1. PROMIENIOWANIE CIAA
A DOSKONALE CZARNEGO
PROMIENIOWANIE CIAA
A DOSKONALE CZARNEGO
Wszystkie rozgrzane ciała emitują promieniowanie elektromagnetyczne. Fale elektromagnetyczne emitowane przez te ciała maj
promieniowanie elektromagnetyczne. Fale elektromagnetyczne emitowane przez te ciała maj
promieniowanie elektromagnetyczne. Fale elektromagnetyczne emitowane przez te ciała mają
ró\
ne długości fali. Widmem promieniowania ciała nazywamy funkcję opisującą zale\
ność mocy promieniowania ciała od
ci fali. Widmem promieniowania ciała nazywamy funkcj ść mocy pr
długości fali. W danej temperaturze ró\
ne ciała mają w ogólności inne widmo promieniowania. Jedne ciała emitują np. du\
o
\
ne ciała maj ci inne widmo promieniowania. Jedne ciała emituj
światła czerwonego, a mniej niebieskiego, a inne odwrotnie. Nie mo\
na więc podać jednego wzoru, który by opisywał poprawnie
wiatła czerwonego, a mniej niebieskiego, a inne odwrotnie. Nie mo jednego wzoru, który by opisywał
widmo promieniowania rozgrzanych ciał.
Mo\
na wprowadzić jednak pewien model, który pozwala wyprowadzić wzór na widmo promieniowania i który dobrze opisuje
jednak pewien model, który pozwala wyprowadzi wzór na widmo promieniowania i który dobrze opisuje
własności promieniowania niektórych ciał. Model ten nosi nazw rnego.
ci promieniowania niektórych ciał. Model ten nosi nazwę modelu ciała doskonale czarnego
Ciało doskonale czarne całkowicie pochłania padaj ce na nie promieniowanie elektromagnetyczne we wszystkich
Ciało doskonale czarne całkowicie pochłania padające na nie promieniowanie elektromagnetyczne we wszystkich
zakresach długości fali. Mówiąc inaczej, ciało doskonale czarne nie odbija wcale promieniowania elektromagnetycznego.
c inaczej, ciało doskonale czarne nie odbija wcale promieniowania elektromagnetycznego.
c inaczej, ciało doskonale czarne nie odbija wcale promieniowania elektromagnetycznego.
Ciało doskonale czarne nie odbija światła, mo\
e natomiast je emitować. Dobrym przykładem ciała doskonale czarnego jest mały
wiatła, mo . Dobrym przykładem ciała doskonale czarnego jest mały
otwór prowadzący do zamkniętej wnęki. Światło, które wpada przez otwór, doznaje tylu odbić wewnątrz wnęki, \
e jest
ki. Światło, które wpada przez otwór, doznaje tylu odbi
praktycznie całkowicie pochłonięte. Innym przykładem ciał, które w dobrym przybli\
eniu mają właściwości ciała doskonale
nym przykładem ciał, które w dobrym przybli eniu mają
czarnego sÄ… gwiazdy.
Dla ciał doskonale czarnych obowiązuje prawo promieniowania Stefana-Boltzmanna mówiące, \
e całkowita moc
ązuje mówi
wypromieniowana (moc wypromieniowana we wszystkich zakresach długo ci fali) przez ciało na jednostk
wypromieniowana (moc wypromieniowana we wszystkich zakresach długości fali) przez ciało na jednostkę powierzchni jest
proporcjonalna to czwartej potęgi temperatury ciała (wyra
gi temperatury ciała (wyra\
onej w skali Kelvina):
gdzie nosi nazwę stałej Stefana-Boltzmanna.
Wyprowadzenie zgodnej z doświadczeniem zale\
ności mocy promieniowania od długości fali dla promieniowania ciała
wiadczeniem zale ści fali dla promieniowania ciała
doskonale czarnego wymaga zało\
enia, \
e światło mo\
e być emitowane tylko w porcjach o energii , gdzie jest
\
e światło mo emitowane tylko w porcjach o energii
częstością fali, a stałą Plancka. Próba wyprowadzenia widma promieniowania ciała doskonale czarnego była pierwszym z
Plancka. Próba wyprowadzenia widma promieniowania ciała doskonale czarnego była pierwszym z
Plancka. Próba wyprowadzenia widma promieniowania ciała doskonale czarnego była pierwszym z
bodz
ców prowadzących do uznania korpuskularnej natury światła i wprowadzenia pojęcia fotonu. Wzór opisujący widmo
cych do uznania korpuskularnej natury cia fotonu. Wzór opisuj
promieniowania ciała doskonale czarnego wyprowadzony przez Plancka ma posta
ale czarnego wyprowadzony przez Plancka ma postać:
Wielkość oznacza moc promieniowania przypadającą na jednostkę powierzchni ciała doskonale czarnego w
oznacza moc promieniowania przypadaj powierzchni ciała doskonale czarnego w
temperaturze , przypadającej na zakres długo
cej na zakres długości fali od do . Wyra\
enie:
odpowiada mocy na jednostkÄ™ powierzchni jak ci fali od
powierzchni jaką wypromieniowuje ciało w zakresie długości fali od do .
