Rezonans w obwodach elektrycznych
POJ
CIA PODSTAWOWE DOTYCZ
CE
ZJAWISKA REZONANSU
Zjawisko rezonansu może wystąpić w obwodzie
elektrycznym wówczas, gdy reaktancja wypadkowa, lub
susceptancja wypadkowa jest równa zero. Obwód w którym
zjawisko rezonansu występuje nosi nazwę obwodu
rezonansowego. Podczas jego występowania napięcie i prąd
na zaciskach obwodu rezonansowego są w fazie, natomiast
moc bierna ulega kompensacji (moc bierna pojemnościowa
jest równa mocy biernej indukcyjnej) i układ jej nie
pobiera.
Częstotliwość przy której wypadkowa reaktancja lub
susceptancja wynosi zero jest nazywana częstotliwością
rezonansową fr. Możliwe jest uzyskanie w obwodzie
rezonansu, jeżeli doprowadzane do zacisków obwodu
napięcie sinusoidalne posiada częstotliwość równą
rezonansowej.
W układach elektrycznych RLC może występować
rezonans napięć lub prądów, przy czym który wystąpi jest
zależne od sposobu połączenia elementów.
Rezonans w obwodach elektrycznych
REZONANS NAPI
Ć
Rezonans napięć to zjawisko rezonansu występujące w
szeregowym układzie RLC, z tej przyczyny jest nazywane
także rezonansem szeregowym. Charakteryzuje się ono
tym, że reaktancja indukcyjna jest równa reaktancji
pojemnościowej.
Do dwójnika szeregowego RLC przyłączone jest
napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej zespolonej U.
Układ dla rezonansu napięć ma postać:
Na poszczególnych elementach układu ustalą się
następujące napięcia:
UR = RI
UL = jXLI
UC = -�jXCI
Całkowite napięcie na zaciskach dwójnika:
U = UR + UL + UC = [R + j(XL -� XC)]I = Z��I
Warunkiem wystąpienia rezonansu jest zerowa
wypadkowa reaktancja układu, co nastąpi gdy:
XL = XC
1
w�L =
w�C
Rezonans w obwodach elektrycznych
Warunek ten spełniony jest dla częstotliwości
rezonansowej danej wzorem:
1
fr =
2p� LC
Wykres wektorowy odpowiadający stanowi rezonansu
Gdy obwód znajduje się w rezonansie słuszne są
poniższe zależności:
Z = R; U = UR
UL + UC = 0; UL = UC
Obwód rezonansowy można scharakteryzować
kilkoma parametrami:
�� impedancją falową;
�� dobrocią obwodu rezonansowego;
�� rozstrojeniem względnym i bezwzględnym.
Impedancja falowa r� to reaktancja indukcyjna lub
pojemnościowa obwodu przy częstotliwości rezonansowej.
Można ją wyznaczyć ze wzoru:
1 L
r� = w�rL = =�
w�rC C
Rezonans w obwodach elektrycznych
Dobroć szeregowego obwodu rezonansowego RLC
pracującego w warunkach rezonansu napięć dana jest
wzorem:
UC w�rLI w�rL 1
Q = UL =� =� =� =�
UR UR RI R w�rCR
Uwzględniając wzór na impedancję falową
otrzymujemy:
r�
Q =
R
Rozstrojenie bezwzględne x� obliczane jest jako
stosunek reaktancji obwodu do jego rezystancji:
1
w�L -�
X
w�C
x� = =�
R R
x� = tg j�
Rozstrojenie bezwzględne zmienia się wraz ze zmianą
pulsacji w� i jej zbliżaniem się do w�r. Rozstrojenie względne
d� to stosunek reaktancji obwodu do impedancji falowej:
X
d� =
r�
Korzystając z definicji impedancji falowej, powyższą
zależność można przedstawić w funkcji impedancji falowej
i częstotliwości rezonansowej:
r�
L =
w�r
1
C =
w�r r�
Rezonans w obwodach elektrycznych
Z kolei reaktancja obwodu szeregowego RLC:
1
X = w�L -�
w�C
Po podstawieniu do niej wzorów określających
pojemność i indukcyjność:
��
w�r
��
X = ć� w� -�
��w� w� ��
��r�
Ł� r ł�
Rozstrojenie względne d�:
X w� w�r f fr
d� =� =� -� =� -�
r� w�r w� fr f
Przyjmując, stosunek częstotliwości z
ródła do
częstotliwości rezonansowej jako k można zapisać:
1
d� =� k -�
k
Pomiędzy rozstrojeniem bezwzględnym a względnym
istnieje zależność, którą można przedstawić w oparciu o
wyprowadzone wzory w następującej postaci:
x� = Qd�
W warunkach rezonansu zmienia się szereg parametrów
układu, czego ilustracją są krzywe rezonansowe,
przedstawiające zmieniające się parametry w funkcji
częstotliwości:
Rezonans w obwodach elektrycznych
Rezonans w obwodach elektrycznych
REZONANS PR
DÓW
W układzie równoległym RLC występuje drugi rodzaj
rezonansu  rezonans prądów nazywany także rezonansem
równoległym.
Do zacisków układu równoległego RLC przyłożono
napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej zespolonej U i
pulsacji w�=2p�f. Schemat układu przedstawiono poniżej:
W poszczególnych gałęziach układu płyną pod jego
wpływem prądy:
IR = GU; IL = - jBLU; IC = jBCU
Prąd całkowity dopływający do dwójnika:
I = IR + IL + IC = [G + j(BC  BL)]U = Y��U
Zjawisko rezonansu wystąpi, gdy B=0, czyli:
BC = BL
1
w�C =
w�L
Warunek ten zostaje spełniony, gdy częstotliwość
osiągnie wartość:
1
fr =
2p� LC
Rezonans w obwodach elektrycznych
Wykres wektorowy dla rezonansu prądów
Słuszne są przy tym następujące zależności:
Y = G; I = IR IL + IC = 0 IL = IC
W przypadku równoległego układu rezonansowego
definiuje się impedancję falową r� zgodnie ze wzorem,
który podany jest dla układu szeregowego:
1 L
r� = w�rL = =�
w�rC C
Dla równoległego obwodu rezonansowego podawana
jest też dobroć układu rezonansowego, z tym, że obliczana
jest ona z innej zależności:
IL IC w�rCU w�rC 1
Q = =� =� =� =�
IR IR GU G w�rLG
Uwzględniając w niej, że G=1/R uzyskuje się
ostatecznie:
R
Q =
r�
Rezonans w obwodach elektrycznych
Pracę układu w warunkach zbliżonych do rezonansu
charakteryzują podobnie jak w przypadku układu
szeregowego pojęcia rozstrojenia. Rozstrojenie
bezwzględne oblicza się według wzoru:
B BC -� BL BL -� BC
x� = -� =� -� =�
G G G
Natomiast rozstrojenie względne:
B f fr 1
d� = =� -� =� k -�
1
fr f k
r�
Zmianę parametrów układu przedstawiają krzywe
rezonansowe, które przedstawiono na poniższym rysunku: