Rozwiązania zbiorów zadań z fizyki.
Wersja opracowania  1.3
Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2008/2009
SEMESTR A
Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym z
ródłem informacji!!!
W związku z tym ich poprawność jest wątpliwa i w przypadku ewentualnych błędów proszę zgłaszać poprawki do autora.
(dane kontaktowe na końcu opracowania)
1
Spis: strony
Gwoli wstępu
Reguła prawej ręki 1
Macierze 4
Pochodne 6
Semestr A:
Inżynieria Biomedyczna, zestaw nr 1 - wektory, pochodne, kinematyka 17-20
- wektory (zadania 1, 2, 3)
- pochodne (8, 9)
- kinematyka (zadania 4, 5, 6, 7, 9)
MSiB, Inżynieria Biomedyczna, grupy 2 i 3, zestaw nr 2 - kinematyka. 21-25
Inżynieria Biomedyczna, zestaw nr 3 - kinematyka cd. + dynamika. 25
- kinematyka (1 do 6) 25-29
- dynamika (7 do 15) 29-35
Inżynieria Biomedyczna, zestaw nr 4 - dynamika c.d., układy nie inercjalne. 36
- kinematyka (zadania 1 do 4) 36-41
- układy nie inercjalne (zadania 5 do 13) 39-45
Inżynieria Biomedyczna, zestaw nr 5 - bryła sztywna, zas. zachowania, zderzenia 45
- bryła sztywna (zadania 1 do 4) 45-48
- zasada zachowania (zadania 6 do 16) 49-54
- zderzenia (6, 8 do 13)
Inżynieria Biomedyczna, zestaw nr 6 - drgania, grawitacja 54
- drgania (zadania od 1 do 8, 11, 12)
- grawitacja (zadania 9 do 15) 58-61
Inżynieria Biomedyczna, zestaw nr 7 - fale mechaniczne, hydrodynamika, mechanika relatywistyczna 61
- fale mechaniczne (zadania 1 do 4) 61-63
- hydrodynamika (zadania 5 do 9) 63-66
- mechanika relatywistyczna (zadania 10 do 12) 66-67
Zadania nierozwiÄ…zane
A2.4, A2.6,
A3.2, A3.5, A3.7, A3.10 (dwie pozostałe części), A3.12, A3.14
A4.2, A4.5, A4.11, A4.12-2,
A5.1, A5.10, A5.11, A5.12, A5.13, A5.16,
A6.2, A6.5, A6.6, A6.8, A6.12, A6. 13, A6.14, A6.15
A7.1, A7.9, A7.11, A7.12
2
Gwoli wstępu
Na sam początek witam bardzo gorąco w moim opracowaniu. Mam nadzieję, że pomoże Ci ono przejść swobodnie przez
zawiłe i kręte (jak i również okrutnie perfidne) ścieżki podstaw fizyki. Sprawa wydaje się być na sam początek przerażająca, a z
autopsji wiemy, że najbardziej przeraża tych, którzy z fizyką mieli bardzo niewiele do czynienia w okresie licealnym (czytaj 
profile biologiczno-chemiczne i inne pochodne bez jakichkolwiek matematyczno-fizycznych podstaw). Wiadomością dobrą jest
natomiast fakt, że da się to wszystko w jakiś sposób przejść (lepszy czy gorszy to już mniejsza z tym).Opracowanie to będzie z
czasem wciąż rozwijane (mam nadzieję), więc wszelakie błędy bądz
niejasności proszę kierować bezpośrednio do autora, do
którego namiary są podane na samym końcu. Na początek naszych rozważań fizycznych zajmiemy się regułą śruby oraz
obliczaniem wyznaczników macierzy 3 na 3. Następnie przejdziemy do wyjaśnienia sensu pochodnych, co powinno Wam,
czytającym, rozjaśnić w pewnym stopniu niektóre problemy. Uprzedzam natomiast przed zbytnią pewnością siebie  naukę
warto zacząć od najbardziej podstawowych rzeczy. Jeśli nie ma się podstaw, to trudno zrozumieć bardziej skomplikowane
zagadnienia. Proszę również nie traktować podanych tu informacji jako rzetelnego z
ródła informacji  większość z nich nie jest
zbyt mocno ugruntowanych naukowo. Część z przedstawionych tutaj rozwiązań problemów jest jedynie po to, by łatwiej
zrozumieć, bądz
znalez
ć właściwą drogę w nauce danych zagadnień. Pozdrawiam.
REGUA
A PRAWEJ R
KI/REGUA
A ÅšRUBY PRAWOSKR
TNEJ
Na samym początku rozważań o rachunku na wektorach pojawia się pojęcie reguły prawej ręki (zwane też regułą śruby
prawoskrętnej). Osobiście preferuję prawą rękę, bowiem zawsze miałem problem z kierunkami w przykręcaniu i odkręcaniu
różnych rzeczy (z wiekiem ofc nauczyłem się, że standardowe zakręcanie jest w kierunku ruchu wskazówek zegara, ale nie o
tym teraz). W pewnym momencie na naszej drodze pojawia się jakże wdzięczny iloczyn wektorowy. W przeciwieństwie do
iloczynu skalarnego, iloczyn wektorowy daje po obliczeniu wektor. No ale teraz pytanie  w którą stronę ma ten wektor biec?
Znamy jego długość, ale nie znamy jego kierunku& No i załamanie nerwowe, bo ledwo się wzięło książkę do ręki, a już sytuacja
patowa. RozwiÄ…zanie jest stosunkowo proste  nie idziemy od razu po wyciÄ…g z dziurawca, tylko bierzemy siÄ™ do roboty.
Generalnie iloczyn wektorowy wygląda w następujący sposób:
× =
W mądrych książkach jest również często zapisane jak policzyć moduł, bądz
po prostu długość takiego wektora:
= cos
Gdzie kąt to kąt między wektorem a i b. No to skoro mamy już wyliczone jakiej długości ma być ten wektor, to teraz pytanie,
w jaką stronę jest on zwrócony? Z definicji wiemy, iż wektor ma być prostopadły zarówno do wektora jak i , a więc można
to sobie wyobrazić, że będzie biegł albo do góry, albo w dół w stosunku do płaszczyzny tworzonej przez wektory i .
By dokładniej dowiedzieć się, w którą stronę będzie biegł nasz wektor, używamy wtedy reguły prawej dłoni. Narysuj na kartce
wektor i , a następnie połóż otwartą dłoń wzdłuż wektora . Zauważ, że zamykając dłoń w kierunku wektora , kciuk
wskazuje do góry (oÅ› z). To jest kierunek naszego wektora . GdybyÅ›my liczyli iloczyn wektorowy × , to otrzymalibyÅ›my
wektor tej samej dÅ‚ugoÅ›ci, lecz o przeciwnym kierunku (w dół). Możemy to zapisać, że skoro × = , to × = - .
3
Jako taką marginalną ciekawostkę można podać, iż długość wektora jest również polem figury czworobocznej jaką tworzą te
dwa wektory ze sobÄ…:
MACIERZE
Co prawda rozwiązywanie macierzy tą metodą zostało opisane w podpunkcie i) zadania A4.1, ale ponieważ zagadnienie
pojawia się już na początku, więc zostanie ono ponownie wytłumaczone. W przypadku obliczania iloczynu wektorowego
× = możemy otrzymać dwa wektory o trzech współrzÄ™dnych = ( ; ; ) oraz = ( ; ; ). Wtedy
rozwiązanie problemu się nie co komplikuje, bowiem obliczenie modułu (długości wektora) nie niesie za sobą wiele informacji.
Oczywiście moduł możemy obliczyć, obliczając najpierw długość wektora , póz
niej , a na końcu podstawiając do wzoru z
| |
cosinusem, ale jest to dość mało praktyczne (długość wektora obliczamy według wzoru = + + ). W celu
uzyskania w wyniku dokładnych współrzędnych wektora , musimy użyć macierzy, co wygląda w sposób następujący:
   
=
= 1 3 -1
1
5 0
2
Naszą macierz wyliczymy obok, na przykładzie wektorów = (1 ; 3 ; -1) oraz = (5 ; ; 0) (zaznaczam, iż wektor można
zapisać również w taki sposób - = (5 ; ); wtedy w miejsce brakującej współrzędnej z wstawiamy zero). Takie dziwadło liczy
się w sposób następujący  na sam początek przepisujemy dwa górne wiersze na dół macierzy:
4
Następnie mnożymy na skos po trzy wyrażenia macierzy tak jak na ilustracji poniżej dodając je do siebie (oczywiście nie należy
zapominać o tym, że ten znak równości między macierzą a wypisanymi po prawej wyrazami nie jest poprawny  lewa strona
JESZCZE nie jest równa prawej!):
A teraz robimy to samo, tylko w drugą stronę i nie dodając, lecz odejmując poszczególne elementy od siebie (teraz już lewa
strona jest równa prawej):
W konsekwencji, po przemnożeniu wszystkiego otrzymujemy następujące wyrażenia:
 
= = ( - ) + ( - ) + ( - )
 