Na rysunku przedstawione zostało widmo promieniowania ciała doskonale czarnego o temperaturze
Na rysunku przedstawione zostało widmo promieniowania ciała doskonale czarnego o temperaturze
Na rysunku przedstawione zostało widmo promieniowania ciała doskonale czarnego o temperaturze .
Wzór Plancka ma tę własność, \
e wraz ze spadkiem temperatury ciała nie tylko spada całkowita moc wypromieniowywana przez
e wraz ze spadkiem temperatury ciała nie tylko spada całkowita moc wypromieniowywana przez
ciało, ale rozkład przesuwa się w stronę fal o większej długości. Na rysunku pokazano widma promieniowania ciał o
w stronę fal o wi ci. Na rysunku pokazano widma promieniowania ciał o
temperaturach i . Widać, \
e podczas gdy widmo promieniowania ciała o temperaturze
e podczas gdy widmo promieniowania ciała o temperaturze
ma maksimum odpowiadające długości fali (barwa fioletowa), widmo ciała o temperaturze ma
ci fali (barwa fioletowa), widmo ciała o temperaturze
maksimum dla długości fali (barwa zielona).
(barwa zielona).
Ze wzoru Plancka mo\
na wyprowadzić prawo Stefana-Boltzmanna. Całkowita moc promieniowania na jednostkę powierzchni
prawo Stefana Boltzmanna. Całkowita moc promieniowania na jednostk
ciała doskonale czarnego w całym zakresie widma wynosi:
o w całym zakresie widma wynosi:
1
co daje ostatecznie prawo
Stefana-Boltzmanna .
14 grudnia 1900 Max Planck przedstawił uzasadnienie wzoru przedstawionego 19 paz
dziernika 1900 roku i b
przedstawił uzasadnienie wzoru przedstawionego 19 pa dziernika 1900 roku i będącego poprawioną
wersją wzoru Wiena. Poprawka Plancka polegała na odj ciu od mianownika ułamka liczby 1. W uzasadnieniu Planck przyj
Plancka polegała na odjęciu od mianownika ułamka liczby 1. W uzasadnieniu Planck przyjął, \
e
oscylatory wytwarzające promieniowanie cieplne mogą przyjmować tylko pewne wybrane stany energetyczne, a emitowane przez
ce promieniowanie cieplne mog tylko pewne wybrane stany energetyczne, a emitowane przez
nie promieniowanie mo\
e być wysyłane tylko określonymi porcjami. Zaproponowany rozkład został nazwany potem na jego
wysyłane tylko Zaproponowany rozkład został nazwany potem na jego
cześć rozkładem Plancka:
gdzie: radiancja spektralna częstotliwościowa (tzn. radiancja na jednostkę częstotliwości) w
radiancja spektralna ciowa (tzn. radiancja na jednostk
kierunku prostopadÅ‚ym do emitujÄ…cej powierzchni (jednostka w SI: W·m-2·sr-1·Hz-1), czÄ™stotliwo promieniowania, staÅ‚a
cej powierzchni (jednostka w SI: ęstotliwość
Plancka, temperatura ciała doskonale czarnego, prędkość światła w pró\
ni, stała Boltzmana.
ciała doskonale czarnego, .
WiedzÄ…c \
e promieniowanie emitowane jest w postaci fotonów, mo\
na zapisać wzór wyra\
ający średnią liczbę emitowanych
e promieniowanie emitowane jest w postaci fotonów, mo \
ajÄ…cy
fotonów dN o energii z zakresu dE w postaci Wzór ten jest nazywany prawem Plancka.
w postaci Wzór ten jest nazywany prawem Plancka.
Maksimum funkcji intensywności promieniowania opisuje prawo przesunięć Wiena
ci promieniowania opisuje
Gęstość energii promieniowania (gaz bozonowy y tylko od temperatury
gaz bozonowy dla bezmasowych fotonów) zale\
y tylko od temperatury
podobnÄ… zale\
ność ma strumień promieniowania emitowanego w jednej sekundzie przez ciało doskonale czarne
promieniowania emitowanego w jednej sekundzie przez ciało doskonale czarne
promieniowania emitowanego w jednej sekundzie przez ciało doskonale czarne
gdzie à = ca / 4. Powy\
szy wzór wyra\
a prawo Stefana Wiena pozwala wyznaczyć efektywną
prawo Stefana-Boltzmanna. W astronomii prawo Wiena
temperaturę powierzchniową gwiazdy i związać ją z barwą gwiazdy. Wypełniające cały Wszechświat promieniowanie tła
i zwi Wsze
pozostałe po Wielkim Wybuchu ma widmo takie samo jak promieniowanie ciała doskonale czarnego o temperaturze 2,7 K.
ma widmo takie samo jak promieniowanie ciała doskonale czarnego o temperaturze 2,7
Zgodnie z hipotezą Stephena Hawkinga czarna dziura emituje promieniowanie podobnie do ciała doskonale czarnego, co
czarna dziura emituje promieniowanie podobnie do ciała doskonale czarnego, co
prowadzi do jej powolnego parowania.
