Elektrotechnika i elektronika (konspekt)
Franciszek Gołek ([e-mail])
www.pe.ifd.uni.wroc.pl
Wykład 7 i 8.
Maszyny elektryczne prÄ…du zmiennego
Układy trójfazowe
Gdy umieścimy trzy uzwojenia 1-1 , 2-2
i 3-3 tak jak na rys. (a), kąt między
kolejnymi ramkami wynosi tu 120° to
wirujący magnes w ich środku wygeneruje
siły elektromotoryczne SEM, które będą
siÄ™ różnić miÄ™dzy sobÄ… fazÄ… o 120° i można je
zapisać jako I) eU = EUmsin(Ét), II) eV = EVmsin(Ét -
2Ä„/3), III) eW = EWmsin(Ét - 4Ä„/3) = EWmsin(Ét +
2Ą/3). Dopóki obwody te nie są ze sobą połączone
nazywamy je nieskojarzonymi (rys. b). A
Ä…czÄ…c taki
układ w gwiazdę lub w trójkąt uzyskujemy
trójfazowy układ skojarzony (powszechnie zwany
układem trójfazowym, rys. c). Układy trójfazowe są
powszechnie stosowane w elektroenergetyce.
Układy trójfazowe skojarzone możemy łączyć na dwa sposoby:
połączenie w trójkąt (deltę ") i w gwiazdę (Y). Przy połączeniu w
gwiazdę mamy dwie możliwości: trójprzewodowa (a b i c) lub
czteroprzewodowa  z przewodem neutralnym.
Warto zauważyć, że
przy symetrycznym
obciążeniu wszystkich
faz suma wektorowa
napięć podobnie jak
suma wektorowa
prądów wyniesie zero
w każdej chwili.
Uan = Uan "0°,
Ubn = Ubn "-120°,
Ucn = Ucn "-240° = Ucn "120°,
Często operujemy wartościami: Uan = Ubn = Ucn = Uskuteczne
Relacje między napięciami fazowymi i międzyfazowymi.
Gdy obciążenie w układzie trójfazowym jest symetryczne to moduły prądów są
identyczne a same prÄ…dy sÄ… wzglÄ™dem siebie przesuniÄ™te o 120° ich suma w
przewodzie neutralnym zeruje się. Gdy obciążenie jest niesymetryczne to w
przewodzie neutralnym (przy połączeniu w gwiazdę) płynie prąd niezerowy
będący niezerową sumą prądów fazowych.
Gdy obciążenie w układzie trójfazowym połączonym w Y
(gwiazdę) jest symetryczne to moduły napięć
miÄ™dzyfazowych sÄ… "3 razy wiÄ™ksze od modłów napięć
fazowych. To samo dotyczy operowania wartościami
skutecznymi.
Przykładowo U1n = U "Ś, U2n = U "(Ś - 2Ą/3),
U3n = U "(Åš + 2Ä„/3),
U12 = U1n  U2n
= U "Åš  U "(Åš - 2Ä„/3)
= U "Åš + U "(Åš + Ä„ - 2Ä„/3)
= U "Åš + U "(Åš + Ä„/3),
= "3U "(Åš + Ä„/6),
Uab = Uan  Ubn = U "0°- U "-120°
= U "0°+ U "60° = "3U "30°
Ubc = U "-120°- U "120° = "3U "-90°
Uca = U "120°- U "0° = "3U "150°
Uan + Ubn + Ucn = 0 podobnie:
In = Ia + Ib + Ic = (Uan + Ubn + Ucn)/Z = 0
Moc: dla uproszczenia niech Z = R
pa(t) = (UacosÉt)2/R = (Ua2/R)(cos Ét)2
= (Ua2/R)(1/2)(1 + cos2Ét) = (Uskutecz2/R)(1 + cos2Ét)
= (U2/R)(1 + cos2Ét),
pb(t) = (Ubcos(Ét  120°)2/R = (U2/R)[1 + cos(2Ét - 240°)]
= (U2/R)[1 + cos(2Ét +120°)],
pc(t) = (Uccos(Ét  240°)2/R = (U2/R)[1 + cos(2Ét - 120°)].
p(t) = pa(t) + pb(t)+ pc(t) = 3U2/R + (U2/R)[cos(2Ét) + cos(2Ét - 120°) + cos(2Ét + 120°)] =
= 3U2/R = stała wartość! Cała moc chwilowa nie pulsuje!
Jeżeli Za = Zb = Zc = ćłZYćł "Õ to mamy moc zespolonÄ…:
dla każdej fazy S = UI* = P + jQ = UI*cosÕ + jUI*sinÕ
gdzie U i I* - wartości skuteczne. Razem: STotal = ST =
= 3P + j3Q ="[(3P)2 + (3Q)2] "Õ. Moc pozorna:
ćłSTćł= 3 "[(UIcosÕ)2 + (UIsinÕ)2] = 3UI, PT = ćłSTćłcosÕ.
Przykład. Obliczyć moc Po dostarczaną
z generatora trójfazowego do obciążenia
w układzie jak na rysunku mając dane:
Uan = 480 "0° V, Ubn = 480 "-2Ä„/3 V,
Ucn = 480 "2Ä„/3 V, Z = 2 + j4 = 4,47 "(1,107)&!,
Rline = 2 &!, Rneutral = 10 &!.
(stosować wartości skuteczne napięć).
Rozw. Ponieważ układ jest zrównoważony
(tj. symetrycznie obciążony) możemy stosować
obliczenia dla jednej fazy. Prąd w linii  neutral jest równy 0
oraz Unn = 0.
Pa = I2 Rline
I = ćłUan/(Z + Rline)ćł = ćł(480 "0)/(2 + j4 + 2)ćł = ćł(480 "0)/(5,657 "Ą/4)ćł
= 84,85 A !
