Algebra
Działania na potęgach o wykładniku rzeczywistym
1. Obliczyć
2 8
a)
41,5
1
-3 1
1
2
( ) Å" Å"8
2
40,5
b)
4
3
( 2) Å"4-1
0,5 1 0,5 0,5
2
c) (7 - 24) - (7 + 2Å"6 ) lub w postaci (7 - 2 6) -(7 + 2 6)
2. Uprościć wyra\
enia:
1 5
1 x-1 4 x6
3
3 6
a) a2 4 a3 b) x c) y- y d)
6
x-0,5
x5
Wzory Viete a
1. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania x2 + (m -1)x + 4 = 0 spełniają
warunek x12 + x22 = 2(x1 + x2) ?Dla jakich wartości parametru m jeden pierwiastek
równania x2 - (m2 - 2)x - 8 = 0 jest kwadratem drugiego?
2. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania x2 + (3m -1)x + 4 = 0 spełniają
warunek x12 + x22 = 1 ?
Dzielenie wielomianów, twierdzenie Bezouta
1. Wykonać dzielenie
a) (x4 - 6x3 +10x2 + 2x -15) : (x - 3)
b) (15x4 - 7x3 + 5x2 +17x - 30) : (3x2 - 2x + 5)
2. Dla jakich wartości parametru m trójmian x2 + x +1 jest dzielnikiem wielomianu
W (x) = x4 - 2x3 + mx + 2 ?
3. Dla jakich wartości liczbowych a i b wielomian W (x) = ax3 - 2x2 + bx - 6 dzieli się przez
wielomian P(x) = x2 - x - 6 ?
4. Rozwiązać równanie x3 - 5x - 2 = 0
5
5. WiedzÄ…c, \
e liczba jest pierwiastkiem wielomianu W (x) = 3x3 - 8x2 - x +10 , rozło\
yć ten
3
wielomian na czynniki i wyznacz jego pozostałe jego pierwiastki.
1/3
6. Rozło\
yć na czynniki liniowe i wyznacz pierwiastki wielomianu
W (x) = (x - 3)(x + 4)(x + 3) - 3x -12 .
7. Rozwiązać równanie
a) x5 + x4 - 5x3 - 5x2 - 36x - 36 = 0
b) x3 - 4x2 -17x + 60 = 0
c) 18x3 + 3x2 - 7x - 2 = 0
d) x4 - 2x2 -15 = 0
8. Rozwiązać równanie x2 + x +12 x +1 = 36 . Wsk. t = x +1
9. Rozwiązać nierówność:
a) 3x - x2 < 0
b) (x2 - 9)(x + 3) < 0
c) x3 - x2 + 2x + 4 > 0
10. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez trójmian - 3x2 + x + 2 jest równa 2x -1.
Wyznaczyć resztę z dzielenia W(x) przez x -1.
11. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x -1) wynosi 4, a z dzielenia przez
dwumian (x + 2) wynosi  2. Wyznaczyć resztę z dzielenia W(x) przez trójmian
(x -1)(x + 2) .
Równania i nierówności z wartością bezwzględną
12. Rozwiązać równanie
a) x + x - 2 = x +1
b) 2 - x - 2x + 3 + x - 4 = -9
c) x3 - 9x - 4x +12 = 0
13. Rozwiązać nierówność:
a) x - 2 < 1
b) x2 > x
c) x2 -1(x3 - 8) < 0
d) 4x2 - 4 x +1 > 0
e) 4x2 + 4 x -1 e" 0
f) x2 - 3 x +1 > 0
g) x2 - 7x + 6 e" x -1
h) x +1 + x - 3 < 2a (w zale\
ności od parametru a)
i) x - 3 - 3 < 2 (równie\
graficznie)
Równania i nierówności wymierne
14. Rozwiązać równanie
2/3
x + 2 x - 2
a) =
x + 3 x - 3
w + 2 w2 3
b) = +
w - 2 w + 2
w2 - 4
15. Rozwiązać nierówność:
3 - x
a) e" 1
3 + x
2 3
b) >
x - 3 2 - x
3
c) x + 5 d" -
x +1
x2 - x - 6
d) e" 0
2x2 + 5x - 3
3x -1
e) d" 2
x + 3
x2 - 7 x +10
f) d" 0
x2 - 6x + 9
6
g) e" 1
4 + 3x - x2
Wielomiany dwóch zmiennych, rozwiązywanie układów równań
16. Rozwiązać układ równań
2x + 2 y + 3 = 0
Å„Å‚
a)
òÅ‚2 y + 3y2 + 2x = 0
ół
Å„Å‚
x2 + y2 - 4 = 0
b)
òÅ‚
2
óły - xy - 2 y = 0
Å„Å‚x2 + y2 - 5 = 0
c)
òÅ‚
xy - 2 = 0
ół
Å„Å‚
x2 - xy + x = 0
d)
òÅ‚
ół2xy - y2 + 3y = 0
3 2 5
Å„Å‚
+ =
ôÅ‚
ôÅ‚ x +1 y - 2 2
e)
òÅ‚
5 3
ôÅ‚ - = 1
ôÅ‚
x +1 y - 2
ół
17. Wykonać dzielenie
a) (x4 + x3y - 2x2 y - 2xy2) : (x + y)
b) (x2 y - 3xy2 + 2 y3 + 2x2 - 4xy) : (x - 2 y)
18. Rozło\
yć na czynniki
a) 3x2 + 2xy - y2
b) x2 y - 3x2 + 5y - y2 - 6 Wsk. y=3
3/3