2
2. EFEKT FOTOELEKTRYCZNY
Efekt fotoelektryczny (zjawisko fotoelektryczne
zjawisko fotoelektryczne, fotoefekt)  zjawisko fizyczne polegajÄ…ce na
1. emisji elektronów z powierzchni przedmiotu (zjawisko fotoelektryczne zwane równie\
zjawiskiem fotoelektrycznym
z powierzchni przedmiotu ( zwane równie\

zewnętrznym dla odró\
nienia od wewn
nienia od wewnętrznego);
2. przeniesieniu nośników ładunku elektrycznego pomiędzy pasmami energetycznymi (tzw. zjawisko fotoelektryczne
ników ładunku elektrycznego (tzw.
wewnętrzne), w wyniku naświetlania promieniowaniem elektromagnetycznym (na przykład światłem widzialnym) o
wietlania (na przykład
odpowiedniej częstotliwości, zale\
nej od r
\
nej od rodzaju przedmiotu.
Emitowane w zjawisku fotoelektrycznym elektrony nazywa si Energia kinetyczna fotoelektronów nie
Emitowane w zjawisku fotoelektrycznym elektrony nazywa siÄ™ czasem fotoelektronami. Energia kinetyczna
zale\
y od natÄ™\
enia światła a jedynie od jego częstotliwości. Gdy oświetlanym ośrodkiem jest gaz, zachodzi zjawisko
a jedynie od jego cz rodkiem jest
fotojonizacji, gdy zachodzi zjawisko fotoelektryczne wewnętrzne mówi się o fotoprzewodnictwie.
zi zjawisko fotoelektryczne wewn .
Odkrycie i wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego przyczyniło się do rozwoju korpuskularno-falowej teorii materii, w której
nienie efektu fotoelektrycznego przyczyniło si falowej
obiektom mikroświata przypisywane są jednocze ci falowe i materialne (korpuskularne). Wyja
jednocześnie własności falowe i materialne (korpuskularne). Wyjaśnienie i matematyczny
opis efektu fotoelektrycznego zawdzięczamy Albertowi Einsteinowi, który w 1905 roku wykorzystał hipotez
czamy roku wykorzystał hipotezę kwantów wysuniętą
przez Maxa Plancka w 1900 roku.
Doświadczenie Hertza z cewką - W roku 1887 Hertz opublikował wyniki swych badań nad przeskokiem iskier w iskrowniku
1887 nad przeskokiem iskier w iskrowniku
cewki odbierającej fale elektromagnetyczne. Zbudowany przez niego odbiornik fal składał się z obręczy i cewki zapłonowej 
e. Zbudowany przez niego odbiornik fal składał się z obr
ilekroć odbiornik rejestrował fale elektromagnetyczne, na cewce przeskakiwała iskra. Hertz umieścił swe urządzenie w ciemnym
odbiornik rejestrował fale elektromagnetyczne, na cewce przeskakiwała iskra. Hertz umieś
pudle, by iskra była lepiej widoczna i zaobserwował, e spowodowało to osłabienie iskry. Okazało się, \
e szyba izolujÄ…ca z
ródło
pudle, by iskra była lepiej widoczna i zaobserwował, \
e spowodowało to osłabienie iskry. Okazało si
fal i odbiornik pochłaniała promieniowanie ultrafioletowe, które towarzyszyło przeskokowi elektronów w szczelinie cewki.
promieniowanie ultrafioletowe, które towarzyszyło przeskokowi elektronów w szczelinie cewki.
Zastąpienie szkła kwarcem nie powodowało zmniejszenia iskry, gdy\
kwarc nie pochłania promieniowania ultrafioletowego.
nie powodowało zmniejszenia iskry, gdy kwarc nie pochłania promienio
Hertz nie analizował dalej zaobserwowanego przez siebie zjawiska i ograniczył si do publikacji swych wyników.
Hertz nie analizował dalej zaobserwowanego przez siebie zjawiska i ograniczył się do publikacji swych wyników.
Zaproponowane przez Alberta Einsteina wyja nienie zjawiska i jego opis matematyczny oparte jest na
Zaproponowane przez Alberta Einsteina wyjaśnienie zjawiska i jego opis matematyczny oparte jest na
zało\
eniu, \
e energia wiÄ…zki Å›wiatÅ‚a pochÅ‚aniana jest w postaci porcji (kwantów) równych h½, gdzie h jest staÅ‚Ä… Plancka a ½
wiatła pochłaniana jest w postaci porcji ( , gdzie
oznacza częstotliwość fali. Kwant promieniowania pochłaniany jest przy tym w całości. Einstein zało\
ył dalej, \
e usunięcie
fali. Kwant promieniowania pochłaniany jest przy tym w cało ci. Einstein zało
elektronu z powierzchni metalu (substancji) wymaga pewnej pracy zwanej pracą wyjścia, która jest wielkością charakteryzującą
elektronu z powierzchni metalu (substancji) wymaga pewnej pracy zwanej , która jest wielko
daną substancję (stałą materiałową). Pozostała energia unoszona jest przez emitowany elektron. Z tych rozwa
). Pozostała energia unoszona jest przez emitowany elektron. Z tych rozwa
). Pozostała energia unoszona jest przez emitowany elektron. Z tych rozwa\
ań wynika wzór:
gdzie: h  staÅ‚a Plancka; ½  czÄ™stotliwość padajÄ…cego fotonu; W  praca wyjÅ›cia; Ek 
cego fotonu;
maksymalna energia kinetyczna emitowanych elektronów.
emitowanych elektronów.