Pa = I2 Ro = (84,85)2 × 2 = 14,4 kW.
Komentarz: warto odnotować, że przy symetrycznym obci ążeniu w przewodzie
neutralnym jednak prąd wynosi 0 A, nie ma tam spadku napięcia, dzieje się tak
dzięki zerowej sumie prądów z wszystkich trzech faz.
Zdarza się, że generator trójfazowy
w układzie gwiazdy jest obciążony
odbiornikiem mocy w układzie delta
(trójkąta) jak na rysunku.
W tej sytuacji prądy w obciążeniach Z"
będą wynosić (zobacz na stronie 6):
Okazuje się, że prądy w liniach czyli Ia, Ib i Ic będą 3-krotnie większe niż w
sytuacji, gdy obciążenia były połączone w gwiazdę. Zatem i pobierana moc
będzie tu 3-krotnie większa:
(Ia)" = Uab/Z  Uca/Z = (1/Z)(Uan  Ubn  Ucn + Uan) = (1/Z)[2Uan  (Ubn + Ucn)] =
= 3Uan/Z
Linie przesyłowe niskiego napięcia do około 1 kV oraz napięć średnich (1  30
kV) budowane sÄ… jako kablowe w sieci miejskiej i napowietrzne jako rejonowe
(poza miastem i na terenach wiejskich).
Linie wysokiego napięcia, 110 kV i wyższe (220, 400 i 750 kV), są przeważnie
budowane jako napowietrzne sporadycznie budowane sÄ… jako kablowe (na
terenach o znacznej gęstości zabudowy) wynika to z faktu, iż linie kablowe są
kilkukrotnie droższe od napowietrznych.
Podstawowymi elementami linii napowietrznych sÄ…: przewody fazowe,
przewody odgromowe, słupy (konstrukcje wsporcze), izolatory, osprzęt
(przewodowy i izolatorowy) oraz uziomy słupów.
W liniach średniego napięcia słupy są wykonane z żelbetonu lub rur stalowych.
W liniach wysokiego napięcia stosowane są słupy stalowe kratowe lub rurowe.
SÅ‚upy transmisyjne (wynik projektowania
słupów o małej masie  czyli oszczędnych
i dużej wytrzymałości nie zawsze jest pozytywny: w wyniku
oblodzenia przewodów zniszczenia mogą przeważyć nad
oszczędnościami!)
Zadaniem izolatorów jest nie
tylko podtrzymywać przewody
ale też eliminować prądy
upływności!
Linie wysokiego napięcia od linii niskiego
napięcia oddzielają transformatory (zanurzone w
oleju!).
Wytwarzanie
wirujÄ…cego pola
magnetycznego
Fundamentalną zasadą działania maszyn prądu przemiennego
jest wytwarzanie wirującego pola magnetycznego, które wymusza
obroty wirnika z prędkością zależną od prędkości wirowania pola
magnetycznego.
PrÄ…dnice (generatory) prÄ…du przemiennego (zmiennego) sÄ…
produkowane jako jednofazowe lub jako wielofazowe. W śród
wielofazowych mamy do czynienia niemal wyłącznie z
trójfazowymi.
Maszyny synchroniczne
Maszyny synchroniczne budowane są zarówno jako prądnice i jako silniki.
Obecnie większość energii elektrycznej jest produkowana przez generatory
synchroniczne trójfazowe, które stosowane są przede wszystkim w
elektrowniach, w Polsce instalowane sÄ… jednostki o mocy nawet 500 MW.
Silniki synchroniczne stosowane są do napędu maszyn a zwłaszcza tam gdzie
wymagana jest stała prędkość obrotowa. Silniki synchroniczne trójfazowe są
budowane na duży zakres mocy; aż do 50 000 KM.
Jednofazowe silniki synchroniczne stosowane są w zakresie małych mocy
(poniżej 0,1 KM)
Maszyny synchroniczne podobnie jak maszyny prądu stałego
składają się z twornika i wzbudzenia (czasem nazywanego
magneśnicą). W przypadku maszyn synchronicznych jednak
magneśnicą zwykle jest wirnik a twornikiem stojan (przeciwnie do
maszyn prądu stałego). Gdy w układzie przedstawionym obok
dwubiegunowy wirnik wiruje z prędkością 3000 obr/min (czyli 50
obr/s) to w 3 uzwojeniach stojana generowane będą trzy siły
elektromotoryczne o częstotliwości 50 Hz i przesunięte
wzglÄ™dem siebie o +/-120°. BÄ™dzie to napiÄ™cie trójfazowe!
Prędkość wirowania przy większej ilości par biegunów p
i częstotliwości napięcia f = 50 Hz jest
mniejsza i wynosi: n = f/p obr/s
Przykładowo przy czterech biegunach mamy
dwie pary: n = 50/2 = 25 obr/s = 1500 obr/min
bo przy jednym obrocie mamy 2 cykle zmian pola.
W praktyce liczbę par biegunów w generatorach
dyktuje napęd: gdy mamy szybkie turbiny parowe
wystarczy 1 lub 2 pary, dla powolnych hydroturbin trzeba więcej! Dolny rysunek
pokazuje ideę ułożenia uzwojeń.
Rotor może mieć geometrię wystających
nabiegunników (bieguny jawne) albo geometrię
walca (bieguny utajone) z zanurzonymi w slotach
uzwojeniami.
Geometria cylindryczna jest Å‚atwiejsza w analizie,
gdyż taki rotor praktycznie nie zmienia pola statora
w czasie wirowania. Takie maszyny mogÄ…
pracować z dużymi prędkościami do 3000 obr/min.
Maszyny z rdzeniami jawnymi budowane sÄ… do
małych prędkości, do 750 obr/min.
