Analiza Matematyczna - laboratorium. Maxima.
10. Funkcje trygnonometryczne, czyli marsz do kÄ…ta.
Przyjrzymy siÄ™ teraz jak Maxima radzi sobie z funkcjami trygonometrycznymi 
przede wszystkim interesować nas będzie upraszczanie wyrażeń (co  jak widzieliśmy
w rozdziale poświęconym wielomianom  może być bardzo przydatne) oraz rozwiązy-
wanie równań. Na początek jednak przypomnijmy sobie podstawowe własności funkcji
trygnonometrycznych  a odświeżyć takie informacje najbardziej pomogą wykresy.
Zadanie 10.1 Naszkicować wykresy funkcji
a) sin(x), cos(x) na przedziale [-3Ä„, 3Ä„];
b) sin(x), sin(2x) na przedziale [-3Ä„, 3Ä„];
c) sin(x), sin(x2) na przedziale [-3Ä„, 3Ä„] (dodatkowe pytanie: czy funkcja sin(x2) jest
funkcjÄ… okresowÄ…?).
Okresowość funkcji trygonometrycznych, jak wiemy, skutkuje tym, że równania które
rozwiązujemy bardzo często mają nieskończenie wiele rozwiązań. Owszem, zdarzyć się to
może również w równaniu wielomianowym  ale wówczas jeżeli rozwiązań jest nieskoń-
czenie wiele, to oznacza to, że wszystkie liczby rzeczywiste są rozwiązaniami równania.
"
3
A tutaj nie. Wiemy jak wygląda zbiór rozwiązań równania sin(x) = : są to liczby
2
Ä„ 2Ä„
postaci + 2kĄ bądz
+ 2kĄ, gdzie k " Z. Z tym większą ciekawością popatrzymy jak
3 3
z równanie to rozwiąże Maxima:
(%i) solve(sin(x)=sqrt(3)/2)
No i gdzie tu nieskończenie wiele rozwiązań?? Nasza frustracja jest jak najbardziej
usprawiedliwiona  nie pozwólmy jednak by zepsuła nam nastrój. Pogódz
my siÄ™ z rzeczy-
wistością: Maxima nie znajdzie WSZYSTKICH rozwiązań... nie znajdzie nawet wszyst-
kich rozwiązań w okresie podstawowym funkcji trygonometrycznej. Znajdzie tylko jedno.
Ale spójrzmy na jasną stronę tego co zaobserwowaliśmy  Maxima znalazla rozwiązanie
 cóż, że jedno  pozostałe rozwiązania możemy sobie znalez
ć sami. No to jeszcze coś
takiego:
(%i) solve( sin(x^2)=1/2);
I coÅ› takiego:
(%i) solve( sin(x) = 1/3 )
O  tutaj mamy coÅ› nowego. Co to jest asin? To funkcja cyklometryczna arcus sinus
 oznaczana tradycyjnie jako arcsin. Jeżeli ze zrozumieniem działania tej funkcji mamy
pewne kłopoty, możemy przetłumaczyć ją sobie jako działającą według reguły:
Ä„ Ä„
y = arcsin(x) Ô! x = sin(y) '" y " [- , ].
2 2
1
Dziedziną tej funkcji jest przedział [-1, 1]. Do kompletu warto jeszcze zobaczyć wy-
kres:
(%i) plot2d(asin(x),[x,-2,2] )
Podobnie definiujemy funkcję arcus cosinus  przy pomocy zależności:
y = arccos(x) Ô! x = sin(y) '" y " [0, Ä„].
Dziedziną tej funkcji jest również przedział [-1, 1]. W Maximie funkcja ta oznaczana
jest jakoacos().
1
Zadanie 10.2 Znalez
ć wszystkie rozwiązania równania cos(4x) = w przedziale [Ą, 2Ą].
4
Rozwiązania wyrazić dokładnymi wzorami.
Zadanie 10.3 Znalez
ć przybliżenia wszystkich rozwiązań równania sin(x2) = -1 w
3
przedziale [Ä„, 2Ä„].
Zadanie 10.4 Znalez
ć graficznie liczbę rozwiązań układu równań
Å„Å‚
òÅ‚
y - x = sin x
"
ół
y = x
Przypomnieliśmy sobie własności i wykresy funkcji sinus oraz cosinus. Podobnie od-
świeżymy sobie informacje o funkcjach tangens oraz cotangens  funkcje te w Maximie
oznaczane sÄ… jakotan()orazcot().
Zadanie 10.5 Naszkicować wykresy funkcji tg oraz ctg na przedziale [-2Ą, 2Ą].
Zadanie 10.6 Rozwiązać równania
a) tg x = 5;
1
b) ctg x = .
7
Powyższy przykład znów odwołuje się do odpowiednich funkcji cyklometrycznych
arcus tangens oraz arcus cotangens. Funkcje te sÄ… tradycyjnie oznaczane jako arctg oraz
arcctg, zaÅ› w Maximie jakoatan()iacot(). Dla porzÄ…dku podajmy definicje tych
funkcji
Ä„ Ä„
y = arctg(x) Ô! x = tg(y) '" y " (- , ).
2 2
y = arcctg(x) Ô! x = ctg(y) '" y " (0, Ä„).
Dziedziną obu tych funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych.
Przyjrzyjmy się teraz przez chwilę jak Maxima umie przekształcać wyrażenia trygo-
nometryczne. Do dyspozycji mamy:
2
trigsimp to uproszczenie w oparciu o podstawowe wzory (głownie jedynkę trygo-
nometrycznÄ…);
trigreduce zastąpienie potęg i iloczynów liniowymi kombinacjami funkcji trygno-
nometrycznych z wielokrotnością argumentu;
trigexpand to przekształcenie odwrotne do trigreduce  wielokrotności argumentu
zastępowane sz
potęgami;
trigrat uproszczenie wyrażeń ułamkowych zawierających funkcje trygonometrycz-
ne
Szczególnie ciekawym będzie popatrzeć jak dla wyrażenia sin(4x) zadziała sekwencja
operacji:
(%i) trigexpand(sin(4*x))
(%i) trigreduce(%)
(%i) trigsimp(%);
Poniższe zadanie pokaże nam precyzyjniej czym różnią się poszczególne polecenia
Zadanie 10.7 Wywołać każdą z podanych wyżej funkcji upraszczających dla podanych
przykładów:
(%i) 1+cot(x)
(%i) sin(x)*cos(x)
(%i) sin(4*x)+cos(3*x);
(%i) (cos(x)^2-1)/sin(x);
W pokazanych wynikach zdarzają się funkcjesecorazcsc. To też są funkcje trygno-
metryczne  tyle, że trochę rzadziej wykorzystywane: secans oraz cosecans. Nie należy się
ich jakoś szczególnie bać (w każdym razie nie bardziej niż wściekłego logarytmu natural-
1 1
nego w czasie pełni księżyca)  wystarczy pamiętać, że sec(x) = oraz csc(x) = .
cos(x) sin(x)
No to na zakończenie:
Zadanie 10.8 Sprawdzić tożsamość trygonometryczną:
sin(4x) cos(2x)
· = tg x.
1 + cos(4x) 1 + cos(2x)
Zadanie 10.9 Sprawdzić tożsamość trygonometryczną:
1
= cos(2x).
1 + tg x tg(2x)
3