1 1
= 1 3 -1 = - 5  - 15 +  = 0,5  - 5  - 14,5 = (0,5 ; -5 ; -14,5)
1
2 2
5 0
2
W tym miejscu zaznaczam, iż 0,5 = , i że OBA na pewno są tym samym i nikomu nie robi różnicy w jaki sposób się to zapisze.
,  oraz , to tak zwane wersory, inaczej wektory jednostkowe (oznaczane daszkiem, a nie strzałką  w dalszej części
oznaczenie jest strzałkowe, za co przepraszam :P ). Są one po to, byśmy mogli się w prosty sposób zorientować we
współrzędnych wyliczonego wektora (zwróć uwagę na sam koniec wyrażenia  jest tam wynik podany w okrągłych nawiasach
współrzędnych x, y i z, czyli wersor i jest dla osi x, wersor j dla y i wersor k dla osi z).
5
POCHODNE
Na samym początku zagadnienie to lubi sprawiać wiele kłopotu, aczkolwiek nie ma się co przerażać na zaś i lepiej do problemu
podejść racjonalnie i spokojnie. Rozpoczynając nasze rozważania dobrze by było przyswoić sobie (albo przynajmniej mieć pod
ręką) tabelkę z podstawowymi pochodnymi różnych funkcji. Uzasadnienie dlaczego tak, a nie inaczej pojawi się w mocno
okrojonej i ogólnej wersji w przypadku funkcji sinus w dalszej części.
Pierwsze pytanie, jakie powinniśmy sobie zadać to co to w ogóle jest zmienna? Zmienna jest to najczęściej ten nasz , za
którego podstawiamy najróżniejsze wartości. Oczywiście w przypadku funkcji = 3 + 5, zmienną jest również wartość ,
( )
która zależy od wartości , co możemy zapisać jako ( ) (czyli = = 3 + 5 - inaczej unkcja od , zależne od
wartości ). Zmienną może być każda dowolna literka jaką tylko oznaczymy jako zmienną. Należy jednak w tym miejscu
podkreślić, iż zwyczajowo jako stałe oznacza się litery , , , etc. (najczęściej od , czyli  stała ). Teraz powstaje
pytanie, jak oznacza się pochodną? Jak pokazać, że ja teraz jestem szef, bo ja będę liczył pochodną? Oznaczenia (podobnie jak
( )
interpretacje  wyjaśnione będzie niżej) są różne. W matematyce najczęściej stosuje się zapis z apostrofem ( )2 (albo [ ]2 i
( )
2 ). W fizyce często można spotkać zapis Leibniza - zapis ten ściśle określa po czym się liczy pochodną (chodzi o to, żeby
jasno i wyraz
nie określić co uznajemy za zmienną, a co za stałą, ale o tym również trochę dokładniej trochę dalej). Ostatnim
dość popularnym zapisem, jest zapis stosowany w mechanice, tak zwana bomba - , czyli kropeczka nad x.
KILKA ZASAD:
1) A teraz pierwsza ważna zasada pochodnych  pochodna ze stałej jest równa zero:
( ) = 0 Przykład: ( )
3 = 0
2) Kolejny krok, to ogólny wzór pochodnej z :
( ) = " Przykład: ( )
= 2 = 2 = 2
( )
= 3
( ) ( )
= = 1 " = 1 " = 1 " 1 = 1
( ) -3 " = -3
=
1
, , ,
( )
= = 0,5 " = 0,5 = 0,5 "
"
6
 ,
Proszę pamiętać, iż ujemne potęgi to = , natomiast potęgi z ułamkiem to = = ( = )!
" "
3) Teraz po tym małym wstępie przejdziemy do własności pochodnych, działaniach na pochodnych. Pierwsza i podstawowa
własność, to pochodna z wyrażenia zawierającego dodawanie. W takiej sytuacji pochodne liczymy bez problemu, po kolei z
każdego ze składników według wzoru (w ogólnym opisie zagadnienia jest mała zmiana symboliki na i jako ( ) i ( )):
( ) Przykład: ( ) ( ) ( )
+ = + 2 + = + = 2 + 3
( ) ( ) ( )
+ 4 = + 4 = 4 + 0 = 4
( ) ( ) ( )
+ = + = + 0 = 1
1
( ) ( ) (-1
)
+ = + = 2 + "
Pamiętajmy o tym, że to stała (chyba, że zmiana statusu oznaczenia zostanie wyraz
nie odnotowana)!
4) Kolejna ważna zasada, to pochodna z mnożenia dwóch funkcji. W tym przypadku nieco komplikuje się rozwiązanie,
aczkolwiek na podstawie tej reguły można wyprowadzić pozostałe (stąd warto ją zapamiętać):
( )
" = " + " 2
Przykład:
( ) ( ) ( )
" = " + " = 2 + 2
( " ) = ( ) " + " ( ) = 3 + " = 3 +
5) Następny krok to pochodna w przypadku mnożenia zmiennej przez stałą (iloczyn stałej i zmiennej). Można tą regułę
wyprowadzić z poprzedniej zasady:
( )
" = ( )2
( ) ( ) ( )
" = ( ) " + " = 0 " + " = ( )2
Przykład:
( ) ( ) ( )
3 = 3 " + 3 " = 0 " + 3 " = 3 " 1 = 3
( )
2 = 2 " 2 = 4
1 1
= " 6 " = 3
2 2
3 3
, , ,
( )
6 2 = 6 " 0,5 " = 3 " = =
,
"
6) Teraz przejdziemy do dzielenia. Pochodną ilorazu dwóch funkcji liczymy następująco:
" - "
=
( )
1 1 1 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (-1
)( ) ( )
= " = " + " = + " = + " "
( ) ( ) ( ) ( )
" " " " - "
= - = - =
Tutaj musi być mały komentarz co do wyprowadzenia wzoru na pochodną ilorazu  pewna
niezgodność co do wcześniej rozwiązywanych pochodnych pojawia się podczas liczenia pochodnej z
( ) ( ) (-1
)( ) ( )
. Proszę zwrócić uwagę, iż zapis przedstawia tą pochodną jako = " .
Ten problem związany jest z instytucją funkcji zewnętrznej i wewnętrznej, co zostało wyjaśnione w
punkcie 7). Na początek to zagadnienie może nie co namieszać i co po niektórym poobracać
7
światopoglądy o 180o, ale to nic trudnego  kwestia przyzwyczajenia i podejścia.
Przykład:
Sposób pierwszy rozwiązany jest według zasady zaprezentowanej w punkcie 4), natomiast drugi
sposób obliczenia tej samej pochodnej jest związany z punktem 6):
1
( ) ( ) ( ) (-3
) ( )
= " = " = " + " = 2 " + " "
2 3 2 " 3 2 - 3
= - = - =
( ) - " 2 " - " 3 2 " - " 3 2 - 3
" ( ) ( )
= = = =
( ) "
I jeszcze dwa dodatkowe przykłady rozwiązywane już według wzoru z punktu 6):
( )
+ + " - ( ) ( ) ( ) + " 3
+ " 5 + 2 - ( )
= =
( ) ( )
( ) ( )
5 + 2 - 3 +
=
1 1 1 1
( ) 1 1 - " + 2 + - +
" + ( )
3 2 3 2 3 2
= =
1 1
1 1 1 1
+
+ +
3 2
3 2 3 2
7) Funkcje zewnętrzne i wewnętrzne to pierwszy problem jaki napotyka się podczas walki z pochodnymi. Wyjaśnienie tego
( )
problemu będzie bazowało generalnie na przykładzie funkcji = + 2 . Policzyć jej pochodną powinno być już dla nas
proste. A więc:
( ) ( )
= + 2 = 3 + 2
( )
Wszystko jest spoko i super, ale co by było gdyby ta nasza funkcja była podniesiona do kwadratu? Dostajemy + 2 i&
Normalnie zonk! WTF?! Najpierw pełni zapału zaczynamy kombinować. Jeśli ktoś bardziej zaradny, to pójdzie po rozum do
głowy do punktu 4) i rozwiąże tak:
[( + 2 = + 2 " + 2 = + 2 " + 2 + + 2 " + 2 = 2 + 2 + 2
) ] [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
No ok& Wszystko ładnie pięknie, ale co by było, gdyby pochodną liczyć nie z równania do kwadratu, tylko np. do potęgi
( )
dziesiątej? + 2 W tym momencie rozkładamy ręce, bo rozpisywanie tego jako pochodnej iloczyn iloczynu iloczynu
byłoby bardzo mozolną i niepotrzebną pracą (iloczyn to wynik mnożenia  dla tych, co podobnie jak ja, wciąż mają problemy z
rozróżnieniem ilorazu i iloczynu). Ale, skoro matematyka już istnieje od ho-ho-ho lat, pan Archimedes już w III wieku
(niechcący, bo niechcący  nie wiedział co robi, ale robił to na zwyczaj dobrze) obliczał pola kół rachunkiem różniczkowym, a
właściwy rachunek różniczkowy stworzyli (niezależnie od siebie) pan Leibniz i pan Newton w XVII wieku, to chyba musi być
jakiś łatwy i przyjemny sposób na policzenie tych pochodnych& No i jest  funkcja zewnętrzna i wewnętrzna. Na samym
( )
początku, naszą wyjściową funkcją była funkcja = + 2 . Póz
niej podnieśliśmy ją do drugiej potęgi, czyli kwadratu 
( ) ( ) ( )( )
= + 2 , po czym otrzymaliśmy z zasady z podpunktu 4) wynik 2 + 2 + 2 . By łatwiej wszystko
zrozumieć, funkcję zewnętrzną oznaczymy jako ( ), natomiast wewnętrzną jako ( ). W naszym przypadku, funkcją
( ) ( )
wewnętrzną będzie ( ), czyli = = + 2 . Natomiast nasza funkcja zewnętrzna, to będzie kwadrat funkcji
( ) ( )
wewnętrznej, czyli = . Podstawiając to wszystko do wyniku uzyskanego metodą z podpunktu 4), czyli do
( )( )
2 + 2 + 2 , otrzymujemy:
( ) ( ) ( )
= = + 2
( ) = 2 " " = 2 + 2 + 2
( ) ( ) ( )( )
8
By lepiej zrozumieć problem, posłużymy się kolejnym przykładem. Mamy funkcję:
= ( + 3)
Chcemy z niej policzyć pochodną. W tym celu + 3 oznaczamy jako funkcję wewnętrzną = + 3, którą podstawiamy do
wzoru:
( ) ( )
= + 3 =
( )
Funkcją zewnętrzną w naszym przypadku jest = . A więc, by policzyć pochodną całości wyrażenia, najpierw zaczynamy
( )
od pochodnej funkcji zewnętrznej. Liczymy ją tak jak normalną pochodną, czyli tak jakby nasze było tak naprawdę
( ) . Aczkolwiek, na koniec, ponieważ mamy jeszcze funkcję wewnętrzną, to musimy na końcu z niej również policzyć
pochodnÄ…:
[( ) ] ( )
= = 10 " " ( )2
( )
Reasumując, pochodną z = + 3 liczymy następująco:
[( ) ] [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= + 3 = = 10 " " = 10 + 3 " + 3 = 10 + 3 (2 + 0)
( )
= 20 + 3
( )
Teraz możemy wrócić do + 2 i spróbować ponownie policzyć pochodną, lecz tym razem z użyciem funkcji
zewnętrznych i wewnętrznych:
[( ) ] [( ) ] ( ) ( ) ( )
= + 2 = = 2 " " = 2 + 2 " (3 + 2)
Podobnie sytuacja wygląda w przypadku wszelakiej maści sinusów, cosinusów, arcusów, logarytmów etc. Poniżej zamieszczam
przykłady (przypominam, pochodna sinusa to cosinus, zaś cosinusa to minus sinus):
= sin(2 + 3)
[ ( )] [ ( )] ( )
= sin 2 + 3 = sin = cos " = cos(2 + 3) " 2
[ ( )]
= cos 5 + 4
[[ ( )] ] [[ ] ] [ ]
= cos 5 + 4 = = 3 " [ ]2
[ ( )] [ ( )] [ ( )] [- ( )]
= 3 cos " cos = 3 cos " sin " ( )2
[ ( )] [- ( )] ( ) [ ( )] [- ( )]
= 3 cos 5 + 4 " sin 5 + 4 " 5 + 4 = 3 cos 5 + 4 " sin 5 + 4 " 5
= ln |3 + 4 |
1 1
[ ] [ ] ( )
= ln |3 + 4 | = ln | | = " = " (6 + 4)
3 + 4
1
=
2
-
3
1 2
[( ) ] (-1
) ( )
= = - = = " " ( )2
2
3
-
3
2 2 2
(-1 (-1
) )
= " - " - = " - " (6 - 2 )
3 3 3
= ( - 2 + 3)
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= - 2 + 3 = - 2 + 3 = = "
4
1 1
( ) ( ) ( )
= - 2 + 3 " - 2 + 3 = - 2 + 3 " (4 - 4 )
4 4
- -
( ) ( )
= - 2 + 3 " - = =
( - 2 + 3
) ( - 2 + 3)
9
Generalnie, przy obliczaniu bardziej złożonych pochodnych na kolokwiach nie jest wymagane skracanie i doprowadzanie do
jakiejś bardziej czytelnej formy. Chodzi jedynie o to, by pokazać, że się potrafi.
Do rozwiązywania pochodnych można używać różnych internetowych kalkulatorów, które bardzo często jeszcze pokażą nam
drogę od początku do końca, w jaki sposób wszystko zostało obliczone. Takie kalkulatory to np. calc101.com
(http://calc101.com/webMathematica/derivatives.jsp) albo wolfram alpha (http://www.wolframalpha.com/). W tamtym
zapisie pochodne wyglądają nie co inaczej  zapisuje się je z użyciem oznaczenia d, od derivative, czyli pochodna (integral to
całka  operacja matematyczna przeciwna do pochodnej). Musimy pamiętać, iż jeśli mamy funkcję zawierającą x i chcemy
policzyć pochodną z tych x ów, to musimy to oznaczyć w następujący sposób:
( )
Dla przykładu  mamy funkcję:
( ) = + 2
Chcemy policzyć jej pochodną, ale nie umiemy tego zrobić i w tym celu chcemy wykorzystać kalkulator do pochodnych.
Niestety, po wpisaniu w okienko ( + 2 )2 kalkulator stwierdza błąd, albo liczy coś zupełnie innego. O dziwo, po wpisaniu
( )
samego kalkulator dalej stwierdza, że coś jest nie tak& W taki przypadku, nie zaczynamy poszukiwań nowego
kalkulatora, a zmieniamy jedynie zapis. Zmienną w naszej funkcji jest x, a więc musimy zaznaczyć, że chcemy pochodną po x:
( ) ( )
+ 2
( ) = = = 3 + 2
Stąd najlepiej wklepać coś takiego  d(x^(3)+2x)/dx . Część kalkulatorów wymaga jedynie podanie zmiennej obok w okienku (a
najczęściej nawet to jest zbędne, bowiem standardowo zmienną jest x, a więc wpisujemy samą funkcję x^(3)+2x).
INTERPRETACJA POCHODNEJ
Teraz, skoro już umiemy policzyć pochodną i już w oczach licealistów jesteśmy bożyszczami matematyki. Pasuje jednak jeszcze
coś zabłysnąć w towarzystwie ze studiów. Bierzemy kartkę, długopis, piszemy byle jaką funkcję i potrafimy policzyć jej
pochodną. Przygląda się temu ktoś z boku. Jest pod głębokim wrażeniem. Ale okazuje się, że widz nie śpi  jest głodny wiedzy i
zadaje jedno niepotrzebne pytanie& A po co to siÄ™ liczy? WidzÄ…c pustkÄ™ w Twoich oczach, po odczekaniu stosownej chwili na
jakÄ…kolwiek odpowiedz
, odchodzi. Ty natomiast wertujesz mnogie mądre księgi i znajdujesz&
Pochodną funkcji y=f(x) w punkcie x nazywamy granicę, do której dąży stosunek przyrostu funkcji "y
do odpowiedniego przyrostu zmiennej niezależnej "x, gdy przyrost zmiennej niezależnej dąży do zera,
czyli granicÄ™
( ) ( )
" + " -
lim = lim

