Akademia Górniczo-Hutnicza
im. Stanisława Staszica w Krakowie
Teoria Maszyn i Mechanizmów
1 SYNTEZA STRUKTURALNA I GEOMETRYCZNA MECHANIZMU ...................... - 3 -
1.1 ZDEFINIOWANIE WYMIARÓW MECHANIZMU, ORAZ PARAMETRÓW JEDNEGO JEGO POA
OśE- 3 -
1.2 WYZNACZENIE RUCHLIWOÅšCI MECHANIZMU, PODZIAA
NA GRUPY STRUKTURALNE ORAZ
KLASYFIKACJA MECHANIZMU. ......................................................................................................- 4 -
2 ANALIZA KINEMATYCZNA MECHANIZMU. ............................................................ - 5 -
2.1 ANALIZA KINEMATYCZNA MECHANIZMU METODA GRAFOANALITYCZNA. ........................- 5 -
2.1.1 Grafoanalityczna analiza prędkości mechanizmu ...................................................... - 5 -
2.1.2 Grafoanalityczna analiza przyśpieszeń mechanizmu.................................................. - 7 -
2.2 ANALIZA KINEMATYCZNA MECHANIZMU METODA ANALITYCZNA. ...................................- 9 -
2.2.1 Wyznaczenie nieznanych parametrów konstrukcyjnych mechanizmu ...................... - 10 -
2.2.2 Analiza prędkości mechanizmu................................................................................. - 10 -
2.2.3 Analiza przyspieszeń mechanizmu ............................................................................ - 11 -
2.3 ANALIZA KINEMATYCZNA MECHANIZMU ZA POMOC
PROGRAMU SAM4.2....................- 13 -
2.4 SCHEMAT MECHANIZMU ZAMODELOWANY W PROGRAMIE SAM 4.2...............................- 13 -
2.5 WYNIKI ANALIZY KINEMATYCZNEJ W PROGRAMIE..........................................................- 13 -
2.6 PODSUMOWANIE ANALIZY KINEMATYCZNEJ MECHANIZMU, ORAZ ZESTAWIENIE WYNIK.- 14 -
3 ANALIZA KINETOSTATYCZNA MECHANIZMU. ................................................... - 15 -
3.1 ZAA
OśENIA ANALIZY: .....................................................................................................- 15 -
3.1.1 Wyznaczenie sił bezwładności działających na mechanizm: .................................... - 15 -
3.1.2 Wyznaczenie sił grawitacji działających na mechanizm: ......................................... - 16 -
3.1.3 Odrzucenie członu napędzającego, oraz uwolnienie układu od więzów .................. - 16 -
3.1.4 Równanie wektorowe równowagi sił działających na grupę strukturalną ............... - 16 -
3.1.5 Wyznaczenie nieznanych reakcji z równania momentów i planu sił......................... - 16 -
3.1.6 Wyznaczenie siły równowa\
ącej działającej na człon napędzający ......................... - 17 -
3.2 WYZNACZENIE SIA
Y RÓWNOWAś
CEJ DZIAA
AJ
CEJ NA CZA
ON METODA MOCY
CHWILOWYCH .............................................................................................................................- 18 -
3.2.1 Analiza kinetostatyczna w SAM-ie ............................................................................ - 19 -
3.3 PODSUMOWANIE ANALIZY KINETOSTATYCZNEJ ..............................................................- 19 -
- 2 -
1 Synteza strukturalna i geometryczna mechanizmu
1.1 Zdefiniowanie wymiarów mechanizmu, oraz parametrów jednego jego
poło\
enia
W poni\
szym podpunkcie zostały przyjęto, wymiary mechanizmu oraz ograniczenia
warunkujące jego prawidłową prace i działanie. Równie\
zało\
yłem początkowe poło\
enie
mechanizmu, oraz prędkości i przyspieszenie członu napędzającego.