Moment obrotowy T maszyny z cylindrycznym wirnikiem możemy wyrazić
przy pomocy natężenia stałego prądu wirnika If oraz natężenia zmiennego
prÄ…du stojana Is:
T = k Is(t) If sin(Å‚),
ł - kąt między polami stojana a wirnika, k  stała maszyny. Albo:
T = k"2Iss sin(Éet) If sin(Å‚ ),
Iss  wartość skuteczna Is, Ée  pulsacja prÄ…du (czÄ™stość elektryczna).
UwzglÄ™dniajÄ…c zależność czasowÄ… Å‚ = Å‚0 + Émt, gdzie Å‚0  kÄ…t poczÄ…tkowy, Ém
 prędkość kątowa (mechaniczna) wirnika, można napisać, że:
T = k"2IssIf sin(Éet) sin(Émt + Å‚0)
= k("2/2)IssIf cos[(Ém - Ée)t - Å‚0] - cos[(Ém + Ée)t + Å‚0]
Widać, że Å›rednia wartość bÄ™dzie niezerowa tylko wtedy gdy (Ém - Ée) = 0
tzn. gdy silnik obraca się synchronicznie z wirującym polem (ma prędkość
synchroniczną) i wtedy T jest sumą wartości stałej i pulsującej z częstością
2Ée. Ta pulsacja wzięła siÄ™ z powodu rozważaÅ„ tylko jednej fazy, zastosowanie
wielu faz redukuje ten efekt do zera i zapewnia stały moment obrotowy. Mamy
zatem: )#T*# = k"2IssIf cos(Å‚0)
Model jednej fazy silnika synchronicznego
pokazuje rys obok. Uzwojenie wirnika
reprezentuje rezystancja Rf i indukcyjność
Lf. Jedno uzwojenie stojana reprezentuje
rezystancja Rs, indukcyjność Ls oraz
Indukowana (wsteczna) SEM Eb. Bilans napięć stojana możemy zapisać jako:
Us = Eb + Is(Rs + jXs)
gdzie Xs reprezentuje efektywną reaktancją stojana (z uwzględnieniem magnetyzacji).
Moc silnika pochodzącą od jednej fazy możemy wyrazić jako:
Pwy = ÉsT = ćłUsćłćłIsćłcos(Åš)
gdzie Ś - różnica faz między Us i Is. Zakładając, że Rs H" 0 możemy wnosić, że moc
tracona jest do zaniedbania i moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej:
P1Åš = Pwe = Pwy = ÉsT = ćłUsćłćłIsćłcos(Åš), z wykresu:
ćłEbćłsin(´) =ćłIsćłXs cos(Åš), mnożąc przez Us:
ćłEbćłćłUsćłsin(´) = ćłUsćłćłIsćłXs cos(Åš) = P1Åš Xs,
Zatem cała moc maszyny
trójfazowej wyniesie:
Ponieważ, jak widać, kÄ…t ´ ma wpÅ‚yw na
moc maszyny nazywamy go kÄ…tem mocy.
PrÄ…dnice (generatory) synchroniczne zwykle
pracujÄ… przy kÄ…cie mocy w przedziale 15° do 25°.
Silniki natomiast pracują niemal w całym zakresie
0° - 90°. Po osiÄ…gniÄ™ciu ´ = 90° silnik jednak
zwalnia i wypada z biegu synchronicznego, wtedy
odpowiednie zabezpieczenie wyłącza silnik.
Maksymalny moment obrotowy (nazywany
momentem zrównania Pull-out) jest ważnym
parametrem silnika synchronicznego.
Całkowity moment obrotowy możemy wyrazić jako:
gdzie m  jest liczbÄ… faz. Dla 3 faz otrzymamy:
Przykład. Obliczyć wartość nominalną S [kVA]; indukowane
napiÄ™cie Eb i kÄ…t mocy wirnika ´ dla peÅ‚nego obciążenia silnika
synchronicznego. Dane: nominalne napięcie międzyfazowe: 460
V; 3 Ś (3 fazy); pf (power factor) = 0,707 opóz
nienie; prÄ…d stojana
przy pełnym obciążeniu 12,5 A, Zs = 1 + j12 &!.
RozwiÄ…zanie.
Na jedną fazę w połączeniu
gwiazdowym przypada prąd i napięcie:
ćłISćł= 12,5 A, ćłUSćł= 460/"3 = 265,6 V,
S = 3 UsIs = 3×12,5 × 265,6 = 9959 VA.
Ze schematu zastępczego mamy:
Eb = Us  Is(Rs + iXs)
= 265,6 V  (12,5 "-45° A)×(1 + j12 &!) = 265,6 V  (12,5 "-45°
A)×(12,04 "85,23° &!) = 265,6 V  150,52 "40,23°=
265,6 V  (115,3 + j96,8) V = 150,3  j96,8 V = 179 "-32,8° V
´ = -32,8°
Przykład. Obliczyć prąd stojana Is, prąd linii ILin (połączenie ")
oraz indukowane napięcie silnika synchronicznego 3-fazowego.
Dane: 208 V; 45 kVA, 50 Hz, 3 Åš; pf 0,8 wyprzedzajÄ…cy; Zs = 0 +
j2,5 &!. Straty (tarcie) Pstr =1,5 kW, straty w rdzeniu Pcore = 1 kW;
obciążenie Po = 15 KM (1 KM = 0,746 kW).
Rozw.
Moc wyjÅ›ciowa wynosi: Pout = 15 KM×0,746 kW/KM = 11,19 kW
Moc wejściowa (elektryczna) Pin = Pout + Pmech + Pcore + Pel i inne = 11,19 + 1,5 + 1
+ 0 = 13,69 kW.
PrÄ…d ILin = Pin/("3 Us cosÅš) = 13690 W/("3×208 V×0,8) = 47,5 A.
Przy poÅ‚Ä…czeniu w trójkÄ…t ", prÄ…d twornika Is = ILin/"3 = 47,5 A/"3
"arccos0,8 = 27,4 "36,87° A.