" "
Normalnie coś pięknego. O to Ci chodziło! Skoro już wszystko wiemy, zamykamy księgę tajemniczą i przy najbliższej okazji ze
spokojem recytujemy formułkę, czasem jeszcze okraszając ją wzorkiem z limesem. Jeśli ktoś dalej będzie pytał o co chodzi, to
odpowiadamy, że za dużo tłumaczenia i, że to bardzo trudne do zrozumienia na szybko. I fajnie jest.
Aczkolwiek, po pewnym czasie, może powstać chwila refleksji i pytania o znaczenie pochodnej. Już w gimnazjum zwykło się
rysować na matematyce wykresy funkcji. Ponieważ była to funkcja o wzorze ogólnym = + , czyli funkcja liniowa, więc
wystarczyło na oko zrobić długą krechę na długość całego zeszytu, przebiegającą przez dwa  obliczone punkty. W liceum
wchodziło się na kolejny poziom wtajemniczenia. Nie wiadomo skąd pojawiła się delta (" - tak tak, ten trójkącik) oraz jakieś
bliżej niezidentyfikowane parabole. Czasami była góreczka, czasami dołeczek, zależy czy przy pierwszym x był minus czy plus.
Czasami też zdarzają się osoby, które po 3 latach nauki w liceum wciąż potrafią tą deltę policzyć, pamiętając nawet jej wzór
"= - 4 . Wątpliwy jest natomiast fakt, by z pamięci kompletnie nie wyleciał punkt P o współrzędnych i . Reasumując,
zbierzmy wszystko w całość. Ogólny wzór równania kwadratowego to:
= + +
10
By policzyć miejsca zerowe funkcji, obliczamy deltę z wzoru:
"= - 4
Jeśli delta jest równa zeru, to mamy jedno miejsce zerowe. Jeśli delta jest mniejsza od zera, to nie mamy miejsc zerowy (tzn.
ponoć są, ale w płaszczyz
nie liczb urojonych :P ). Jeśli delta jest większa od zera, to mamy dwa miejsca zerowe, które liczymy z
wzorów:
- - " - + "
" "
= =
2 2
No i w zasadzie to by było na tyle. Teraz możemy się zabrać do rysowania. Ale ktoś bardziej dociekliwy zapyta, w którym
miejscu będzie  zakręt na paraboli? Po to właśnie są wzory na punkt o współrzędnych i . Problem pojawia się, jeśli nie
pamiętamy tych wzorów. Oczywiście, nikt nie siedział z kalkulatorem i nie wymyślał skąd się te wzory biorą na podstawie
policzonych x ów i y ków. Do tego służy właśnie pochodna  do liczenia górek i dołków, tzn. gdzie się one znajdują.
W takim razie, jak policzyć ten punkt ? Nasza funkcja, z której będziemy liczyli pochodną to:
= + +
( )
= + + = 2 +
Funkcja = + + będzie miała tam górkę (bądz
dołek), gdzie jej pochodna jest równa zeru. A więc teraz obliczoną
pochodną musimy przyrównać do zera:
= 2 + = 0
2 = -
= - =
2
Mamy już naszą pierwszą współrzędną. Teraz jeszcze musimy się dowiedzieć gdzie będzie . W tym celu, obliczonego x a
podstawiamy do wzoru ogólnego na pochodną, czyli:
= + + = -
2
2 - 2 4
= - + - + = " - + = - + = +
2 2 4 2 4 4 4 4
- 2 4 - + 4 - 4 "
= + = = - = - =
4 4 4 4 4
"
Jak widać, otrzymaliśmy dokładne współrzędne naszego punktu z górką = ( ; ), czyli = (- ; - ). Takie górki i dołki
nazywane są w matematyce ekstremami funkcji. Górka to maksimum, a dołek to minimum. Oczywiście nie należy tego zbyt
dokładnie interpretować. Jest to jedynie maksimum albo minimum funkcji w pewnym ograniczonym zakresie. Na przykład,
funkcja trzeciego stopnia może  uciekać do plus i minus nieskończoności (tak jak na rysunku), ale wciąż posiadać zarówno
maksimum jak i minimum. Kwestia jedynie policzenia tego, gdzie siÄ™ te punkty znajdujÄ….
11
Jeśli ktoś ma jakieś wątpliwości co do słuszności tych wzorów, to proponuję mały przykład demonstracyjny. Najpierw funkcja
drugiego stopnia, a póz
niej trzeciego (bodaj wymyślanie jakichkolwiek wzorów powyżej trzeciego stopnia ma umiarkowany
sens, a więc do liczenia ekstrem funkcji np. czwartego stopnia zostaje tylko przyrównywanie pochodnych do zera). To będzie
dla czytającego taki mały wstęp do badania przebiegu funkcji. A więc zaczynamy
FUNKCJA KWADRATOWA:
= -2 + 4 - 1
a) Liczymy deltÄ™ ":
(-2 )
) (-1
"= - 4 = 16 - 4 " " = 16 - 8 = 8
b) Ponieważ delta jest nieujemna, większa od zera, a więc otrzymamy dwa miejsca zerowe:
- - " -4 - " " "
" 8 4 + 2 2 2 + 2 2 + 1,4
= = = = H" H" 1,7
2 2 " (-2) 4 2 2
- + " -4 + 8 4 - 2 2 2 - " - 1,4
" " " 2 2
= = = = H" H" 0,3
2 2 " (-2) 4 2 2
c) Liczymy pochodną z funkcji pierwotnej = -2 + 4 - 1, by zobaczyć, czy ma ekstrema (jeśli pochodna jest równa liczbie
całkowitej, to funkcja nie ma ekstrem):
(-2 )
= + 4 - 1 = -4 + 4
d) Przyrównujemy pochodną do zera:
= -4 + 4 = 0
4 = 4 = 1
e) Podstawiamy wyliczonego = -1 do funkcji pierwotnej, by poznać drugą współrzędną położenia ekstremum:
= -2 + 4 - 1 = -2 " 1 + 4 " 1 - 1 = -2 + 4 - 1 = 1
f) Teraz musimy określić, czy mamy do czynienia z maksimum czy minimum. W przypadku równania drugiego stopnia sprawa
jest prosta, ponieważ < 0, a więc będzie to maksimum. W innych przypadkach rysuje się wykres pochodnej (nasza pochodna
= -4 + 4 wpisuje się w schemat + , a więc jej wykres będzie linią prostą  funkcja liniowa). Zwróć uwagę, iż funkcja z
przechodzi z plusa na minus w punkcie = 1. Jest to dla nas swego rodzaju wskazówka, bowiem w przypadku maksimum,
otrzymujemy podobną sytuację. Maksimum to miejsce, w którym funkcja przestaje rosnąć, a zaczyna spadać, czyli z plusa na
minus. Stąd wiemy, że nasza parabola będzie górką z ramionami zwróconymi w dół.
12
g) Na koniec możemy spokojnie narysować wykres naszej paraboli, wiedząc, iż
H" 1,7 H" 0,3 = (1 ; 1)
"
Oczywiście punkt , możemy wyliczyć stosując wcześniej wyrachowane wzory = (- ; - ), co da nam wynik =
(- = 1 ; - = 1).
"( ) "( )
FUNKCJA TRZECIEGO STOPNIA:
= + + +
= + 8 + 9 - 18
a) Obliczamy pierwiastki, czyli miejsca zerowe (miejsca, w których wykres funkcji przecina oś x). Najekonomiczniejszym
sposobem obliczania tego typu rzeczy jest tzw. tabelka Horner a, zwana również schematem Horner a (ew. można do tego
użyć macierzy, jeśli się wie jak to się robi). Ogólne przypomnienie jak to się liczy. Mamy wielomian n-tego stopnia o wzorze
ogólnym:
( ) = + + ï" + + +
&
= = + = + &
W naszych obliczeniach dążymy do tego, by uzyskać wynik = 0, czyli brak reszty. A więc bierzemy nasz wielomian i
obliczamy dla niego schemat Horner a:
( ) = + 8 + 9 - 18
13
 ( ) = 1 = 8 = 9 = -18
= 1 = = 1 = + = + = +
= 8 + 1 = 9 = 9 + 9 = 18 = -18 + 18 = 0
A więc, pierwszy pierwiastek jest równy = 1.
( ) ( - 1 ( + + )
= )
( ) ( - 1 ( + 9 + 18)
= )
Następne pierwiastki wyliczymy deltą:
+ 9 + 18
"= 9 - 4 " 18 = 81 - 72 = 9
-9 + 3 -9 - 3
""= 3 = = -3 = = -6
2 2
A więc otrzymaliśmy wszystkie pierwiastki wielomianu:
= 1 = -3 = -6
( ) ( - 1 + 3 ( + 6)
= )( )
b) Liczymy pochodnÄ… funkcji pierwotnej ( ) = + 8 + 9 - 18:
( ) ( )
= + 8 + 9 - 18 = 3 + 16 + 9
c) Przyrównujemy pochodną do zera (szukamy miejsc zerowych, by dowiedzieć się gdzie są położone ekstrema funkcji). W tym
celu liczymy drugą deltę, z równania kwadratowego 3 + 16 + 9:
" = 16 - 4 " 3 " 9 = 148
" = "148 = 2"37 H" 12
-16 - 12 28
H" H" - H" -4,7
2 " 3 6
-16 + 12 4
H" H" - H" -0,7
2 " 3 6
Oczywiście można wykonywać bardziej precyzyjne obliczenia, aczkolwiek przybliżenia stosuję po to, by łatwiej móc narysować
przebieg funkcji.
d) Podstawienie x ów wyliczonych z pochodnej do funkcji pierwotnej ( ) = + 8 + 9 - 18. Robimy to po to, by
dowiedzieć się, w którym miejscu dokładnie znajdują się  przegięcia na funkcji, czyli ekstrema:
( ) = + 8 + 9 - 18
) (-4,7 + 8 " (-4,7) + 9 " - 18 = 12,597 H" 12,6
)
(-4,7 = ) (-4,7
) (-0,7 + 8 " (-0,7) + 9 " - 18 = -20,723 H" -20,7
)
(-0,7 = ) (-0,7
e) Na podstawie wykresu, próbujemy ustalić, który punkt to maksimum, a który to minimum. Jak widać, nasze maksimum to
będzie punkt = -4,7, o współrzędnych = (-4,7 ; 12,6), a nasze minimum to punkt = -0,7, o współrzędnych
= (-0,7 ; -20,7). Jak łatwo można zauważyć, minimum, to punkt, w którym funkcja ze spadania, zaczyna rosnąć, czyli taka
górka na wykresie funkcji pierwotnej (przypominam, że poniżej mamy wykres POCHODNEJ, a nie FUNKCJI PIERWOTNEJ!).
14
f) Teraz, mając już wszystkie potrzebne nam dane, możemy przystąpić do rysowania wykresu naszej funkcji:
Poniżej dołączam jeszcze wykres naszych funkcji z dodatkowo opisanymi elementami:
15
Generalnie pochodna służy właśnie do czegoś takiego. Do wyliczania tych wszystkich górek i dolinek. Dodatkowo pochodna, to
jakaś bardzo niewielka zmiana. Odwołać się musimy w tym momencie do wzoru podanego w definicji na początku:
( ) ( )
" + " -
lim = lim

" "
Proszę zwrócić uwagę, iż granica (limes) jest dla 0, czyli dla nieskończenie małego . Ogólnie rzecz biorąc, sama delta ", to
(jak może jeszcze ktoś pamięta z fizyki w gimnazjum) duża zmiana czegoś. Na przykład zmiana czasu to " , zmiana położenia to
" = - , albo inaczej " = ń ą . W momencie, gdy operujemy dużymi liczbami, dużymi zmianami, to
-
możemy posługiwać się dużą deltą, czyli oznaczeniem ". Gdy przechodzimy do nieskończenie małych zmian, w nieskończenie
krótkim czasie, to nagle zmiana położenia " w czasie " przeistacza się w bardzo małe w czasie . Czyli możemy
interpretować jako bardzo małą deltę. Rozważmy to na przykładzie prędkości. Każdy wie, że prędkość to = , czyli droga
Å„ Ä…
przez czas. Jeślibyśmy chcieli określić prędkość na przestrzeni jakiejś chwili, to otrzymujemy = , co
Å„ Ä…
"
równoznacznie możemy zapisać jako = (jeśli założymy, że na początku = 0, a nasz czas w tym momencie również był
"
równy = 0, to otrzymujemy znowu = ). W momencie, kiedy przejdziemy na nieskończenie małą zmianę położenia, w
nieskończenie krótkim czasie, otrzymujemy właściwy wzór na prędkość = , czyli prędkość to pochodna położenia (drogi)
po czasie. Analogicznie, zmiana prędkości w czasie to przyspieszenie, czyli = .
Teraz małe wyjaśnienie, dlaczego pochodną sinusa jest cosinus. Do tego potrzebujemy dwóch wykresów:
Po nałożeniu na siebie tych dwóch wykresów, od razu widać, że tam, gdzie cosinus jest równy zeru, tam sinus ma albo
maksimum, albo minimum:
Mam nadzieję, że to co zostało tu napisane, rozjaśniło choć w niewielkim stopniu zagadnienie pochodnych, których na swej
drodze jest bardzo trudno uniknąć, bowiem pojawiają się zawsze wtedy, gdy zmiany przestają być liniowe.
16
Inżynieria Biomedyczna, zestaw nr 1 - wektory, pochodne, kinematyka.
Zadanie A1.1
Wektor U o długości 3 jednostki tworzy z osia OX kąt ą = 30o, wektor V o długości 5 jednostek tworzy z osią OX kąt ą = 120o.
Rozłożyć wektory na składowe, obliczyć ich sumę, różnicę oraz iloczyn skalarny.
= ( ; )
= cos
= sin
( )
cos 120° = cos 90° + 30° = - sin 30°
sin( + ) = sin A cos B + sin B cos A
+ =
= +
1
3 3 3
" "
= cos 120° = 5 " - = -2,5
= cos 30° = 3 " =
2
2 2
1 " "
3 5 3
= sin 30° = 3 " = 1,5 = sin 120° = 5 " =
2 2 2
3 3 5 3
" "
= ; = ; 1,5 = -2,5 ;
2 2
Suma wektorów:
3 3 5 3 3 3 - 5 3 + 3 3
" " " "
+ = + ; + = - 2,5 ; 1,5 + =
;
2 2 2 2
Różnica wektorów (analogicznie dla - ):
3 3 + 5 3 - 3 3
" "
- = - ; - =
;
2 2
Iloczyn skalarny:
" = cos
Gdzie A jest kątem między wektorami i . W naszym przypadku kąt A = 90o, a więc cos 90o = 0.
3 3 5 3 5 3 15 3 15 3
" " " "
" = + = " - + " = - + = 0
2 2 2 2 2 2
Zadanie A1.2
Dane sÄ… wektory a = 1
+ 2 + 3k oraz b = -1
+ - 2k . Obliczyć długości, iloczyn skalarny oraz wektorowy i kąt pomiędzy
wektorami. Wektory 1
, , k są wersorami kartezjańskiego układu współrzędnych, czyli jednostkowymi wektorami leżącymi na
osiach x, y i z, skierowanymi wzdłuż tych osi.
= + +
| | = + + = 1 + 2 + 3 = "14
17
 = (-1) + 1 + (-2) = "6
Iloczyn skalarny wektorów:
(-1 (-2
) )
" = + + = 1 " + 2 " 1 + 3 " = -5
Kąt między wektorami:
| |
" = cos
" -5 5
cos = = = -
14 " 6 84
| | " " "
5
cos - = 123°
84
"
Iloczyn wektorowy wektorów:
× =
Wektor jest prostopadły zarówno do wektora jak i . Przy wyznaczaniu wektora korzystamy z reguły prawej dłoni.
| | = × = sin = "84 sin 123° = 9,17 " 0,839 = 7,69
| |
Gdzie A jest kątem pomiędzy wektorem i .
Aby obliczyć nie moduł, lecz składowe wektora , obliczamy wyznacznik następującej macierzy 3 na 3 metodą Saurrusa
(podpunkt i) zadania A4.1 wyjaśnia bardzo łatwą metodę obliczania macierzy):
= = " + " + ( " ) - " - " - ( " )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= = 2 " -2 + 1 " 1 + 3 " -1 - 2 " -1 - 3 " 1 - 1 " -2
1 2 3
-1 1 -2
= -4 + - 3 + 2 - 3 + 2 = -7 + 1 + 3 = (-7 ; 1 ; 3)
Należy pamiÄ™tać, iż × NIE jest równe × !
Zadanie A1.3
Zapoznać się z biegunowym układem współrzędnych (r, Ć). Zapisać w układzie biegunowym (wyznaczyć (r, Ć)) wektory
( ) (-4 ; )
a = 2 ; 3 , b = -8 oraz w układzie kartezjańskim wektory (4, Ą/4), (3, 7/6Ą). W układzie biegunowym r oznacza
długość wektora, a Ć jest katem pomiędzy wektorem a osią OX.
Kąt między składowymi wektorów:
= ( ; )
= (2 ; 3)
= (-4 ; -8)
tan =
2
1 7
= tan H" 30° =
= tan =
3 6
2 6
= tan
Długość wektorów:
+ =
= (-4) + (-8) = "80
= 2 + 3 = "13
7
= ("13 ; )
= = + = (4"5 ; )
6
6
18
Zapis współrzędnych biegunowych w układzie kartezjańskim:
7
(3 ; )
(4 ; )
6
4
7
= = 45°
= = + = 180° + 30° = 210°
4
6 6
= cos
tan 45° = = 1
= sin
=
3 2
"
= cos = 3 cos 30° =
= + = 2
2
= sin = 3 sin 30° = 1,5
= = 2"2
2
"
3 2
"
= ( ; 1,5)
= (2"2 ; 2"2)
2
Zadanie A1.4
Na prostym odcinku rzeki woda płynie z szybkością 3 m/s, rzeka ma szerokość 100 m. Czas potrzebny na przepłyniecie rzeki
wzdłuż linii prostopadłej do brzegów wynosi 1 minutę. Z jaka prędkością względem wody płynie łódka?
Dane: RozwiÄ…zanie:
= +
| | = 3
100 10
| | = =
= 100
60 6
= 1 = 60 10
= 0 ;
=?
6
= (3 ; 0)
10
= - = -3 ;
6
Zadanie A1.5
Czy człowiek ma szanse uchylić się przed kula z pistoletu po usłyszeniu wystrzału, jeśli znajduje sie w odległości:
a) 200m
b) 400m
od zamachowcy? Przyjąć prędkość kuli 200 m/s, dz
więku 340 m/s, opory zaniedbać. Typowy czas reakcji człowieka to 0.5 s.
- czas reakcji człowieka
- czas w jakim pocisk dotrze do człowieka
 prędkość pocisku
 prędkość dz
więku
a) = 200
200 20 17 37
= + 0,5 = + 0,5 = + =
34 34 34
340
200
= = = 1
200
>
Człowiek nie ma szans na ucieczkę.
19
b) = 400
400 40 17 57
= + 0,5 = + 0,5 = + =
34 34 34
340
400
= = = 2
200
<
Człowiek ma szanse na ucieczkę.
Zadanie A1.6
Pilot samolotu chce wylądować na lotnisku oddalonym o 200 km na północny zachód od aktualnego położenia. Wiatr wieje z
prędkością 60 km/h z zachodu na wschód. Jak pilot musi dobrać wektor prędkości samolotu względem poruszającej sie masy
powietrza, aby dotrzeć nad lotnisko po 20 minutach?
= + = ; = (-300"2 ; 300"2)
( )
200
ż - =
= = 600
20 ! = -
= -300"2 - 60 ; 300"2
!
Zadanie A1.7
Pocisk porusza sie po paraboli o równaniu y = -0.01x2 + 2x. Czy uderzy w punkt położony na wzgórzu,
o współrzędnych (170 m, 40 m)?
= (170 ; 40)
( )
40 = -0,01 " 170 + 2 " 170
40 = -0,01 " 28900 + 340
40 `" 51
Zadanie A1.8
Obliczyć pochodne względem x z funkcji: x, x2, 2x3, axn, cos x, sin x, sin(2x + 3):
( )2 = 1 ( )
sin = cos
( ) - sin
( ) = 2 cos =
( )
( ) ( ) [sin(2 + 3)] = 2 + 3 " cos(2 + 3) = 2 cos(2 + 3)
2 = 2 " = 2 " 3 " = 6
( ) = " "
Zadanie A1.9
Punkt materialny porusza sie po torze o równaniu:
x(t) = -2t2 + 4t - 8 (1)
y(t) = 3t + 2 (2)
obliczyć wektory prędkości i przyspieszenia punktu.
Prędkość to pochodna drogi po czasie, natomiast przyspieszenie to pochodna prędkości po czasie:
( ) -2 + 4 - 8 ( ) = 3 + 2
=
20
( )
= = -4 + 4 = = = (3 + 2)2 = 3
= = -4 = = 0
MSiB, Inżynieria Biomedyczna, grupy 2 i 3, zestaw nr 2 - kinematyka.
Zadanie A2.1 Hennel I.1
Równania ruchu dwóch punktów obserwowanych z danego układu współrzędnych wyglądają następująco:
( ) ( ) ( ) ( )
r t = 0; 2; 0 + 3; 1; 2 t + 1; 1; 0 t
( ) ( ) ( )
r t = 1; 0; 1 + 0; 2; 1 t
Znalez
ć prędkość i przyspieszenie punktu drugiego względem pierwszego. (3,1,2)t oznacza oczywiście wektor o składowych 3t,
1t, 2t, itd.
= = (3 ; 1 ; 2) + (1 ; 1 ; 0)2 = = (0 ; 2 ; 1)
= (3 ; 1 ; 2) + (2 ; 2 ; 0)
= - = (0 - 3 ; 2 - 1 ; 1 - 2) - (2 ; 2 ; 0) = (-3 ; 1 ; -1) - (2 ; 2 ; 0)
= = -( )
2 ; 2 ; 0 = (-2 ; -2; 0)
Zadanie A2.2
Z przystanku rusza autobus z przyspieszeniem a = 1 i rozpędza się do szybkości 40 km/h. Po jakim czasie dojedzie do
przystanku oddalonego o 1 km? Czy szybciej pokona trasę od rowerzysty, który porusza sie ze stała prędkością v = 30 ?
Rowerzysta: Autobus:
100
=
= 40 =
30 000 25
! 9
= =
3 600 3
= 1
=
dla ruchu jednostajnie przyspieszonego:
3 3000 1
= = 1000 " = = 120 ( ) = + +
25 25 2
1 100 10 000 1 5000
= " = " = = 61,73
2 9 81 2 81
= 1000 - 61,73 = 938,27
100
=
9
9
= = 938,27 " = 84,44
100
= + = 11,11 + 84,44 = 95,55
Zadanie A2.3
Zawodniczka stojąca na trampolinie rzuca piłkę z prędkością poziomą 15 m/s. Rzucając piłkę traci równowagę i wpada do wody
po czasie 1 s. W jakiej odległości znajduje sie trampolina od miejsca w którym upadnie piłka? Jaki będzie końcowy wektor
prędkości piłki?
21
Rozwiązanie zadania rozpoczniemy od wyprowadzenia wzoru dla tego rodzaju rzutu. Na początek użyjemy ogólnego wzoru dla
ruchu jednostajnie przyspieszonego:
Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego:
1
( ) = + +
2
Rozpisujemy powyższe wyrażenie dla składowej poziomej
i pionowej rzutu z zadania:
1
( ) = + +
2
1
( ) = + +
2
W przypadku naszego zadania x0, podobnie jak i
przyspieszenie w kierunku poziomym nie występują (maja
wartość 0), a więc usuwamy je z wzoru:
( ) =
W przypadku osi y, przyspieszenie ay to przyspieszenie ziemskie g, które zapisujemy ze znakiem minus
(działa w stronę ujemną osi y). W pionie nie nadajemy żadnej prędkości piłce, a więc v0y będzie równe 0.
Ponieważ przyjmujemy, iż początek osi y jest na poziomie ziemi, więc y(t) będzie równe 0, zaś y0 jest naszym
H z rysunku:
1
0 = -
2
Następnie łączymy oba wyrażenia w układ równań, w którym zamieniamy dodatkowo x(t) na L z rysunku:
=
=

