszynopisu !!!

Liczby Fibonacciego

• Liczby naturalne tworzące ciąg liczb o

takiej

• własności, że każdy kolejny wyraz jest

sumą

• dwóch poprzednich.

• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,

377…

• bo:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

itd.

CZY WIESZ ŻE ?

• Ciąg Fabionacciego to ulubiony ciąg przyrody.
• W taki sposób opisana jest np. liczba pędów
• rośliny jednostajnie przyrastającej w latach
• (np. drzewa) lub róże kalafiora zielonego,
• ziarna słonecznika czy łuski szyszek.
• Ilość tworzonych spiral prawo- i lewoskrętnych
• kwiatostanów tworzy liczby Fibonacciego

PI



HISTORIA PI

• - Babilończycy (ok.2000p.n.e.) szacowali

wartość

• liczby równą 3;

• - Egipcjanie (ok.2000p.n.e.) przyjmowali

• wartość (16/9)2;

• - Archimedes (IIIw.p.n.e.) stosował

• przybliżenie (22/7);

• - W 1610r holenderski matematyk Ludolf

van

• Ceulen wyznaczył przybliżenie liczby

• z dokładnością do 35 miejsc po przecinku;

• - W 1706r matematyk angielski W. Jones
• wprowadził dzisiaj stosowany symbol liczby;
• - Symbol liczby został spopularyzowany
• w połowie XVIIIw przez szwajcarskiego
• matematyka L. Eulera;
• - Obecnie dzięki technice elektronicznej

obliczono

• milion cyfr rozwinięcia dziesiętnego

• LICZBA PI NOSI NAZWĘ LUDOLFINY

MNEMOTECHNIKA

• Jest to popularna dawniej sztuka

układania

• wierszy lub innych tekstów, w których

liczby

• liter poszczególnych słów są identyczne
• z zajmującymi to samo miejsce cyframi
• występującymi w rozwinięciu

dziesiętnym

• danej liczby.

Przykładem mnemotechniki jest

poniższy

wiersz K. Cwojdzińskiego

• „Kuć i orać w dzień zawzięcie,
• Bo plonów nie-ma bez trudu!
• Złocisty szczęścia okręcie
• Kołyszesz…
• Kuć. My nie czekajmy cudu.
• Robota to potęga ludu.”

• 3,14159265358979323846264

Czy wiesz kto spowodował

dziurę budżetową

naszego Państwa ???

• Okazuje się, że nasze współczesne

• problemy gospodarcze, dziurę budżetową

• oraz bezrobocie spowodował

•

BOLESŁAW CHROBRY !!!

•

Gdyby w roku 1002 złożył w banku 1gr

• to przy oprocentowaniu 4% rocznie

• i corocznym doliczaniu odsetek w roku 2002

• w kasie państwa mielibyśmy dodatkowe

1 071 500 000 000 000zł

(1 biliard 71 bilionów 500 miliardów zł)

CIEKAWA TRÓJKA

• 332

= 1089

• 3332 = 110889
• 33332

= 11108889

• 333332

= 1111088889

• Jak zapisujemy w systemie rzymskim liczby

• od 1 do kilku tysięcy uczyłeś się już w szkole,

• ale czy zastanawiałeś się kiedyś jak

przedstawiać

• liczby większe?

• Zasada jest prosta – pomaga nam pozioma

kreska

• zapisana nad liczbą rzymską! Powstała nowa

liczba jest tysiąc razy większa od

początkowej!

• Na przykład:

• M = 1000

ale

M = 1 000 000

• X = 10

ale

X = 10 000

KONIEC

DAWID ŁUBIK