3. Elementy ściskane
3.1. Przykłady obliczeo
Zadanie 1
Obliczyd nośnośd ściskanego osiowo pręta wykonanego z kształtownika rurowego
walcowanego na gorąco RO 76,1x6 ze stali S355, obciążonego wg poniższego schematu.
D =� 76,1[mm]
t =� 6[mm]
L =� 6[m]
Rozwiązanie
nominalna granica plastyczności na podstawie Tablicy 3.1
fy =� 335[MPa]
wyznaczenie parametru � zależnego od granicy plastyczności
235 235
e� =� =� =� 0,81[-�]
fy 355
określenie klasy przekroju
D 76,1
2
=� =�12,68[-�]<�50��e� =� 50��0,812 =� 33,1[-�]
t 6
przekrój w klasie pierwszej
pole przekroju kształtownika
A =� p� ��t ��(�D -� t)�=� p� ��0,6��(�7,61-� 0,6)�=�13,214[cm2]
moment bezwładności przekroju kształtownika
4 4 4 4
ć� �� ć� ��
p� D D -� 2t p� 7,61 7,61-� 2�� 0,6
ć� �� ć� ��
�� ��
I =� ����ć� �� -� =� ����ć� �� -� =� 81,76[cm4]
���� �� �� 2 �� �� ���� 2 �� �� 2 �� ��
4 2 4
ł�
Ł�Ł� ł� Ł� ł� ł� Ł�Ł� ł� Ł� ł�
promieo bezwładności przekroju
I 81,76
i =� =� =� 2,487[cm]
A 13,214
długośd wyboczeniowa
Lcr =� m� �� L =� 1,0��6,0 =� 6,0[m]
smukłośd porównawcza
l�1 =� 93,9��e� =� 93,9��0,81 =� 76,4[-�]
smukłośd względna
Lcr 1 600 1
l� =� �� =� �� =� 3,157[-�] >� 0,2[-�]
i l�1 2,487 81,76
parametr krzywej imperfekcji na podstawie Tablicy 6.2 oraz Tablicy 6.1
a� =� 0,21[-�]
parametr krzywej niestateczności
F� =� 0,5[�1+�a�(�l� -� 0,2)�+� l�2]�=� 0,5[�1+� 0,21(�3,157 -� 0,2)�+� 3,1572]�=� 5,795[-�]
współczynnik wyboczenia wg wzoru 6.49
1 1
c� =� =� =� 0,0939[-�] <� 1,0[-�]
2
F� +� F� -� l�2 5,795 +� 5,7952 -� 3,1572
nośnośd na wyboczenie elementu ściskanego wg wzoru 6.47
c� �� A�� fy 0,0939��13,214��35,5
Nb,Rd =� =� =� 44,03[kN]
g� 1,0
M1
Zadanie 2
Sprawdzid warunek nośności ściskanego osiowo słupa wykonanego z walcowanego na gorąco
kształtownika RP 180�120�10 ze stali S235. Słup jest utwierdzony w podstawie; dodatkowo
został stężony w płaszczyz
nie XY. Schemat statyczny i schemat obciążeo należy przyjąd wg
poniższego rysunku.
