îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 . . . 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 1 . . . 0 0
ïÅ‚ śł
. . . .
ïÅ‚ śł
. . . .
Macierz jednostkowa: In = . . . . " Matn×n(R),
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
0 0 . . . 1 0śł
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 . . . 0 1
A · In = Im · A dla A " Matm×n(R).
1
îÅ‚ Å‚Å‚
c 0 . . . 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 c . . . 0 0
ïÅ‚ śł
. . . .
ïÅ‚ śł
. . . .
Macierz skalarna: c · In = . . . . " Matn×n(R), c " R,
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
0 0 . . . c 0śł
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 . . . 0 c
cA = A · (cIn) = (cIm) · A dla A " Matm×n(R).
2
îÅ‚ Å‚Å‚
c1 0 . . . 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 c2 . . . 0 0
ïÅ‚ śł
. . . .
ïÅ‚ śł
. . . .
Macierz diagonalna: . . . . " Matn×n(R), gdzie
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 . . . cn-1 0
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 . . . 0 cn
c1, . . . , cn " R.
3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
c1 0 . . . 0 a11 a12 . . . a1n c1a11 c1a12 . . . c1a1n
ïÅ‚ śł ïÅ‚
0 c2 . . . 0 a21 a22 . . . a2n śł ïÅ‚ c2a21 c2a22 . . . c2a2n śł
ïÅ‚ śł śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł·ïÅ‚ śł = ïÅ‚ śł
ïÅ‚
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . . .
0 0 . . . cm am1 am2 . . . amn cmam1 cmam2 . . . cmamn
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n c1 0 . . . 0 c1a11 c2a12 . . . cna1n
ïÅ‚ śł ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł ïÅ‚ 0 c2 . . . 0 c1a21 c2a22 . . . cna2n śł
ïÅ‚ śł śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł·ïÅ‚ śł = ïÅ‚ śł
ïÅ‚
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn 0 0 . . . cn c1am1 c2am2 . . . cnamn
4
Macierz o wymiarach n × n nazywamy kwadratowÄ….
Macierz diagonalna jest macierzą kwadratową. Spośród macierzy
kwadratowych wyróżniamy macierze górnotrójkątna i dolnotrój-
kÄ…tne.
Macierz górnotrójkątna:
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1,n-1 a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 a22 . . . a2,n-1 a2n
ïÅ‚ śł
. . . .
ïÅ‚ śł
. . . .
. . . . ,
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
0 0 . . . an-1,n-1 an-1,nśł
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 . . . 0 ann
gdzie aij " R.
Macierz A = aij i,j=1,...,n " Matn×n(R) jest górnotrójkÄ…tna Ô!
aij = 0 dla i > j.
5
Macierz dolnotrójkątna:
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 0 . . . 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a21 a22 . . . 0 0
ïÅ‚ śł
. . . .
ïÅ‚ śł
. . . .
. . . . ,
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
an-1,1 an-1,2 . . . an-1,n-1 0
ðÅ‚ ûÅ‚
an1 an2 . . . an,n-1 ann
gdzie aij " R.
Macierz A = aij i,j=1,...,n " Matn×n(R) jest dolnotrójkÄ…tna Ô!
aij = 0 dla i < j.
6
Niech A " Matn×n(R) bÄ™dzie macierzÄ… kwadratowÄ….
Macierz B " Matn×n(R) nazywamy odwrotnÄ… do macierzy A, jeÅ›li
AB = BA = In.
Oznaczenie macierzy odwrotnej: A-1.
Przykłady.
1 a 1 -a
1. MacierzÄ… odwrotnÄ… do A = jest macierz .
0 1 0 1
1 2
2. Macierz A = nie posiada macierzy odwrotnej.
3 6
7
3. MacierzÄ… odwrotnÄ… do macierzy diagonalnej:
îÅ‚ Å‚Å‚
c1 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 c2 . . . 0
ïÅ‚ śł
. . .
ïÅ‚ śł
. . .
A = . . . ,
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 . . . 0
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 . . . cn
gdzie c1, . . . , cn = 0, jest macierz

îÅ‚ Å‚Å‚
c-1 0 . . . 0
1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 c-1 . . . 0
ïÅ‚ 2 śł
. . .
ïÅ‚ śł
. . .
A-1 =
. . .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 . . . 0
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 . . . c-1
n
8
Niech A " Matm×n(R) bÄ™dzie dowolnÄ… macierzÄ…:
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł
A = ïÅ‚ śł .
. . .
. . .
ðÅ‚ ûÅ‚
. . .
am1 am2 . . . amn
MacierzÄ… transponowanÄ… do macierzy A nazywamy macierz
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a21 . . . am1
ïÅ‚
a12 a22 . . . am2 śł
ïÅ‚ śł
AT = ïÅ‚ śł ,
. . .
. . .
ðÅ‚ ûÅ‚
. . .
a1n a2n . . . amn
A " Matn×m(R).
