Maszyny elektryczne
Podstawy elektromechanicznego
przetwarzania energii
Dr inż. Jarosław Kozik
Pole elektryczne
Pole elektryczne  stan przestrzeni otaczającej ładunki elektryczne lub zmienne pole magnetyczne
(pole elektryczne może być wywołane przez ładunek elektryczny lub przez zmienne pole
magnetyczne).
W polu elektrycznym na ładunek elektryczny działa siła elektrostatyczna Zwana również
coulombowską (od nazwiska jej odkrywcy - Charlesa Coulomba):
q1 q2
1
F = �"
c
4Ą�
r2
�  przenikalność elektryczna ośrodka,
q1, q2  ładunki elektryczne,
r  odległość między ładunkami.
1 F
- przenikalność elektryczna próżni
�0= �"10-9 [ ]
36Ą m
Jeśli dwa ładunki będą naładowane jednoimiennie (dodatnio lub ujemnie) to siły elektrostatyczne
działąjące na każdy z tych ładunków będą zwrócone tak, że ładunki te będą się odpychały.
Jeśli natomiast ładunki będą przeciwnych znaków, to będą się one przyciągały.
Pole elektryczne
Pole elektryczne przedstawia się obrazowo za pomocą lini sił pola elektrycznego, które
w każdym punkcie przestrzeni są styczne do siły działającej na dodatni ładunek próbny:
W każdym punkcie pola można określić natężenie, które jest stosunkiem siły działającej
na ładunek próbny do wartości tego ładunku:
F
N
c
E = [ =V ]
q C m
Linie sił pola mają swój początek w ładunku (pole elektryczne jest polem z
ródłowym) i
biegną do innych ładunków lub do nieskończoności.
Wraz ze wzrostem odległości od ładunku z
ródłowego natężenie pola maleje.
Pole elektryczne
Potencjał elektryczny w dowolnym punkcie P pola to stosunek pracy wykonanej przez
siłę elektryczną przy przenoszeniu ładunku q z tego punktu do nieskończoności, do
wartości tego ładunku:
W
J
P "
V = [ =V ]
q C
Ponieważ pracę można obliczyć ze wzoru:
"
W = F dr
+"
P " c
P
To potencjał może być przedstawiony jako:
1 Q
V = �"
4Ą� r
Q  ładunek z
ródłowy pola,
r  odległość punktu przestrzeni od ładunku z
ródłowego.
Pole elektryczne
Pomiędzy dwoma punktami pola istnieje napięcie elektryczne, które równe jest rożnicy
potencjałów w tych punktach:
W
P R
U =V -V =
P R
q
Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu
ładunku w tym polu na drodze zamkniętej jest równa zeru.
Szczególnym rodzajem pola elektrycznego jest pole elektrostatyczne, które jest stałe w
czasie (wytworzone przez ładunki znajdujące się w spoczynku).
Również szczególnym rodzajem pola elektrycznego jest pole jednorodne, czyli takie, w
którym natężenie jest jednakowe we wszystkich punktach tego pola (np. Pole wewnątrz
kondensatora).
Pole magnetyczne
Pole magnetyczne  stan przestrzeni, w której siły działają na poruszające się ładunki
elektryczne, a także na ciała mające moment magnetyczny niezależnie od ich ruchu.
Pole magnetyczne definiuje się przez siłę, jaka działa na poruszający się ładunek w tym
polu zwaną siłą Lorentza:
F =q(v�B)
F  siła działająca na ładunek (Lorentza)
q  ładunek
v  prędkość poruszania się ładunku
B  indukcja magnetyczna
Wzór określa, jak siła działająca na ładunek zależy
od pola elektrycznego i pola magnetycznego
(składników pola elektromagnetycznego).
Kierunek działania siły Lorentz'a można określić
stosując regułę prawej dłoni.
Pole magnetyczne
Kolejnymi dwiema wielkościami definiującymi pole magnetyczne są indukcja
magnetyczna B i natężenie pola magnetycznego H.
Indukcję magnetyczną można wyznaczyć z siły Lorentza:
F N
B= [ =T ]
#"q#"�v A�"m
F  siła działająca na ładunek poruszający się prostopadle do wektora indukcji.
Natężenie pola magnetycznego można wyznaczyć ze wzoru (prawo przepływu):
I
."H�"dl="
L
 całka po konturze zamkniętym L,
 suma prądów objętych konturem.
Pole magnetyczne
Jednostką natężenia pola magnetycznego jest [A/m].
Ilość strumienia przypadająca na jednostkę powierzchni określana jest za pomocą
strumienia indukcji magnetycznej:
� =s B ds
,"
Pomiędzy indukcją magnetyczną i natężeniem pola magnetycznego zachodzi związek:
B=ź�"H
ź  przenikalność magnetyczna ośrodka.
W układach magnetycznie liniowych B zależy od H w sposób liniowy (ź = const.),
natomiast w układach nieliniowych (ferromagnetykach) przenikalność zmienia się wraz
ze zmianą natężenia pola.
Pole magnetyczne
Przenikalność magnetyczną ośrodka można wyrazić za pomocą przenikalności
magnetycznej próżni:
ź= źr�"ź0
źr  względna przenikalność magnetyczna,
ź0  przenikalność magnetyczna próżni.
Dla próżni przenikalność magnetyczna wynosi:
H V s
ź0=4Ą�"10-7 [ = ]
m A m
Pomiędzy przenikalnością elektryczną i magnetyczną w próżni zachodzi związek:
1
�0�"ź0=
c2
c  prędkość światła w próżni.
Pole magnetyczne
W zależności od wartości przenikalności względnej materiały można podzielić na:

