Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny II  grudzień 2004
SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO II
Uwaga:
Zasady oceniania rozwiązań zadań egzaminacyjnych z matematyki zostały opisane na stronie 1 schematu oceniania Arkusza I .
Numer
Maks. liczba
zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania
Wynik danego etapu punktów za
dany etap
12.1 Zapisanie warunku istnienia dwóch różnych pierwiastków równania. 1
p2 > 4 p
12.2 Przekształcenie danego wyrażenia do postaci pozwalającej zastosować wzory 1
2
2(x1 + x2 ) + x1 Å" x2
Viete a.
12. 12.3 Wykorzystanie wzorów Viete a  zbudowanie równania z niewiadomą p. 1
2 p2 + p -1 = 0
(5 p.)
12.4 Rozwiązanie równania. 1 1
p1 = -1, p2 =
2
Dla p = -1 dane wyrażenie osiąga 1
12.5 Sformułowanie odpowiedzi uwzględniającej warunek z p. 12.1.
wartość 1.
13.1 Przekształcenie wielomianu T do postaci umożliwiającej porównanie 1
T (x) = x3 - x2(c + 4)+ 4x(c + 1)- 4c
współczynników.
c + 4 = 1 Ò! c = -3 1
13.2 Wyznaczenie wartości współczynnika c .
13.
a = 4(c + 1) Ò! a = -8 1
(4 p.)
13.3 Wyznaczenie wartości współczynników a,b.
b = -4c Ò! b = 12
1
13.4 Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności T (x) d"0. x "(- ";- 3 *"{2}
14.1 Wybór dwóch dowolnych argumentów z danego przedziału i ustalenie relacji
1
14. Np. x1 < x2 < 0
między nimi.
Strona 1 z 5
 Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny II  grudzień 2004
Numer
Maks. liczba
zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania
Wynik danego etapu punktów za
dany etap
(4 p.) 14.2 Zbudowanie różnicy wartości funkcji f dla wybranych argumentów.
(x2 - x1)Å"(x2 + x1)
f (x1)- f (x2 )=
2
1
(x1 Å" x2 )
14.3 Określenie znaku różnicy wartości funkcji.
Ponieważ (x2 - x1)> 0 , (x2 + x1)< 0 ,
2
1
(x1 Å" x2 ) > 0 zatem f (x1)- f (x2 )< 0
14.4 Zinterpretowanie otrzymanego wyniku i uzyskanie tezy.
Z założenia x1 < x2 < 0 wynika, że
1
f (x1)< f (x2 ) zatem w przedziale
(- ";0) dana funkcja jest rosnÄ…ca
1
15.1 Zapisanie rozwinięcia dwumianu.
1+ 5x +10x2 +10x3 + 5x4 + x5
15.
1
15.2 Podstawienie x = - 3 i wykonanie potęgowania. 1- 5 3 + 30 - 30 3 + 45 - 9 3
(3 p.)
1
15.3 Redukcja wyrazów podobnych i zapisanie rozwinięcia w żądanej postaci.
76 - 44 3
16.1 Zapisanie równania wynikającego z danych w zadaniu.
2
1
a1 Å" q14 = 4
16.2 Zapisanie wniosku wynikającego z powyższego równania.
2
(a1 Å" q7 ) = -2 lub (a1 Å" q7 ) = 2
16.3 Przekształcenie iloczynu piętnastu początkowych kolejnych wyrazów danego
15
1
a1 Å" q1+2+3+...+14
ciÄ…gu do postaci:
16.
16.4 Zapisanie powyższego iloczynu w postaci:
15
1
a1 Å" q7 Å" 15
(6 p.)
16.5 Przekształcenie powyższego iloczynu do postaci pozwalającej podstawić dane
(a1 Å" q7 )15 = 215 lub (a1 Å" q7 ) = (-2)15
z p.16.2 i zapisanie ostatecznej odpowiedzi.
1
Iloczyn piętnastu początkowych
kolejnych wyrazów danego ciągu jest
równy 215 lub(- 2)15 .
Strona 2 z 5
 Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny II  grudzień 2004
Numer
Maks. liczba
zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania
Wynik danego etapu punktów za
dany etap
17.1 Zapisanie założenia o liczbie logarytmowanej oraz rozwiązanie powstałej
x - 2
nierównoÅ›ci. Uwaga. Jeżeli uczeÅ„ tylko zapisze zaÅ‚ożenie, to za czynność 17.1 > 0 Ò! x "(- ";0)*" (2; ")
1
x
otrzymuje 1p. wówczas, gdy w p. 17.5 rozwiąże tę nierówność.
x - 2
log3 ëÅ‚ öÅ‚ < 0
17.2 Wykorzystanie monotonicznoÅ›ci funkcji wykÅ‚adniczej. ìÅ‚ ÷Å‚
1
x
íÅ‚ Å‚Å‚
17.
x - 2 1
(5 p.)
< 1
17.3 Wykorzystanie monotoniczności funkcji logarytmicznej.
x
1
17.4 Rozwiązanie nierówności wymiernej. x > 0
Zbiorem rozwiązań danej nierówności 1
17.5 Sformułowanie odpowiedzi uwzględniającej poczynione założenia.
jest przedział (2;").
4 1
18.1 Obliczenie sinusa kÄ…ta ACB . sin( "ACB) =
5
2
3
cos( "ACB)= lub
18.
5
18.2 Obliczenie kosinusa kÄ…ta ACB .
(4 p.)
3
cos( "ACB)= -
5
1
18.3 Wykorzystanie tw. kosinusów i obliczenie długości boku AB . AB = 41 lub AB = 137
2
1
19.1 Zapisanie równania wynikającego z danych treści zadania. Np. Ąr(r + l) = 3Ąr
19.2 Wyznaczenie z powyższego równania jednej ze zmiennych. l = 2r 1
19.
1
(3 p.)
Np. Szukany kÄ…t ma miarÄ™ 60o , bo
19.3 Zapisanie szukanej miary kąta rozwarcia tego stożka.
przekrój osiowy tego stożka jest
trójkątem równobocznym.
Strona 3 z 5
 Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny II  grudzień 2004
Numer
Maks. liczba
zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania
Wynik danego etapu punktów za
dany etap
4 4
cosÄ… = lub cosÄ… = -
20.1 Obliczenie kosinusa kÄ…ta Ä… , nachylenia prostej l do osi OX . 2
5 5
3 3
tgÄ… = lub tgÄ… = -
4 4
20.2 Obliczenie tangensa kÄ…ta Ä… , nachylenia prostej l do osi OX i zapisanie
1
Współczynnik kierunkowy prostej l
odpowiedzi do podpunktu a.
3 3
öÅ‚
równa siÄ™ lub ëÅ‚- ÷Å‚
.
ìÅ‚
4 4
íÅ‚ Å‚Å‚
1
20.
x2 - 2x
20.3 Wyznaczenie wzoru pochodnej funkcji f . f '(x) = i x `" 1
2
(9 p.)
(x -1)
3 3
(1) x2 - 2x - 3 = 0 ,
20.4 Rozwiązanie równań f '(x) = oraz f '(x) = - , w tym:
4 4
"1 = 16 , x1 = 3, x2 = -1,
4
- po (1p) za doprowadzenie każdego z równań do postaci równania kwadratowego
(2) 7x2 -14x + 3 = 0 , "2 = 112 ,
i obliczenie wyróżnika,
7 - 2 7 7 + 2 7
- po (1p) za podanie liczby rozwiązań różnych od 1 w każdym z równań.
x3 = , x4 =
7 7
1
20.5 Sformułowanie odpowiedzi do podpunktu b. Istnieją 4 takie styczne.
21.1 Zapisanie równości kątów naprzemianległych wewnętrznych.
21.
(E oznacza punkt wspólny przedłużenia AC i prostej równoległej do CD
1
"BCD = "CBE
i przechodzÄ…cej przez p. B)
(4 p.)
21.2 Zapisanie równości kątów odpowiadających. "ACD = "CEB 1
Strona 4 z 5
 Próbny egzamin maturalny z matematyki  Arkusz egzaminacyjny II  grudzień 2004
Numer
Maks. liczba
zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania
Wynik danego etapu punktów za
dany etap
1
21.3 Zapisanie wniosku wynikającego z powyższych równości kątów. Trójkąt BCE jest równoramienny.
AC AD AC AD
= Ô! =
21.4 Zastosowanie stosunku długości odpowiednich odcinków i uzyskanie tezy.
1
CE AB CB DB
22.1 Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa do opisania 1
P(A )" B) = P(A) + P(B) - P(A *" B)
prawdopodobieństwa iloczynu dwóch zdarzeń.
P(A *" B) d" 1 1
22.2 Zapisanie własności prawdopodobieństwa sumy dwóch zdarzeń.
22.
(3 p.)
P(A )" B) 0,8 + 0,5 -1
1
22.3 Oszacowanie szukanego prawdopodobieństwa warunkowego i uzyskanie
P(A B) = e"
żądanej nierówności. P(B) 0,5
Strona 5 z 5