Zadania - Całki
Zadanie 1. Oblicz całkę i sprawdz
poprawność odpowiedzi:
x
x x x x
1 5
x dx , x2dx , x9dx , xdx , dx , dx , dx , dx , dx , ) dx ,
x 7
+"1dx , +" +" +" +" +" +"2 +"5 +"10 +"e +"(
1 2
(3x2 + 2)dx , (- 2x4 + 4x3 - 5x2 + 2x - 6)dx , ( + - 3)dx , ( x + 2x3 -1)dx ,
+"(x - 3)dx , +" +" +" +"
x2 x3
3
( + 2x2 - 5)dx , (2ex - 3x + 4)dx , (3x - 6x2 + 2x +1)dx .
+" +" +"
x2
Zadanie 2. Oblicz całkę i sprawdz
poprawność odpowiedzi.
Lp. Oblicz całkę: Wskazówka: Odpowiedz
:
przekształć funkcję podcałkową do postaci - 2
x
+ c
1.
dx
pewnej potęgi o podstawie x, następnie
+"
x
x2
zastosować wzór na całkę funkcji potęgowej
x3
3
3
2. dx
x3 Å" x2 + c
jw.
+" 11
3
x
3
2
3. x4 x + c
stałą wyciągnąć przed znak całki, następnie jw.
+"3x x dx 3
-3
1
2
-16
ëÅ‚ öÅ‚
x
+ c
4.
+"ìÅ‚ 2 ÷Å‚ dx jw.
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1
x-4,5x3,5 dx ln x + c
5.
5 jw. 5
+"
1 1
6.
x x x dx x Å"8 x7 + c
jw.
15
8
+"
x przekształcić funkcję podcałkową do postaci
x 1
1
10x + c
7.
ln10
3
+"2 ( ) 15x dx pewnej potęgi o wykładniku x, następnie ze
wzoru na całkę funkcji wykładniczej
przekształcić funkcję podcałkową do postaci
-x x
1
3x + c
8.
+"3 9-2 272x dx pewnej potęgi o podstawie 3, następnie ze wzoru ln 3
na całkę funkcji wykładniczej
przekształcić funkcję podcałkową do postaci
4
1
pewnej potęgi o podstawie e, wyciągnąć stałą
9. e-3x(- 2ex) dx
2ex + c
8
+"
przed znak całki, następnie ze wzoru na całkę
funkcji wykładniczej
przekształcić funkcję podcałkową do postaci
sumy (ró\
nicy) funkcji, całkę zapisać jako sumę
- 4 1
2x - x
(ró\
nicę) całek, ka\
dą z funkcji podcałkowych
+ + c
10. dx
+"
x
przekształcić do postaci pewnej potęgi o x
x2 x
podstawie x, wyciągnąć stałą przed znak całki,
następnie ze wzoru na całkę funkcji potęgowej
5
3x5 + 2x - 5
3
x4 + 2 ln x + + c
11. dx
jw. 4
+"
x
x2
- x2 - x + 3
1
- x2 - x + 3ln x + c
12. dx
jw. 2
+"
x
przekształcić funkcję podcałkową do postaci
sumy (ró\
nicy) funkcji, całkę zapisać jako sumę
3x + 2x
1 1
(ró\
nicę) całek, ka\
dą z funkcji podcałkowych
- Å" 2- x - Å" 3- x + c
13. dx
ln 2 ln 3
+"
przekształcić do postaci pewnej potęgi o
6x
wykładniku x, następnie ze wzoru na całkę
funkcji wykładniczej
1
Zadania - Całki
przekształcić funkcję podcałkową do postaci
1 1
wielomianu, całkę zapisać jako sumę (ró\
nicÄ™)
x(x -1)(x + 1)dx x4 - x2 + c
14.
4 2
+"
całek, następnie ka\
dą z całek ze wzoru na całkę
funkcji potęgowej
2
1 4 4
15. (x3 - 2x) dx x7 - x5 + x3 + c
jw. 7 5 3
+"
1 5
x(x2 + 5)dx x4 + x2 + c
16.
jw. 4 2
+"
2x + 3
ln x2 + 3x + c
dx
17.
ze wzoru na pochodnÄ… logarytmicznÄ…
+"
x2 + 3x
6x + 3
stałą 3 wyciągnąć przed znak całki, następnie ze
dx
18. 3ln(x2 + x +1)+ c
+"
x2 + x + 1 wzoru na pochodnÄ… logarytmicznÄ…
funkcję podcałkową pomno\
yć i podzielić przez
3x4
3
ln x5 +1 + c
19. dx
liczbę 5, stałą 3/5 wyciągnąć przed znak całki, 5
+"
x5 + 1
następnie ze wzoru na pochodną logarytmiczną
1
dx ln ln x + c
20.
ze wzoru na pochodnÄ… logarytmicznÄ…
+"
xln x
xex dx
21.
xex - ex + c
2
+" przez części: f = ex
1 1
x ln x dx x2 ln x - x2 + c
22.
2
jw., f = x 2 4
+"
x2ex dx
23.
x2ex - 2xex + 2ex + c
2
+" dwukrotnie przez części: f = ex
funkcjÄ™ podcaÅ‚kowÄ… zapisać jako 1Å" ln x ,
24. x ln x - x + c
+"ln x dx
2
następnie przez części: f = 1
1 1
x2 ln x dx x3 ln x - x3 + c
25.