P =� 750[kN]
L =� 3[m]
h =� 180[mm]
b =� 120[mm]
t =� 10[mm]
R =� 25[mm]
A =� 52,57[cm2]
iy =� 6,39[cm]
iz =� 4,66[cm]
Rozwiązanie
nominalna granica plastyczności na podstawie Tablicy 3.1
fy =� 235[MPa]
wyznaczenie parametru � zależnego od granicy plastyczności
235 235
e� =� =� =�1,0[-�]
f 235
y
określenie klasy przekroju wg Tablicy 5.2 (Arkusz 3 z 3)
c h -� 2(R +� t) 180 -� 2(25 +�10)
=� =� =�11[-�]<�33��e� =� 33[-�]
t t 10
przekrój w klasie pierwszej
smukłośd porównawcza
l�1 =� 93,9��e� =� 93,9��1,0 =� 93,9[-�]
wyboczenie w płaszczyz
nie XZ
długośd wyboczeniowa
Lcr, y =� m� �� L =� 2,0��3,0 =� 6,0[m]
smukłośd względna
Lcr, y 1 600 1
l�y =� �� =� �� =� 1,0[-�] >� 0,2[-�]
iy l�1 6,39 93,9
parametr krzywej imperfekcji na podstawie Tablicy 6.2 oraz Tablicy 6.1
a�y =� 0,21[-�]
parametr krzywej niestateczności
F�y =� 0,5[�1+�a�y(�l�y -� 0,2)�+� l�y2]�=� 0,5[�1+� 0,21(�1,0 -� 0,2)�+�1,02]�=�1,084[-�]
współczynnik wyboczenia wg wzoru 6.49
1 1
c�y =� =� =� 0,666[-�]<� 1,0[�-�]]�
2
1,084 +� 1,0842 -�12
F� +� F� +� l�y2
y y
nośnośd na wyboczenie elementu ściskanego wg wzoru 6.47
c� ��A�� fy 0,666��52,57 �� 23,5
y
Nb,Rd, y =� =� =� 822,313[kN]
g� 1,0
M1
wyboczenie w płaszczyz
nie XY
długośd wyboczeniowa
Lcr,z =� m� �� L =� 0,707��3,0 =� 2,121[m]
smukłośd względna
Lcr,z 1 212,1 1
l�z =� �� =� �� =� 0,485[-�] >� 0,2[-�]
iz l�1 4,66 93,9
parametr krzywej imperfekcji na podstawie Tablicy 6.2 oraz Tablicy 6.1
a�z =� 0,21[-�]
parametr krzywej niestateczności
F�z =� 0,5[�1+�a�z(�l�z -� 0,2)�+� l�z2]�=� 0,5[�1+� 0,21(�0,485 -� 0,2)�+� 0,4852]�=� 0,647[-�]
współczynnik wyboczenia wg wzoru 6.49
1 1
c�y =� =� =� 0,93[-�]<� 1,0[�-�]]�
2
0,647 +� 0,6472 -� 0,4852
F� +� F� +� l�y2
y y
nośnośd na wyboczenie elementu ściskanego wg wzoru 6.47
c� ��A�� fy 0,93��52,57��23,5
z
Nb,Rd,z =� =� =� 1147,593[kN]
g� 1,0
M1
nośnośd na wyboczenie elementu ściskanego
Nb,Rd =� min{�Nb,Rd, y ; Nb,Rd,z}�=� min{�822,313;1147,593}�=� 822,313[kN]
sprawdzenie warunku nośności wg wzoru 6.46
NEd 750
=� =� 0,912[-�] <�1,0[-�]
Nb,Rd 822,313
Zadanie 3
Sprawdzid czy wykonany z kształtownika walcowanego na gorąco HEB 300 ze stali S275 słup
o wysokości 5 m, obciążony osiowo jak na poniższym schemacie jest w stanie przenieśd siłę
4000 kN.
P =� 4000[kN]
L =� 5[m]
h =� 300[mm]
bf =� 300[mm]
tw =� 11[mm]
t =� 19[mm]
f
R =� 27[mm]
A =� 149[cm2]
I =� 25172[cm4]
y
Iz =� 8560[cm4]
Rozwiązanie
nominalna granica plastyczności na podstawie Tablicy 3.1
fy =� 275[MPa]
wyznaczenie parametru � zależnego od granicy plastyczności
235 235
e� =� =� =� 0,92[-�]
fy 275
określenie klasy przekroju
środnik - częśd przęsłowa wg Tablicy 5.2 (Arkusz 1 z 3)
h -� 2(R +� t )
c 300 -� 2(27 +�19)
f