Hipoteza kwantów wyjaśnia, dlaczego energia fotoelektronów jest zale\
na od częstości światła oraz, \
e poni\
ej pewnej
nia, dlaczego energia fotoelektronów jest zale światła oraz,
częstotliwości światła, zjawisko fotoelektryczne nie zachodzi. Einstein opublikował swoją pracę, w której wyjaśnił zjawisko
wiatła, zjawisko fotoelektryczne nie zachodzi. Einstein op pracę
fotoelektryczne, w Annalen der Physik w 1905
w 1905 r.
Otrzymane równanie zostało potwierdzone do . Millikan był zagorzałym przeciwnikiem koncepcji
Otrzymane równanie zostało potwierdzone doświadczalnie przez Millikana. Millikan był zagorzałym przeciwnikiem koncepcji
Einsteina i przez 10 lat eksperymentował próbuj wiadczenia stały si
Einsteina i przez 10 lat eksperymentował próbując ją obalić. Paradoksalnie, jego doświadczenia stały się koronnym dowodem
słuszności kwantowej natury światła. Co wię liwiły bardzo dokładne wyznaczenie stałej
wiatła. Co więcej, precyzyjne pomiary Millikana umo\
liwiły bardzo dokładne wyznaczenie stałej
Plancka. Równanie opisujące zale\
ności energetyczne w fotoefekcie nazywane bywa równaniem Millikana
ci energetyczne w fotoefekcie nazywane bywa równaniem Millikana
ci energetyczne w fotoefekcie nazywane bywa równaniem Millikana-Einsteina.
Odstępstwa od powy\
szego opisu
1. Światło zazwyczaj oddziałuje z elektronami znajdującymi się na powierzchni katody, ale niektóre fotony mogą wnikać
wiatło zazwyczaj oddziałuje z elektronami znajduj erzchni katody, ale niektóre fotony mog
głębiej. Wówczas uwolniony elektron, zanim opu energii na zderzenia wewnątrz katody.
biej. Wówczas uwolniony elektron, zanim opuści katodę, mo\
e wytracić część energii na zderzenia wewn
2. W przypadku bardzo du\
ych natÄ™\
eń procesy wielofotonowe, co oznacza, \
e jeden
Ä™\
eń światła (np. z lasera) mogą zachodzić procesy wielofotono
elektron mo\
e zaabsorbować energię
energię kilku fotonów.
3
Zjawisko fotoelektryczne wewnętrzne - W efekcie fotoelektrycznym wewnętrznym energia fotonu te\
jest całkowicie
trznym energia fotonu te
pochłaniana przez elektron. Ale elektron nie jest uwalniany, jak to ma miejsce w zjawisku fotoelektrycznym zewn
pochłaniana przez elektron. Ale elektron nie jest uwalniany, jak to ma miejsce w zjawisku fotoelektrycznym zewnętrznym,
przenosi siÄ™ do pasma przewodnictwa zmieniaj Fotoprzewodnictwo). Zjawisko to
do pasma przewodnictwa zmieniając tym samym własności elektryczne materiału (Fotoprzewodnictwo
zachodzi tylko wówczas, gdy energia fotonu jest wi pasma wzbronionego (odległo
zachodzi tylko wówczas, gdy energia fotonu jest większa, ni\
wynosi szerokość pasma wzbronionego (odległość energetyczna
między pasmem walencyjnym a pasmem przewodnictwa).
dzy pasmem walencyjnym a pasmem przewodnictwa).
Zjawisko Comptona, rozpraszanie komptonowskie - zjawisko rozpraszania promieniowania X (rentgenowskiego) i
rozpraszanie komptonowskie promieniowania X
promieniowania gamma, czyli promieniowania elektromagnetycznego o du\
ej częstotliwości na swobodnych lub słabo
promieniowania elektromagnetycznego stotliwości,
związanych elektronach, w wyniku którego następuje zwiększenie długości fali promieniowania. Za słabo związany uwa\
amy
, w wyniku którego nast ci fali promieniowania. Za słabo zwi
przy tym elektron, którego energia wiązania w atomie, cząsteczce lub sieci krystalicznej jest znacznie ni\
sza, ni\
energia
Ä…zania steczce lub sieci krystalicznej jest znacznie ni
padajÄ…cego fotonu. Zjawisko przebiega w tym przypadku praktycznie tak samo, jak dla elektronu swobodnego.
ebiega w tym przypadku praktycznie tak samo, jak dla elektronu swobodnego.
ebiega w tym przypadku praktycznie tak samo, jak dla elektronu swobodnego.
