Kolokwium 1  podejście 2 {odpowiedzi} grupa III
Zadanie 1: Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb:
1.
,
2.
Trzy pierwiastki ( ):
1.: ,
2.: ,
3.: ,
3.
Zadanie 2: Narysować na płaszczyz
nie liczb zespolonych:
1.
Niech .
2.
oraz udowodnić
3.
Niech .
Zadanie 3: W zbiorze par liczb rzeczywistych określone jest działanie:
Sprawdzić, czy jest grupą.
Rozwiązanie: 1. łączność ( )
Niech , ,
Zatem , czyli jest łączna.
2. element neutralny
Niech . Szukamy , które należałoby do i spełniało równość:
Zatem element neutralny istnieje i jest to .
3. element odwrotny
Niech Dla każdego szukamy , które należałoby do i
spełniało równość:
Zatem istnieje: .
Z 1., 2. i 3. wnioskujemy, że jest grupą.
Zadanie 4: Uzasadnić, że zbiór W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V:
Rozwiązanie: Niech , . Trzeba sprawdzić, czy ich kombinacja liniowa również należy do .
Niech będzie tą kombinacją liniową. Wystarczy pokazać, że współrzędne spełniają własność
podaną w definicji zbioru .
Niech , gdzie , , czyli według definicji zbioru są postaci:
oraz .
Znajdujemy współrzędne (nazwijmy je ):
Zatem .
Sprawdzamy, czy współrzędne spełniają własność podaną w definicji zbioru :
Zadanie 5: Zbadać liniową niezależność wektorów , , w .
Rozwiązanie: Jeśli są liniowo niezależne, to tylko dla
. Sprawdzamy:
wstawiamy do równania trzeciego. Otrzymujemy:
Układ sprzeczny, spełniony tylko gdy , czyli układ wektorów jest liniowo
niezależny.