=� =� =�18,91[-�]<�33��e� =� 33�� 0,92 =� 30,506[-�]
t t 11
półka - częśd wspornikowa wg Tablicy 5.2 (Arkusz 2 z 3)
bf -� tw
300 -�11
-� R -� 27
c
2 2
=� =� =� 6,184[-�]<�9��e� =� 9�� 0,92 =� 8,32[-�]
t t 19
f
przekrój w klasie pierwszej
smukłośd porównawcza
l�1 =� 93,9��e� =� 93,9��0,92 =� 86,8[-�]
wyboczenie w płaszczyz
nie XZ
długośd wyboczeniowa
Lcr, y =� m� �� L =�1,0��5,0 =� 5,0[m]
promieo bezwładności
I
149
y
iy =� =� =� 13,0[cm]
A 25172
smukłośd względna
Lcr, y 1 500 1
l�y =� �� =� �� =� 0,443[-�] >� 0,2[-�]
iy l�1 13,0 86,8
parametr krzywej imperfekcji na podstawie Tablicy 6.2 oraz Tablicy 6.1
a�y =� 0,34[-�]
parametr krzywej niestateczności
F�y =� 0,5[�1+�a�y(�l�y -� 0,2)�+� l�y2]�=� 0,5[�1+� 0,34(�0,443-� 0,2)�+� 0,4432]�=� 0,64[-�]
współczynnik wyboczenia wg wzoru 6.49
1 1
c�y =� =� =� 0,9086[-�]<�1,0[�-�]]�
2
0,64 +� 0,642 -� 0,4432
F� +� F� +� l�y2
y y
nośnośd na wyboczenie elementu ściskanego wg wzoru 6.47
c� ��A�� fy 0,9086��149��27,5
y
Nb,Rd, y =� =� =� 3722,848[kN]
g� 1,0
M1
wyboczenie w płaszczyz
nie XY
długośd wyboczeniowa
L
Lcr,z =� m� �� =� 1,0�� 2,5 =� 5[m]
2
promieo bezwładności
I
149
y
iy =� =� =� 7,58[cm]
A 8560
smukłośd względna
Lcr,z 1 250 1
l�z =� �� =� �� =� 0,38[-�] >� 0,2[-�]
iz l�1 7,58 86,8
parametr krzywej imperfekcji na podstawie Tablicy 6.2 oraz Tablicy 6.1
a�z =� 0,49[-�]
parametr krzywej niestateczności
F�z =� 0,5[�1+�a�z(�l�z -� 0,2)�+� l�z2]�=� 0,5[�1+� 0,49(�0,38 -� 0,2)�+� 0,382]�=� 0,616[-�]
współczynnik wyboczenia wg wzoru 6.49
1 1
c�y =� =� =� 0,9078[-�]<� 1,0[�-�]]�
2
0,616 +� 0,6162 -� 0,382
F� +� F� +� l�y2
y y
nośnośd na wyboczenie elementu ściskanego wg wzoru 6.47
c� ��A�� fy 0,9078��149��27,5
z
Nb,Rd,z =� =� =� 3719,94[kN]
g� 1,0
M1
nośnośd na wyboczenie elementu ściskanego
Nb,Rd =� min{�Nb,Rd, y ; Nb,Rd,z}�=� min{�3722,848;3719,943}�=� 3719,943[kN]
sprawdzenie warunku nośności wg wzoru 6.46
NEd 4000
=� =� 1,075[-�] >� 1,0[-�]
Nb,Rd 3719,943
3.2. Przykłady do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Obliczyd nośnośd ściskanego osiowo pręta, wykonanego z dwuteownika walcowanego na
gorąco IPE 300 ze stali S235; przyjąd schemat obciążeo i schemat statyczny wg poniższego
rysunku.
L =� 5[m]
h =� 300[mm]
b =� 150[mm]
f
tw =� 7,1[mm]
t =� 10,7[mm]
f
R =� 15[mm]
A =� 53,8[cm2 ]
I =� 8360[cm4 ]
y
I =� 604[cm4 ]
z
Odpowiedz
: Nb,Rd=658,536 [kN]
Zadanie 2
Sprawdzid warunek nośności ściskanego osiowo słupa o przekroju rurowym - RP 120�50�4,
wykonanego ze stali S275. Słup podparty jest przegubowo we wszystkich kierunkach
i dodatkowo stężony w płaszczyz
nie XY, w połowie wysokości. W miejscu połączenia słupa ze
stężeniem zablokowane są przemieszczenia w kierunku prostopadłym do osi podłużnej
elementu.