Zwiększenie długości fali rozproszonego fotonu, zwane y od kąta rozproszenia fotonu zgodnie
rozproszonego fotonu, zwane przesunięciem Comptona, zale\
y od kÄ…
ze wzorem:
gdzie:  zmiana długości fali fotonu, (przesunięcie Comptona);  kąt rozproszenia fotonu;
ci fali fotonu, (przesuni
 stała, tzw. komptonowska długość fali elektronu;  stała
komptonowska długo
Plancka,  masa spoczynkowa elektronu  prędkość światła,  długość fali rozproszonej,  długość fali padającej.
elektronu, fali rozproszonej,
Zatem zmiana długości fali nie zale\
y od jej początkowej długości. Oznacza to, \
e względna zmiana zale\
y od długości fali
y od jej pocz dna zmiana zale
padającego promieniowania. Maksymalna zmiana długości fali występuje dla kąta
cego promieniowania. Maksymalna zmiana długo wyst
(rozproszenie wsteczne). I tak na przykład dla
(rozproszenie wsteczne). I tak na przykład dla światła widzialnego, od długości rzędu względna zmiana
długości fali w tym wypadku wynosi około 0,001%, efekt jest więc bardzo słaby. Jednak dla promieniowania o długości fali
ci fali w tym wypadku wynosi około 0,001%, efekt jest wi c bardzo słaby. Jednak dla promieniowania o długo
, co odpowiada energii fo ciokrotny wzrost długo
fotonów około 1 MeV, oznacza to niemal dziesięciokrotny wzrost długości fali.
Wzór na przesunięcie długości fali mo\
na przekształci fotonu po rozproszeniu:
na przekształcić w wyra\
enie na energiÄ™ fotonu po rozproszeniu:
, gdzie jest energiÄ… fotonu padajÄ…cego (przed rozproszeniem).
cego (przed rozproszeniem).
4
3. KWANTOWANIE, POSTULAT PLANCKA
Kwantowanie, kwantyzacja  konstrukcja pozwalająca na przejście z klasycznej teorii pola do kwantowej teorii pola.
Kwantowanie jest uogólnieniem konstrukcji stosowanej przy przejściu z mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej.
W bardziej popularnym znaczeniu przez kwantowanie rozumie się fakt istnienia skończonego lub przeliczalnego zbioru
dopuszczalnych wartości danej wielkości. Na przykład mówiąc, \
e energia elektronu w atomie jest skwantowana rozumie siÄ™
przez to, \
e mo\
liwe do zaobserwowania są tylko określone jej wartości, zwane w tym przypadku poziomami energetycznymi.
Stała Plancka (oznaczana przez h) jest jedną z podstawowych stałych fizycznych. Ma wymiar działania, pojawia się w
większości równań mechaniki kwantowej. Historycznie stała Plancka pojawiła się w pracy Maxa Plancka na temat wyjaśnienia
przyczyn tzw. katastrofy w nadfiolecie w prawie promieniowania ciała doskonale czarnego. Planck stwierdził, \
e energia nie
mo\
e być wypromieniowywana w dowolnych ciÄ…gÅ‚ych iloÅ›ciach, a jedynie w postaci "paczek" (kwantów) o wartoÅ›ci h½, gdzie ½
jest częstotliwością.
StaÅ‚a Plancka w ukÅ‚adzie SI jest równa: h = 6,626 0693 (11)·10 34 J·s = 4,135 667 443 (35)·10 15 eV·s
O wiele częściej ni\
stałej Plancka u\
ywa się wielkości nazywanej h kreślone (albo stała Diraca):
gdzie Ą jest liczbą pi. Wielkość ta jest równa:
1,054 571 68 (18)·10 34 J·s = 6,582 119 15 (56)·10 16 eV·s = 197, 326 968 (17) MeV·fm/c
jest kwantem momentu pędu, a więc tym samym i spinu. Z tego te\
powodu przez wielu uwa\
ana za stałą bardziej podstawową
ni\
sama stała Plancka. Oznaczenie to wprowadził brytyjski fizyk Paul A. M. Dirac.
5
4. FUNKCJA FALOWA I JEJ INTERPRETACJA KOPENHASKA
FUNKCJA FALOWA I JEJ INTERPRETACJA KOPENHASKA
Funkcja falowa to w mechanice kwantowej funkcja zmiennych konfiguracyjnych np. poło\
enia, o wartościach zespolonych,
mechanice kwantowej \
enia, o warto
bÄ™dÄ…ca rozwiÄ…zaniem równania Schrödingera, opisujÄ…ca czysty stan kwantowy czÄ…stki. Wartość funkcji falowej dla danych
równania Schrödingera stki. Wartość
parametrów nazywa się amplitudą prawdopodobieństwa, a kwadrat jej modułu jest proporcjonalny do gęstości
prawdopodobie jest proporcjonalny do g
prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie przestrzeni (jest to tzw. postulat Borna). Ścisła definicja
stki w danym punkcie przestrzeni (jest to tzw. postulat Borna).
stki w danym punkcie przestrzeni (jest to tzw. postulat Borna).
matematyczna wymaga odniesienia się do własno interpretacji kopenhaskiej funkcja falowa opisuje
do własności przestrzeni Hilberta. Wg interpretacji kopenhaskiej
stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru ontologicznego. Inne interpretacje cz
stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru . Inne interpretacje często zakładają realne
istnienie funkcji falowej.