SEM Eb obliczymy z bilansu napięć (II prawo Kirchhoffa):
Eb = Us  jXsIs = 208 "0° V  j2,5 &!(27,4 "36,87° A) = 208 "0° +
68,5 "-53,13 = 208 + 41,1  j54,8 V= 249,1  j54,8 V=255 "-12,4°
´ = -12,4°
Silniki synchroniczne nie należą do najbardziej rozpowszechnionych z wielu
powodów. Jednym z nich jest wymóg stałej szybkości, który można obejść tylko
gdy zbuduje się zasilanie o zmiennej częstotliwości. Ponadto konieczne jest
oddzielne zasilanie prądem stałym i prądem zmiennym.
Silniki indukcyjne obchodzÄ… te przeszkody i sÄ… najszerzej stosowanymi
dzięki ich konstrukcyjnej prostocie.
Jako prądnice nie mają zbyt wielu zalet i zastosowań.
Maszyny indukcyjne (asynchroniczne)
Maszyny indukcyjne są maszynami na prąd przemienny i mogą być używane
jako prÄ…dnice, silniki a nawet jako hamulce. Maszyny indukcyjne sÄ…
koncepcyjnie podobne do maszyn synchronicznych z tą tylko różnicą, że ich
wirniki mają prostsze obwody elektryczne, są to przewodzące pręty zagłębione
w materiale wirnika i zwarte na końcach. Są silniki trójfazowe  stosowane w
przemyśle (silniki wiatraków, pomp, obrabiarek itp., komercyjnie dostępne od 1
do 10 000 KM), sÄ… jednofazowe  stosowane w gospodarstwach domowych i
usługach i są też dwufazowe  stosowane w napędach specjalnych i
automatyce. Ze względu na konstrukcję wirnika silniki indukcyjne dzielą się na
pierścieniowe i klatkowe. W obu przypadkach zasada działania polega na
indukowaniu prądów w wirniku polem magnetycznym stojana.
Oddziaływanie wirującego pola stojana z polem wyindukowanych prądów wirnika
wytwarza moment obrotowy. Ponieważ indukcja może tu zachodzić tylko przy różnych
prędkościach wirnika i pola stojana (konieczny jest niezerowy ruch względny prętów i
pola magnetycznego) funkcjonuje też nazwa:  maszyny asynchroniczne .
Wirujące pole magnetyczne uzyskuje się wówczas, gdy co najmniej dwa uzwojenia
stojana są geometrycznie przesunięte względem siebie a prądy w nich występujące są
przesunięte w fazie. Przez odpowiednią geometrię wykonania uzwojeń stojana i wirnika
realizowane jest pole stojana Ś(ns) wirujące z prędkością synchroniczną ns oraz pole
wirnika (rotora) Ś(n) wirujące z prędkością asynchroniczną n. Prędkość synchroniczna
ns zależy od częstotliwości f prądu stojana i geometrii uzwojeń  czyli ilości par
biegunów p, które tworzą uzwojenia.
Oddziaływanie tych pół wymusza obroty wirnika w kierunku obrotów wirującego pola
stojana. Wirnik obraca się z prędkością mniejszą niż prędkość synchroniczna tj. niż
wirujące pole stojana bo pole musi przecinać przewody by w nich indukował się prąd.
Brak kontaktów elektrycznych rotora (brak szczotek itp.) w większości silników
indukcyjnych zapewnia ich prostotę wykonania. Gdy do wirnika przyłożymy zewnętrzny
napęd wymuszający obroty to otrzymamy generator, który (dzięki prostocie  brak
oddzielnego obwodu wzbudzenia i dzięki elastyczności w odniesieniu do szybkości
obrotów) ma zastosowanie w wiatrakowych elektrowniach. Ich wadą jest duża
indukcyjność i przez to potrzeba stosować kompensację pojemnościową aby zmniejszyć
przesunięcie fazowe między prądem a napięciem.
Załóżmy, że wirnik w postaci klatki metalowej
(rys. obok) zostanie umieszczony w stojanie
gdzie wytwarzane jest wirujÄ…ce pole magnetyczne.
To wirujące pole będzie indukowało w metalowych
prętach wirnika prądy elektryczne zależne od
indukowanej SEM i impedancji wirnika.
W pierwszej chwili gdy po włączeniu prądów w stojanie wirnik
jeszcze spoczywa to pole magnetyczne pochodzÄ…ce od jego
indukowanych prądów jest synchroniczne z polem stojana (pola
stojana i wirnika są wtedy przez chwilę w stałej względem siebie
konfiguracji). Wtedy właśnie generowany jest startowy moment
obrotowy. Gdy ten moment obrotowy jest wystarczajÄ…cy
wirnik zaczyna się obracać i przyspieszać aż do osiągnięcia
stacjonarnej prędkości pracy. Prędkość pracy jest oczywiście
niższa od prędkości synchronicznej ns (bo przy synchronicznej
prędkości nie było by indukowanych SEM i prądów w wirniku!).
Załóżmy, że ta prędkość wirnika wynosi n wtedy względna prędkość - prędkość
wirującego pola stojana względem obracającego się wirnika wyniesie: (ns  n).
Względna różnica tych prędkości nazywa się poślizgiem:
Wartość znamionowa sN zawiera się zwykle
w przedziale 2  4% (0,02  0,04).
Prędkość wirnika n to prędkość mechaniczna:
Poślizg oczywiście zależy od obciążenia i konstrukcji silnika
(klatkowy, pierścieniowy, dużej lub małej mocy).