P =� 200[kN]
L =� 4[m]
h =� 120[mm]
bf =� 50[mm]
t =� 4[mm]
R =� 8[mm]
A =� 12,55[cm2]
I =� 213,82[cm4]
y
Iz =� 53,43[cm4]
Odpowiedz
: NEd/Nb,Rd=0,991 [-]
Zadanie 3
Wyznaczyd nośnośd obciążonego osiowo słupa, utwierdzonego w podstawie. Słup wykonano
z kształtownika walcowanego na gorąco L 100�100�10 ze stali S275. Pręt obciążony jest siłą
skupioną na kierunku równoległym do swej osi, przyłożoną na swobodnym koocu słupa.
L =� 2[m]
a =� 100[mm]
t =� 10[mm]
R =� 12[mm]
A =� 19,2[cm2 ]
I =� I =� 176,676[cm4 ]
y z
I =� 103,671[cm4 ]
yz
Odpowiedz
: Nb,Rd=81,796 [kN]
Zadanie 4
Sprawdzid normowy warunek nośności na wyboczenie dla obustronnie utwierdzonego
elementu prętowego o długości 5 m wykonanego z kształtownika rurowego RO 219,1x12,5 ze
stali S450, wykooczonego na gorąco. Element został poddany równomiernemu ogrzaniu na
całej swojej długości o 25oC względem temperatury montażu.
D =� 219,1[mm]
t =� 12,5[mm]
L =� 5[m]
t0 =� 25[o�C] =� 25[K]
-�1
a� =� 12��10-�6[K ]
E =� 210[GPa]
Odpowiedz
: NEd/Nb,Rd=0,155 [-]
Zadanie 5
Sprawdzid warunek nośności słupa o wysokości 9 m, ściskanego siłą 1000 kN, przyłożoną w
środku ciężkości przekroju. Element wykonano z dwuteownika szerokostopowego HEB 160,
walcowanego na gorąco, ze stali S275. Schemat podparcia słupa przedstawiono na poniższym
rysunku.
P =� 1000[kN]
L =� 9[m]
h =�160[mm]
bf =�160[mm]
tw =� 8[mm]
t =� 13[mm]
f
R =� 15[mm]
A =� 54,3[cm2]
iy =� 6,78[cm]
iz =� 4,05[cm4]
Odpowiedz
: NEd/Nb,Rd=1,065 [-]
Zadanie 6
Obliczyd nośnośd ściskanego osiowo słupa o przekroju ceowym - wykonanego z kształtownika
UPE 300, walcowanego na gorąco, ze stali S355. Schemat obciążeo i schemat statyczny wg
poniższego rysunku.
L =� 6[m]
h =� 300[mm]
bf =�100[mm]
tw =� 9,5[mm]
t =� 15[mm]
f
R =�15[mm]
A =� 56,6[cm2]
I =� 7820[cm4]
y
Iz =� 538[cm4]
Odpowiedz
: Nb,Rd=803,974 [kN]
Zadanie 7
Sprawdzid nośnośd na wyboczenie w płaszczyz
nie układu najbardziej wytężonego krzyżulca.
Układ przedstawiono na poniższym rysunku. Wszystkie pręty ukośne wykonano z kształtownika
RK 150�10 walcowanego na gorąco, ze stali S235. Długośd wyboczeniową przyjąd zgodnie z
Załącznikiem BB do Eurokodu 3.
L =� 4[m]
P =� 450[kN]
h =� b =� 150[mm]
t =� 10[mm]
R =� 25[mm]
A =� 52,57[cm2]
I =� Iz =� 1652,53[cm4]
y
Odpowiedz
: NEd/Nb,Rd=1,122 [-]
Zadanie 8
Sprawdzid warunek nośności na wyboczenie pręta S1, wg schematu przedstawionego na
poniższym rysunku. Element wykonany jest z rury RO 101,6�2, walcowanej na gorąco, ze stali
S275. Długośd wyboczeniową przyjąd równą długości teoretycznej pręta.
L =� 10[m]
D =� 101,6[mm]
t =� 2[mm]
P =� 5[kN]
M =� 400[kNm]
A =� 6,26[cm2]
i =� 3,522[cm]
Odpowiedz
: NEd/Nb,Rd=0,589 [-]