Same funkcje falowe i ich wartości nie są bezpośrednio mierzalne. Jako funkcja zespolona mo\
e być funkcja falowa
ci nie s rednio mierzalne. Jako funkcja zespolona mo
przedstawiona w postaci iloczynu modułu i fazy i w odpowiednich warunkach dla niektórych układów mo
postaci iloczynu modułu i fazy i w odpowiednich warunkach dla niektórych układów mo
postaci iloczynu modułu i fazy i w odpowiednich warunkach dla niektórych układów mo\
liwy jest pomiar ró\
nic
wartości faz funkcji falowych (porównaj efekt Aharonowa
efekt Aharonowa-Bohma).
Ściślejsza definicja określa funkcję falową jako reprezentację w określonych współrzędnych (poło\
enia, pędy, inne) pewnego
ą jako reprezentacj dnych (poło
wektora z abstrakcyjnej, na ogół nieskończeniewymiarowej, przestrzeni Hilberta stanów układu, wyposa\
onej obok iloczynu
ńczeniewymiarowej, stanów układu, wyposa
skalarnego tak\
e w relację równowa\
ności, w której równowa elementy tzw. promienia, czyli wektory daj
, w której równowa\
ne sÄ… elementy tzw. promienia, czyli wektory dajÄ…ce siÄ™ wzajemnie
rzutować na określony punkt sfery jednostkowej (funkcje falowe określone są z dokładnością do czynnika skali, fizyczny sens
lony punkt sfery jednostkowej (funkcje falowe okre Ä… do czynnika skali, fizyczny sens
przyporządkowuje się tylko tym wektorom, dla których mo\
liwe jest unormowanie do jedności). Kwadrat modułu wektora,
tylko tym wektorom, dla których mo liwe jest unormowanie do jednoś
obliczany przy u\
yciu zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta iloczynu skalarnego, jest proporcjonalny do prawdopodobie
yciu zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta iloczynu skalarnego, jest proporcjonalny do prawdopodobieństwa
yciu zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta iloczynu skalarnego, jest proporcjonalny do prawdopodobie
zarejestrowania układu w stanie opisywanym tym wektorem falowym.
zarejestrowania układu w stanie opisywanym tym wektorem falowym.
własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje funkcja falowa
stki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje funkcja falowa ¨. Jest to w ogólnym
przypadku zespolona funkcja współrz
przypadku zespolona funkcja współrzÄ™dnych przestrzennych oraz czasu: ¨(x,y,z,t)
2
¨"¨ = ¨
¨
prawdopodobieństwo znalezienia czą
stwo znalezienia cząstki określa kwadrat modułu funkcji falowej
2
¨ = "p / "V
- wielkość nazywamy gęsto stki w chwili t w pewnym punkcie
tością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t w pewnym punkcie
przestrzeni, w otoczeniu którego wybrano element obj
przestrzeni, w otoczeniu którego wybrano element objętości "V
2
¨ dV = p
+"
- wielkość gdzie "V jest mał prawdopodobieństwu znalezienia cząstki
V jest małą objętością w przestrzeni, jest równa prawdopodobie
V
w chwili t w objętości "V
2
2
¨ dV =1
+"
- prawdopodobieństwo tego, \
e czÄ…stka znajduje si
stka znajduje siÄ™  gdziekolwiek w przestrzeni wynosi 1. Warunek powy\
szy
"
nosi nazwÄ™ warunku normalizacji a funkcjÄ™ unormowanÄ….
a funkcjÄ™ ¨ speÅ‚niajÄ…cÄ… ten warunek nazywamy funkcjÄ… unormowan
Interpretacja kopenhaska funkcji falowej jest interpretacją probabilistyczną. Mianowicie gęstość prawdopodobieństwa
funkcji falowej . Mianowicie
znalezienia cząstki w danym punkcie jest równa kwadratowi modułu funkcji falowej (funkcja razy funkcja sprzę\
ona) w tym
stki w danym punkcie jest równa funkcji falowej (funkcja razy
punkcie. Interpretacja kopenhaska nie jest jedyn , i na gruncie ani teorii ani eksperymentu nie znajdujemy
nterpretacja kopenhaska nie jest jedynÄ… mo\
liwÄ… interpretacjÄ…, i na gruncie ani teorii ani eksperymentu nie znajdujemy
argumentów na jej rzecz. Jest jednak w powszechnym u\
ytku. Ka\
dy obiekt opisany jest tzw. funkcją falową o wartościach w
mentów na jej rzecz. Jest jednak w powszechnym u dy obiekt opisany jest tzw. funkcj
zbiorze liczb zespolonych. Rzeczywista warto lonym punkcie wyznacza prawdopodobie
zbiorze liczb zespolonych. Rzeczywista wartość absolutna tej funkcji w określonym punkcie wyznacza prawdopodobieństwo
znalezienia obiektu (np. cząstki elementarnej) w tym punkcie. Podobny opis dotyczy innych własności cząstek, np. ich spinu.
stki elementarnej) w tym punkcie. Podobny opis dotyczy innych własno
stki elementarnej) w tym punkcie. Podobny opis dotyczy innych własno
Podstawowe kierunki interpretacji są następują
ępujące:
a) opis kwantowy jest kompletny, przypadkowość jest realną cechą natury,
opis kwantowy jest kompletny, przypadko
b) opis kwantowy jest niekompletny, przypadkowo jest wynikiem naszej niewiedzy, uzupełnienie go o tzw. zmienne
przypadkowość jest wynikiem naszej niewiedzy, uzupełnienie go o tzw. zmienne
ukryte pozwoliłoby na powrót do determinizmu.
ukryte pozwoliłoby na powrót do determinizmu.