Częstotliwość prądu w uzwojeniach wirnika fr jest
znacznie niższa od częstotliwości synchronicznej fs i wynosi:
Stąd prędkość pola magnetycznego wirnika względem
samego wirnika nr jest też mała i wynosi:
Podkreślmy raz jeszcze, że dzięki istnieniu pewnej prędkości względnej między
strumieniem stojana i wirnikiem będą indukowane napięcia i w konsekwencji
prÄ…dy w wirniku. Ale prÄ…dy wirnika jak i strumienie przez nie generowane
podążają za wirującym strumieniem stojana - mają tę samą prędkość n s= n r + n
 prędkość synchroniczną! Strumień wirnika (sprzężony z, i podążający za
strumieniem stojana) możemy traktować jako synchroniczny strumień wsteczny
(reakcyjny)  pokonywany przez moc dostarczaną do stojana. Przy stałym
obciążeniu oba pola Ś i Ś są względem siebie nieruchome, tworzą stały kąt.
Przykład. Obliczyć poślizg s wirnika przy pełnym obciążeniu oraz
częstotliwość indukowanego napięcia fR przy prędkości
nominalnej w czterobiegunowym (p = 2) silniku indukcyjnym.
Wiadomo, że nominalne napięcie wynosi 230 V, 60 Hz i prędkość
przy pełnym obciążeniu: n = 1725 obr/min.
RozwiÄ…zanie.
PrÄ™dkość synchroniczna silnika wynosi ns = f/(p) obr/s = f×60/(p) obr/min =
60×60/(2) = 1800 obr/min.
Poślizg wynosi s = (ns  n)/ns = (1800  1725)/1800 = 0,0417.
Częstotliwość indukowanego napięcia w wirniku wynosi:
fR = sf = 0,0417×60 = 2,5 Hz.
Silnik indukcyjny podobnie jak transformator ma dwa zestawy
uzwojeń, uzwojenia stojana i uzwojenia wirnika, sprzężonych
magnetycznie. Zatem silnik indukcyjny można opisać z pomocą
układu zastępczego - wirującego transformatora. Z racji symetrii
układu faz wystarcza analiza jednej fazy, której schemat
zastępczy ilustruje rysunek na następnej stronie.
Rs  rezystancja stojana
przypadajÄ…ca na jednÄ…
fazÄ™. RR  rezystancja
wirnika (rotora) przypadajÄ…ca
na jednÄ… fazÄ™. Xs  reaktancja
stojana Xr  reaktancja
wirnika na 1f. Xm  reaktancja wzajemna (mutual) magnetyzacji. Rc 
rezystancja  równoważna stratom w rdzeniu (core-loss equivalent resistance).
Es = ksnsÅšw szczelinie  indukowana sem na 1f w stojanie. ER  indukowana sem na
1f w wirniku (rotorze), ER jest proporcjonalna do poślizgu s (ER = sER0).
Es w uzwojeniu pierwotnym (stojana) jest sprzężone z ER w uzwojeniu wtórnym
(wirnika) z efektywnym przełożeniem (stosunkiem ilości zwoi) ą. Uwzględniając
poślizg s, możemy zapisać, że indukowana w wirniku sem:
ER = sER0, gdzie ER0 jest wielkoÅ›ciÄ… sem gdy wirnik stoi (również XR = ÉRLR =
2Ä„fRLR = 2Ä„sfLR = sXR0, gdzie XR0 = 2Ä„fLR jest reaktancjÄ… wirnika przed
rozpoczęciem ruchu. Prąd wirnika wyniesie zatem:
IR = ER/(RR+jXR) = sER0/(RR+jsXR0) = ER0/(RR/s + jXR0)
Prąd, napięcie i impedancja
z obwodu wtórnego
(z obwodu wirnika)
mogą być  transformowane
do obwodu pierwotnego
(obwodu stojana) przez
odpowiednie przekładnie (uzwojeń).
Przetransformowana sem wyniesie:
E2 = Ä…ER0, PrÄ…d: I2 = IR/Ä…, rezystancja:
R2 = Ä…2RR - ale odczuwana w stojanie
wartość zależy od s i wynosi: R2(1-s)/s
H" R2/s, reaktancja
 przetransformowana X2 = Ä…2XR0.
Analiza przykładowego silnika indukcyjnego
o parametrach: 460 V, 60 Hz, 4-bieguny, s = 0,022, P = 14 KM,
Rs = 0,641 &!, R2 = 0,332 &!, Xs = 1,106 &!, X2 =0,464 &!, Xm = 26,3 &!,
Zakładamy symetryczne obciążenia czyli analizujemy co przypada na jedną
fazÄ™ oraz pomijamy straty w rdzeniu Rc = 0. Wyliczmy n; Ém; Is; pf; T.
Wyliczamy n: Prędkość synchroniczna wynosi
Ns = (f/p)×(60s/min) =
((60 Hz)/(2 pary biegunów))×(60s/min) =
1800 obr/min.
Mechaniczna prędkość wirnika n = (1  s)ns =
(1  0,022)1800 obr/min = 1760 obr/min.
Ém = (1  0,022) És = 0,978×2×3,14×60/(2 pary biegunów) = 184,4 rad/s
Obliczamy Is; Us/Ztotal
Z2 = R2/s + jX2 = 0,332/0,022 + j0,464 &! = 15,09 + j0,464 &! = 15,1 "1,76° ,
Impedancje rotora i magnetyzacji możemy zastąpić przez : Z = 1/(1/jXm + 1/Z2)
= 1/(1/j26,3 + 1/(15,1 "1,76°)) = 1/(-j0,038 + 0,0662 "-1,76°) = 1/(-j0,038 +
0,06617  j0.002) = 1/(0,06617  j0,04) = 1/(0,0773 "31,2°) = 12,93 "31,2°,
Ztotal = Zs + Z = Rs = 0,641 + j1,106 + 12,93 "31,2° = 0,641 + j1,106 + 11,06 +
j6,69 = 11,71 + j7,79 = 14,06 "33,6°, zatem Is = Us/Ztotal =
(460/"3 "0°)/14,06 "33,6° = 18,89 "-33,6° A
pf = cosÕ = cos33,6° = 0,883, Przeliczamy Pout = 14KM = 14×746 kW =
10,444kW, z tego mamy:
T = Pout/Ém = (10444 W)/(184,4 rad/s) = 56,64 Nm
Przykład: Parametry silnika: 500 V, 3 Ś, 50 Hz,
p = 4 pary, s = 0,05, P = 14 kM, i jego uzwojeń:
Rs = 0,13 &!, R R =0,32 &!, Xs = 0,6 &!,
X R = 1,48 &!, admitancja opisujÄ…ca straty
w rdzeniu i induktancjÄ™ wzajemnÄ…
Ym = GC + jBm = 0,004  j0,05 &!-1,
Stosunek uzwojeń (przekładnia) stojana do wirnika: 1/ą = 1/1,57.