1
0 = -
2
1
=
2
=

2
1
=
=
2
2
=
Teraz, posiadając wzór na zasięg, podstawiamy dane z zadania otrzymując następujący wynik:
1
=
2
2 2 1
= = " = = 15 " 1 = 15
2
Zadanie A2.4
U stóp wzgórza o kÄ…cie nachylenia Ä… ustawiono armatÄ™ z lufÄ… skierowanÄ… pod kÄ…tem ² do poziomu. W jakim przedziale
wartości musi znajdować się prędkość v wystrzeliwanego pocisku, aby pocisk wpadł do włazu bunkra o szerokości D, odległego
o s od podnóża. Wskazówka - zadanie 7 zestaw 1.
22
Zadanie A2.5 Podobne zadanie: Hennel I.25
Po rzece płynie łódka ze stałą względem wody prędkością v1, prostopadłą do kierunku prądu. Woda w rzece płynie wszędzie
równolegle do brzegów, ale jej prędkość zależy od odległości od brzegów i dana jest wzorem:
= -4 + 4
gdzie v0 - maksymalna prędkość wody, L - szerokość rzeki.
a) Narysować wykres prędkości wody w rzece
b) Znalez
ć wartość wektora prędkości łódki względem brzegów
c) Znalez
ć kształt toru łódki
Rysunek ogólny: Zależność prędkości wody od szerokości rzeki:
Prędkość V2 jest zmienna, zależna od y według następującego wzoru:
= -4 + 4
A więc wzór na prędkość wypadkową będzie wyglądał następująco:
= -4 + 4 ;
By znalez
ć wartość wektora prędkości łódki względem brzegów, musimy użyć poniższej zależności:
= = =
Pamiętając, że całka to operacja przeciwna do pochodnej (czyli całka z pochodnej dr będzie równa r):
=
Otrzymujemy zależność, iż droga to całka z prędkości po czasie. Ponieważ wektor r ma składowe x i y,
musimy osobno policzyć całki zarówno dla składowej x, jak i y:
[ ( ) ( )]
= ; = ;
W naszym zadaniu, VX to V2, zaÅ› VY to V1:
( ) = = -4 + 4

( ) =
Ponieważ całkujemy po dt, a w V1 jest stałe w czasie (nie zmienia się z czasem  nie ma w jego wyrażeniu t,
po którym całkujemy), więc traktujemy V1 jako stałą, którą  wyciągamy przed całkę:
( ) = = +
23
C1 to stała całkowania  należy zwrócić uwagę, iż przy liczeniu pochodnej ze stałej, ta pochodna jest równa
zero, a więc licząc całkę, nie znając wyglądu funkcji pierwotnej, nie wiemy czy w wyrażeniu były jeszcze
jakieś stałe, np.
( ) = + 3
LiczÄ…c z tego pochodnÄ… otrzymujemy:
[ ( )]
( )
= + 3 = 2
Gdy teraz policzymy całkę z pochodnej, to otrzymujemy:
2 = +
I w tym przypadku, nasze C jest równe 3  gdybyśmy nie widzieli funkcji pierwotnej f(x), to nie
wiedzielibyśmy, że C=3. A teraz wracając do zadania  by obliczyć C1 musimy odnieść się do sytuacji
poczÄ…tkowej, czyli dla t=0. W tym przypadku otrzymujemy:
( ) = +
(0) = 0 +
( )
0 =
Ponieważ początkowe y(0) równe jest 0, więc C1 jest również równe 0.
Podczas liczenia drugiej całki, dla x(t), musimy zamienić y obecny w wyrażeniu, na y(t) obliczone
wcześniejszą całką:
( ) =
( )
( ) -4 + 4 = -4 + 4
=
Operacja ta była potrzebna, byśmy mieli po czym całkować  całkowanie odbywa się po dt, aczkolwiek nie
ma żadnego t w wyrażeniu całkowanym. Po to właśnie zamieniliśmy y na v1t. Teraz rozdzielamy naszą
całkę na dwie mniejsze:
( ) = -4 + 4
Wyłączamy stałe przed znak całki:
4 4
( ) - +
=
I otrzymujemy finalnie wynik:
4 1 4 1
( ) - +
=
3 2
Teraz zamieniamy t na y(t)/v1=t:
( ) =
( ) ( )
4 2 4 2
( ) - + = - +
=
3 3
Tor łódki:
24
*Zadanie A2.6* Hennel I.9
Kolista tarcza o promieniu R wiruje wokół swojej osi ze stała prędkością kątowa !. Ze środka tarczy wyrusza biedronka idąc
wzdłuż wybranego promienia, ze stała prędkością v0. Znalez
ć:
a) równania ruchu i toru biedronki w nieruchomym układzie odniesienia (środek pokrywa sie ze środkiem
tarczy) we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych
b) zależność od czasu wartości wektora prędkości v i przyspieszenia a oraz jego składowych: radialnej i transwersalnej
(kÄ…towej).
Inżynieria Biomedyczna, zestaw nr 3 - kinematyka cd. + dynamika.
Zadanie A3.1
Obliczyć następujące całki i pochodne:
W przypadku podpunktu A, liczymy pochodną normalnie. W przypadku B, musimy pamiętać, iż najpierw liczymy pochodną
funkcji zewnÄ™trznej f(t) = sin Z, a nastÄ™pnie z funkcji wewnÄ™trznej Z = 3 + . 3É traktujemy jako staÅ‚Ä…, pamiÄ™tajÄ…c, że
pochodną liczymy nie po x, lecz t. W przypadku C musimy wiedzieć, iż exp, to inaczej e do potęgi Z, gdzie nasze Z = -2 + .
Licząc tą pochodną należy pamiętać, iż:
( ) ( )
exp = = " ( )2
Czyli pochodna z exp, to exp mnożone przez pochodna z funkcji wewnętrznej exp. W przypadku D musimy pamiętać, iż:
1
( )
ln = " ( )2
Natomiast przypadek E nie różni się niczym od liczenia zwykłych pochodnych, należy jedynie zamienić pierwiastek na potęgę z
ułamkiem. W przypadku F musimy pamiętać, iż pochodną liczymy po dv, a więc 2t3 traktujemy jako stałą, której pochodna jest
równa zeru:
(2 ) = 0
Również należy zwrócić uwagę na sposób liczenia pochodnych w przypadku wystąpienia ułamka:
( ) ( ) ( ) - !
! ( ) ( )
=
( ) ( )
! !
Taki sam wynik można uzyskać licząc pochodną dzielenia tak jak pochodną mnożenia:
( ) 1
( )
= "
( ) ( )
! !
( )
2 + 3 = 4 + 3
A
( )
sin(3 + ) = (3 + )2 cos(3 + ) = 3 cos(3 + )
B
(2
C exp( - 2 + )) = 2 " (-2 + ) = 2 " (-2 ) = -4
1 3 6
D ( ) ( ) " 2 =
3 ln(2 + 5) = 3 " " 2 + 5 =
2 + 5 2 + 5 2 + 5
3 9
E
3 2 = 3 = 3 " = = 4,5
"
2 2
( ) ( ) 2 ) (
2 - 3 ln 2 - 3 ln " 2 - 3 - ( - 3 ln " 2 - 3 )
F
= =
2 - 3 ( - 3 )
2
3
4 - " (2 - 3 ) - (2 - 3 ln ) " 3
=
(2 - 3 )
Bardzo często, wyniki bardziej złożonych pochodnych pozostawia się w formie nieuproszczonej, bowiem chodzi jedynie o to, by
nauczyć się odpowiednio je wyliczać. Całkowanie to działanie przeciwne do pochodnej. Przy liczeniu całek nieoznaczonych,
należy pamiętać o obecności stałej C:
25
2 3
2 + 3 = + +
( )
A
3 2
1
B sin(3 + ) = - cos(3 + ) +
3
1
C
2 exp( - 2 + ) = - exp(-2 + ) +
2
D
= 2 ln +
Zadanie A3.2
Po torze prostym porusza sie wagon z prędkością = 36 km/h. Na wagonie ustawiona jest armata z lufa skierowana
przeciwnie do kierunku ruchu wagonu, pod katem ą= 30o do poziomu. Prędkość pocisku wystrzeliwanego z armaty wynosi =
100 m/s względem lufy. W jakiej odległości L od miejsca wystrzału upadnie pocisk?
Zadanie A3.3 Halliday Resnick
Chłopiec wiruje w koło kamieniem na sznurku o długości 1.2 m w płaszczyz
nie poziomej, w odległości 1.8 m od podłoża.
Kamień odwiązuje się i zostaje wyrzucony poziomo, a następnie uderza w ziemie w odległości 9.1 m. Jakie było przyspieszenie
dośrodkowe podczas ruchu obrotowego?
Siła dośrodkowa:
2!
| | =
=
9
= 0,6
( ) = "
9,1
1
= = = 15,17
( ) -
=
0,6
2
15,17
=
| | = = = 191,8
1,2
Zadanie A3.4 Hennel I.13
Ruch punktu dany jest w układzie kartezjańskim układem równań:
( ) = cos
( ) = sin
gdzie b, c są stałymi dodatnimi. Znalez
ć w biegunowym układzie współrzędnych: a) równania ruchu, b) równanie toru, c)
wartość wektora prędkości, d) wartość wektora przyspieszenia, e) składowe  styczna i normalna  wektora przyspieszenia, f)
promień krzywizny toru punktu w funkcji położenia.
RozwiÄ…zanie:
a)
= + = cos + sin =
26
Ponieważ:
cos + sin = 1
b)
sin
tan = = = tan
cos
=
=
=

