Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 1
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA  ZESTAW NR 2
POZIOM ROZSZERZONY
Etapy rozwiązania zadania Uwagi
Wprowadzenie oznaczeń: x, 3x, y  poszukiwane liczby i zapisanie równania:
4x + y =13 lub: zapisanie poszukiwanych liczb z użyciem jednej zmiennej: x, 3x,
1.1 1
13 - 4x .
2
Zapisanie sumy kwadratów poszukiwanych liczb: S = x2 + 3x + y2 lub
( )
1.2 1
2
S = x2 + 3x + (13- 4x)2
( )
Zdający nie musi wyznaczyć
Zapisanie sumy kwadratów szukanych liczb jako funkcji jednej zmiennej:
dziedziny funkcji, o ile
1
13
ś#
1.3 1 przeprowadzi rozwiązanie do
S(x) = 2x2 -8x +13 gdy x "�# 0, .
ś# ź#
końca i otrzyma trzy dodatnie
4
�# #
liczby.
Obliczenie argumentu, dla którego funkcja S przyjmuje wartość najmniejszą: xw = 2
1.4 13 1
ś#
i xw "�#0, więc funkcja S osiąga najmniejszą wartość dla x = 2 .
ś# ź#
4
�# #
1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5. 1
Nr
Nr
Liczba
punktów
zadania
czynności
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 2
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
Sporządzenie wykresu funkcji g.
y
7
g
6
f
5
4
3
2
1
x
2.1 1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
2
-3
-4
-5
-6
-7
x
1 1
�# ś#
2.2 Zapisanie podstawy a lub wzoru funkcji f: a = lub f x = . 1
( )
ś# ź#
2 2
�# #
x-2
1
�# ś#
2.3 Zapisanie wzoru funkcji g: g x = -1. 1
( )
ś# ź#
2
�# #
Podanie wszystkich argumentów, dla których g x > 0 : x "
) 1
2.4 ( ) (-",2 .
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 3
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
Wykorzystanie definicji rozwiązania równania lub twierdzenia o pierwiastkach
3.1 1
wielomianu i zapisanie równania z niewiadomą m: 13 + m3 �"12 - m2 �"1-1 = 0 .
Obliczenie wszystkich wartości m, dla których liczba 1 jest rozwiązaniem równania
3.2 1
(pierwiastkiem wielomianu): m = 0 lub m = 1.
Uzasadnienie, że dla m = 0 równanie ma tylko jedno rozwiązanie x = 1 (wielomian
ma tylko jeden pierwiastek), np. dla m = 0 równanie ma postać
3.3 1
x3 -1 = x -1 x2 + x +1 = 0, a trójmian x2 + x +1 nie ma pierwiastków.
( )
()
Uzasadnienie, że dla m = 1 równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie (wielomian
ma więcej niż jeden pierwiastek), np. dla m = 1 równanie ma postać
3.4 1
2
x +1 x
( ) ( -1 = 0 , co oznacza, że liczba też jest jego rozwiązaniem.
) (-1
)
II sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2
3
Zapisanie równania w postaci iloczynu, np. x -1 x2 + bx + c = 0 i wykonanie
( )
( )
3.1 1
mnożenia x3 + b -1 x2 + c - b x - c = 0 .
( ) ( )
Zastosowanie twierdzenia o równości wielomianów do zapisania układu warunków:
3.2 1
c = 1, b = m2 +1 i b = m3 +1 oraz rozwiązanie równania m3 +1 = m2 +1: m = 0 lub
m = 1.
III sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2
Wykorzystanie twierdzenia o pierwiastkach wielomianu i wykonanie dzielenia
3.1 1
wielomianu W przez dwumian (x -1):
W(x) = (x -1)(x2 +(m3 +1)x + m3 - m2 +1)+(m3 - m2),
Skorzystanie z twierdzenia o reszcie i obliczenie m:
3.2 1
m3 - m2 = 0 stąd m = 0 lub m = 1.
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 4
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
Wykorzystanie w analizie zadania własności: promień okręgu jest prostopadły do
4 4.1 1
stycznej w punkcie styczności.
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt B i prostopadłej do prostej
1
4.2 1
o równaniu y = x + 9 : y = -2x -1.
2
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do prostej
1
4.3 1
o równaniu y = 2x - 3 : y = - x + 2 .
2
1
Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia prostych y = - x + 2 i y = -2x -1,
2
4.4 1
który jest środkiem okręgu stycznego do danych prostych: S = .