Obliczyć: IS, pf i T. Obliczenia: na jedną faze. Zaniedbać straty mechaniczne.
R2 = R R×(1/Ä…)2 = 0,32×(1/1,57)2 = 0,13 &!,
X2 = X R×(1/Ä…)2 = 1,48×(1/1,57)2 = 0,6 &!, Z = Rs + R2/s + j(Xs + X2) =
= 0,13 + 0,13/0,05 + j(0,6 + 0,6) = 2,73 + j1,2 &!. Zgodnie z uproszczonym schematem:
I2 = Us/Z = (500/"3 "0)/(2,73 + j1,2) = (288,7 "0)/(2,98 "23,73°) = 88,7  j39 A =
96,9 "-23,73°.
IR = UsGs = 288,7 V × 0,004 &!-1 = 1,15 A, Im = jUsBm = -j288,7 V × 0,005 &!-1 =
= -j14,4 A, I1 = I2 + IR + Im = 88,7  j39 +1,15  j14,4 A = 89,85  j 53,4 A.
WejÅ›ciowy pf = Re(I1)/ćłI1ćł = 89,85/104,5 = 0,86. Moment obrotowy T = 3P/És
= (3I22R2/s)/(2Ä„f/p) = (3×96,92×0,13/0,05)/(314/4) = 933 Nm
Zależność momentu obrotowego
od szybkości wirnika przedstawia
rys obok. Punkt  a określa
startowy moment obrotowy.
Punkt  b ilustruje minimalny moment
rozruchowy. Ze wzrostem prędkości
kÄ…towej wirnika jego reaktancja maleje
ponieważ maleje częstotliwość indukowanego napięcia - zdeterminowana
różnicą między prędkością kątową wirnika i wirującego pola stojana. Moment
obrotowy jest maksymalny gdy indukcyjna reaktancja wirnika zrówna się z jego
rezystancja. Ta maksymalna wartość momentu jest też nazywana momentem
krytycznym - punkt  c . Powyżej tej prędkości moment spada do wartości
zerowej przy zrównaniu prÄ™dkoÅ›ci rotora z prÄ™dkoÅ›ciÄ… synchronicznÄ… ns (Ée).
Punkt  d ilustruje nominalną wartość momentu obrotowego. Ogólna formuła
dla wyznaczania stacjonarnej charakterystyki moment - prędkość (poślizg s)
jest podana poniżej.
Złożoność tej formuły oraz występujące
efekty nieliniowe powodują, że układy
z silnikami indukcyjnymi muszą być analizowane
z pomocą programów symulacyjnych.
Gdy jednak precyzyjna analiza nie jest
konieczna można korzystać z bardzo
uproszczonych schematów zastępczych
przykładowo biorąc pod uwagę tylko Rs 
rezystancję stojana, X r  reaktancję przejściową,
i napięcie wsteczne E s za reaktancją przejściową.
W praktyce zasadniczym problemem bywa
dobór odpowiedniego silnika do danego zadania.
W przypadku silników indukcyjnych zależnie
od konstrukcji ich charakterystyki mogą różnić
się kształtem pozwalając na dobór odpowiedniego
wariantu.
Charakterystyki czterech podstawowych klas
silników A, B, C i D ilustruje rysunek obok.
Silniki indukcyjne po procesie rozruchu pracują z prawie stałą prędkością (choć
zależną od obciążenia). Gdyż zachodzi konieczność zmiany prędkości to
pewną możliwość daje zmiana ilości biegunów uzwojenia stojana:
Przy przełączaniu i manipulowaniu uzwojeń istnieje jednak ryzyko pomyłki i
zniszczenia silnika.
Inna możliwość to regulacja poślizgu można ją uzyskać
zmieniając napięcie zasilania. Daje to jednak mały zakres zmian,
zmiany są dopuszczalne w zakresie powyżej punktu c.
Innym rozwiÄ…zaniem w silnikach z wirnikiem z uzwojeniem
jest dodanie do obwodu wirnika regulowanej rezystancji.
Tu choć zmienia się nieco charakterystyka silnika to
zmiany są również w małym zakresie  powyżej punktu c.
Obie powyższe metody mają wspólną wadę: wnoszą
dodatkowe straty. Pod tym względem znacznie lepszym rozwiązaniem jest
jednoczesna regulacja częstotliwości i napięcia zasilania.
Silniki indukcyjne jednofazowe.
Ich zaletÄ… jest zasilanie z sieci jednofazowej (gospodarstwa domowe); ich moc
jest niewielka, do 5 kW. Budowane są głównie z wirnikami klatkowymi. Stojany
tych silników zawierają dwa uzwojenia: robocze i pomocnicze - rozruchowe.