= =
c) Prędkość obliczymy stosując następującą zależność - = ; = ( ; " ), gdzie kropka nad r i
kątem oznacza pochodną. Zapis pochodnej jest równoważny do = = ( )2 z tym, że zapis precyzyjnie
określa po czym liczymy pochodną (co uznajemy za zmienną). Składowe wektora prędkości nazywają się
- składowa radialna i - składowa transwersalna. Prędkość obliczamy ze współrzędnych biegunowych.
Składowa transwersalna: Składowa radialna:
( )
( )
= " = " = " = "
( )
= = = = =
( )
= ; = ;
= + = + = (1 + ) = 1 +
d) Przy obliczaniu przyspieszenia będziemy postępować podobnie jak w przypadku prędkości. Zaczniemy od
obliczenia składowych radialnej i transwersalnej, by póz
niej policzyć ze składowych wartość wektora:
( )
= ; = - " ; " + 2 " "
Składowa transwersalna: Składowa radialna:
= - " = " + 2 " "
( ) ( )
= = = = 0
( )
= = = = 0
( )
= = =
( )
= =
Oznaczenie mówi nam, iż liczymy pochodną z
pochodnej. Ponieważ po policzeniu pierwszej
pochodnej zostaje nam tylko stała c, a więc druga
pochodna musi być równa zeru.
( )
= ; = 0 - " ; 0 " + 2 " " = (- ; 2 )
) ( )
= + = (- + 2 = " + 4 = " + 4
e) Teraz zajmiemy się obliczaniem składowych stycznej i normalnej przyspieszenia. Zaczniemy od składowej
stycznej według następującego wzoru (pochodna prędkości po czasie):
1 1
= = 1 + = " 2 " " =
"1 + 2 "1 +
Dzięki rysunkowi widzimy, że zachodzi prawo Pitagorasa, z którego policzymy
składową normalną przyspieszenia:
= +
27
 = + 4
=
"1 +
( )
= - = + 4 - = + 4 -
1 +
"1 +
( + 4 " (1 + ) + + 4 + 4 -
)
= - =
1 + 1 + 1 +
+ 4 + 4 ( + 2
)
= =
1 + + 1
( + 2 + 2
)
= =
+ 1
" + 1
f) Promień krzywizny liczymy następująco:
=
( ) )
"1 + 1 + ( + " + 1
= = = + 1 =
+ 2 ( + 2 ( + 2
) )
" + 1
Zadanie A3.5 Hennel I.17
Ruch punktu materialnego opisują równania:
= =
Znalez
ć radialna i transwersalna składowa prędkości i przyspieszenia oraz wartości i .
Zadanie A3.6 Hennel
( )
Cząstka o masie m = 2 kg porusza sie w polu siły zależnej od czasu: = 8 ; 2 - 3 ; - + 1 [ ]. Przyjmując warunki
( ) ( )
poczÄ…tkowe = 3 ; 2 ; -1 , = 0 ; 1 ; 3 znalez
ć zależność położenia i prędkości cząstki od czasu.
Dane: ( ) =?
= 2 ( ) =?
( )
= 8 ; 2 - 3 ; - + 1 = "
( - 3 ; - + 1
8 ; 2 )
= =
= 3 ; 2 ; -1
( )
2
8 2 3 - + 1
= (0 ; 1 ; 3)
= ; - ;
2 2 2 2
3 - + 1
= 4 ; - ;
2 2
Wiedząc, że prędkość jest całką z przyspieszenia liczoną po czasie, kontynuujemy nasze niesamowite
obliczenia (całkowanie to operacja odwrotna do pochodnej, a więc całka z pochodnej daje nam
niezmienionÄ… funkcjÄ™):
=
" =
" =
28
3 1 1
= = 4 ; - ; - +
2 2 2
4 1 3 1 1 1
= + ; - + ; - " + +
2 3 2 2 2 2
1 3 1 1
= 2 + ; - + ; - + +
3 2 4 2
Teraz, by pozbyć się stałych C z równania na v(t), musimy odwołać się do warunków początkowych
(prędkość początkowa v0), które pozwolą nam na precyzyjniejsze określenie wyglądu funkcji pierwotnej:
= 0 ; 1 ; 3
( )
1 3 1 1
= 2 + ; - + ; - + +
3 2 4 2
( ) = 2 +
(0) = 0
A więc otrzymujemy wynik, iż:
( )
0 = 2(0) + = 0
= 0
Co możemy już odnotować w głównym wzorze na v(t) dla składowej X:
1 3 1 1
= 2 + 0 ; - + ; - + +
3 2 4 2
Analogicznie postępujemy w pozostałych dwóch przypadkach:
1 3
(0) = " 0 - " 0 + = 1
3 2
= 1
1 1
( ) - " 0 + " 0 + = 3
0 =
4 2
= 3
1 3 1 1
= 2 ; - + 1 ; - + + 3
3 2 4 2
Kolejnym krokiem jest obliczenie r(t). Postępujemy w tym przypadku tak jak w stosunku do obliczania
prędkości z przyspieszenia  droga jest całką z prędkości (prędkość  pochodna drogi po czasie):
=
1 3 1 1
= = 2 ; - + 1 ; - + + 3
3 2 4 2
2 1 1 3 1 1 1 1 1
= + ; " - " + 1 " + ; - " + " + 3 " +
3 3 4 2 2 4 3 2 2
2 1 3 1 1
= + ; - + + ; - + + 3 +
3 12 4 12 4
= 3 ; 2 ; -1
( )
2 1 3 1 1
(0) = " 0 + ; " 0 - " 0 + 0 + ; - " 0 + " 0 + 3 " 0 +
3 12 4 12 4
( ) ( ) ( )
0 = ; ; = 3 ; 2 ; -1
2 1 3 1 1
= + 3 ; - + + 2 ; - + + 3 - 1
3 12 4 12 4
29
Zadanie A3.7
Pociąg o masie M = 1000 ton rusza ze stacji i po upływie 1 minuty osiąga prędkość 36 km/h. Efektywny współczynnik tarcia sił
oporu ruchu wynosi f = 0.01. Obliczyć prace wykonana przez silnik, średnią moc silnika i siłę działającą na pociąg.
Zadanie A3.8
Klocek o masie m = 2 kg zsuwa sie z równi pochyÅ‚ej o wysokoÅ›ci H = 2 m i kacie nachylenia = 30° z prÄ™dkoÅ›ciÄ… poczÄ…tkowa v0
= 0.5 m/s. Obliczyć przyspieszenie, prędkość u podstawy równi i czas zsuwania sie klocka oraz odległość w jakiej zatrzyma sie
po zjechaniu z równi, jeśli współczynnik tarcia klocek-równia i klocek  podłoże wynosi f = 0.25.
= 2
= 2
= 30°
= 0,25
Obliczamy siłę ciężkości klocka (Q to po prostu
inne, umowne oznaczenie siły F):
= " = " = 2 " 10 = 20
Przyspieszenie tu działające, to nic innego jak
przyspieszenie ziemskie H" 10 .
Siła to siła ciężkości. Składowe tej siły to ,
czyli składowa styczna i , czyli składowa
normalna (nacisku). Dzięki temu możemy wysnuć
następujący wniosek (twierdzenie Pitagorasa):
= +
Dodatkowo mamy na ilustracji siłę , czyli siłę
tarcia oraz siłę , czyli siłę równoważącą siłę ,
siłę reakcji podłoża.
= 20
= " " sin
= " " cos
= ( ; )
(składowa styczna i normalna przyspieszenia)
-
=
-
= = 0
= " = " " cos "
Jeśli klocek się nie porusza, to powyższy wzór nie działa. Jeśli klocek stoi to:
= = " " sin
d"
- " sin - " cos "
( )
= = = sin - cos "
Prędkość styczna:
= = +
-
=
30
 1
= = +
sin 2
1 1 - -
= + = +
sin 2 2
( ) ( ) ( )
1 - 2 - - + 2 - - 2 + + 2 - 2
= + = =
sin 2 2 2 2
-
=
sin 2
2
= -
sin
2
= +
sin
Teraz musimy obliczyć, na jaką odległość s przemieści się klocek:
= - = - = -
1
(- )
= + "
2
= + = - = 0
=
=
1 1 1
(- ) (- )
= + " = + " = - =
2 2 2 2
=
2
Zadanie A3.9
Drabina stojąca na podłodze jest oparta o gładka pionowa ścianę (np. szklana). Drabina może ślizgać się po ścianie bez tarcia,
miedzy drabina a podłożem współczynnik tarcia wynosi f. Przy jakim kącie między podłogą, a drabiną drabina nie będzie ślizgać
się po podłodze?
Siła to siła reakcji ściany na drabinę, natomiast
siła to siła reakcji podłoża.
+ + + = 0
- + = 0
- + = 0
=
=
Teraz musimy zastosować pojęcie momentu siły :
= ×
= sin
By drabina była stabilna, wszystkie momenty sił
muszą się równoważyć, by dać wypadkowy moment
równy 0.
Moment siły tarcia:
= ×
= " " sin
2
Kąt wynika z definicji, aczkolwiek możemy go
zamienić na kąt ze względu na własność:
sin(180° - ) = sin
31
Czyli otrzymujemy, iż:
= " " sin
2
( )
= - " " sin 90° + = - cos
2 2
= " " sin
2
= 0 ponieważ = 0
+ + + = 0
Teraz łączymy wszystkie wyrażenia w całość, pamiętając, że = oraz = :
" sin + - cos + " " sin + 0 = 0
2 2 2
sin + sin = cos
2 2 2
sin + sin = cos
2 2 2
sin = cos
2
sin = cos
2
cos
= = cot
2 sin 2
Wiemy, że = oraz, że d" " (cot to inne oznaczenie cotangensa ctg):
1
= cot d" "
2
cot
d"
2
e" cot 2
Zadanie A3.10
Podaj warunki, przy których układy mas pokazane na rysunkach pozostają w spoczynku. Oblicz siły naciągu nici. Współczynnik
tarcia klocków o podłoże wynosi f.
W zadaniu rozwiążemy tylko pierwszy przykład:
= = "
= +
=
= "
= +
= +
d"
d" "
d" "
32
( )
= + d" + "
( )
d" +
Zadanie A3.11 Hennel
Piłeczka po uderzeniu o podłogę traci 1/k część swojej energii kinetycznej. Znalez
ć całkowitą drogę jaką przebędzie piłeczka
rzucona z wysokości H aż do momentu zatrzymania. Współczynnik k > 1, podać wynik dla przypadku H = 1.5 m, k = 4.
+ = +
C
C

= 0
C

= !
= 0
1
= 1 -
- 1
=
Dla H=1,5 m oraz k=4:
- 1 - 1
= =
= !
- 1
= = !
- 1
= !
- 1 - 1
! = ! =
- 1 - 1
= + 2! + 2! + ï" = 1 + 2 + 2 + ï"
- 1
=
- 1
=
- 1
= = = - 1
- 1
1 -
1 -
= 1,5 " 7 = 10,5
( )
= ! 1 + 2 - 1 = ! (2 - 1)
Zadanie A3.12
Znalez
ć średnią siłę działającą na podłoże w czasie odbicia od ziemi, jeżeli człowiek o masie M = 70 kg podskoczył na wysokość
h = 0.5 m. Czas odbicia "t = 0.2 s. Opory zaniedbujemy.
33
Zadanie A3.13
Z jaka stałą siłą należy rozpędzać ciało o masie m = 5kg na drodze l = 10 m, aby wjechało na równię o kącie nachylenia ą = 30o
oraz wysokości h = 1 m? Współczynnik tarcia wynosi f = 0.05.
W zadaniu będziemy potrzebować zasady zachowania energii oraz twierdzenie o pracy i energii.
= " =
= "
+ = +
Na poczÄ…tku klocek nie posiada energii potencjalnej . EnergiÄ™ tÄ… nabiera dopiero wykonujÄ…c pracÄ™
przeciwko sile grawitacji  wspinając się na równię pochyłą, czyli dopiero od przekroczenia momentu
zaczyna mieć niezerową energię potencjalną, aż do osiągnięcia maksimum w punkcie . Przeciwnie jest z
energią kinetyczną, która jest zerowa w punkcie .
+ = +
+ 0 = 0 +
= =
=
=
Dodając element tarcia powinna zwiększyć się energia kinetyczna. T1 jest dla drogi do początku równi
pochyłej, czyli L, natomiast T2 dla drogi na równi, czyli S (Q to ciężar klocka  m*g).
=
= "
= + "
= + " = + " " cos "
+ cos
= +
Zadanie A3.14
Wózek o masie m napędzany silnikiem porusza się ze stałą prędkością . W pewnej chwili wyłączono silnik. Jaka będzie
zależność prędkości wózka od czasu, jeśli siły oporu są proporcjonalne do prędkości zgodnie z zależnością = - (dla
małych wartości v), gdzie b jest stała. Jaka drogę przebędzie wózek od wyłączenia silnika do zatrzymania?
34
Zadanie A3.15
Wiedząc, że siła oporu powietrza jest proporcjonalna do kwadratu prędkości = - oblicz:
a) graniczną (maksymalną) prędkość skoczka, który wyskoczył z samolotu z zamkniętym spadochronem,
b) czas po jakim osiągnie 95% tej prędkości.
Przyjmij E" 0,02 .
( )
Wskazówka matematyczna (do pkt b): rozwiązaniem równania + = przy warunku 0 = 0 jest funkcja
( )
= ! , gdzie = , ! = .
"
Podpunkt a)
=
= +
= - + =
Czyli vGRANICZNE otrzymamy w przypadku gdy obie siły
się zrównoważą, dając wypadową siłę ma=0:
=
Skoczek będzie się rozpędzał aż do zrównoważenia
dwóch sił  siły oporu FOP i siły Q.
10
= = 80 " = 200
0,02
Podpunkt b)
= - +
= - +
= - +
= +
= +
= +
= =
= ! " = !
= !
35
Inżynieria Biomedyczna, zestaw nr 4 - dynamika c.d., układy nie inercjalne.
Zadanie A4.1 Hennel, III.3
Cząstka o masie m porusza się w płaszczyz
nie XY zgodnie z równaniami ruchu:
= cos
= sin
Znalez
ć:
a) tor czÄ…stki,
b) zależność prędkości i energii kinetycznej od czasu,
c) wartość i kierunek siły działającej na cząstkę,
d) prace wykonana przez siłę pomiędzy punktami (a, 0) i (0, b),
e) prace w czasie pełnego obiegu toru,
f) czy siła jest zachowawcza,
g) zależność energii potencjalnej od położenia,
h) zależność energii całkowitej od czasu,
i) zależność momentu pędu względem punktu (0, 0) od położenia.
Podpunkt a)
= cos
= sin
sin + cos = 1
Równanie toru, to równanie bez czasu:
+ = 1
Podpunkt b)
( ) (- )
= ; = sin ; cos
= + = sin + cos
= sin + cos
= cos
= sin
= + = +
= = + = +
2 2 2
Podpunkt c)
;
)
= = = = (- sin ; cos
Powyższe obliczenia możemy również wykonać używając składowych wektora , czyli x i y z początku
zadania:
( )
;
= = = = = ( cos ; sin )
36
Wtedy, po przeliczeniu pierwszej pochodnej musimy policzyć jeszcze drugą pochodną, jednocześnie
wracając do wyrażenia na początku podpunktu c):
( ) )
= cos ; sin = (- sin ; cos
W konsekwencji otrzymujemy wynik:
) (- )
= (- sin ; cos = cos ; - sin
Wyciągając przed nawias wraz z minusem otrzymujemy składowe wektora :
( ) ( )
= - cos ; sin = - ; = -
= = -
= -
Podpunkt d)
By obliczyć pracę wykonaną pomiędzy dwoma punktami, będziemy musieli wykorzystać rozwiązać całkę z
siły po torze. Z definicji, praca między dwoma punktami to:
=
= = -
Korzystając z definicji pochodnej iloczynu dwóch funkcji:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
" = " + " ( )
Możemy wyprowadzić zależność, która nie co ułatwi nasze obliczenia:
( )
" = " + " = 2
1
( )
" =
2
1
= - = - ( " )
2
 Wyciągamy wszystkie stałe przed znak całki:
1 1
= - ( " ) = - ( " )
2 2
Ponieważ całka to operacja przeciwna do pochodnej, więc całka z pochodnej to funkcja pierwotna:
( ) = ( )
1 1
( ) | |
= - " = - "
2 2
Musimy w tym miejscu pamiętać o dwóch rzeczach  nasza całka jest całką oznaczoną, a więc posiada
granice całkowania (punkt początkowy i końcowy), a także nie zapominajmy, iż " to iloczyn skalarny,
którego wartość bezwzględną oblicza się następująco:
= " = cos
Gdzie to kąt między wektorami. W naszym przypadku, mamy dwa takie same wektory, zwrócone w tym
samym kierunku (w końcu są to te same wektory& ), więc kąt między nimi wynosi 0o. Automatycznie,
cosinus 0 stopni wynosi 1:
37
1 1 1
| | | | | |
= - " = - cos 0° = -
2 2 2
1 (0 ; ) 1 1
| | ( ) ( )
= - = - - = -
2 ( ; 0) 2 2
Podpunkt e)i f)
Jeśli praca wykonana przy pełnym obiegu jest równa 0, to siła jest zachowawcza.
Czasami w życiu zdarza się tak, że coś nie wychodzi mimo tego, że powinno teoretycznie wyjść (jak mówi
słynny cytat -  shit happens ). I wtedy okazuje się, że gdzieś jest błąd. Podpunkty poniżej
najprawdopodobniej zawierają takowy, lecz z powodu braku chęci i czasu nie szukałem go. Polecam w tym
miejscu lekturę odpowiedzi do zadań Pana Hennela.
Podpunkt g)
WracajÄ…c do podpunktu b):
= +
2
Z definicji pracy otrzymujemy:
1
( )
= " = - = -