(-2,3
)
Jeśli zdający nie zapisał w
punkcie 4.1 własności:
promień okręgu jest
Obliczenie promienia szukanego okręgu: r = SA = SB = 2 5 .
prostopadły do stycznej w
4.5 1
punkcie styczności, ale z niej
skorzystał w rozwiązaniu, to
przyznajemy punkt w
czynności 4.1.
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 5
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
II sposób rozwiązania:
y
14
W
13
12
11
10
9
8
B
7
6
4.1 1
5
P
4
3
S
2
A
1
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Wykorzystanie własności  środek okręgu leży na symetralnej odcinka AB.
Obliczenie współrzędnych punktów W  przecięcia się danych prostych
oraz P  środka odcinka AB:
W = 8,13 , P = 4 .
( ) (-1,
)
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty W oraz P (symetralnej
4.2 1
odcinka AB): y = x + 5 .
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt B i prostopadłej do prostej,
na której leży ten punkt (lub prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do
4.3 1
1
prostej, na której leży ten punkt): y = -2x -1 lub y = - x + 2 .
2
Obliczenie współrzędnych środka okręgu: S = .
) 1
4.4 (-2,3
Obliczenie promienia okręgu: r = SA = SB = 2 5 .
4.5 1
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 6
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
III sposób rozwiązania
y
14
W
13
12
11
10
9
8
B
7
4.1 1
6
5
P
4
3
S
2
A
1
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Obliczenie współrzędnych punktu W i obliczenie długości odcinków AW i BW:
W = 8,13 , AW = BW = 6 5 (trójkąt AWB jest równoramienny).
( )
Obliczenie współrzędnych punktu P (środka odcinka AB) oraz długości odcinków BP
4.2 1
i PW: P = 4 , BP = 3 2 , PW = 9 2 .
(-1,
)
4.3 Stwierdzenie podobieństwa trójkątów BWP i BSP. 1
BS BW
Zapisanie proporcji = .
4.4 1
BP PW
Obliczenie promienia okręgu: r = AS = BS = 2 5 .
4.5 1
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 7
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
x + 2 dla x e" 1
ż#
Zapisanie wzoru funkcji f w postaci : f x = .
5.1 ( ) 1
�#
�#-x + 4 dla x < 1
Sporządzenie wykresu funkcji f :
y
9
8
7
6
5
Jeśli zdający od razu
4
poprawnie naszkicuje wykres
3
5
5.2 1 funkcji f, to przyznajemy
2
punkty w czynności 5.1 oraz
1
x 5.2.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
-3
-4
-5
6
Podanie liczby rozwiązań równania f x = m : zero rozwiązań dla m < 3 , jedno
( )
5.3 1
rozwiązanie dla m = 3 , dwa rozwiązania dla m > 3 .
Wprowadzenie oznaczeń, np.: x liczba kupionych koszulek, y  cena koszulki oraz
6.1 1
zapisanie równania: x �" y = 720.
Zapisanie równania: (x + 5)(y - 2) = 720 .
6.2 1
Zapisanie równania kwadratowego w zależności od jednej niewiadomej, np.
6 6.3 1
x2 + 5x -1800 = 0 lub y2 - 2y - 288 = 0 .
Rozwiązanie równania kwadratowego x = 40 lub x = - 45 ( y =18 lub y = -16 )
6.4 1
i wybór właściwego rozwiązania, spełniającego warunki zadania.
Podanie odpowiedzi: x = 40 , y =18 .
6.5 1
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 8
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
Obliczenie długości przekątnej BD (leżącej naprzeciw kąta DAB): BD = 2 3 .
7.1 1
Obliczenie miary kąta C leżącego naprzeciw kąta A (wykorzystanie twierdzenia
7.2 1
odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa lub twierdzenia kosinusów): BCD = 90 .
7
Zapisanie pola P czworokąta ABCD jako sumy pól dwóch trójkątów, np.:
7.3 1
PABCD = PABD + PBCD .
7 3
7.4 1
Obliczenie pola czworokąta ABCD: P = .
2
C
h
w
B
8 8.1 1
60
E
D
A
a
Zaznaczenie na rysunku kataą = 60�  kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do
płaszczyzny podstawy graniastosłupa.
Przyjęcie oznaczeń, np.:
a  długość krawędzi podstawy graniastosłupa,
w  wysokość trójkąta ABC, będącego rozważanym przekrojem graniastosłupa,
h wysokość graniastosłupa.