Wariant (a) odpowiada interpretacji kopenhaskiej (Nielsa Bohra), wariant (b)  interpretacji Davida Bohma  Louisa de Broglie,
Wariant (a) odpowiada interpretacji kopenhaskiej (Nielsa Bohra), wariant (b) interpretacji Davida Bohma
rozwiniętej przez Johna Bella.
6
5. POSTULAT de BROGLIE. ZASADA SUPERPOZYCJI FUNKCJI FALOWYCH. DUALIZM FALOWAO-
KORPUSKULARNY I ZASADA KOMPLEMENTARNOÅšCI
Pomysł opisu cząstek za pomocą fal pochodzi od Louisa de Broglie'a, który w 1924 roku uogólnił teorię fotonową efektu
fotoelektrycznego. W tym czasie wiedziano ju\
, \
e na potrzeby opisu niektórych zjawisk fizycznych, ka\
dÄ… falÄ™
elektromagnetycznÄ… mo\
na traktować jako strumień cząstek - fotonów. Fotonom, mimo \
e nie majÄ… masy, mo\
na przypisać pęd
, gdzie  - długość fali fotonu.
Propozycja De Broglie'a polegała na odwróceniu rozumowania - aby ka\
dej cząstce o ró\
nym od zera pędzie przypisać falę, o
określonej długości i częstotliwości. Zgodnie z tym, de Broglie zaproponował odwrócenie zale\
ności między pędem a długością
fali, znanej dla fotonu, tak aby długość fali była wyra\
ona przez pęd cząstki. Hipoteza ta nie miała \
adnych podstaw
doświadczalnych i była czysto logiczną spekulacją.
Fale materii, zwane te\
falami de Broglie'a jest to, alternatywny w stosunku do klasycznego (czyli korpuskularnego), sposób
opisu obiektów materialnych. Według hipotezy de Broglie'a dualizmu korpuskularno-falowego ka\
dy obiekt materialny mo\
e być
opisywany na dwa sposoby: jako zbiór cząstek, albo jako fala (materii). Obserwuje się efekty potwierdzające falową naturę
materii w postaci dyfrakcji cząstek elementarnych a nawet całych jąder atomowych.
Wzór pozwalający wyznaczyć długość fali materii dla cząstki o określonym pędzie ma postać , gdzie:  - długość fali
cząstki, h - stała Plancka, p - pęd cząstki.
Korpuskularno-falowa natura materii jest jednym z głównych aspektów mechaniki kwantowej: ka\
dy obiekt materialny mo\
e
przejawiać naturę falową, co oznacza, \
e mo\
e podlegać zjawiskom dyfrakcji i interferencji. Zgodnie z mechaniką kwantową cała
materia charakteryzuje siÄ™ takim dualizmem, chocia\
uwidacznia się on bezpośrednio tylko w bardzo subtelnych eksperymentach
wykonywanych na atomach, fotonach, czy innych obiektach kwantowych. Dualizm korpuskularno-falowy jest ściśle związany z
falami de Broglie'a, koncepcją która przyczyniła się do powstania mechaniki kwantowej, a w szczególności do wyprowadzenia
równania Schrödingera.
Stosunkowo łatwo jest zaobserwować efekty falowe w przypadku cząstek lekkich, np. elektronów (małe obiekty przejawiają
właściwości falowe). Dyfrakcję i interferencję fal elektronów mo\
na uzyskać wykorzystując technikę zbli\
onÄ… do metod znanych
z krystalografii rentgenowskiej.
Dzięki temu, \
e długość fali materii dla elektronu jest bardzo mała w porównaniu z długością fali światła, elektrony doskonale
nadają się do obserwacji małych obiektów. Zostało to wykorzystane m.in. do budowy mikroskopu elektronowego, który ma
wielokrotnie wy\
szą rozdzielczość od mikroskopu optycznego.
Powy\
sze rozwa\
ania dotyczą ruchu swobodnego cząstek (którym odpowiadałyby fale płaskie). W realnych przypadkach cząstce
nale\
y przypisać pewną grupę fal materii, tzw. paczkę falową. Pełny i ścisły obraz falowego aspektu materii daje mechanika
kwantowa nazywana czasem mechaniką falową, gdzie mówi się o falach prawdopodobieństwa zamiast o falach materii.