Uzwojenie robocze zajmuje około 2/3 obwodu stojana a pomocnicze około 1/3
tego obwodu. Osie tych uzwojeÅ„ sÄ… przesuniÄ™te o kÄ…t 90°. Przez uzwojenie
pomocnicze prąd płynie tylko w czasie rozruchu do momentu uzyskania
prędkości n H" 0,8 ns, poczym zostaje ono odłączone od z
ródła napięcia (np.
wyłącznikiem odśrodkowym). Przesunięcie fazowe strumieni równe
przesunięciu fazowemu prądów w tych uzwojeniach uzyskuje się przez
szeregowe włączenie kondensatora lub rezystora do uzwojenia pomocniczego
(lub użycie uzwojenia z większą rezystancją).
Są też silniki indukcyjne jednofazowe z nieodłączanym kondensatorem po
rozruchu  majÄ… one prostszÄ… konstrukcjÄ™ i oferujÄ… pewien kompromis
pomiędzy charakterystykami rozruchu i pracy.
Lepszy kompromis można jednak osiągnąć stosując dwa kondensatory: jeden
o małej pojemności dla uzyskania stałego przesunięcia faz i poprawienia
charakterystyki pracy, oraz drugi o znacznie większej pojemności dla
poprawienia charakterystyki rozruchowej.
Silnik zwartobiegunowy.
Ten typ silnika, o mocy do 0,05 kM, pracuje na nieco innej zasadzie. Stojan w
tym silniku ma wystające bieguny, które zawierają zwarciowe cewki w postaci
uzwojenia otaczającego część każdego bieguna. Strumień w części bieguna
otoczonej takim zwojem opóz
nia się w stosunku do strumienia w pozostałej
części tego samego bieguna. Daje to efekt wirowania pola w kierunku części
otoczonej zwojem i w konsekwencji zapewnia rozruchowy moment obrotowy.
Silniki z jednoczesną regulacją częstotliwości i napięcia zasilania.
Utrzymując stały stosunek Us/fs można zmieniać prędkość wirnika utrzymując
stały moment obrotowy. Schemat blokowy takiego rozwiązania przedstawia
poniższy rysunek.
Takie rozwiązanie jest coraz szerzej stosowane dzięki szybkiemu rozwojowi
możliwości elektroniki.
Ponadto to rozwiązanie można zaliczać do tzw. specjalnych maszyn
elektrycznych stosowanych w nowoczesnych dziedzinach inżynierii jak
robotyka, sprzęt kosmiczny, automatyka itp.
Innymi tego typu rozwiÄ…zaniami sÄ… np.: silniki bezszczotkowe, silniki o zmiennej
reluktancji lub silniki krokowe, gdzie ma miejsce naturalne sprzężenie
pomiędzy elektromechanicznymi urządzeniami i układami logiki cyfrowej.
Silniki bezszczotkowe. Chociaż często nazywane są silnikami prądu
stałego to w rzeczywistości nie są to silniki prądu stałego lecz zwykle
maszynami synchronicznymi ze stałym magnesem. Nazwę uzasadnia nie
konstrukcja lecz fakt, że ich charakterystyka pracy przypomina charakterystykę
silnika bocznikowego (ze stałym prądem wytwarzającym pole). Taką
charakterystykę uzyskuje się dzięki zasilaniu, którego częstotliwość jest
zawsze identyczna z częstotliwością obrotów wirnika.
Uzyskuję się to w falowniku (ang. inverter) DC-AC zawierającym tranzystory przełączane
z częstotliwością odpowiadającą prędkości wirnika. Falownik zwany też inwerterem
zatem zamienia z
ródło prądu stałego na z
ródło prądu zmiennego o zmiennej
częstotliwości. Tak więc użytkownik podłącza silnik do z
ródła
prądu stałego ale prąd w uzwojeniach jest prądem zmiennym.
W efekcie silnik bezszczotkowy prądu stałego jest silnikiem
Synchronicznym, w którym kÄ…t momentu obrotowego ´ jest
utrzymywany stałym dzięki odpowiedniemu prądowi wzbudzenia.
Silnik taki zawiera czujnik obrotów optyczny lub halotronowy
zapewniajÄ…cy formowanie zasilania o odpowiedniej, zgodnej
częstotliwości. Warto podkreślić, iż zamiana komutacji
szczotkowej na elektroniczną stwarza szerokie możliwości
konstrukcyjne dla silników bezszczotkowych.
W silnikach bezszczotkowych prądu stałego ciepło wydziela się w
stojanie (tam jest uzwojenie) a nie w wirniku (jak w innych silnikach prÄ…du
stałego) dlatego są one łatwiejsze do chłodzenia. Silniki te mogą z łatwością
być budowane jako wodoszczelne. Magnes wirnika jest wykonywany z takich
materiałów jak Sm-Co lub ceramiczne magnesy - ferryty. Silniki tego typu mogą
być budowane na moce do 250 kW i prędkości 50 000 obr/min. Sensor będąc
instalowanym wewnątrz silnka musi być odporny na wibracje i odpowiedni
zakres temperatur. Silnik bezszczotkowy jest podobny do standardowego
silnika na prąd stały z magnesem trwałym i można go opisywać prostym
wyrażeniem: U = kaÉm + Rs i T = kTI, gdzie: U  przyÅ‚ożone napiÄ™cie, ka  staÅ‚a
armatury = kT  staÅ‚a momentu obrotowego, Ém  prÄ™dkość mechaniczna
(wirnika), Rs = rezystancja uzwojenia, T  moment obrotowy, I  prÄ…d silnika
(armatury). Zastosowanie między innymi w układach sterujących, napędach
dysków komputerowych i pojazdach elektrycznych.
Uwagi o falownikach
Gdy w falowniku zastosuje się modulację szerokości impulsu (MSI = ang. PWM - Pulse
Width Modulation), to równocześnie ze zmianą częstotliwości można regulować wartość
skuteczną napięcia wyjściowego a zatem też wartość mocy. Falowniki pozwalają nie
tylko regulować obroty silników ale również umożliwiają ich łagodny start. Są więc
stosowane w rozmaitych urządzeniach np. do zmiany prędkości obrotowej bębna pralki,
w nowoczesnych tramwajach (z uniwersalnymi silnikami), stanowią element składowy
niektórych zasilaczy impulsowych.