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 9
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
a
Wyznaczenie wysokości w z trójkąta prostokątnego CDE: DE = i z własności
2
8.2 1
trójkąta CDE w = 2�" DE stąd w = a .
Obliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa: AB = a 3 , a = 4 .
8.3 1
8.4 1
Obliczenie wysokości h graniastosłupa: h = 2 3 .
8.5 Obliczenie objętości V graniastosłupa: V = 144. 1
Przyjęcie metody prowadzącej do wyznaczenia zależności między bokami AB i BC
9 9.1 trójkąta ABC (np. zapisanie pola trójkąta ABC na dwa sposoby lub zapisanie, że 1
"ADB <" "CEB ).
Wyznaczenie zależności między bokami AB i BC trójkąt ABC: AB = a ,
9.2 1
AC = BC = 2a lub BC = 2 AB .
Zdający nie musi zapisywać
 podwójnej równości.
1
Obliczenie kosinusa kąta ABC , np. z trójkąta CEB: cos ABC = cos CAB = .
9.3 1 Wystarczy, że oznaczy tą samą
4
literą kąty przy podstawie
trójkąta.
BD
1
Wyznaczenie BD z trójkąta ADB: = cos ABD stąd BD = �" AB oraz,
AB 4
9.4 1
7
CD = AB .
4
CD
7
Obliczenie kosinusa kąta BCA z trójkąta ADC: cos BCA = = .
9.5 1
AC 8
II sposób rozwiązania: (czynności 10.4, 10.5)
Zapisanie długości boków trójkąta ABC w zależności od jednej zmiennej,
np.: AB = a , AC = BC = 2a .
9.4 a 15 1
Obliczenie z tw. Pitagorasa w trójkącie ACE wysokości CE: CE = , oraz
2
1 a 15
AD = �" CE = .
24
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 10
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
AD
15
Obliczenie sinusa kąta DCA z trójkąta ADC: sin DCA = = .
9.5 1
AC 8
III sposób rozwiązania: (czynności 10.4, 10.5)
Przedstawienie metody pozwalającej obliczyć kosinus kąta przy wierzchołku C :
np. z trójkąta prostokątnego ADC :
DC DC + DB - DB DB
9.4 1
cos DCA = = = 1- oraz wyznaczenie BD z
AC DB + DC DB + DC
1
trójkąta ADB: BD = �" AB .
4
7
Obliczenie kosinusa kąta DCA : cos DCA = .
9.5 1
8
IV sposób rozwiązania: (czynności 10.4, 10.5)
Zastosowanie twierdzenia kosinusów i zapisanie, że
2 2 2
9.4 1
AB = AC + BC - 2�" AC �" BC �"cos BCA
2 2
a2 = 2a + 2a - 2�" 2a �" 2a �"cos BCA .
( ) ( ) ( ) ( )
7
Obliczenie kosinusa kąta BCA: cos BCA = .
9.5 1
8
Wyznaczenie wyrazu an+1: an+1 = 3-n .
10.1 1
Jeśli zdający od razu poda
1
prawidłowo iloraz ciągu to
Obliczenie ilorazu ciągu an : q = 3-1 lub q = .
10.2 ( ) 1
otrzymuje również punkt w
3
10 czynności 10.1
-1
10.3 Zapisanie sumy logarytmów: S100 = log31+ log3 3 + log3 3-2 + ....+ log3 3-99 . 1
( )
Zapisanie sumy logarytmów w postaci: S100 = log3 3-(1+2+3+...99) = log3 350�"(-99) .
10.4 1
Obliczenie sumy stu początkowych wyrazów ciągu: S100 = -4950 .
10.5 1
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 11
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
Obliczenie mocy zbioru zdarzeń elementarnych: � = 63 .
11.1
Obliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A: A = 33.
11.2 1
33 1
11.3 Obliczenie prawdopodobieństw zdarzenia A: P A = = , 1
( )
63 8
Stwierdzenie, że suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez
11.4 trzy wtedy, gdy każda z wyrzuconych liczb będzie podzielna przez trzy albo gdy 1
żadna z nich nie jest podzielnych przez trzy.
11
Akceptujemy wynik w postaci
ułamka skracalnego albo
przybliżony, o ile tylko
Obliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu B : B = 23 + 43
rozwiązanie zdającego
11.5 1
23 + 43 72 1
wskazuje na poprawne
i prawdopodobieństwa tego zdarzenia B: P B = = = .
( )
63 216 3 obliczenie liczby B
i poprawne zastosowanie
definicji prawdopodobieństwa.