paramagnetyki (źr e" 1),

diamagnetyki (źr d" 1),

ferromagnetyki (źr jest funkcją H).
Zależność indukcji magnetycznej od natężenia pola magnetycznego dla różnych
rodzjów materiałów:
Pole magnetyczne
Indukcja względna dla różnych materiałów:
Supermalloy 1000000
nikiel 100  600
Nanoperm 80000
platyna 1,000265
Permalloy 8000
aluminium 1,000022
stal elektrotechniczna 4000
drewno 1,00000043
ferryt (niklowo cynkowy) 16 640
powietrze 1,00000037
ferryt (manganowo cynkowy) 640 (i więcej)
miedz
0,999994
stal 100
woda 0,999992
Pętla histerezy
Dla ferromagnetyków występuje zjawisko zwane pętlą histerezy:
Materiały magnetycznie twarde mają dużą pętlę histerezy.
W przypadku rdzeni maszyn i urządzeń wskazane jest aby materiały miały możliwie
wąską pętlę histerezy (dzięki temu występują mniejsze straty energii).
Fala elektromagnetyczna
Fala elektromagnetyczna to energia rozchodząca się w przestrzeni w postaci okresowych
zaburzeń pól elektrycznego i magnetycznego.
Składowa elektryczna i magnetyczna fali indukują się wzajemnie  zmieniające się pole
elektryczne wytwarza zmieniające się pole magnetyczne, a z kolei zmieniające się pole
magnetyczne wytwarza zmienne pole elektryczne.
Każda fala elektromagnetyczna rozchodzi się z tą samą prędkością zwaną prędkością
światła c wynoszącą w próżni 2.99792458 " 108 m/s.
Długość fali oraz jej częstotliwość związane
są zależnością:
c = f " 
gdzie:
f  częstotliwość,
  długość fali.
Spektrum elektromagnetyczne
Każda fala elektromagnetyczna posiada określoną długość, a zbiór fal o różnych
długościach tworzy spektrum (widmo) fal elektromagnetycznych.
W zależności od długości fale elektromagnetyczne podzielić można na następujące
zakresy:

promieniowanie gamma (częstotliwość powyżej 60 Ehz, długość poniżej 5 pm),

promieniowanie rentgenowskie (częstotliwość 30 PHz do 60 EHz, długość 10 nm
do 5 pm),