2
1
= -
( ; )
2
1
=
( ; )
2
1
=
( )
2
Podpunkt h)
1
= + = + +
2 2
Podpunkt i)
Moment pędu obliczymy z iloczynu kartezjańskiego wektora przemieszczenia i pędu (wprowadzamy w
składowych prędkości jeszcze składową z mimo tego, iż równa jest zero, ponieważ będziemy stosować
macierz do obliczenia iloczynu  w przypadku niejasności odsyłam do podpunktu a)):
= × = ×
( ) (- )
= ; ; = sin ; cos ; 0 = - ; ; 0
= ( ; ; 0)
Macierz rozwiÄ…zujemy metodÄ… Saurrusa (najpierw dopisujemy dwa pierwsze wiersze pod macierzÄ…, a
następnie, tak jak jest to pokazane na ilustracji poniżej, mnożymy przez siebie na skos, od góry do dołu,
najpierw czerwone linie, a następnie zielone):
38
  
0 =  " 0 + + -  " 0 - - - 0 - 0

× =
- 0
× = - - = +
Wersor oznacza, iż wektor znajduje się w płaszczyz
nie osi z.
= +
= cos
= sin
cos sin
( )
= + = cos + sin
Używając ponownie jedynki trygonometrycznej otrzymujemy:
( )
= cos + sin =
Zadanie A4.2 Hennel, III.6
( )
Obliczyć pracę wykonana przez siłę ; ; = ( ; - ; 5) przy przejściu od punktu A = (-1, 0, 0) do B = (1, 0, 0)
a) po prostej wzdłuż osi x,
b) po półokręgu w płaszczyz
nie XY (Rys. 1)
Zadanie A4.3
W przedstawieniach cyrkowych akrobaci popisują się jazdą na motorze po wewnętrznej ścianie w kształcie walca (beczki),
którego podstawa stoi na ziemi. Z jaką minimalną prędkością vm może jechać motocyklista po ścianie walca o średnicy d = 18
m, jeżeli środek ciężkości motocyklisty znajduje sie w odległości x = 1 m od miejsca styku kół ze ścianą, a współczynnik tarcia
statycznego kół o ścianę wynosi f = 0.4. Pod jakim kątem względem poziomu jedzie motocyklista, jeśli jego prędkość wynosi v =
20 m/s?
=
= =
=
= 8 = -
2
39
 " =
" =
10
= = 8 " = "200 = 14
0,4
= tan
= tan = 11°
Zadanie A4.4 Hennel
Kulka o masie m ześlizguje sie bez tarcia po powierzchni kuli o promieniu R. W którym miejscu i z jaka prędkością kulka
oderwie siÄ™ od kuli?
W rozwiązaniu zadania zakładamy, iż będziemy
obliczenia wykonywać dla pełnej wysokości h=2R, a
nie h=R (oba sposoby sÄ… poprawne  kwestia tylko
właściwej interpretacji wyniku):
! = 2
cos =
= cos
+ = +
= 0
= ! = 2
=
2
= ! = ( + )
+ = +
0 + 2 = + ( + )
2
( )
2 - cos + =
2
= 4 - 2( cos + ) = 4 - 2 cos - 2
= 2 - 2 cos = 2 (1 - cos )
W górnym punkcie, siłą dośrodkowa oraz siła ciężkości małej kulki mają ten sam kierunek. Aczkolwiek, wraz
z jej staczaniem się, zmienia się kierunek siły dośrodkowej.
= cos
cos =
(
2 1 - cos )
cos = = 2(1 - cos )
cos = 2 - 2 cos
2
1 = - 2
cos
2
cos =
3
40
Zadanie A4.5
Wyjaśnić, dlaczego kosmonauta w statku kosmicznym znajduje się w stanie nieważkości (silniki statku wyłączone).
Zadanie A4.6 Hennel III.13
W pociÄ…gu poruszajÄ…cym siÄ™:
a) ze stała prędkością v,
b) ze stałym przyspieszeniem a, wisi na sznurku masa m.
Jakie jest odchylenie sznurka od pionu?
W przypadku podpunktu a) nie otrzymamy
odchylenia, bowiem na ciało nie działa żadna siła
bezwładności, skierowana przeciwnie do siły
wywołującej pewne przyspieszenie. Natomiast
odchylenie w przypadku b) obliczamy następująco:
= 90° -
Musimy pamiętać, iż oraz to składowe siły .
Najpierw zajmiemy się siłami działającymi w
wzdłuż osi X:
=
cos =
Następnie siłami działającymi wzdłuż osi Y:
=
sin =
Dzięki temu otrzymujemy wyrażenie na siłę :
= =
sin cos
=
sin cos
sin
= tan = tan =
cos
Zadanie A4.7
Dz
wig unosi w górę ciężar o masie m = 500 kg ze stałym przyspieszeniem = 1,2 . Jaka pracę wykona do momentu
osiągnięcia przez ciężar wysokości h = 10 m ?
UKA
AD INERCJALNY UKA
AD NIEINERCJALNY
= " !
Jest to układ związany z człowiekiem stojącym na
- =
skrzyni  dla niego skrzynia się nie porusza. FB to siła
= +
bezwładności.
( )
= +
= +
( )
= + !
( )
= +
( )
= + !
41
 = +
" = ! 2
Zadanie A4.8
W windzie zjeżdżającej z przyspieszeniem a = 2 m/s2 umieszczono dwie jednakowe skrzynie połączone sztywnym drutem, o
masach M = 20 kg. Z jaką maksymalną siłą możemy pociągnąć skrzynie 1, aby postawiony na drugiej płaski klocek o masie m =
1 kg nie poruszył się? Współczynnik tarcia skrzynia-podłoże f1 = 0.1, a klocek-skrzynia f2 = 0.2.
Najważniejszym warunkiem naszego zadania, jest to, by mała skrzynia nie poruszyła się, a więc, by siła
tarcia zniwelowała siłę bezwładności, czyli:
=
Ze względu, iż skrzynie zjeżdżają, wartość siły ciężkości jest pomniejszona o wartość przyspieszenia windy.
Dodatkowo musimy pamiętać, iż siła tarcia dużych skrzyń uwzględnia również masę małej skrzyni.
( )( )
= " = " 2 + -
( )
= " = " -
( )
= + 2 + "
( )
= " -
= ( - )
( )
= + 2 + " ( - )
( )( ) ( )
= " 2 + - + " 2 + ( - )
( )( )( )
= 2 + - +
Zadanie A4.9
Z jakim zewnętrznym przyspieszeniem powinna się poruszać równia pochyła o kącie nachylenia ą, aby leżący na niej klocek o
masie m pozostał nieruchomo względem jej powierzchni? Współczynnik tarcia klocek  równia wynosi f, tarcie równi o podłoże
zaniedbać.
1o Klocek jedzie w dół: 2o
(
= + sin Ä… + cos Ä… + sin Ä…) = cos Ä…
sin
( ( Ä… + cos Ä…)
sin Ä… = cos Ä… + sin Ä…) + cos Ä…
=
(sin Ä… - cos Ä…)
cos Ä… - sin Ä…
=
sin Ä… + cos Ä…
Część wspólna jest rozwiązaniem zadania.
Zadanie A4.10 Hennel I.60
Pociski V-2, którymi Niemcy w czasie II Wojny bombardowali Londyn, przebywały drogę s = 300 km i doznawały odchylenia x =
3700 m. Zakładając, że pociski leciały ze stałą prędkością i poruszały się wzdłuż południka, znalez
ć czas ich lotu. Przyjąć
szerokość geograficzną Londynu Ć = 52o, okres obrotu Ziemi T H" 86000 s. (w zadaniu powinna być podana szerokość
geograficzna wystrzału, a nie Londynu)
42
Należy pamiętać, iż rakieta ma już sporą prędkość na
wschód na starcie:
=
Wzór na przyspieszenie Coriolisa:
= 2 ×
= 2 sin = 2 sin
1
=
2
1
= " 2 sin " = sin
2
2
=
2
= sin
=
2 sin
Zadanie A4.11 Hennel I.61
Znalez
ć odchylenie ku wschodowi x ciała spadającego z wieży o wysokości h w polu grawitacyjnym Ziemi, w zależności od
szerokości geograficznej Ć na której znajduje sie wieża.
Zadanie A4.12-1
Z jakiej wysokości należy:
a) zsunąć bez tarcia masę m,
b) stoczyć bez poślizgu kulkę o masie m i promieniu r
aby pokonała pętlę o promieniu R (Rys. 2). Policzyć siły działające na punkt i masę w punktach A, B i C.
a) b)
= + = + 0
=
2
= + = 2 +
=
2
5
=
43
 = 2 +
= =
2
= 2 + = + = + 2 +
2 2 2
= =
= + 2 + =
2 2
= 1 2 1
= " " =
2 2 5 5
= 2 +
2
1
= 2 +
+ 2 + =
2
2 5
= 2 + 0,5 = 2,5 1 1
+ 2 + =
2 5
=
=
=
1 1
+ 2 + =
2 5
= 0,5 + 2 + 0,2 = 2,7
Zadanie A4.12-2 Hennel III.74
Na pionowo ustawionym, obracającym się wokół średnicy pionowej okręgu o promieniu R (Rys. 3) znajduje się koralik. Układ
znajduje siÄ™ w ziemskim polu grawitacyjnym. Znalez
ć punkty na okręgu, w których koralik może się znajdować w spoczynku.
Zadanie A4.13 Hennel III.77
Dwaj myśliwi polowali na wilki. Jeden strzelał do wilka znajdującego się na zachód od niego, drugi do wilka znajdującego się na
południe. Obaj spudłowali i tłumaczyli to istnieniem siły Coriolisa. Który z nich miał prawo tak się tłumaczyć, jaka jest wielkość
odchylenia toru pocisku, jeżeli średnia prędkość lotu v0 = 300 m/s, czas lotu t = 1 s, szerokość geograficzna Ć = 49o?
| | = 2| × | = - Å‚ Å›
44
W tym przypadku, pocisk będzie odchylany na W tym przypadku, pocisk będzie odchylany w
zachód (tor pocisku będzie zakrzywiony). kierunku ziemi (będzie przyciągany, będzie spadał).
" "
( )
= 2 sin 180° - " = sin
1
= 90°
" = = sin
2
2
2
" = 300 " " sin 49° " 1
" = = 300 " " 1
86400
86400
" = 1,6 [ ]
" = 2,18 [ ]
Inżynieria Biomedyczna, zestaw nr 5 - bryła sztywna, zas. zachowania, zderzenia
Zadanie A5.1
Wyprowadzić wzory na główne momenty bezwładności dla cienkiego pręta o długości l, kuli o promieniu R. (rozwiązanie tego
zadania można znalez
ć w większości podręczników o podstawach fizyki lub na Google.pl)
Zadanie A5.2
Jednorodny walec o promieniu R = 10 cm i masie M = 0.8 kg stacza sie bez poślizgu z równi pochyłej o kacie nachylenia ą = 39o i
wysokości H = 1.3 m. Obliczyć moment siły działający na walec, prędkość kątową i liniowa walca po stoczeniu sie z równi.
= 10 = 0,1
= 0,8
= 39°
= 1,3
Musimy w tym miejscu wprowadzić pojęcie
momentu siły:
= ×
= sin
Gdzie kąt jest kątem między wektorem promienia i siły. W przypadku naszego zadania, kąt między
promieniem bryły i siły tarcia wynosi 90o, a więc sinus tego kąta jest równy 1:
- =

sin =
Gdy nie ma poślizgu, to = :
=

-
=
=
Pamiętajmy, iż siła FS to składowa siły Q, a więc używając twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:
=
sin -
=
=
Następnie łączymy wszystko w całość, wyprowadzając wyrażenie na przyspieszenie:
45
 sin - sin - "
sin -
= = =
= sin -
Moment bezwładności I walca to:
1
=
2
1 1
= sin - " = sin -
2 2
3
= sin
2
2
= sin
3
Teraz przechodzimy do obliczenia prędkości walca:
+ = +
0 + = + + 0
2 2
=
1
= + "
2 2 2
1 1 1 1 1
= + " " = +
2 2 2 2 4
3
=
4
4
=
3
Zadanie A5.3
Na bloczku w kształcie jednorodnego walca o promieniu R i masie M nawinięta jest nić, na końcu której wisi ciało o masie m.
Jaką prędkość kątową będzie miał bloczek w chwili, gdy ciało opuści się na odległość h ? (rys. 1)
- =
- =
= -
" sin( ; ) = "
sin( ; ) = sin 90° = 1
=
1
= =
2
1
= "
2
1
=
2
46
1
- =
2
1
= + = +
2 2
=
+
2
1
! = ! + +
2
1
! =
2
= =
=
1
! = " =
2 2
2 !
=
2!
=
+
2
Zadanie A5.4 modyfikacja zad. 4/zest. 4 (A4.4)
Kulka o promieniu r (r niezaniedbywalny) stacza się bez poślizgu (czyli występuje tarcie) ze szczytu nieruchomej kuli o
promieniu R. W którym miejscu i z jaką prędkością oderwie się od jej powierzchni?
W tym przypadku, za podstawę wysokości przy
rozwiązywaniu zadania, będziemy brali tylko promień R, a
nie np. 2R.
sin =
+
Warunek:
= sin
= sin
+
= ( + ) sin
Pamiętając, że w naszym przypadku h w punkcie początkowym 1 to R+r, a w punkcie końcowym 2 to
( )
+ sin (ponieważ sin = możemy zmiany energii rozpisać w sposób następujący:
+ = +
( ) ( )
0 + + = + + + sin
2 2
W następnym przekształceniu musimy użyć momentu bezwładności kuli = oraz użyć wzoru = :
2 1
( ) ( )
+ = + " " + + sin
2 5 2
1 1
( + ) = + + ( + ) sin
2 5
1 1
( ) ( )
+ = + + + sin
2 5
47
Teraz powracamy do wzoru na prędkość, wyprowadzonego wcześniej = ( + ) sin :
7
( ) ( )
+ = ( + ) sin + + sin
10
7
1 = sin + sin
10
17
1 = sin
10
10
= sin
17
sin = 54°
Zadanie A5.5
Na szczycie równi o kącie nachylenia ą znajduje się kulka o promieniu r. Współczynnik tarcia posuwistego kulki o równię
wynosi f, a współczynnik tarcia tocznego jest równy k. Opisz ruch kulki po jej puszczeniu w zależności od wartości kąta ą w
przypadku gdy k < fr. Wskazówka: rozpatrzyć 3 przypadki: spoczynek, toczenie bez poślizgu, toczenie z poślizgiem.
TOCZENIE BEZ POÅšLIZGU:
Rozważamy tutaj przyspieszenie środka masy. W
poziomie działają dwie siły  siła tarcia T oraz składowa
pozioma siły Q, które dają wypadkowe przyspieszenie aŚM:
= sin -
Åš
Wprowadzamy teraz moment siły  kąt między
promieniem, a siłą T wynosi zawsze 90 stopni, a więc
sinus tego kÄ…ta to 1:
= =
2 2
= = =
5 5
W przypadku ruchu bez poślizgu, możemy napisać, iż:
Åš
=
2 2
Åš
= " =
Åš
5 5
5
=
Åš
2
Wracamy teraz do wzoru z początku zadania wstawiając wyrażenie na przyspieszenie środka masy:
5
= sin -
2
5
+ = sin
2
2
= sin
7
5 2 5
= " sin = sin
Åš
2 7 7
TOCZENIE Z POÅšLIZGIEM:
Ponownie możemy stwierdzić iż (tym razem nie używamy pojęcia środka masy):
= sin -
= =
Aczkolwiek musimy teraz postawić dwa warunki:
`"
48
 = = " = " cos
Teraz możemy przystąpić do rozwiązywania zadania podstawiając wzór na tarcie do początkowego
wyrażenia.
= sin - " cos
( )
= sin - cos
" cos " 5 5 cos
= = = " cos " " =
2 2
= -
Å› Å›
5
( ) = sin - cos - cos
Å›
2
7
> tan
2
> 45°
Zadanie A5.6
W drewnianą kulkę o masie 2 kg spadającą z wysokości 5m wbija się 2 metry nad ziemią pocisk karabinowy o masie 10 g lecący
poziomo z prędkością 360 km/h. Obliczyć w jakiej odległości od pionu upadnie kulka. Przyjąć, ze pocisk nie zaburza ruchu kulki
w kierunku pionowym.
= 5
! = 2
=
1
=
2
2
=
- = "
= - "
2 2( - !)
= -
W przypadku zderzenia niesprężystego zachowany
jest pęd:
( )
+ = +
Ponieważ kulka nie miała prędkości poziomej, więc:
= 0
=
( )
= +
=
+
( )
2 2 - !
= " = " -
+
Zadanie A5.7
Pojazd kosmiczny wyrzuca paliwo z prędkością  względem pojazdu. Masa początkową i prędkość pojazdu wynoszą M0 i v0,

szybkość zmian masy jest stała i wynosi = -ą. Ułożyć i rozwiązać równanie ruchu pojazdu.