2 3 9
+" przez części: f = x2
1
ln x
2
jw., f = , następnie utworzyć i rozwiązać
dx
26.
+"
x
x
równanie
27. (2x - 5)ex - 2ex + c
2
+"(2x - 5)ex dx przez części: f = ex
1
dx ln x + 3 + c
28.
przez podstawienie: t=x+3
+"
x + 3
1
1
dx ln 2x -1 + c
29.
przez podstawienie: t=2x-1 2
+"
2x -1
5
6
1
30. (2x + 3) + c
przez podstawienie: t=2x+3
+"(2x + 3) dx 12
15
16
1
31. (x + 4) + c
przez podstawienie: t=x+4
+"(x + 4) dx
16
5x+1)
1
e(5x+1) + c
32.
przez podstawienie: t=5x+1 5
+"e( dx
2x
3
e2 x + c
33.
przez podstawienie: t=2x 2
+"3e dx
-1 x 1
2
1 2
34.
przez podstawienie: u = - x - 4e- x + c
+"2e dx
2
2
3x + 2 dx
35. (3x + 2) 3x + 2 + c
przez podstawienie: t=3x+2
+" 9
2
Zadania - Całki
1
2x + 1 dx
36. (2x +1) 2x +1 + c
przez podstawienie: t=2x+1
+" 3
1-x
1
- 61- x + c
37.
przez podstawienie: t=1-x
+"6 dx ln 6
1
1
38. xe- x2 dx
- e- x2 + c
przez podstawienie: u = -x2 , x dx = - du
+" 2
2
Zadanie 3. Oblicz całkę oznaczoną.
3 1
a) b) (2x4 - 3x2 + 5)dx , odp.: 8,8
+"(2x +1)dx ,odp.: 10 +"
1 -1
9 1
ëÅ‚ x öÅ‚ 7
2
c) d) (t3 - t2 + t)dt , odp.:
3
+"ìÅ‚2a u + u ÷Å‚du , odp.: 34 a + 4x +"
12
íÅ‚ Å‚Å‚
1 0
e 2
e) x ln xdx f) x Å" e-xdx
+" +"
1 -1
1
3
(metodą przez części), odp.: (e2 +1)
4
(metodą przez części), odp.: -
e2
4 e
g) h) x2 ln x dx
+"2 2x +1 dx +"
0 1
1 2 1
(metodą przez podstawienie), odp.: 17 (metodą przez części), odp.: e3 -
3 9 9
2 e
4x
2
i) dx
+"
j) x ln(2x) dx
x2 + 2
0 +"
1
(ze wzoru na pochodnÄ… logarytmicznÄ…),
2
odp.: 2ln 5
(metodą przez podstawienie, a następnie
1 1
przez części), odp.: e2 +
16 4
Zadanie 4. Oblicz pole obszaru ograniczonego:
a) wykresem funkcji f (x) = ex oraz prostymi y=0, x=1, x=2, odp.: P=e(e-1),
1
b) wykresem funkcji f (x) = x oraz prostymi y=0, x=0, x=4, odp.: P=5 ,
3
1
c) wykresem funkcji f (x) = -x2 + 1oraz prostymi y=0, x= -1, x=1, odp.: P=1 ,
3
1 2
d) wykresem funkcji f (x) = - x2 + 3x - 2,5 oraz prostymi y=0, x= 2, x=4, odp.: P=13 ,
2 3
1 1
e) wykresem funkcji f (x) = x2 - 2x + 3 oraz prostymi y=0, x= 2, x=4, odp.: P=3 ,
2 3
1
f) * wykresem funkcji f (x) = x2 -1oraz prostymi y=0, x= -1, x=1, odp.: P=1 ,
3
1
g) * wykresem funkcji f (x) = x3 - x2 oraz prostymi y=0, x= 0, x=1, odp.: P= ,
12
h) * wykresem funkcji f (x) = -x -1oraz prostymi y=0, x= 0, x=2, odp.: P= 4 ,
i) * wykresem funkcji f (x) = x2 -1oraz prostymi y=0, x= 0, x=2, odp.: P= 2 ,
3
Zadania - Całki
Zadanie 5. Oblicz całkę niewłaściwą.
" " 0 -1 +" 1
1 1 1
x x
a) dx , b) dx , c) dx , d) dx e) dx f) x dx
+" +" +"e +" +"e +"ln
x x2 x2
1 1 -" -" 0 0
odp.: " odp.: 1, odp.: 1,
Zadanie 6. Oblicz długość łuku krzywej danej wzorem:
7
1
6
a) f (x) = (ex + e- x ) dla x " -1;1
2
5
4
e2 -1
3
Odp.: L = H" 2,35
e
2
1
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
14
1
b) f (x) = (x - 3) Å" x dla x " 0 ; 9
12
3
10
8
Odp.: L = 10
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10 12 14
6
5
ëÅ‚1+ x öÅ‚
c) f (x) = 2lnìÅ‚ ÷Å‚ - 4 x dla x " 0 ; 0,5
4
ìÅ‚1- x ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
3
2
Odp.: L = -2ln 0,5 - 0,5 H" 0,89
1
0
Anna Rajfura
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
4