Dawniej stosowane były falowniki tyrystorowe, obecnie pracują one na tranzystorach
polowych lub IGBT (tranzystory bipolarne z izolowanÄ… bramkÄ…).
Wyróżnia się:
Falowniki napięcia  zasilane z
ródłem napięciowym (z kondensatorem o dużej
pojemności).
Falowniki prÄ…du  zasilane ze z
ródła prądowego (z dławikiem o znacznej indukcyjności).
Falowniki przemysłowe tzw. przemienniki częstotliwości (stosowane przy regulacji
prędkości obrotowej silników elektrycznych).
falowniki zasilane 1-fazowo z wyjściem 3-fazowym
falowniki zasilane 3-fazowo z wyjściem 3-fazowym
Falowniki z charakterystykÄ… liniowÄ….
Falowniki z charakterystykÄ… liniowÄ….
Silnik uniwersalny.
Okazuje się, że w odpowiednim silniku prądu stałego można połączyć
szeregowo uzwojenie stojana oraz (poprzez komutator) uzwojenie wirnika.
Przy takim połączeniu silnik prądu stałego może być zasilany ze z
ródła prądu
przemiennego i też będzie działał!
Silniki krokowe  zamieniają informację cyfrową na ruch. Chociaż zasada
działania była znana od lat 1920-tych ich znaczące zastosowania pojawiły się dopiero w
erze komputeryzacji  wszędzie tam, gdzie konieczne jest pozycjonowanie. Silniki
krokowe dzielą się na trzy kategorie wymienione i pokazane na rysunku. Najważniejszą
cechą tych silników jest to, że kąt obrotu wirnika jest proporcjonalny do ilości impulsów
wejściowych oraz błąd tego kąta jest mały i nie kumuluje się z ilością impulsów (i
wielkością obrotu). Ponadto trwale utrzymuje swoją aktualną pozycję bez potrzeby
stosowania hamulca!
Wariant z magnesem trwałym, zależnie od ilości biegunów może realizować kroki: 7,5,
11,25, 15, 18, 45 lub 90°. Wariant b zawiera wielokrotny żelazny wirnik a moment
obrotowy pojawia się jako skutek oddziaływania zębów wirnika z elektromagnetycznie
wzbudzanymi zÄ™bami stojana, tu krok zwykle wynosi 15°. Wariant hybrydowy zawiera
wielo-zębowy wirnik i stojan i jest mieszaniną dwóch poprzednich wariantów.
Silniki z przełączaną reluktancją
Panuje przekonanie, że ten typ silnika ze względu na niską cenę stanowi bazę dla
napędów elektrycznych i hybrydowo-elektrycznych pojazdów, wyciągów itp.. Dzięki
możliwości pracy z różnymi prędkościami znajduje coraz szersze zastosowanie w
przemyśle (i napędach motoryzacyjnych). Obwód magnetyczny w tych silnikach stanowi
tylko żelazo i powietrze - magnes trwały jest zbędny. Wirnik ma wystające żelazne
bieguny i gdy popłynie prąd przez uzwojenie pojawia się moment obrotowy wymuszający
zgodność osi biegunów wirnika z osiÄ… biegunów stojana. Gdy ¸ = 0 moment obrotowy
znika bo osiągnięte jest minimum reluktancji a przez to minimum magazynowanej
energii. Uzwojenia takiego silnika sÄ… wzbudzane impulsami pradu w synchronizacji z
bieżącą pozycją wirnika. Szybkość wirnika jest zatem zdeterminowana częstotliwością
prądów w uzwojeniach stojana.
Zakładając, że induktancja uzwojenia jest
sinusoidalną funkcją pozycji wirnika możemy
zapisać: L(¸) = L  + L cos2¸
(2 bo para biegunów). Niech prąd
w uzwojeniu wyraża się przez:
i(t) = Imsin(Ét), Zmagazynowana energia
magnetyczna wynosi: Wm = (1/2)L(¸)i2(t),
StrumieÅ„ skojarzony: È(¸) = L(¸)i(t)
Elektrotechnika i elektronika Lista 07.
1. Oblicz moc dostarczaną do obciążenia w układzie trójfazowym przy
połączeniu gwiazda  gwiazda wiedząc, żę Uan = 480 "0 V i symetrycznie
Ubn i Ucn, ZY = 2 + j4 &!, Rline = 2 &!, Rneutral = 10 &!.
2. Oblicz moc dostarczaną do obciążenia w układzie trójfazowym przy
połączeniu gwiazda  trójkąt wiedząc, żę Uan = 480 "0 V i symetrycznie Ubn i
Ucn, Z" = 5  j2 &!, Rline = 2 &!, Rneutral = 10 &!.
3. Oblicz moc dostarczaną do obciążenia uzyskanego z połączenia
równoległego obciążeń z zadania 1 i 2 i przy identycznym z
ródle energii.
4. Oblicz wartość nominalną S [kVA]; indukowane napięcie Eb i kąt mocy
wirnika ´ dla peÅ‚nego obciążenia silnika synchronicznego. Dane: nominalne
napięcie międzyfazowe: 380 V; 3 Ś (3 fazy); pf (power factor) = 0,707 a)
wyprzedzanie, b) opóz
nienie; prąd stojana przy pełnym obciążeniu 10 A, Zs
= 0 + j2 &!.
5. Obliczyć poślizg s wirnika przy pełnym obciążeniu oraz częstotliwość
indukowanego napięcia fR przy prędkości nominalnej w czterobiegunowym
silniku indukcyjnym. Wiadomo, że nominalne napięcie wynosi 200 V, 50 Hz i
prędkość przy pełnym obciążeniu: n = 1450 obr/min.