9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1
9.
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI
9.1. Pierwsze kroki
Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie
zastanawialiśmy się, co będzie się działo z materiałem po przekroczeniu pewnych odkształceń odwracalnych
czyli tzw. sprężystych.
W tym wykładzie postaramy się krótko omówić podstawowy teorii plastyczności. Będziemy tu
analizować zatem stan, kiedy przekroczone zostaną odkształcenia sprężyste. Pojawią się odkształcenia
nieodwracalne nazywane plastycznymi.
�ąij
Do analizy materiału plastycznego wprowadzamy naprężenia , prędkości czyli przyrosty
Ł
ui
przemieszczeń opisywane jako oraz prędkości odkształceń plastycznych, które występują podczas
Łij
�ąP
plastycznego płynięcia oznaczane przez .
W teorii ciał idealnie plastycznych definiujemy plastyczne płynięcie jako proces, w którym
naprężenia nie zależą od skali czasu. Oznacza to, że np. podczas przeprowadzenia prób jednoosiowego
rozciągania, przeprowadzonych z różnymi prędkościami odkształceń, wartości naprężeń będą niezmienne i
będą przyjmowały wartości granicy plastyczności. Wynika z tego, że pojawienie się deformacji
plastycznych jest uwarunkowane spełnieniem zależności:
F śą�ąźą=0 (9.1)
Jeżeli ponadto przyjmiemy założenie, że
"�ąij "�ąkl
=
(9.2)
P P
"�ąkl " �ąij
Ł Ł
które z całą pewnością spełnione będzie dla materiałów izotropowych, będziemy mogli wykazać, że
prędkości odkształceń plastycznych zostaną wyrażone przez tzw. stowarzyszone prawo płynięcia, które
można zapisać następująco
"�ąkl
P
Ł
�ąij =�ą
Ł (9.3)
P
" �ąij
Ł
Ł
gdzie �ą jest pewnym mnożnikiem skalarnym
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 2
Równość (9.3) pokazuje nam, że wektor prędkości odkształceń plastycznych jest prostopadły do
powierzchni opisanej przez warunek plastyczności. Graficznie możemy to przedstawić następująco
�ąII
�ąI
powierzchnia plastyczności
Rys. 9.1. Graficzne przedstawienie stowarzyszenia
Stowarzyszenie polega na tym, że funkcja F śą�ąźą odgrywa rolę potencjału dla prędkości odkształceń
plastycznych �ą . Przestawione równanie (9.3) wiąże nam naprężenia z prędkościami odkształceń, ma więc
Ł
sens równania fizycznego dla ciał plastycznych
Jednym z ograniczeń na warunek plastyczności, jest wniosek z tzw. postulatu Druckera. Zgodnie z
tym postulatem przyrost pracy wykonanej w cyklu naprężeniowym na nieskończenie małym przyroście
odkształcenia jest nieujemny.
Sens postulatu przedstawimy na przykładzie materiału sprężysto-plastycznego ze wzmocnieniem
liniowym dla jednoosiowego przypadku obciążenia i odciążenia. Przyjmijmy, że naprężenie �ą odpowiada
punktowi należącemu do powierzchni plastyczności tzn. wymagane jest spełnienie warunku (9.1). Ponadto
załóżmy naprężenie �ą ' , które będzie odpowiadać dowolnemu stanowi dopuszczalnemu, a więc takiemu
który leży wewnątrz lub na powierzchni plastyczności, czyli spełniającego warunek F śą�ąźąąą0 . Dodajmy
jeszcze, że symbolem d �ą oznaczono infinitezymalny przyrost naprężenia, - przyrost odkształceń
d �ąE
sprężystych, - przyrost odkształceń plastycznych, które zostały wywołane przez d �ą .
d �ąP
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 3
�ą
D E C
d �ą
�ą
A F B
�ą '
�ą
d �ąP d �ąE
�ą
Rys. 9.2. Wykres dla jednoosiowego przypadku obciążenia i odciążenia materiału sprężysto-plastycznego ze
�ą-�ą
wzmocnieniem liniowym
Z rysunku (Rys. 9.2.) widać, pole prostokąta BCEF jest nie większe od pola prostokąta ABCD.
Możemy to zapisać
(9.4)
�ą-�ą '�ąd �ą d �ąE�ąd �ąP �ą-�ą '�ąd �ą d �ąE�ą0
śą źąśą źą-śą źą
Jeśli zredukujemy wyrazy podobne otrzymamy
(9.5)
�ą-�ą ' d �ąP�ąd �ą d �ąP�ą0
śą źą
Jeśli wez
miemy pod uwagę fakt, że wyrażenie jest małą wartością wyższego rzędu i
d �ą d �ąP
przyjmiemy, że możemy je pominąć dostaniemy
(9.6)
�ą-�ą ' d �ąP�ą0
śą źą
lub inaczej
(9.7)
�ą d �ąP�ą�ą d �ąP
Nierówność (9.7) jest prawdziwa zarówno dla materiałów idealnie plastycznych, jak i dla materiałów
ze wzmocnieniem plastycznym.