ultrafiolet (częstotliwość 789 THz do 30 PHz, długość 380 nm do 10 nm),

światło widzialne (częstotliwość 400 THz do 789 THz, długość 780 nm do 380 nm),

podczerwień(częstotliwość 300 GHz do 400 THz, długość 1mm do 780 nm),

mikrofale(częstotliwość 300 MHz do 300 GHz, długość 1 m do 1 mm),

fale radiowe(częstotliwość 300 MHz, długość powyżej 1 m).
Doświadczenie Faradaya
Doświadczenie Faradaya
Obserwacje wynikające z doświadczenia:
Siła elektromotoryczna indukowana jest, gdy strumień magnetyczny sprzężony z cewką
zmienia się w czasie.
Zmiany mogą zachodzić na skutek poruszania się strumienia względem nieruchomej
cewki (a i b) lub na skutek zmiany prądu, który wytworzył strumień, gdy cewki są
nieruchome względem siebie (c).
Wskazówka galwanometru wychyla się w przeciwne strony w zależności od kierunku
poruszania się strumienia (a i b) oraz od tego, czy obwód jest załączany czy wyłączany
(c).
Wielkość wychylenia zależy od szybkości poruszania się strumienia względem cewki
oraz szybkości zmian prądu wywołującego strumień.
Prawo indukcji Faradaya
d�
e=-
dt
�  strumień magnetyczny sprzężony z określonym konturem
e  siła elektromotoryczna (SEM) na całym konturze
Jeśli zostanie zapewniona droga dla przepływu prądu (kontur zamknięty) to powstały
pod wpływem SEM prąd będzie miał taki kierunek, że wytworzony przez ten prąd
strumień będzie skierowany przeciwnie do strumienia obejmowanego przez kontur (stąd
znak minus we wzorze).
Jest to zgodne z regułą Lenza, która mówi że prąd indukcyjny (nazywany też prądem
wtórnym) wzbudzony w przewodniku pod wpływem zmiennego pola magnetycznego,
ma zawsze taki kierunek, że wytworzone wtórne pole magnetyczne przeciwdziała
przyczynie (czyli zmianie pierwotnego pola magnetycznego), która go wywołała.
Siła elektrodynamiczna (Amper'a)
F =I (l�B)=I�" #"B#"�"sin ą
#"l#"�"
F  siła działająca na przewód z prądem (Amper'a),
I  prąd w przewodzie,
l  długość przewodu,
B  indukcja magnetyczna,
ą  kąt pomiędzy wektorami l i B.
W przypadku gdy wartość indukcji zmienia się na długości przewodu, należy skorzystać
ze wzoru:
F = (dl� B)
+"I
Kierunek działania siły można określić korzystając z reguły trzech palców lewej dłoni:
Pole wokół przewodnika z prądem
Każdy przewód przewodzący prąd elektryczny wytwarza wokół siebie pole
magnetyczne, którego kierunek można wyznaczyć za pomocą reguły prawej dłoni lub
śruby prawoskrętnej.
Odzdziaływanie przewodników z prądem
Zgodnie z regułą trzech palców lewej dłoni przewodniki przewodzące prądy będą się
przyciągać, gdy w obu z nich prądy będą miały ten sam kierunek, a odpychać, gdy
kierunki będą przeciwne.
Siły na granicy ferromagnetyk - powietrze
Większość konstrukcji maszyn elektrycznych wykonana jest z użyciem
ferromagnetyków, głównie stopów żelaza. W takich układach większość sił powstaje
przy granicy ferromagnetyk - powietrze, a nie jako siła na przewód z prądem.
Ciśnienie magnetyczne na granicy ferromagnetyk  powietrze wynosi:
źr-1
1 1 1 1
pm= ( - )(Bon2+źr Bot 2)= ( )( Bon2+ źr Bot 2)
2 ź0 źFe 2ź0 źr
Bon, Bot  składowe: normalna i styczna indukcji magnetycznej w powietrzu,
ź0 , źFe  przenikalność magnetyczna w powietrzu i w żelazie
W maszynach elektrycznych przewody z prądem umieszczane są zwykle w żłobkach
otoczonych zębami z żelaza, a ponieważ przenikalność magnetyczna żelaza jest dużo
większa niż powietrza, zdecydowana większość stumienia zamyka się poprzez zęby.
Zatem pole bezpośrednio wokół przewodów ma małą wartość i siła elektrodynamiczne
jest niewielka.
Równania Maxwella
d�
prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya
E�"dl=-
."
L
dt
prawo przepływu
I
."H�"dl="
L
prawo Gaussa dla elektryczności
D�"ds= q
/" "
s
prawo Gaussa dla magnetyzmu
B�"ds=0
/"
s
Energia w polu magnetycznym
W przestrzeni, w której występuje pole magnetyczne, w elemencie objętości zawarta jest
energia równa:
dW =(
+"H�"dB)dV
Całkowitą energię oblicza się całkując po interesującej objętości.
Energia ta ma charakter konserwatywny tzn. może być przetworzona na inną (np.
mechaniczną), teoretycznie bez strat.
W polu elektromagnetycznym, (gdy równocześnie istnieje pole elektryczne i związane z
nim magnetyczne) energia przemieszcza się.
Gęstość powierzchniowa mocy (dla ośrodka magnetycznie liniowego) wynosi:
S =E� H
E �H
Wyrażenie nosi także nazwę wektora Poyntinga.
Energia w polu magnetycznym
Energia zawsze ma jakiś rozkład w przestrzeni i w konsekwencji gęstość przestrzenną.
W technice jednak często interesująca jest tylko jej sumaryczna wartość w określonej,
ograniczonej przestrzeni.
Pola magnetyczne i elektryczne formalnie nie są ograniczone, lecz praktycznie daje się
zawsze ograniczyć obszar, poza którym energia jest pomijalnie mała.
Energia zawarta w tym obszarze, jako całość, jest związana z natężeniem prądu lub
prądów, które wzbudziły to pole magnetyczne.
Energia w układach elektromechanicznych
W przypadku układów elektromechanicznych występują cztery rodzaje magazynów
(konserwatorów) energii potencjalnej:

masa w polu grawitacyjnym,

sprężyna,

sprężyna skrętna,

kondensator.
Energia zmagazynowana w tych elementach jest równa pracy wykonanej przez siłę
uogólnioną F na drodze dq:
q
E = F dq
+"
p
0
q  współrzędna uogólniona.
Energia w układach elektromechanicznych
Siłami uogólnionymi mogą być:

siła mechaniczna,

moment obrotowy,

napięcie.
Współrzędnymi uogólnionymi mogą być:

położenie,

kąt,

ładunek.
x
E = mg dx =mgx
+"
p
0
Energia w układach elektromechanicznych
x
E = kxdx =1 kx2
+"
p
2
0
Ć
1
E = KĆ dĆ= KĆ2
+"
p
2
0
Q
Q Q2
E = dQ=
+"
p
C 2C
0
Energia w układach elektromechanicznych
Ponadto w układach elektromechanicznych występują trzy rodzaje magazynów
(konserwatorów) energii kinetycznej:

masa w ruchu postępowym,

masa w ruchu obrotowym,

induktor.
Energia zmagazynowana w tych elementach jest równa pracy wykonanej przez siłę
uogólnioną F na drodze dq:
q
E = F dq
+"
p
0
q  współrzędna uogólniona.
Charakterystyka magazynu energii kinetycznej to zależność uogólnionego pędu od
uogólnionej prędkości.
Energia w układach elektromechanicznych
Pędem uogólnionym mogą być:

pęd w przypadku ruchu postępowego,

moment pędu (kręt) w przypadku ruchu obrotowego,

strumień sprzężony w przypadku induktora.
Prędkością uogólnioną mogą być:

prędkość w przypadku ruchu postępowego,

prędkość kątowa w przypadku ruchu obrotowego,

prąd w przypadku induktora.
Miarą bezwładności jest:

masa w przypadku ruchu postępowego,

moment bezwładności w przypadku ruchu obrotowego,

indukcyjność w przypadku induktora.
Energia w układach elektromechanicznych
Prędkość uogólniona jest pochodną współrzędnej uogólnionej po czasie, a pęd
uogólniony jest iloczynem bezwładności i prędkości uogólnionej.
Można zatem napisać (kropka nad zmienną oznacza pochodną po czasie):
q t t p
dq dp
E = F dq= F dt= q dt = q dp
+" +" +" Ł +" Ł
k
dt dt
0 0 0 0
Z powyższego wynika, że energia kinetyczna jest równa całce z prędkości uogólnionej
względem pędu uogólnionego.
Oprócz energii kinetycznej definiuje się też koenergię kinetyczną:
q
Ł
E = p q-E = p d q
Ł +" Ł
ko k
0
Energia w układach elektromechanicznych
�
1
E = m � d �= m �2
+"
ko
2
0
Ć
Ł
1
E = J Ć d Ć= J Ć2
+" Ł Ł Ł
ko
2
0
Ł
Q
Ł Ł Ł
E =
+"L Q d Q= 1 L Q2
ko
2
0
Równanie Eulera - Lagrange'a
Niektóre współrzędne mogą być ze sobą związane pewnymi więzami (np. w postaci
równań).
Jeśli są to więzy pomiędzy pochodnymi współrzędnych i są one całkowane to nazywa
się takie więzy holonomicznymi, a układy zawierające takie więzy nazywa się układami
z więzami holonomicznymi.
Funkcja Lagrange'a układu z więzami holonomicznymi to różnica sumy koenergii
kinetycznych oraz sumy energii potencjalnych wszystkich elementów układu:
Ł= E - E
" "
ko p
Na podstawie funkcji Lagrange'a można zapisać równania układu dla każdej zmiennej
uogólnionej:
d " Ł " Ł
( )- = Fi-Fdi
dt " qi " qi
Ł
Fdi  -ta siła dyssypacji.
Równanie Eulera - Lagrange'a
Siłami dyssypacji mogą być:

tłumienie (D"v),

moment tłumienia (D"�),

spadek napięcia na rezystancji (R"i).
Aby otrzymać równania opisujące układ elektromechaniczny należy zapisać funkcję
Lagrange'a a następnie rozwiązywać równanie Eulera  Lagrange'a względem każdej ze
współrzędnych uogólnionych.
Równanie Eulera - Lagrange'a
Przykład 1:
L(Ć) = Lśr + "L"cos2Ć
W układzie znajdują się dwa magazyny energii kinetycznej (induktor i masa w ruchu
obrotowym) oraz brak jest magazynów energii potencjalnej.
Funkcja Lagrangea będzie mieć zatem postać:
1 1
Ł
Ł = J ĆŁ2+ L(Ć)q2
2 2
Równanie Eulera - Lagrange'a
Przykład 1 - c.d.:
Równanie Eulera  Lagrange'a dla współrzędnej elektrycznej ma postać:
d " Ł " Ł
( )- =U - R�"q
Ł
dt " q "q
Ł
Dla współrzędnej mechanicznej równanie ma postać:
d " Ł " Ł
( )- =T - D�"Ć
Ł
dt " Ć " Ć
Ł
Równanie Eulera - Lagrange'a
Przykład 1 - c.d.:
Dla współrzędnej elektrycznej:
d
( L(Ć)�"q)-0=U -R�"q
Ł Ł
dt
" L
�"Ć�"q+L(Ć)q+R�"q=U
Ł Ł � Ł
" Ć
di
-2�"" L�"sin2Ć�"��"i+(Lśr+" L " cos2Ć) +R�"i=U
dt
Dla współrzędnej mechanicznej:
d q2
Ł
( J Ć)- �"" L =T -D Ć
Ł Ł
dt 2 " Ć
d�
J +D�=T -i2�"" L�"sin2Ć
dt
Równanie Eulera - Lagrange'a
Przykład 1 - c.d.:
Jeśli pominie się tłumienie (D=0) to równanie mechaniczne przyjmuje postać:
d�
J =T -i2�"" L�"sin2Ć
dt
Jest to II zasada dynamiki Newtona (dla ruchu obrotowego):
d�
J =T +T
em
dt
Moment elektromagnetyczny rozwijany przez przetwornik wynosi:
T =-i2�"" L�"sin2Ć
em
Równanie Eulera - Lagrange'a
Przykład 2:
L13(Ć) = Lmx"cosĆ
L23(Ć) = Lmx"sinĆ
W układzie znajdują się cztery magazyny energii kinetycznej (3 induktory i masa w
ruchu obrotowym) oraz brak jest magazynów energii potencjalnej.
Strumień sprzężony z każdym z induktorów jest sumą strumienia własnego i strumienia
pochodzącego od pozostałych induktorów.
Funkcja Lagrangea będzie mieć zatem postać:
1 1 1 1 1 1 1
Ł = J Ć2+ L1 q1 2+ L2 q22+ L3 q3 2+ L12q1 q2+ L13 q1q3+ L23 q2 q3
Ł Ł Ł Ł Ł Ł Ł Ł Ł Ł
2 2 2 2 2 2 2
Równanie Eulera - Lagrange'a
Przykład 2 - c.d.:
Jeśli uzwojenia 1 i 2 są takie same to L1=L2 (i oznaczmy jako Ls).
Ponieważ uzwojenia 1 i 2 są ustawione geometrycznie pod kątem 900 strumień
wytworzony przez jedno z nich nie jest sprzęgnięty z drugim, zatem L12=0.
Po uwzględnieniu powyższego funkcja Lagrangea będzie mieć postać:
1 1 1 1 1 1
Ł = J Ć2+ Ls q12+ Ls q22+ L3 q3 2+ Lmxcos Ć q1 q3+ Lmxsin Ć q2 q3
Ł Ł Ł Ł Ł Ł Ł Ł
2 2 2 2 2 2
Równanie Eulera  Lagrange'a dla pierwszej fazy stojana:
d " Ł " Ł
( )- =U -R1�"q1
Ł
1
dt " q1 " q1
Ł
di1 di3
Ls -Lmx sin �"��"i3+ Lmxcos �" + R1�"i1=U
1
dt dt
Równanie Eulera - Lagrange'a
Przykład 2 - c.d.:
Jeśli uzwojenia 1 i 2 są takie same to L1=L2 (i oznaczmy jako Ls).
Ponieważ uzwojenia 1 i 2 są ustawione geometrycznie pod kątem 900 strumień
wytworzony przez jedno z nich nie jest sprzęgnięty z drugim, zatem L12=0.
Po uwzględnieniu powyższego funkcja Lagrangea będzie mieć postać:
1 1 1 1 1 1
Ł = J Ć2+ Ls q12+ Ls q22+ L3 q3 2+ Lmxcos Ć q1 q3+ Lmxsin Ć q2 q3
Ł Ł Ł Ł Ł Ł Ł Ł
2 2 2 2 2 2