= = -
;
49
 - " ; = + "
Prędkość to prędkość paliwa względem obserwatora z zewnątrz., natomiast - to prędkość paliwa
względem statku.
+ = -
Wprowadzimy teraz pędy:
( )
= - " ( + " )
= "
"
= 0
"
- ( - " + " - "
)( )
= 0
"
- + " - " - " " - "
= 0
"
Wyrażenie " " jest bardzo małe, a więc możemy je przyrównać do 0, przez co po przekształceniu
otrzymujemy:
" - " ( + )
= 0
"
Przez to, że mamy tu do czynienia z bardzo małymi zmianami masy i prędkości po czasie, więc możemy
przekształcić powyższe wyrażenie w równanie z pochodnymi:
- ( )
+ = 0
Teraz wracamy na początek  zastosujemy teraz ten element = - , równocześnie zamieniając +
na - prędkość paliwa względem statku:
= +
- = 0
Teraz rozwiążemy równanie:
= -
= -
= -
= - +
By wyeliminować stałą C, podstawiamy warunki początkowe, czyli t=0 i M=M0:
= - " 0 +
=
= -
I wracamy ponownie do wyrażenia sprzed rozwiązywania równania, łącząc je z wyliczonym wynikiem:
- = 0
( - =
)
=
-
=
-
( )
= = ln(M - ) + C2 = - ln M - + C2
- -
= - ln(M - ) + C2
By obliczyć stałą C , przyrównujemy wyrażenie do warunków początkowych, czyli t0=0, M0, v0:
50
 = - ln(M ) + C2
C = + ln(M )
( ( ) ( ))
= - ln(M - ) + + ln(M ) = + ln M - ln M -
M
= + ln
M -
Gdzie v0 to prędkość początkowa rakiety, natomiast vP to prędkość paliwa względem rakiety.
Zadanie A5.8 Hennel III.59
Kulka o masie mA uderza centralnie w spoczywającą kulkę o masie mB, która z kolei uderza centralnie w spoczywającą kulkę o
masie mC (Rys. 2). Udowodnić, że gdy mA > mB > mC lub mA < mB < mC to prędkość uzyskana przez kulkę C będzie większa, niż
przy bezpośrednim zderzeniu kulek A i B (gdyby nie było kulki B). Dla jakiej masy kulki B prędkość ta jest największa?
Przypadek pierwszy:
= +
( - =
)
= +
2 2 2
= +
- =
( - ( + ) =
)
( + ) =
+ =
- -
= =
+ +
2 2
= =
+ +
4
=
( + )( + )
Przypadek drugi:
2
2 2 =
+
Stosunek VC do VC :
4 1 +
= " "
( + )( + ) 2
2 ( + )
= > 1
( + )( + )
Warunek, w którym ten stosunek jest większy od jedynki następuje wtedy gdy:
( ) ( )( )
2 + > + +
2 + 2 > + + +
+ > +
- + - > 0
( - ) + ( - ) > 0
( - - ( - ) > 0
)
51
( - ( - ) > 0
)
( )
By był spełniony powyższy warunek, to albo - i ( - ) muszą być dodatnie, albo oba
ujemne. By sytuacja pierwsza miała miejsce, to:
( < ( < )
)
( < <
)
Natomiast, jeśli oba mają być ujemne (i niezerowe!), to:
( > ( > )
)
( > >
)
Zadanie A5.9
Cząstka o masie m1 i prędkości zderza się całkowicie sprężyście z nieruchomą cząstka o masie m2 < m1 (Rys. 3). Znalez
ć
maksymalną wartość kąta o jaki odchyli się padająca cząstka, zakładając że cząstka 2 będzie poruszała się wzdłuż osi x po
zderzeniu. Czy zadanie da się rozwiązać bez dodatkowego założenia?
= ; = ;
( ) ( )
= ( cos ; sin )
= ; = ;
( ) ( )
= ( cos ; sin )
= ; = ; = ( ; 0)
( ) ( )
= +
cos = cos +
sin = sin

1 1 1
= +
2 2 2
sin = sin
( cos - = cos
) ( )
( sin = sin
) ( )
Używając jedynki trygonometrycznej ( + = 1) otrzymujemy:
( cos - + sin =
) ( ) ( )
Zadanie A5.10
Rozwiązać poprzednie zadanie w przypadku m1 = m2, bez zakładania kierunku ruchu cząstki 2 po zderzeniu. Pod jakimi kątami
poruszać się będą kulki?
Zadanie A5.11
Masa m1 zderza się sprężyście ze spoczywającą masą m2 = 5 kg tak, że jej prędkość maleje 6 razy. Oblicz m1.
Zadanie A5.12
Ciało o masie m1 = 0.2 kg i prędkości v0 = 4 m/s zderza się całkowicie niesprężyście z ciałem o masie m2 = 0.1 kg leżącym u
podstawy równi o kącie nachylenia ą = 30o. Na jaką największą wysokość wjedzie układ mas po zderzeniu, jeżeli współczynnik
tarcia o powierzchnie równi wynosi f = 0.1?
52
Zadanie A5.13
Obliczyć prędkość kuli karabinowej o masie m1 = 100 g, jeżeli wstrzelona poziomo do worka z piaskiem o masie m2 = 5 kg,
zawieszonego na linie o długości l = 2.5 m, spowodowała jego odchylenie od pionu o kąt ą = 60 stopni. Jaki procent energii kuli
zamieniło sie na ciepło?
Zadanie A5.14
Krążek hokejowy o promieniu r i masie m wiruje z prÄ™dkoÅ›ciÄ… É i sunie po lodzie z prÄ™dkoÅ›ciÄ… liniowa v0 w kierunku
identycznego spoczywającego krążka. W momencie zderzenia krążki sklejają się, zderzenie jest centralne. Oblicz:
a) Prędkość liniowa układu po zderzeniu
b) Moment pędu układu względem środka masy przed zderzeniem i po zderzeniu
c) Prędkość kątowa układu wokół środka masy po zderzeniu (punkt styku)
d) Ile energii zostało stracone w zderzeniu
Tarcie zaniedbujemy.
= 2
=
2
Wprowadzamy tutaj pojęcie momentu pędu L:
1
= =
2
=
Moment bezwładności liczymy z twierdzenia Steinera:
1 3
= + = + =
2 2
Moment bezwładności układu będzie podwojeniem
momentu bezwładności pojedynczego krążka, czyli:
= 3
=
= = 3
3 = 3
=
6
1 1 1 1 1
= + = + " "
2 2 2 2 2
1 1 1 3
= + = +
2 72 2 72
5
" = - + - = +
2 4 4 24 4 24
Zadanie A5.15
Odosobniona wirująca gwiazda, będąca jednorodna kulą, zapada sie pod wpływem własnego oddziaływania grawitacyjnego
dwukrotnie zmniejszając okres obiegu wokół własnej osi. Obliczyć zmianę natężenia pola grawitacyjnego przy powierzchni
gwiazdy.
=
=
2 2
=
5 5
=
53
 = 2
2 2 4
= = =
4
=
2
" 1
= =
4 2
Natężenie pola grawitacyjnego oznaczamy :
1
= = " =
1 1 1
= " = " =
2 2
= 2
Zadanie A5.16*
Kula o promieniu R toczy się bez poślizgu z prędkością V po poziomej płaszczyz
nie i napotyka próg o wysokości h (rys. 4)
Obliczyć prędkość kuli po wtoczeniu się na próg, zakładając że nie ma poślizgu w chwili stykania się z progiem.
Inżynieria Biomedyczna, zestaw nr 6 - drgania, grawitacja
Zadanie A6.1
WahadÅ‚o wychylono o kat Ä…0 = 3 stopnie i nadano mu w tym poÅ‚ożeniu prÄ™dkość kÄ…towa É0 = 0.2 1/s. Obliczyć maksymalne
wychylenie kątowe, maksymalną prędkość kątową i energię kinetyczną, jeżeli okres wahań jest równy T = 2 s. Obliczyć fazę
początkową wahań.
= cos( + )
= = - sin( + )
= = 2
2
( )
= cos

( )
= - sin
=
( )
cos

- =
( )
sin
= -
( ) ( )
cos sin
tan( ) = - = -
2
54
( )
= cos

( )
= sin
( )
= cos

( )
= sin
KorzystajÄ…c teraz z jedynki trygonometrycznej:
( ) ( )
+ = sin + cos =
= 3° =
60
= + = 0,004 + 0,003 = 0,082 = 4,67°
= 4,67° cos( - 0,83 )
Zadanie A6.2
Wagon z zawieszonym na suficie wahadłem matematycznym o długości l = 0.5 m porusza sie po torze poziomym z
przyspieszeniem a = 2 m/s2. Znalez
ć okres małych drgań.
Zadanie A6.3
Punkt o masie m może poruszać się tylko po prostej i jest przyczepiony do sprężyny zamocowanej w odległości L od prostej.
Sprężyna o długości L jest naciągnięta siłą F. Znalez
ć częstość drgań masy m. (Rys. 1)
Punkt R na rysunku to punkt równowagi. Pozioma
składowa siły F1, czyli F1X to siła powodująca powrót
masy do punktu równowagi.
( ) -
=
( )
= -
=
= "
= " " cos = " " =
A więc uzyskujemy wniosek, iż przypadek który rozpatrujemy jest równoważny przypadkowi z poziomą
sprężyną.
( ) - =
=
+ = 0
+ = 0
= + = 0
55
Dzięki tym przekształceniom otrzymujemy wzór oscylatora + = 0, którego rozwiązaniem jest:
= cos( + )
= =
Zadanie A6.4 Hennel
Jednorodny walec o masie m i promieniu a toczy siÄ™ wewnÄ…trz nieruchomego walca o promieniu R. Znalez
ć równanie ruchu dla
walca wychylonego w chwili początkowej o kąt ą0. Kiedy otrzymane równanie można w prosty sposób rozwiązać? (Rys. 2)
( )
=
( )
= ( - )
( )( )
-
= =
3
= + =
2 2 4
( ) ) ( ) ( )( ( ))
! = - - ( - cos = - 1 - cos
3
( )( ( ))
= + - 1 - cos
4
Metoda Hamiltona/Lagrange a:
= 0
3
+ ( - )(1 - cos ( )) = 0
4
3
( )( ) ( )( ( ))
- + - 1 - cos = 0
4
3
( ) [( ) ]
" 2 " " " " - + - sin " = 0
4
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
- = - " 2
56
3
( )
- + sin = 0
2
ZakÅ‚adamy, że < 7°, a wiÄ™c sin H" :
3
( )
- + = 0
2
2
+ = 0
3 -
2
=
3 -
+ = 0
Otrzymaliśmy równanie oscylatora, którego rozwiązaniem jest:
= cos( + )
Gdy wprowadzimy warunki poczÄ…tkowe = 0, = , a cos( + ) = 1 (wtedy i tylko wtedy gdy = 0
i = 0), to otrzymamy, że:
( ) = cos( )
Zadanie A6.5
Ciało o masie m1 = 50 g poruszające się z prędkością v = 0.5 m/s zderza się całkowicie niesprężyście ze spoczywającym ciałem o
masie m2 = 100 g, przyczepionym do sprężynki o współczynniku k = 5 N/cm (Rys 4). Znalez
ć:
a) okres drgań układu po zderzeniu
b) zależność położenia układu od czasu po zderzeniu (amplituda + równanie drgań)
Zadanie A6.6
Na środku gumki o długości początkowej 2a zamocowanej na końcach przyczepiono obciążnik. W stanie równowagi połówki
gumki tworzą kąt prosty (jak na rysunku). Wyznacz okres małych pionowych drgań obciążnika po wytrąceniu go z równowagi.
Zakładamy, że gumka jest nieważka i podlega prawu Hooke a. (Rys. 3)
Zadanie A6.7
Sznurek, do którego umocowano ciało o masie m, jest przywiązany do deski, która wykonuje drgania harmoniczne o
amplitudzie A w kierunku pionowym (Rys. 5). Jaka może być częstotliwość drgań, aby sznurek nie zerwał się, jeżeli wytrzymuje
siłę N0?
57
 = -
= -
- = -
- = -
)
= - (- = +
= = 2
Zadanie A6.8
Wyprowadzić wzór na okres drgań wahadła fizycznego w postaci pręta o długości l i masie m, zaczepionego w 1/5l od końca.
Zadanie A6.9
W jakiej odległości RS od środka Ziemi powinien krążyć satelita, aby znajdował się stale nad tym samym punktem na kuli
ziemskiej? Wynik wyrazić przez ogólnie znane wielkości: promień Ziemi RZ, przyspieszenie ziemskie g i czas obiegu Ziemi wokół
własnej osi TZ.
=
=
=
=
2 2
= = =
2 4
= =
Satelita jest cały czas nad tym samym miejscem więc jego okres obiegu będzie równy okresowi obiegu
Ziemi.
4
= =
4
=
=
4
=
4
Zadanie A6.10
W ołowianej kuli o promieniu R i masie M wydrążono kulistą wnękę o promieniu R/2. Jaką siłą grawitacyjną kula będzie
przyciągać mniejszą kulkę o masie m? Odległość środków kul wynosi d. (Rys. 6)
58
Wedle zasady superpozycji:
= -
=
Musimy teraz zastosować wzór na gęstość kuli
(masa przez objętość):
= =
4
3
4 4
= = " =
4
3 2 3 2 8
3
=
8 -
2
1 1
= - = - = -
8 - 8 -
2 2
Zadanie A6.11
Ciało o masie m zostało puszczone swobodnie do tunelu przewierconego przez środek Ziemi. Ułożyć i rozwiązać równanie
ruchu tego ciała. Obliczyć prędkość ciała w momencie przechodzenia przez środek Ziemi i jej stosunek do I prędkości
kosmicznej. Przyjąć, że Ziemia jest jednorodną kulą o znanej masie M i promieniu RZ.
Poniższy wzór jest słuszny w przypadku mas
punktowych i sferycznych:
= =
Musimy teraz zastosować wzór na gęstość kuli
(masa przez objętość):
=
= =
4
3
Gęstość części wewnętrznej jest taka sama jak
gęstość całej Ziemi, a więc zachodzi równość:
=
4 4
3 3
=
59
 = = " =
Ponieważ oś jest na zewnątrz, więc siła jest z minusem:
= - =
- =
+ = 0
= =
+ = 0
Otrzymaliśmy właśnie wzór na oscylator harmoniczny, a więc ciało wrzucone do takiego tunelu
przechodzącego przez środek Ziemi, oscylowałoby w górę i w dół.
+ = 0
2
= =
2
= = 2
Rozwiązaniem ogólnym równania oscylatora jest:
( ) = cos( + )
= - cos( + )
+ = 0
- cos( + ) = 0
( - cos + = 0
( ))
( ( ) - cos + = 0
cos + ( ))
Dla ciała puszczonego swobodnie mamy = 0, = oraz = 0 (przypominam, że prędkość to
pochodna po drodze, a więc wystarczy z x(t) policzyć pochodną by uzyskać v(t) podane poniżej):
( ) = cos( + )