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 4
Jeśli przyjmiemy, że będziemy potrafili znalez
ć plastyczną i sprężystą część odkształceń wówczas
będziemy mogli określić całkowite odkształcenia ze wzoru:
(9.8)
�ą=�ą�ą�ą�ąpl
�ą
gdzie �ą�ą= to część sprężysta odkształcenia, a stanowi część plastyczną odkształcenia
�ąpl
E
Jak możemy wywnioskować z wcześniejszych rozważać dotyczących teorii plastyczności warunek
plastyczności jest nieliniową funkcją składowych stanu naprężenia np. warunek H-M-H (przejście cząstki
materiału w stan plastyczny następuje z chwilą osiągnięcia przez jednostkową energię odkształcenia
postaciowego pewnej wartości krytycznej). Spełnienie warunku plastyczności świadczy o tym, że plastyczne
płynięcie może wystąpić. Nie jest jednak ono bliżej określone - jak przebiega ruch plastyczny, czyli jak
narastają składowe tensora odkształcenia. Te informacje zawiera prawo plastycznego płynięcia wiążące
przyrosty odkształceń plastycznych z naprężeniami lub prędkości odkształcenia plastycznego z
�ąŁpl
naprężeniami. Czyli do określonego stanu naprężenia, spełniającego warunki plastyczności, wektor
prędkości odkształceń plastycznych ma kierunek normalnej do powierzchni  mamy tu na myśli
przedstawione wcześniej stowarzyszone prawo płynięcia.
Dla przykładu podajmy, że beton należy do materiałów niestowarzyszonych plastycznie, natomiast
materiały ciągliwe zaliczamy do stowarzyszonych plastycznie (zależą od drugiego niezmiennika)
Algorytm analizy plastycznej MES wymaga:
" sformułowania standardowej macierzy sztywności stycznej układu
" sformułowania macierzy konsystentnej do procedur iteracyjnych np. Newtona-Raphsona
" całkowanie związków konstytutywnych celem zmodyfikowania tensora naprężeń �ą dla odksztalceń
nieliniowych
Przeanalizujmy następujące zadanie
Mamy belkę pokazaną na rysunku poniżej
P
A
B
Zauważmy, że jeśli belkę obciążymy siłą skupioną, inaczej będą wyglądały odkształcenia w punkcie
A a inaczej w punkcie B.
Na początku włókna w punkcie A będą ściskane, ale po osiągnięciu granicy plastyczności zaczną
ulegać rozciąganiu. Natomiast włókna w punkcie B będą cały czas rozciągane. Przebieg odkształceń we
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 5
włóknach w punktach A i B pokazano na wykresie poniżej
�ą
A
�ą
0
�ą
�ą0
B
-�ą0
Moment, w którym zarówno we włóknach górnych jak i dolnych będą takie same co do wartości i
znaku wartość naprężeń nastąpi wówczas, gdy wielkość przemieszczeń osiągnie wartość równą
�ą0 =d (9.9)
gdzie d jest wysokością przekroju belki
9.2. Nieliniowości fizyczne
9.2.1. Przyczyny nieliniowości leżące w istocie związku konstytutywnego
Warunek plastyczności (warunek Hubera):
I -k02=0 (9.10)
z
gdzie k oznacza wartość graniczną plastyczności. Warunek ten jest obrazem używanego przez nas
0
zastępczego naprężenia:
(9.11)
�ąx2�ą3�ąxy2-k=0
ćą
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 6
Omawianą tu plastyczność rozważać będziemy na poziomie:
1) punktu,
2) przekroju,
3) konstrukcji.
9.2.2. Plastyczność na poziomie punktu.
Znany jest nam stan naprężeń punktu {�}, jednak istotę stanowi znalezienie stanu naprężeń w każdym
punkcie. Rozważmy najpierw zachowanie materiałów nieciągliwych, kruchych.
" warunek plastyczności dla betonu:
�2
interpretacja
graficzna warunku
plastyczności dla
betonu
�1
W stanie plastycznym, po przekroczeniu pewnej granicy, mimo odciążania pozostaną trwałe
odkształcenia (oznaczone na rysunku jako � ):
pl
�
�
�pl
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 7
" w przypadku rozciągania omawianych materiałów pojawiają się geometryczne nieliniowości. Stan
plastyczny możemy jednak sprowadzić do jednego punktu.
Dla materiałów ciągliwych wyróżniamy dwa typy wzmocnienia:
a) wzmocnienie izotropowe  w wyniku kolejnej deformacji równowagę stanu naprężenia można uchwycić
na rosnącym wzmocnieniu.