9
Przykłady.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 4
1 2 3
ïÅ‚
1. Jeśli A = , to AT = 2 5śł.
ðÅ‚ ûÅ‚
4 5 6
3 6
2. MacierzÄ… transponowanÄ… do macierzy diagonalnej jest ta sama
macierz.
3. Macierz transponowana do macierzy górnotrójkątnej jest ma-
cierzą dolnotrójkątną, i na odwrót.
10
Symbolicznie możemy zapisać: AT = bij , gdzie bij = aji dla
n×m
i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
Dla dowolnych macierzy A, B i dowolnej liczby c zachodzą rów-
ności
(A + B)T = AT + BT , A, B " Matm×n(R),
(cA)T = cAT ,
(AB)T = BT AT , A " Matm×n(R), B " Matn×k(R),
(AT )T = A.
11
Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeśli AT = A,
Macierz kwadratową A nazywamy antysymetryczną, jeśli AT =
-A.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 0 1 -3
ïÅ‚ ïÅ‚ śł
2 4 5śł  symetryczna,
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚-1 0 2  antysymetryczna,
ûÅ‚
3 5 6 3 -2 0
Dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A + AT jest sy-
metryczna, a macierz A - AT jest antysymetryczna.
12
Zadanie. Przedstawić dowolną macierz kwadratową w postaci
sumy macierzy symetrycznej i macierzy antysymetrycznej. Uza-
sadnić, że takie przedstawienie jest jednoznaczne.
13
Permutacje
PermutacjÄ… zbioru {1, 2, . . . , n} nazywamy bijekcjÄ™
à : {1, 2, . . . , n} {1, 2, . . . , n}.
PermutacjÄ™ zapisujemy w postaci tabelki:
1 2 . . . n - 1 n
à = .
Ã(1) Ã(2) . . . Ã(n - 1) Ã(n)
1 2 3 4
Przykład. Permutacja à = jest określona następu-
4 1 3 2
jÄ…co: Ã(1) = 4, Ã(2) = 1, Ã(3) = 3, Ã(4) = 2.
14
Zbiór permutacji zbioru {1, 2, . . . , n} oznaczamy przez Sn.
Permutacje składamy jak funkcje:
(ÃÄ)(i) = Ã(Ä(i))
dla Ã, Ä " Sn, i " {1, 2, . . . , n}.
Przykład.
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
=
3 4 5 6 2 1 1 4 6 2 3 5 3 6 1 4 5 2
15
Cykl (a1a2 . . . ak) długości k to permutacja à zbioru {1, 2, . . . , n}
taka, że:
Ã(a1) = a2, Ã(a2) = a3, . . . , Ã(ak-1) = ak, Ã(ak) = a1,
Ã(i) = i dla i " {1, 2, . . . , n} \ {a1, a2, . . . , ak}.
Przykład. Cykl (1357) jako permutacja zbioru {1, 2, . . . , n}:
1 2 3 4 5 6 7 8
(1357) = .
3 2 5 4 7 6 1 8
16
Cykle (a1a2 . . . ak) i (b1b2 . . . bl) nazywamy rozłącznymi, jeśli zbio-
ry {a1, a2, . . . , ak} i {b1, b2, . . . , bl} są rozłączne.
Każdą permutację można rozłożyć na cykle rozłączne.
Przykład:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
= (1357)(246)(89).
3 4 5 6 7 2 1 9 8 10
17
Rozważmy permutację
1 2 . . . n - 1 n
à = .
c1 c2 . . . cn-1 cn
Parę (ck, cl) taką, że k < l i ck > cl, nazywamy nieporządkiem.
Permutację nazywamy parzystą, jeśli liczba jej nieporządków jest
parzysta, a nieparzystą, jeśli ta liczba jest nieparzysta.
18
Znak permutacji à oznaczamy symbolem sgn(Ã). JeÅ›li à jest
permutacjÄ… parzystÄ…, to sgn(Ã) = +1, a jeÅ›li nieparzystÄ…, to
sgn(Ã) = -1.
Znak cyklu długości k jest równy (-1)k-1.
Znak złożenia permutacji jest równy iloczynowi znaków tych per-
mutacji:
sgn(Ã1Ã2 . . . Ãm) = sgn(Ã1) sgn(Ã2) . . . sgn(Ãm).
19
Przykład. Znak permutacji
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
à =
3 4 5 6 7 2 1 9 8 10
możemy wyznaczyć na dwa sposoby.
1. NieporzÄ…dki permutacji Ã: (3, 2), (3, 1), (4, 2), (4, 1), (5, 2),
(5, 1), (6, 2), (6, 1), (7, 2), (7, 1), (2, 1), (9, 8). Liczba nieporzÄ…d-
ków: 12, znak permutacji: sgn(Ã) = +1.
2. Rozkład na cykle rozłączne: à = (1357)(246)(89),
sgn(Ã) = sgn(1357) sgn(246) sgn(89) = (-1) · 1 · (-1) = 1.
20