Rys. 1 . Schemat mechanizmu
Przyjęto wymiary:
|AB|=0,25[m]
|BC|=0,25[m]
oraz dla jednego poło\
enia mechanizmu
Ć1=30[°]
Zdefiniowano prędkość i przyspieszenie członu napędzającego:
1
= 1 = const.
É
1
s
1
= 0
µ
1
s2
- 3 -
1.2 Wyznaczenie ruchliwości mechanizmu, podział na grupy strukturalne
oraz klasyfikacja mechanizmu.
Podział na grupy strukturalne.
Czlon napedzajacy Grupa strukturalna
Rys. 2 . Podział mechanizmu
Grupa strukturalna analizowanego mechanizmu jest klasy II
Ruchliwość mechanizmu:
5
w = 3Å" n - - 3)Å" pi
"(i
i=4
w- ruchliwość mechanizmu
n- liczba członów mechanizmu
i- klasa par występujących w łańcuchu kinematycznym
p4- para kinematyczna klasy czwartej
p5- para kinematyczna klasy piÄ…tej
Wyznaczenie ruchliwości analizowanego mechanizmu
n= 3
p4=0
p5=4
w = 3Å"3- 2Å" 4 =1
Ruchliwość mechanizmu w=1
- 4 -
2 Analiza kinematyczna mechanizmu.
2.1 Analiza kinematyczna mechanizmu metoda grafoanalityczna.
Analiza kinematyczna wykonana jest dla jednego wybranego poło\
enia mechanizmu.
É1
Rys. 3 . Schemat rozkładu prędkości
2.1.1 Grafoanalityczna analiza prędkości mechanizmu
Prędkość członu napędzającego
É1=1[1/s]
Wyznaczenie prędkości kątowej człony drugiego
Człon drugi nie ma mo\
liwości obrotu względem członu pierwszego, zatem ich prędkości
kÄ…towe sÄ… takie same
É2= É1=1[1/s]
Wyznaczenie prędkości VA
m
PrÄ™dkość VA=É1·|OA|= 1·0,5=0,5
s
Wyznaczenie prędkości VA2
V = VA1 + VA2 A1
A2
m
V = V + V VA2B = É2Å" | AB |= 1Å" 0,25 = 0,25îÅ‚ Å‚Å‚
A2 B A2B
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
Wektor prędkości VA2A1 jest równoległy | OA|
Wektor prędkości VA1 jest prostopadły |OA|
- 5 -
Wektor prędkości VB jest prostopadły |BC|
Wektor prędkości VA2B jest prostopadły |AB|
Wyznaczanie prędkości punktu VB
VB = VA2 +VBA2
Prędkość (m2) środka masy
VS 2 = VA2
Przyjęcie podziałki rysunkowej dla planu prędkości:
m
1 = 10[mm]
s
m
kV = 0.1
mm Å" s
Ä„V
Rys. 4 . Plan prędkości
Z planu prędkości odczytano następujące wartości:
m
(VB ) = (VC ) = 14,33[mm] VB = VC = 1,433îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
m
(VA2 ) = (VS 2 ) = 14,55[mm] VA2 = VS 2 = 1,455îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
m
(VA2 A1) = 13,66[mm] VA2 A1 = 1,366îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
m
(VA2B ) = 2,5[mm] VA2B = 0,25îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
- 6 -
 Wyznaczenie prędkości kątowej członu trzeciego
1
É3 = 0îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
2.1.2 Grafoanalityczna analiza przyśpieszeń mechanizmu
Przyspieszenie kątowe członu napędzającego zostało zdefiniowane w punkcie
pierwszym i wynosi:
= 0
µ
1
s2
Wyznaczenie przyspieszenia kątowego członu drugiego
Człon drugi nie ma mo\
liwości obrotu względem członu pierwszego, zatem ich
przyspieszenia kÄ…towe sÄ… takie same
µ2= µ1=0[1/s]
Przyspieszenie punktu A:
n Ä n
= + =
a a a a a
A A A A A
gdzie
aÄ = µ1Å" | OA |= 0
A
m
n
aA = É12Å" | OA |= 0,5îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s2
ðÅ‚ ûÅ‚
Równania przyśpieszeń mechanizmu dla poszczególnych punktów
cor
aA2 = aA1 + at A1 + aA2 A1
A2
gdzie,
n
aA2 = aB + at + aA2B
A2B
n m
2
= É2 Å" | AB |= 0,25îÅ‚ 2 Å‚Å‚
a
A2B ïÅ‚s śł
ðÅ‚ ûÅ‚
cor m
= 2É1 Å"VA2 A1 = 2,732îÅ‚ Å‚Å‚
a
A2 A1 ïÅ‚ śł
s2
ðÅ‚ ûÅ‚
t m
= µ2 Å" | AB |= 0îÅ‚ Å‚Å‚
a
A2B ïÅ‚ śł
s2
ðÅ‚ ûÅ‚
Wektor przyspieszenia atA2A1 jest równoległy |OA|
Wektor przyspieszenia acorA2A1 jest prostopadły |OA|
Wektor przyspieszenia aA1 jest prostopadły |OA|
Wektor przyspieszenia aB jest prostopadły |BC|
Wektor przyspieszenia atA2B jest prostopadły |AB|
Wektor przyspieszenia anA2B jest równoległy |AB|
- 7 -
 Wyznaczanie przyspieszenia punktu B
t n t
aB = aA2 + aBA2 + aBA2 aBA2 = 0
n
aB = aA2 + aBA2
Przyspieszenie (m2) środka masy
aS 2 = aA2
Przyjęcie podziałki rysunkowej dla planu przyśpieszeń:
m
1 = 10[mm]
s2
m
ka = 0,1
mm Å" s2
Ä„a
Rys. 5 . Plan przyspieszeń
Wyniki
m
(a )=(a )= 52,14[mm] = = 5,214
a a
B C B C
s2
m
(a )=(a )= 54,64[mm] = = 5,464
a a
A2 S 2 A2 S 2
s2
cor cor m
(a )= 27,32[mm] = 2,732
a
A2 A1 A2 A1
s2
t t m
(a )= 52,32[mm] = 5,232
a
A2 A1 A2 A1
s2
Wyznaczenie przyspieszenia kątowego członu trzeciego
µ3 = 0
- 8 -
2.2 Analiza kinematyczna mechanizmu metoda analityczna.
Ć3
Ć2
Ć1
Ć0
Rys. 6 . Schemat mechanizmu do analizy metodÄ… analitycznÄ…
Ć1(t) definiuje ruch członu napędzającego
Ć2(t), l1(t), l0(t) są funkcjami zmiennymi w czasie
ale, Ć2(t)= Ć1(t0=0)- Ć2(t)
Poni\
sze funkcje są funkcjami stałymi i nie zale\
Ä… od czasu, przyjmujÄ… zawsze stalÄ…
wartość:
Ć2(t)= Ć1(t0=0)- Ć2(t) l2(t)=0,25[m]
Ć3(t)=270ć% l3(t)=0,25[m]
Ć0(t)=180 ć%
Dla zadanego poło\
enia mamy
Ć1(t0=0)=30° É1(t0=0)=1 [1/s] µ1(t0=0)=0 [1/s2]
Wyznaczenie ogólnych równań ruchu
l1 + l2 + l3 + l0 = 0
Po zrzutowaniu na osie układu wsp. otrzymujemy
OX : l1(t) Å" cosÕ1(t) + l2 Å" cos(Õ1(t) - 30)+ l3 Å" cosÕ3 + l0 (t) Å" cosÕ0 = 0
OY : l1(t) Å"sinÕ1(t) + l2 Å"sin(Õ1(t) - 30)+ l3 Å"sin Õ3 + l0 (t) Å"sin Õ0 = 0
- 9 -
2.2.1 Wyznaczenie nieznanych parametrów konstrukcyjnych mechanizmu
Nieznany parametr l1(t), wyznaczam z równania drugiego (OY)
OY : l1(t) Å" sinÕ1(t) + l2 Å" sin(Õ1(t) - 30)+ l3 Å" sinÕ3 + l0 (t) Å" sinÕ0 = 0
Po przekształceniu i po uwzględnieniu stałych parametrów mechanizmu otrzymujemy:
l2 Å" sin(Õ1(t) - 30)+ l3 Å" sinÕ3 + l0 (t) Å" sinÕ0
OY : l1(t) = -
sinÕ1(t)
0,25 Å" sin(Õ1(t) - 30)+ 0,25Å" sin 270°
l1(t) = -
sinÕ1(t)
0,25Å"sin 270°
l1(t0 = 0) = - = 0,5[m]
sin 30°
Obracając układ o kąt Ć1(t) wyznaczamy l0(t)
OY : l1(t) Å"sin(Õ1(t) - Õ1(t))+ l2 Å"sin(- 30)+ l3 Å"sin(Õ3 -Õ1(t))
+l0 (t) Å"sin(Õ0 -Õ1(t))= 0
Po uwzględnieniu stałych parametrów otrzymujemy
l2 Å"sin(- 30)+ l3 Å"sin(Õ3 -Õ1(t))
OY : l0 (t) = -
sin(Õ0 -Õ1(t))
l2 Å"sin(- 30)+ l3 Å"sin(Õ3 -Õ1(t))
l0 (t) = -
sin(Õ0 -Õ1(t))
0,25 Å"sin(- 30)+ 0,25 Å"sin(240)
l0 (t0 = 0) = - = 0,683[m]
sin(150)
2.2.2 Analiza prędkości mechanizmu.
Ró\
niczkując równania drogi po czasie otrzymamy zale\
ność odpowiednich prędkości od
czasu.
" "
OX : l (t) Å" cosÕ1(t) - l1(t) Å"É1 Å"sinÕ1(t) - l2 Å"É1 Å"sin(Õ1(t) - 30)+ l (t) Å" cosÕ0 = 0
1 0
" "
OY : l (t) Å" sinÕ1(t) + l1(t) Å"É1 Å" cosÕ1(t) + l2 Å"É1 Å" cos(Õ1(t) - 30)+ l (t) Å" sinÕ0 = 0
1 0
- 10 -
 Nieznany parametr V1(t), wyznaczam z równania drugiego (OY)
"
"
l1(t) Å"É1 Å" cosÕ1(t) - l2 Å"É1 Å" cos(30 -Õ1(t))+ l (t) Å"sin Õ0
0
OY : l (t) = -
1
sinÕ1(t)
"
l1(t) Å"É1 Å" cosÕ1(t) + l2 Å"É1 Å" cos(Õ1(t) - 30)
l (t) = -
1
sinÕ1(t)
"
0,5Å"1Å" cos30 + 0,25 Å"1Å" cos(0) m
l (t0 = 0) = - = -1,366îÅ‚ Å‚Å‚
1
ïÅ‚ śł
sin 30 s
ðÅ‚ ûÅ‚
Obracając układ o kąt Ć1(t) wyznaczamy V0(t)
"
OY : l (t) Å" sin(Õ1(t) - Õ1(t))+ l1(t) Å"É1 Å" cos(Õ1(t) - Õ1(t))+ l2 Å"É1 Å" cos(- 30)+
1
"
l (t) Å" sin(Õ0 - Õ1(t)) = 0
0
Po przekształceniu i po uwzględnieniu stałych parametrów mechanizmu otrzymujemy:
"
l1(t) Å"É1 Å" cos(0)+ l2 Å"É1 Å" cos(- 30)
OY : l (t) = -
0
sin(Õ0 -Õ1(t))
"
0,5Å"1Å" cos(0)+ 0,25 Å"1Å" cos(- 30)
l (t0 = 0) = -
0
sin(150)
"
m
îÅ‚ Å‚Å‚
l (t0 = 0) = -1,433
0
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
2.2.3 Analiza przyspieszeń mechanizmu
Ró\
niczkując równania prędkości po czasie otrzymamy zale\
ność odpowiednich
przyspieszeń od czasu.
" " " "
îÅ‚l1Å"É
OX : l (t) Å" cosÕ1(t) -l (t) Å"É1 Å" sinÕ1(t) - Å" sinÕ1(t) + l1(t) Å"[µ1 Å"sinÕ1(t) + É12 Å" cosÕ1(t)]Å‚Å‚
1 1
1
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
"
- l2 Å"[µ1 Å"sin(Õ1(t) - 30)+ É12 cos(Õ1(t) - 30)]+ l (t) Å" cosÕ0 = 0
0
" " " "
OY : l (t) Å"sinÕ1(t) + l (t) Å"É1 Å" cosÕ1(t) + l (t) Å"É1 Å" cosÕ1(t) + l1(t) Å"[µ1 Å" cosÕ1(t) - É12 Å"sinÕ1(t)]
1 1 1
" "
+ l2 Å"µ1 Å" cos(Õ1(t) - 30)- É12 sin(Õ1(t) - 30)+ l (t) Å"sinÕ0 = 0
0
- 11 -
 Nieznany parametr a1(t), wyznaczam z równania drugiego (OY)
Po przekształceniu i po uwzględnieniu stałych parametrów mechanizmu otrzymujemy:
" "
" "
l (t)Å"É1 Å" cosÕ1(t) + l (t)Å"É1 Å" cosÕ1(t) - l1(t) Å"É12 Å"sinÕ1(t) -l2 Å"É12 sin(Õ1(t) -30)
1 1
OY: a1(t) = l (t)= -
1
sinÕ1(t)
" "
-1,366Å" 2Å" cos30- 0,5Å"1Å"sin30 m
OY: a1(t) = l (t0 = 0)= - = 5,232îÅ‚ Å‚Å‚
1
ïÅ‚ śł
sin30 s
ðÅ‚ ûÅ‚
Obracając układ o kąt Ć1(t) wyznaczamy a0(t)
Po przekształceniu i po uwzględnieniu stałych parametrów mechanizmu otrzymujemy:
"
" "
2l (t) Å"É1 Å" cos(Õ1(t) - Õ1(t))+ l2 Å"É12 sin(- 30)
1
OY : l (t)Å" = -
0
sin(Õ0 - Õ1(t))
"
" "
2l (t) Å"É1 Å" cos(0)- l2 Å" É12 sin(- 30) m
1
l (t) = - = 5,214îÅ‚ Å‚Å‚
0
ïÅ‚ śł
sin150 s
ðÅ‚ ûÅ‚
- 12 -
2.3 Analiza kinematyczna mechanizmu za pomocÄ… programu SAM4.2
2.4 Schemat mechanizmu zamodelowany w programie SAM 4.2
Rys. 7 . Schemat mechanizmu w SAMie
2.5 Wyniki analizy kinematycznej w programie
Rys. 8 . Wyniki analizy
- 13 -
2.6 Podsumowanie analizy kinematycznej mechanizmu, oraz zestawienie
wyników.
Metoda Metoda
SAM
grafoanalityczna analityczna
Prędkości liniowe i kątowe mechanizmu
1 1 1
É
1
0,5 - -
V
A1
1,366 - -1,366
V
A2A1
1,455 1,455 -
V
A2
0,25 - -
V
A2B
1,433 1,433 -1,433
V
B
1,433 1,433 -1,433
V
C
1,455 1,455 -
V
S2
1 1 1
É
2
0 - 0
É
3
Przyspieszenia liniowe i kÄ…towe mechanizmu
0 0 0
µ
1
0,5 - -
a
A1
5,464 5,464 -
a
A2
5,232 - 5,232
at
A2A1
2,732 - -
acor
A2A1
5,214 5,214 5,214
a
B
0 - -
at
A2B
0,25 - -
an
A2B
5,464 5,464 -
a
S2
0 - 0
µ
2
0 - 0
µ
3
- 14 -
3 Analiza kinetostatyczna mechanizmu.
Rys. 9 . Mechanizm do analizy kienteostatycznej
3.1 Zało\
enia analizy:
Dla mechanizmu przyjmuje:
Wartości sił obcią\
ajÄ…cych mechanizm:
M2=10Nm
P3=10N
Człon drugi mechanizmu posiada: masę m2= 2 kg
Moment bezwładności JS2
m Å"l2 2Å"12
JS2 = = = 0,01[kg Å" m2]
12 12
m
Mechanizm znajduje siÄ™ w polu grawitacyjnym g = 9,81
s2
3.1.1 Wyznaczenie sił bezwładności działających na mechanizm:
B = m2 Å" as2
2
B2 = 2Å"5,464 = 10,928N
M = JS 2 Å"µ
B2
2
M = 0 Nm
B2
- 15 -
3.1.2 Wyznaczenie sił grawitacji działających na mechanizm:
G = m2 Å" g
2
G2 = 9,81Å" 2 = 19,62 N
3.1.3 Odrzucenie członu napędzającego, oraz uwolnienie układu od więzów
Rys. 10 . Uwolnienie układu od więzów (odrzucenie członu napędzającego)
3.1.4 Równanie wektorowe równowagi sił działających na grupę strukturalną
Dla grupy strukturalnej
R + R + P + B + G = 0
12 03 3 2 2
Dla członu drugiego
R + R + B + G = 0
12 32 2 2
Dla członu trzeciego
R + R + P = 0
03 23 3
3.1.5 Wyznaczenie nieznanych reakcji z równania momentów i planu sił
Wyznaczenie nieznanej reakcji M03 z równania momentów względem punktu B
= 0 Ô! M03 = 0
"MiB
- 16 -
Rys. 11 . Plan sił
Na podstawie planu sił wyznaczono
R03 = 55,87N R23 = R32 = 56,76N
R12 = 41,86N
Wyznaczenie nieznanej reakcji M12 z równania momentów względem punktu B
= 0 Ô! M12 - M2 - R32 Å"l32 = 0 R32 Å"l32 = R03Å"| AB |=13,97Nm
"MiB
M12 = M + R32 Å"l32
2
M12 =10 +13,97 = 23,97[Nm]
3.1.6 Wyznaczenie siły równowa\
ącej działającej na człon napędzający
Rys. 12 . Człon napędzający
- 17 -
 Równanie sił dla członu napędzającego
R + R = 0
21 01
R01=41,86 [N]
Wyznaczenie siły równowa\
ącej z równowagi momentów dla członu napędzającego
względem pkt 0
"M Ô! M - R21 Å" l21 - M21 = 0
i0 R1
M = 41,86 Å" 0,5 + 23,97
R1
MR1 = 44,9[Nm]
3.2 Wyznaczenie siły równowa\
ącej działającej na człon metoda mocy
chwilowych
Rys. 13 . Mechanizm do analizy metodÄ… mocy chwilowych
É1 M + M É2 + G2 VS 2 + B2 VS 2 + P3 VB = 0
R1 2
- É1 Å" M + M Å"É2 + G2 Å"VS 2 Å" cos80 + B2 Å"VS 2 Å" cos10 + P2 Å"VB3 = 0
R1 2
- M +10 +19,62 Å"1,455 Å" cos80 +10,928 Å"1,455 Å" cos10 +10 Å"1,433 = 0
R1
M = 44,946[Nm]
R1
Siła równowa\
Ä…ca:
MR1 = 44,946[Nm]
- 18 -
3.2.1 Analiza kinetostatyczna w SAM-ie
Rys. 14 . Schemat w SAM-ie do analizy kinetostatycznej
Rys. 15 . Zestawienie wyników
R01=41,856 [N]
R03=55,868 [N]
MR1=-44,894 [Nm]
3.3 Podsumowanie analizy kinetostatycznej
Metoda Metoda mocy
SAM
wykreślna chwilowych
M 44,9 44,946 -44,894
R1
- 19 -