Warunek plastyczności Hubera dla materiałów ciągliwych:
�2
izotropowe wzmocnienie
�1
wg hipotezy Treski
wg teorii Hubera
Prezentowane na rysunku wzmocnienie izotropowe jest obrazem rzutu przestrzennego walca,
mającego przekątną nachyloną do wszystkich osi pod tym samym kątem. Wprowadza ono dla materiałów
ciągliwych stan quasistatyczny:
�ą=�ąs�ą�ąpl
(9.12)
gdzie �  odkształcenie sprężyste, �  odkształcenie plastyczne.
s pl
Wzmocnienie izotropowe pozwala nam na znajdowanie stanu plastycznego tylko w obrębie jego
powierzchni.
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 8
b) wzmocnienie kinematyczne  w tym przypadku możemy zaobserwować efekt histerezy:
�
obciążenie
�
odciążenie
�2
obciążenie dalej jest
przenoszone, powierzchnia
ewoluuje
�1
tensor resztkowy
Opiszmy ewolucję tensora resztkowego jako {ą}. Wówczas dla wzmocnienia kinematycznego
możemy zapisać teorię plastyczności
I śą{�ą}-{�ą}źą
(9.13)
z
Zakładając {ą}={0}, {k}={0} otrzymamy stan idealnie plastyczny.
Obiektywną miarą dla porównania stanów naprężeń (na przykład w dwóch różnych punktach) będzie
energia. Przyjmijmy, że znamy stan naprężeń w pierwszym punkcie � . Możemy � rozłożyć na aksjator i
1 1
dewiator:
�ą1=�ą1A�ą�ą1D (9.14)
Identycznie postąpimy z tensorem naprężeń dla drugiego punktu:
�ą2=�ą2A�ą�ą2D (9.15)
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9
Teraz możemy zamienić powyższe tensory na energię:
dla punktu 1 dla punktu 2
E E
EA ED EA ED
tylko ta część (energia postaciowa)
odpowiada za stan plastyczny
9.2.3. Plastyczność na poziomie przekroju
Plastyczność na poziomie przekroju możemy omówić na przykładzie symetrycznej belki (przekroju
płaskiego). Wstępne wykresy naprężeń i odkształceń przybierają postać:
M
�x
�
Jeśli zdecydujemy się na dalsze odkształcanie belki, to otrzymamy wykres
�0
�0
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 10
� oznacza tu naprężenie sprężyste graniczne. Odkształcenia na tym etapie również są sprężyste,
0
podobnie jak moment w przekroju, który możemy wyznaczyć ze wzoru:
bh2
M =�ą0 (9.16)
0
6
Odkształcając dalej:
�0
część
sprężysta
�0
odkształcenie ma tutaj charakter stały
Ostatnim etapem jest sytuacja, gdy cały przekrój zostaje uplastyczniony:
�0
cały
przekrój
uplastyczniony
�0
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 11
Moment w tym przekroju obliczymy ze wzoru
M =�ą0 bh2 (9.17)
pl
4
9.2.4. Plastyczność na poziomie konstrukcji.
Plastyczność na poziomie konstrukcji wyrazimy w obciążeniach:
powstanie mechanizmu
belkowego
V
V
H
l
H
l l
Konstrukcja rozpatrywana jako całość
Analiza plastyczna MES wymaga:
" sformułowania standardowej macierzy sztywności stycznej układu,
" sformułowania macierzy konsystentnej do procedur iteracyjnych N-R,
" całkowania związków konstytutywnych, aby zmodyfikować stan naprężeń.
Dla materiałów nieliniowych:
Kt= BT Dt B dV �ąK śąd źą
+"
NL
(9.18)
V
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 12
gdzie
"�ą
Dt= (9.19)
"�ą
Dokonamy teraz uaktualnienia naprężeń w punkcie Gaussa:
" odkształcenia iteracyjne
1) Obliczamy " d :
" d =-kt-1�"r (9.20)
2) Na podstawie wzoru 9.20 wyznaczamy "ą :
"�ą= f śą" d źą (9.21)
3) Obliczamy "�ą :
"�ą=Dtśą�ąźą"�ą
(9.22)
�
�
K (d) "d = "p
4) Dokonujemy modyfikacji naprężeń:
�ąu=�ą0�ą"�ą1
(9.23)
�ą0
gdzie jest naprężeniem przed aktualną iteracją.
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 13
" odkształcenia przyrostowe
1) Obliczamy " d :
" d =-kt-1�"r (9.24)
2) Modyfikujemy przyrostowe przemieszczenia (od ostatniego stanu równowagi):
�ą d =�ą d �ą�ą d
(9.25)
N 0 1
�ąd0
gdzie jest przyrostem przemieszczenia od ostatniej iteracji.
p
d
3) Obliczamy przyrostowe odkształcenia:
�ą�ą= f śą�ą d źą (9.26)
4) Wyznaczamy przyrostowe naprężenia:
�ą�ą=Dtśą�ąźą�ą�ą
(9.27)
5) Modyfikujemy naprężenia:
�ąu=�ą0�ą�ą�ą1
(9.28)
�ą0
gdzie jest naprężeniem na końcu ostatniego przyrostu.
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater