IX Konkurs Matematyczny
o Puchar Dyrektora V LO w Bielsku-Białej
eliminacje
23 listopada 2006 r. czas: 90 min.
Przed Tobą do rozwiązania test składający się z 23 zadań.
Do każdego pytania podano cztery odpowiedzi, z których co najmniej jedna jest
prawdziwa. Twoim zadaniem jest wypełnienie tabeli odpowiedzi wpisując T (tak)
lub N (nie) w zależności od tego czy odpowiedz
jest prawdziwa, czy fałszywa.
Za każdą prawidłową odpowiedz
otrzymasz 3 punkty, za brak odpowiedzi
0 punktów, za złą odpowiedz
zostanie Ci odjęty 1 punkt.
UWAGA! Jeżeli w zadaniu udzielisz cztery odpowiedzi N lub trzy odpowiedzi N
i nie udzielisz odpowiedzi T, otrzymasz za to zadanie minus 12 punktów.
Przykład wypełniania karty odpowiedzi.
1. Liczba osi symetrii trójkąta mo\
e być równa:
a) 0; b) 1; c) 2; d) 3.
2. Iloczyn 2 6- 5 3 5-2 6 wynosi:
e je j
a) 8 30-39; c) 4 30-39;
b) 8 30+9; d) 8 30.
Nr Odpowiedzi Punkty
zad.
a) b) c) d)
1. T T N T
2. T N N N
Tematy zadań
1. Suma wszystkich liczb trzycyfrowych, które mo\
na zapisać za po-
mocÄ… cyfr 1, 2, 6 bez powtarzania cyfr wynosi:
a) mniej ni\
2006, c) 1998,
b) 1989, d) więcej ni\
2000.
2. Bank udziela kredytu na rozbudowÄ™ i modernizacjÄ™ gospodarstwa
rolnego do 90% kosztów, ale nie więcej ni\
500 000 zł. Właściciel
oszacował koszt rozbudowy swojego gospodarstwa na 600 000 zł.
Jaki najwy\
szy kredyt mo\
e otrzymać z tego banku?
a) 100 000 zł, c) 450 000 zł,
b) 500 000 zł, d) 540 000 zł.
3. Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu o objętości 125 cm3
wynosi:
a) 55 cm, c) 40 cm,
b) 20 cm, d) 60 cm.
4. Krótsza przekątna pewnego sześciokąta foremnego ma długość 8 3.
Pole tego sześciokąta jest równe
a) 96 3, c) 72,
b) 72 3, d) 64.
5. Niech ab oznacza liczbÄ™ naturalnÄ… dwucyfrowÄ… o kolejnych cyfrach
2 2
a i b. Liczba takich liczb ab , dla których
(ab)-(ba)=2006 jest
równa:
a) 1, c) 3,
b) 2, d) inna od pozostałych.
6. Odcinek DE dzieli prostokÄ…t na rysunku obok na
dwie figury: trójkąt ADE i czworokąt BCDE, których
pola majÄ… siÄ™ do siebie jak 1:4. Jaki jest stosunek
AE:EB ?
a) 1:1, c) 2:3,
b) 1:2, d) 3:4.
7. Je\
eli a + b + c = 60, a + b + d = 70, a + c + d = 80, b + c + d = 90, to
suma a + b + c + d jest równa:
a) co najmniej 90, c) dokładnie 100,
b) co najwy\
ej 110, d) nie mo\
na jej obliczyć.
8. Ile ró\
nych dzielników dodatnich ma liczba 2006?
a) więcej ni\
3, c) mniej ni\
6,
b) więcej ni\
5, d) dokładnie 8.
9. Wewnątrz trójkąta równobocznego o boku długości 8 3 wybrano
punkt P. Suma odległości punktu P od wszystkich boków trójkąta
jest równa:
a) to zale\
y od poło\
enia P, c) 12,
b) 8 3, d) 12 3.
10. Kąt przy wierzchołku C trójkąta ABC jest średnią arytmetyczną
kątów przy wierzchołkach A i B. Zatem:
a) nie mo\
e to być trójkąt równoboczny,
b) jest to trójkąt równoramienny,
c) kÄ…t przy wierzchoÅ‚ku C jest równy 60°,
d) mo\
e to być trójkąt prostokątny.
11. Emilka ma z matematyki trzy czwórki, jedynkę i dwie piątki. Jaką
ocenÄ™ mo\
e teraz dostać, aby średnia arytmetyczna jej ocen z ma-
tematyki była co najmniej 4,0?
a) 3, c) 5,
b) 4, d) 6.
12. Podane ni\
ej zdanie jest fałszywe:
a) suma dwóch liczb wymiernych jest zawsze liczbą wymierną,
b) suma dwóch liczb niewymiernych jest zawsze liczbą niewy-
miernÄ…,
c) iloczyn liczby wymiernej i niewymiernej jest zawsze liczbÄ… nie-
wymiernÄ…,
d) iloczyn dwóch liczb niewymiernych jest zawsze liczbą niewy-
miernÄ….
13. Dodatnie liczby a, b, c, d sÄ… takie, \
e pierwiastek trzeciego stopnia
z a Å"b Å" c jest równy 4, a pierwiastek czwartego stopnia z a Å"b Å" c Å" d
jest równy 2 10. Liczba d jest równa:
a) 5, c) 100,
b) 25, d) 64.
14. Na rysunku dane są trzy koła wzajemnie styczne,
których środki le\
ą na jednej prostej. Koła mniej-
sze majÄ… jednakowe promienie. Wtedy:
a) pole części zacieniowanej jest mniejsze ni\
su-
ma pól mniejszych kół,
b) pole części zacieniowanej jest równe sumie pól mniejszych kół,
c) pole części zacieniowanej jest większe ni\
suma pól mniejszych
kół,
d) pole jednego małego koła stanowi 25% pola koła du\
ego.
15. Pole pewnego koła jest równe p, a jego obwód jest równy t. Wynika
z tego, \
e:
a) p jest liczbÄ… niewymiernÄ…,
b) t jest liczbÄ… niewymiernÄ…,
c) p i t mogą być jednocześnie liczbami niewymiernymi,
d) je\
eli p jest liczbą wymierną, to t musi być liczbą niewymierną.
16. W trójkÄ…t o kÄ…tach 20°, 60°, 100° wpisano okrÄ…g, a nastÄ™pnie poÅ‚Ä…-
czono odcinkami punkty styczności otrzymując trójkąt T1. Wtedy:
a) trójkąt T1 jest prostokątny,
b) trójkąt T1 jest ostrokątny,
c) trójkąt T1 jest rozwartokątny,
d) w trójkącie T1 jeden z kątów jest średnią arytmetyczną dwóch
pozostałych.
17. Pierwszego czerwca dzieci dostały wielkie pudło ciastek i tego sa-
mego dnia zjadły dokładnie połowę z nich. Następnego dnia zjadły
połowę pozostałych ciastek i tak samo postępowały ka\
dego kolej-
nego dnia. Czwartego czerwca wieczorem w pudle były jeszcze 64
ciastka. Wynika z tego, \
e w pudle zostało tylko jedno ciastko:
a) wieczorem 9 czerwca, c) wieczorem 11 czerwca,
b) wieczorem 10 czerwca, d) wieczorem 12 czerwca.
18. Liczby a i b sÄ… takie, \
e a + b =5 i ab=3. Wtedy:
a) a2+ b2 < 20, c) (a +1)2+ (b +1)2 = 31,
1 1 5 a b
b) + = , d) + < 6.
a b 3 b a
19. Wszystkie kąty sześciokąta wypukłego ABCDEF są równe. Wynika
z tego, \
e:
a) sześciokąt ABCDEF jest foremny,
b) boki AB i DE tego sześciokąta są równoległe,
c) ABC + BCD = 240°,
d) boki BC i EF są równej długości.
20. Dana jest liczba A= 1 + 2007 1 + 2006 1 + 2005 1 + 2004 Å" 2002 .
Zatem
a) A>2007, c) A=2006,
b) A=2007, d) A<2006.
21. Najkrótsza droga po powierzchni sześcianu o krawędzi 1, łącząca
dwa jego przeciwległe wierzchołki, ma długość:
a) 3, c) 1+ 2,
b) większą ni\
2, d) 5.
22. Liczba A ma 2006 cyfr i jest podzielna przez 9. Liczba B jest sumÄ…
cyfr liczby A. Liczba C jest sumÄ… cyfr liczby B. Jaka jest suma cyfr
liczby C?
a) za mało danych, c) dokładnie 9,
b) większa ni\
3, d) mniejsza ni\
27.
23. Niech f będzie taką funkcją, \
e f(1)=10 i f (x)=x2 f (x-1)-1 dla
( )
ka\
dego całkowitego x>1. Wówczas dla tej funkcji:
a) f(2)=35, c) f(4)>2006,
b) f(3)=315, d) f(10) < 100 Å"f(9).