( ) - sin( + )
=
( )
0 = cos( ) =
(0) = - sin( ) = 0
Ponieważ w naszym przypadku sin( ) = 0, więc sinus musi być równy zero ( = 0). By ta
zależność miała miejsce, = 0. Dzięki temu wiemy, że cosinus będzie równy jeden ( = 1):
cos( ) = =
( ) = cos( )

( ) - sin( )
=
Jeśli = , to otrzymamy zależność, że:
= - sin( )
1 2
= = =
4 5 2
= -
Wracając teraz do wzoru na omegę ( = ), otrzymujemy, iż:
60
| | = = = =
Jest to pierwsza prędkość kosmiczna! Wprost genialne! :D
Zadanie A6.12
Zegar wahadłowy posiada wahadło, którego okres drgań na powierzchni Ziemi wynosi T = 1 s. Czy zegar będzie dokładnie
odmierzał czas w schronisku w Morskim Oku (na wysokości ok. 1500 m n.p.m.)? O ile będzie się mylił na dobę?
Zadanie A6.13
Jaką najmniejszą pracę należy wykonać, aby przenieść ciało na Księżyc? Założyć, że wzajemne położenie Ziemi i Księżyca nie
zmienia się w trakcie ruchu ciała.
Zadanie A6.14
Satelita porusza się wokół planety po orbicie o promieniu R, z okresem T. Znalez
ć masę planety oraz natężenie pola
grawitacyjnego przy jej powierzchni g, jeżeli pierwsza prędkość kosmiczna dla tej planety wynosi V1.
Zadanie A6.15
Dane są następujące wielkości dla pewnej planety: czas trwania 1 doby Td, promień orbity satelity stacjonarnego R i pierwsza
prędkość kosmiczna V1. Obliczyć: a) masę planety, b) okres drgań wahadła o długości l na powierzchni planety.
Inżynieria Biomedyczna, zestaw nr 7 - fale mechaniczne, hydrodynamika,
mechanika relatywistyczna
Zadanie A7.1
Ile razy zmieni się długość fali dz
więkowej przy przejściu z powietrza do wody? Prędkość dz
więku w wodzie 1480m/s, w
powietrzu 340 m/s.
Zadanie A7.2
Określić częstotliwość drgań dz
więku w stali, jeśli odległość między najbliższymi punktami fali o różnicy faz 90o wynosi 1.54 m.
Prędkość dz
więku w stali 5000 m/s.
- = 0
2 2
( - = - +
) ( )
2
2 2 2 2 1
- = - +
2
2( - ) 1
= =
2
- =
4
= 4( - ) =
( )
4 -
61
Zadanie A7.3
[ ( ) ]
Załóżmy, że generator dz
więku wysyła płaską monochromatyczną falę akustyczną o równaniu = cos - ; 0 ; 0 .
Dwa identyczne generatory L1 i L2 ustawiono prostopadle do osi z, przy czym generator 2 znajduje sie o " przed 1. Student
stoi w punkcie przecięcia osi. Znalez
ć warunki na " , dla których nastąpi wzmocnienie lub wygaszenie dz
więku słyszanego
przez studenta.
[ ( ) ]
= cos - ; 0 ; 0
[ ]
W równaniu fali, każda z wartości jest przyporządkowana konkretnej współrzędnej = ; ; . Należy
w tym miejscu zwrócić uwagę, iż mimo zerowej współrzędnej Z, w równaniu fali pojawia się ta współrzędna
jako . Jest to tak zwany wektor falowy, związany z długością fali zależnością:
2
=
Mówi on nam również, w którym kierunku fala propaguje, rozchodzi się. A więc otrzymujemy wiadomość,
że nasza fala jest falą podłużną (fale akustyczne są podłużne - tylko jedna składowa, reszta zerowa -
[ ]
= ; 0 ; 0 ). Teraz przechodzimy do zadania  mamy dwa generatory fal U1 i U2:
( )
= cos -
( )
= cos -
( )
= cos - - "
W zadaniu chodzi nam o obliczenie interferencji fal, a więc je zsumujemy według wzoru na sumę
cosinusów:
( ) ( )
+ = cos - + cos - - "
( - - - - " - + - - "
) ( ) ( ) ( )
+ = 2 cos cos
2 2
- " 2 - 2 + "
= 2 cos cos
2 2
- " "
= 2 cos cos - +
2 2
By otrzymać wzmocnienie (cosinus jest funkcją parzystą, a więc minus nie ma znaczenia  sprawdz
na
kalkulatorze :P ):
"
= 2 cos - +
2
"
cos = 1
2
"
= " = 2
2
" =
Natomiast by otrzymać wygaszenie:
= 0
"
= + " = 2 +
2 2
1
( )
" = + = 2 + 1
2
62
Zadanie A7.4 Halliday, rozdz. fale dz
więkowe
Syrena wysyłająca dz
więk o częstotliwości 1000 Hz oddala sie od nas w kierunku stromej ściany skalnej z prędkością 10 m/s.
Dz
więki o jakiej częstotliwości będziemy słyszeć? Czy wystąpią dudnienia?
EFEKT DOPPLERA:
- =
y
Ó A

Wzór na efekt Dopplera (vF to prędkość fali):
= = =
y

-
y
-
=
- y

W przypadku oddalania się, zmieniamy znak, ponieważ
Vy
RÓDA
A jest wtedy ujemne. W przypadku naszego zadania,
z
ródło zbliża się do ściany, która działa jak zwierciadło dla
fali  powstaje obraz pozorny, tak jakby zbliżał się do
obserwatora.
330
= = 1000 = 971
+ y

330 + 110
330
= = 1000 = 1031
- y

330 - 110
Dudnienia, to nałożenie się dwóch fal o odmiennych częstotliwościach:
( + - )
) (
( )
cos + cos = 2 cos cos = 2 cos( 2 1000) cos 2 30
2 2
Otrzymaliśmy falę 1000 Hz modulowaną falą 30 Hz. W przypadku zbliżenia się tych częstotliwości,
wyraz
niej słychać modulację, czyli dudnienia. W naszym przypadku, nie będzie tego słychać.
Zadanie A7.5
Drewniana boja w kształcie walca o polu podstawy S = 1 m2 i wysokości h = 3 m jest obciążona kawałkiem ołowiu o objętości
V0= 0.1 m3 i pÅ‚ywa w wodzie (ÁW = 1000 kg/m3). Ile bÄ™dzie wystawać ponad powierzchnie wody? GÄ™stość drewna Ád = 500
kg/m3, oÅ‚owiu Áo = 11 000 kg/m3. Jaka bÄ™dzie siÅ‚a naciÄ…gu linki Å‚Ä…czÄ…cej ołów i bojÄ™?
63
 = " " 
Åš
=
+ = +
( + ) = - [ (! - ! )]
( + ) - - !
= !
! = 0,5
Zadanie A7.6
Boję z zadania 4 zanurzono (w pionie) dodatkowo o 10 cm i puszczono. Obliczyć okres drgań boi.
Do tego zadania użyjemy oznaczeń z rysunku w poprzednim
rozwiązaniu. Jedyny dodatek jaki wprowadzimy, to długość
x, na którą zanurzono w pionie boję.
= -
= -
= -
Musimy pamiętać, że zanurzamy drewno w wodzie, a nie
wodÄ™ w drewnie!
" = " " "
- - - " + + =
- - = + = 0
-" = = -
= -
+ = 0
+ = 0
=
+ = 0
Otrzymaliśmy w ten sposób równanie oscylatora.
2
= = = 2
( ) = 10 " cos
( )
Zadanie A7.7
Woda porusza się z prędkością 5m/s przez rurkę o przekroju 4 cm2. Rurka stopniowo się obniża o 10m i zwiększa swój przekrój
do 8 cm2. Jaka jest prędkość przepływu na niższym poziomie? Jakie ciśnienie panuje na niższym poziomie, jeśli na górnym
wynosi 2*105 Pa?
64
 = 5 = 4
=? = 8
Prawo ciągłości strugi mówi, że iloczyn wektora objętości i
szybkości jest stały (wektor objętości jest prostopadły do
powierzchni S):
" =
=
= = 2,5
Otrzymujemy tu zasadę działania węży ogrodowych. Gdy końcówka jest węższa od węża, to prędkość
wylotowa jest dużo większa. By obliczyć ciśnienie panujące na niższym poziomie, skorzystamy z równania
Bernoulliego, które można przyrównać do zasady zachowania energii:
Å‚ Ä™ + + =
+ + ! =
2
+ + ! = + + !
2 2
! = 0 ! = 0
+ - - ! =
2 2
H" 3,03 " 10
Zadanie A7.8
Górna powierzchnia wody w szerokiej rurze ciśnieniowej znajduje się na wysokości H nad powierzchnią ziemi. Na jakiej
wysokości h powinien być umieszczony mały otworek, aby wypływający z rury poziomy strumień wody rozbijał się o ziemię w
maksymalnej odległości od podstawy rury? Ile wynosi ta odległość?
+ + ! = + + !
2 2
" =
=
= j" 1
Należy podkreślić w tym miejscu, iż ubytek wody jest
bardzo mały, stąd można stwierdzić, że jest bardzo
małe i zmierza do 0 (a więc H" 0):
0
Dodatkowo, ponieważ zbiornik jest otwarty, więc nie ma
różnicy ciśnień:
=
Kolejnym założeniem będzie podkreślenie, iż ! = 0, a ! = !:
! = = 2 !
2
Nasza prędkość to prędkość spadku swobodnego. Teraz przechodzimy dalej:
( )
1 2 - !
- ! = =
2
65
= = =
( ) ( )
2 - ! 2 - !
= = 2 ! " = 2 !( - !)
[ ( )]
= 2 ! - !
Teraz, ponieważ mamy wzór toru, musimy policzyć pochodną, by uzyskać ekstremum funkcji (stałą funkcji
jest , natomiast zmiennÄ… !:
[ ]
= 2 ! - !
- 2!
( ) ( ) ( )
= 2 ! - ! = ! - ! " - 2! =
( - !
! )
- 2!
=
"! - !
Teraz musimy pochodną przyrównać do zera, pamiętając, że nie można dzielić przez zero:
= 0 <=> - 2! = 0
= 2!
Czyli otworek musi być w połowie wysokości wiaderka. Jedyne pytanie to czy nasze ekstremum jest
minimum, czy też maksimum? Otóż jest to maksimum (można to sobie ładnie narysować).W przypadku,
gdy ! = , strumień dociera na odległość wysokości:
= 2 - = 2 = 2 " =
2 2 4 2
Zadanie A7.9
Jaki musi mieć promień rurka szklana, aby po ustawieniu pionowo i zanurzeniu końca w naczyniu z wodą poziom wody (na
skutek efektów kapilarnych) podniósÅ‚ siÄ™ w rurce na wysokość 3 metrów? NapiÄ™cie powierzchniowe à = 72.75 J/m2.
Zadanie A7.10 Hennel, relatiwistyka
Czy można znalez
ć taki układ odniesienia, w którym Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem zaszłyby:
a) w tym samym miejscu?
b) w tym samym czasie?
Odpowiedz
uzasadnić i podać odpowiadający jej układ odniesienia.
Interwał czasoprzestrzenny (interwał  odległość):
( ) )
= - - ( -
Dzięki temu równaniu otrzymujemy niejako definicję czaso ( - ) przestrzeni ( - ) .
( ; ) = (0 ; 966 )
( )
; = (500 ; 1410 )
( ) 0 )
= (3 " 10 ) 966 - 1410 - ( - 500
= 1,76 " 10 - 2,5 " 10 > 0
Te zdarzenia mogą zajść  interwał jest czasowy, czyli odległość czasowa jest znacznie większa niż
przestrzenna. To znaczy, że te dwa zdarzenia mogą mieć bezpośredni wpływ na siebie. W przypadku
interwału ujemnego nie ma związku między wydarzeniami, ponieważ nawet światło nie jest w stanie
przemieścić się między tymi dwoma wydarzeniami tak szybko (np. jeśli ktoś kichnie na Ziemi i poczeka 9
minut, aż na Słońcu wybuchnie plama, to można dopatrzeć się związku między zdarzeniami, ponieważ
prędkość światła z Ziemi do Słońca to 9 minut). Odpowiadający układ odniesienia to = .
66
Zadanie A7.11 Hennel
W roku 3000 kierowca pojazdu został zatrzymany przez kontrolę ruchu za przejechanie na skrzyżowaniu na czerwonym
świetle. Kierowca tłumaczył się, że widział wyraz
nie światło zielone. Ograniczenie prędkości na tym obszarze wynosiło 0.01 c.
Za co powinien dostać mandat kierowca? (Wykorzystać wynik zad. 7, długość fali światła czerwonego E" 650 , zielonego
E" 550 ).
Zadanie A7.12 Dynamika relatywistyczna
Cząstka o małej masie m (np. elektron) porusza się pod wpływem stałej siły o dużej wartości F (np. jest rozpędzana polem
elektrycznym). Narysować wykres jej prędkości od czasu, stosując relatywistyczny wzór na pęd.
Wersja opracowania  1.1  poprawionych kilka błędów, dodanych kilka wyjaśnień
Wersja opracowania  1.2  dodane artykuły o regule prawej dłoni, macierzach i pochodnych
Wersja opracowania  1.3  dodane wyjaśnienie pochodnej sin i cos
W przypadku błędów w notatce lub pytań i sugestii, proszę kontaktować się z autorem.
Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej.
mail  [e-mail]
www - http://student.agh.edu.pl/~bonesaaa/
Pozdrawiam,
Mike (BNS).
67