Równanie Eulera  Lagrange'a dla pierwszej fazy stojana:
d " Ł " Ł
( )- =U -R1�"q1
Ł
1
dt " q1 " q1
Ł
di1 di3
Ls -Lmx sin �"��"i3+ Lmxcos �" + R1�"i1=U
1
dt dt
Równanie Eulera - Lagrange'a
Przykład 2 - c.d.:
Równanie Eulera  Lagrange'a dla drugiej fazy stojana:
d " Ł "Ł
( )- =U -R2�"q2
Ł
2
dt " q2 " q2
Ł
di2 di3
Ls -Lmx cos �"��"i3+Lmx sin �" + R2�"i2=U
2
dt dt
Równanie Eulera  Lagrange'a dla wirnika:
d " Ł " Ł
( )- =U -R3�"q3
Ł
3
dt " q3 " q3
Ł
di3 di1 di2
L3 - Lmxsin �"��"i1+Lmxcos�" + Lmx cos�"��"i2+ Lmxsin �" +R3�"i3=U
3
dt dt dt
Równanie Eulera - Lagrange'a
Przykład 2 - c.d.:
Równanie mechaniczne:
d " Ł " Ł
( )- =T -D�"Ć
Ł
dt " Ć " Ć
Ł
J �+ Lmxsin �"i1�"i3- Lmxcos �"i2�"i3+D �=T
Ł
Moment elektromagnetyczny rozwijany przez przetwornik:
T =-Lmx sin �"i1�"i3+ Lmx cos�"i2�"i3
em
Moment bezwładności
Moment bezwładności punktu materialnego względem jakiejś osi obrotu jest równy:
J =m�"r2
m  masa punktu,
r  odległość punktu od osi obrotu,
W przypadku ciała należy dokonać sumowania po wszystkich punktach materialnych
wchodzących w skład ciała:
n
J = mi�"ri2
"
i=1
Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy powyższy wzór przyjmuje postać:
J =V 2�"dm
+"r
[kg�"m2]
Jednostką momentu bezwładności jest
Moment bezwładności
Przykłady obliczania momentu bezwładności (względem osi symetrii):
1. Rura cylindryczna
Całkować należy po powierzchniach zawierających punkty jednakowo odległe od osi
obrotu, zatem po wydrążonych cylindrach o grubości dr i objętości dV.
dV = 2"Ą"r"dr"h
dm = �"dV = 2"Ą"�"r"dr"h
r2 r
2
J =V r2�"dm= r2�"2�"Ą�"��"r�"h�"dr=2�"Ą�"��"h�" r3�"dr
+" +" +"
r1 r
1
r4-r4 r2+r2 1
1
1 2 1 2 2
J =Ą�"��"h�" = ��"Ą�"h�"(r2-r2)�" = �"��"V�"(r1+r2)= �"m�"(r2+r2)
1 2 2 1 2
2 2 2 2
Moment bezwładności
Przykłady obliczania momentu bezwładności  c.d.:
2. Walec
Walec traktować można jako rurę, w której promień wewnętrzny wynosi 0 (zero). Zatem
całkować należy od 0 do r.
r
1�"m�"r
2
J =2�"Ą�"��"h�" r3�"dr=
+"
2
0
3. Dwa połączone ze sobą walce (jak na rysunku)
W przypadku bryły złożonej z większej liczby brył
prostych moment bezwładności jest sumą momentów
bezwładności poszczególnych brył:
1 1
J =J +J = �"m1�"r2+ �"m2�"r2
1 2 1 2
2 2
Moment bezwładności
Przykłady obliczania momentu bezwładności  c.d.:
3. Sprzęgło
Jest to element złożony i dokładne obliczenie momentu bezwładności jest dość trudne;
najczęściej przyjmuje się pewne uproszczenia i można sprzęgło potraktować np. jako
dwie rury cylindryczne.
1 1
2
J =J +J = �"m�"(r1+R2)+ �"m�"(r2+R2)
1 2 2
2 2
Twierdzenie Steinera
Twierdzenie Steinera stosuje się w przypadku, gdy należy obliczyć moment
bezwładności bryły obracającej się wokół osi innej, niż oś symetrii bryły.
J =J +m�"d
0
J0  moment bezwładności względem osi symetrii,
d  odległość osi symetrii od osi obrotu,
m  masa bryły.
SEM transformacji i rotacji
Zjawisko indukcji elektromagneytcznej występuje gdy zachodzi zmiana w czasie
strumienia sprzężonego z konturem (uzwojeniem).
Zmiana tam może być wywołana poprzez:

prąd zmienny płynący w uzwojeniu własnym (indukcja własna) lub w uzwojeniu
obcym (indukcja wzajemna),

ruch uzwojenia względem strumienia.
Zatem strumień sprzężony z konturem jest funkcją czasu oraz położenia:
� =� (t , x)
Ponadto położenie również jest funkcją czasu:
x= x(t)
SEM transformacji i rotacji
Siła elektromotoryczna po uwzględnieniu powyższych zależności ma postać:
d� (t , x (t)) "� "� dx
e=- =-( + �" )
dt " t " x dt
Pierwszy ze składników powyższej sumy nosi nazwę siły elektromotorycznej (napięcia)
transformacji (z uwagi na występowanie tego zjawiska w transformatorach):
" �
etransformacji=-
" t
Drugi składnik nosi nazwę siły elektromotorycznej (napięcia) rotacji :
"� dx
erotacji=- �"
" x dt
Obwody sprzężone magnetycznie
W przypadku uzwojeń sprzężonych magnetycznie, będących w spoczynku względem
siebie siły elektromotoryczne w każdej z nich będą miały postać:
d�
1
ą
dt
L11 ą L12 ą L13 i1
e1
d
d�
2
= �"
ą L21 L22 ą L23
e2 = i2
ą
dt
dt
[ ]
[ ] [ ]
ą L31 ą L32 L33
e3 i3
d�
3
[ ]
ą
dt
Obwody elektryczne vs obwody magnetyczne
Pomiędzy obwodami elektrycznymi i magnetycznymi istnieje pewna analogia;
poszczególne wielkości mają swoje odpowiedniki w obu typach obwodów:
Obwód elektryczny Obwód magnetyczny
Napięcie - U Przepływ - Ś
Prąd - I Strumień - Ś
Rezystancja - R Reluktancja Rź
Obwody magnetyczne
Obliczenie przepływu opiera się na prawie przepływu (jednym z praw Maxwella):
I = Ś
."H�"dl="
L
Dla liczby zwojów równej z przepływ będzie równy I"z.
Całka okrężna z wektora H po krzywej zamkniętej L jest równa H"L jeśli wartoć
natężenia nie zmienia się na drodze całkowania; w przypadku rysunku na poprzednim
slajdzie na drodze strumienia występują dwa ośrodki: żelazo (rdzeń) i powietrze
(szczelina), zatem wynik całkowania będzie równy:
Ś = HFe" lFe + H�" l� .
HFe , H� - natężenie pola odpowiednio w żelazie i w powietrzu,
lFe , l� - średnia droga strumienia odpowiednio w żelazie i w powietrzu,
W przypadku takim jak na rysunku średnia droga strumienia przebiegać będzie tak jak
to oznaczono kolorem bordowym.
Obwody magnetyczne
Reluktancję (opór magnetyczny) obliczyć można ze wzoru:
l
Rź=
ź�"s
Dla obwodów elektrycznych istnieje analogiczny wzór do obliczania rezystancji:
l
ł  konduntywność (przewodność)
R=
ł�"s
W obwodach elektrycznych prawo Ohma ma postać:
U
R
UR  spadek napięcia na rezystancji R
R=
I
W obwodach magnetycznych analogiczne prawo jest postaci:
ŚR
ŚR  spadek napięcia magnetycznego na reluktancji R
Rź=
Ś
Obwody magnetyczne
Dla obwodów elektrycznych napięciowe prawo Kirchoffa ma postać:
U =0 Suma napięć w oczku jest równa zero
"
Natomiast prądowe prawo Kirchoffa obwodów elektrycznych ma postać:
I=0 Suma prądów w węz
le jest równa zero
"
W obwodach magnetycznych stosuje się analogiczne prawa:
Suma przepływów w oczku jest równa zero
Ś=0
"
Suma strumieni w węz
le jest równa zero
Ś=0
"
Obwody magnetyczne
Suma przepływów w oczku jest równa zero Ś1 - Ś2 - ŚR = 0
Suma strumieni w węz
le jest równa zero Ś1 + Ś2 - Ś3 = 0
Obwody magnetyczne
Przykłady obliczeń:
Przykład 1:
Obliczyć prąd wymagany do wytworzenia w cewce powietrznej (bezrdzeniowej) o
przekroju okrągłym strumienia o wartości 0,005 Vs. Parametry cewki: średnica d=5cm,
długość l=15cm, liczba zwojów z=100.
V
Ś Ś 4�"0,005 s
Ś=s B ds= B�"s B= = = [ ]=2,55[T ]
,"
2
s
Ą�"d Ą�"0,052 m2
4
B B 2,55 T A
B=ź�"H H = = = [ ]=2030254[ ]
ź źr�"ź0 1,00000037�"4Ą�"10-7 H m
m
H�"l 2030254�"0,15 A
Ś= I�"z=H�"l I = = [ �"m]=3045[ A]
z 100 m
Obwody magnetyczne
Przykład 2:
Dla elektromagnesu jak na rysunku poniżej obliczyć liczbę zwojów uzwojenia
magnesującego, jeżeli rdzeń wykonano ze stali transformatorowej, a zworę ze staliwa.
Wymagana wartość strumienia magnetycznego wynosi 0,0022 Vs. Natężenie prądu w
uzwojeniu powinno wynosić 3 A. Przerwa w szczelinie powietrznej wynosi 2 mm po
obu stronach rdzenia.
Obwody magnetyczne
Przykład 2 - c.d.:
Krzywe odmagnesowania dla stali
V
transformatorowej i staliwa:
Ś 0,0022 s
Br= = [ ]=1,375[T ]
sr 0,04�"0,04
m2
V
Ś 0,0022 s
Bz= = [ ]=1,1[T ]
sz 0,04�"0,05
m2
V
Ś 0,0022 s
B�= = [ ]=1,375[T ]
s� 0,04�"0,04
m2
Wartości natężenia pola w poszczególnych elementach rdzenia odczytane z krzywej
odmagnesowania:
Hr = 1900 [A/m] Hz =800 [A/m]
Obwody magnetyczne
Przykład 2  c.d.:
Natężenie pola w szczelinie:
B�
1,375 A A
H = = [ ]=1094744[ ]
�
źr�"ź0 1,00000037�"4Ą�"10-7 m m
Średnie drogi strumienia w każdym z elementów obwodu:
lr=2�"(0,12+0,02)+0,06+0,02+0,02[m]=0,38[m]
l =2�"0,025+0,06+0,02+0,02[m]=0,15[m]
z
l�=�=0,002[m]
Przepływ:
Ś=H �"lr+H �"l +2�"H �"l�=722+120+2�"2189,5[ A]=5221[ A]
r z z �
Obwody magnetyczne
Przykład 2  c.d.:
Obliczenie liczby zwojów:
Ś 5221
Ś=I�"z= z= = =1740
I 3
W celu uzyskania wymaganego strumienia przy zakładanym prądzie należy użyć cewki
złożonej z 1740 zwojów.
Jak można zauważyć zdecydowanie największe natężenie pola występuje dla szczeliny
powietrznej i pomimo jej niewielkich wymiarów (znacznie mniejsza długość niż w
przypadku pozostałych składników magnetowodu) wpływa ona w sposób bardzo istotny
na całkowity przepływ.
Zatem w konstrukcjach przetworników należy dążyć do jak najmniejszych szczelin
powietrznych.
Dzięki temu można zredukować ilość zwojów i/lub prąd płynący w cewce.
Przepływ w przetwornikach obrotowych
Przykład  przetwornik obrotowy o jednym zezwoju wzbudzającym pole:
B C D A
H�"dl= H�"dl+ H�"dl+ H�"dl+ H�"dl
." +" +" +" +"
L
A B C D
Ponieważ przenikalność magnetyczna żelaza jest dużo
większa od przenikalności magnetycznej powietrza
spadki napięcia magnetycznego w żelazie zazwyczaj
pomija się i w przepływie uwzględnia się tylko spadki
w szczelinie powietrznej:
B D
Ś= H�"dl- H�"dl= H �"�(0)-H �"�(ą)
+" +"
B C
A C
HB , HC  natężenie pola przy powierzchni rdzenia
zewnętrznego,
�(ą)  szerokość szczeliny w miejscu oddalonym o kąt
ą od położenia zerowego
Przepływ w przetwornikach obrotowych
Przepływ w zależności od kąta można zapisać w następujący
Ś(ą)=H (0)�"�(0)-H (ą)�"�(ą)
Na podstawie powyższego można zapisać:
H (0)�"�(0)-Ś (ą)
H (ą)=
�(ą)
Przebieg funkcji Ś(ą) wygląda następująco:
Przepływ w przetwornikach obrotowych
W celu wyznaczenia indukcji w szczelinie powietrznej należy skorzystać z prawa
Gaussa:
B�"ds=0
/"
s
Na podstawie powyższego można zapisać:
2Ą 2Ą 2Ą
B (ą)�"dą= ź�"H (ą)�"dą= ź�"H (0)�"�(0)-Ś (ą)�"dą=0
+" +" +"
�(ą)
0 0 0
Permeancja (przewodność magnetyczna) wyraża się wzorem:
ź
 (ą)=
�(ą)
Zatem po podstawienu otrzymuje się:
2Ą 2Ą
H (0)�"�(0)�" (ą)�"dą- (ą)�"Ś(ą)�"dą=0
+" +"
0 0
Przepływ w przetwornikach obrotowych
Przekształcając wzór z poprzedniej strony możan zapisać:
2Ą
(ą)�"Ś(ą)�"dą
+"
0
H (0)�"�(0)=
2Ą
+" (ą)�"dą
0
Indukcja w szczelinie wynosić będzie zatem:
2Ą
(ą)�"Ś (ą)�"dą
+"
ź�"H (0)�"� (0)-Ś(ą)=-(ą)�"(Ś (ą)- 0
B(ą)= ź�"H (ą)= )
2Ą
�(ą)
(ą)�"dą
+"
0
Przepływ w przetwornikach obrotowych
Przykład  przetwornik obrotowy o trzech zezwojach wzbudzających pole:
Przepływ w przetwornikach obrotowych
Przykład  przetwornik obrotowy o pojedynczym uzwojeniu symetrycznym
dwubiegunowym:
Dziękuję za uwagę