Kolokwium 1  podejście 2 {odpowiedzi} grupa II
Zadanie 1: Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb:
1.
,
2.
Trzy pierwiastki ( ):
1.: ,
2.: ,
3.: ,
3.
Zadanie 2: Narysować na płaszczyz
nie liczb zespolonych:
1.
Niech . Wtedy
2.
Niech . Wtedy
(tą zależność można wyczytać, rysując wykres i
zaznaczając na nim liczby oraz lub wyjść z postaci trygonometrycznej:
)
Wtedy .
oraz udowodnić
1.
Niech .
Zadanie 3: W zbiorze określamy działanie
Zbadać, czy jest grupą.
Rozwiązanie: 1. łączność ( )
Zatem , czyli jest łączna.
2. element neutralny
Niech . Szukamy , które należałoby do i spełniało równość:
Zatem element neutralny istnieje i jest to .
3. element odwrotny
Niech Dla każdego szukamy , które należałoby do i spełniało równość:
Zatem element odwrotny istnieje: .
Z 1., 2. i 3. wnioskujemy, że jest grupą.
Zadanie 4: Uzasadnić, że zbiór W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej :
,
Rozwiązanie: Niech , . Trzeba sprawdzić, czy ich kombinacja liniowa również należy do .
Niech będzie tą kombinacją liniową. Wystarczy pokazać, że spełnia własność podaną w
definicji zbioru .
Zadanie 5: Zbadać liniową niezależność wektorów , , w .
Rozwiązanie: Jeśli są liniowo niezależne, to tylko dla
. Sprawdzamy:
wstawiamy do równania trzeciego. Otrzymujemy:
Układ sprzeczny, spełniony tylko gdy , czyli układ wektorów jest liniowo
niezależny.