Superpozycja fal to sumowanie siÄ™ kilku niezale\
nych ruchów falowych. Dla małych amplitud fal (małych natę\
eń fali)
prawdziwa jest zasada superpozycji mówiąca, \
e fala wypadkowa, będąca wynikiem jednoczesnego nało\
enia się kilku ruchów
falowych, jest sumą fal składowych. Prawo to nie zachodzi w ośrodkach nieliniowych znacznych natę\
eń fal. Wówczas fala
wypadkowa nie jest zwykle sumą fal składowych i nie mo\
na mówić o superpozycji fal, choć nadal następuje ich nakładanie się.
ZASADA KOMPLEMENTARNOÅšCI:
cechy falowe i korpuskularne uzupełniają się wzajemnie, dając pełny opis danego obiektu
w danym pomiarze stosuje siÄ™ tylko jeden model, zatem w tych samych warunkach nie mo\
na stosować obu modeli
dany obiekt fizyczny, rejestrowany w wyniku pewnego rodzaju oddziaływania, zachowuje się jak cząstka w tym sensie,
\
e jest zlokalizowany (posiada określoną wielkość, kształt i masę), natomiast kiedy porusza się  zachowuje się jak fala,
która nie jest zlokalizowana, lecz rozciąga się w przestrzeni
7
6. RÓWNANIE SCHRODINGERA DLA JEDNEJ CZ
STECZKI. POSTAĆ ZALEśNA I NIEZALEśNA OD
CZASU
Równanie Schrödingera to podstawowe i najwa\
niejsze równanie nierelatywistycznej mechaniki kwantowej - teorii kwantowej
obowiązującej dla prędkości małych w porównaniu z prędkością światła. Zostało ono sformułowane w 1926 roku przez
austriackiego fizyka - Erwina Schrödingera.
Mo\
emy wyprowadzić równanie Schrödingera rozpoczynajÄ…c od klasycznego wzoru na energiÄ™ caÅ‚kowitÄ… E czÄ…stki w potencjale
V(x,y,z). EnergiÄ™ tÄ… obliczamy ze wzoru:
E = Ekin + Epot = (p2/2m) + V(x,y,z) gdzie: Ekin - energia kinetyczna, Epot=V(x,y,z) - energia potencjalna, p - pęd cząstki, m - masa
czÄ…stki
W mechanice kwantowej, mierzalne wielkości (takie jak np. pęd, energia, moment pędu) zastępujemy odpowiadającymi im
operatorami. Operatory te dziaÅ‚ajÄ… na funkcjÄ™ falowÄ… ¨, reprezentujÄ…cÄ… stan czÄ…stki.
Odpowiednie operatory to: E i'
"/"t
p -i'
("/"x, "/"y, "/"z)
V(x,y,z) V(x,y,z)
Podstawiając teraz te operatory do wzoru na energię całkowitą cząstki i wiedząc, \
e operatory muszą działać na funkcję (falową),
otrzymujemy równanie Schrödingera zale\
ne od czasu:
-('
2/2m)("2¨/"x2 + "2¨/"y2 + "2¨/"z2) + V¨ = i'
"¨/"t gdzie: i - jednostka urojona, '
- stała Plancka (h) podzielona przez 2Ą, m
- masa czÄ…stki, ¨ - funkcja falowa, V - potencjaÅ‚.
ObowiÄ…zuje ono dla ka\
dej nierelatywistycznej czÄ…stki w polu potencjalnym.
Równanie Schrödingera odczytujemy jak nastÄ™puje: suma drugich pochodnych funkcji falowej po współrzÄ™dnych przestrzennych
pomno\
onych przez -'
2/2m dodać iloczyn potencjału i tej funkcji jest równa pochodnej tej funkcji po czasie pomno\
onej przez i'
.
Rozwiązaniem tego równania jest zale\
na od czasu i współrzÄ™dnych przestrzennych funkcja falowa ¨. MajÄ…c to rozwiÄ…zanie
wiemy w jakim stanie kwantowym cząstka znajduje się w dowolnym czasie i jak ów stan będzie się z czasem zmieniał.
Równanie Schrödingera jest tak wa\
ne jak II zasada dynamiki Newtona, której równanie pozwala nam wyznaczyć w jakim
poło\
eniu znajduje się w dowolnym czasie cząstka, jeśli znamy działające na nią siły.
Jeśli układ ma stałą w czasie energię E (stan stacjonarny), to funkcję falową takiego stanu mo\
emy przedstawić następująco:
¨(x,y,z,t) = È(x,y,z) exp(-iEt/'
)
Wtedy to, po podstawieniu do powy\
szego równania zale\
nego od czasu, otrzymujemy równanie Schrödingera niezale\
ne od
czasu. Dzięki niemu mo\
emy wyznaczyć te stany kwantowe, które mają ściśle określone energie, a tak\
e mo\
liwe wartości tych
energii.
-('
2/2m)("2È/"x2 + "2È/"y2 + "2È/"z2) + VÈ = EÈ
WedÅ‚ug interpretacji bÄ™dÄ…cych poza paradygmatem mechaniki kwantowej, funkcja ¨ nie reprezentuje fali materii, ale pokazuje
zmiany czasowe i przestrzenne kÄ…ta precesji spinu czÄ…stki. Natomiast równanie Schrödingera, to równanie podajÄ…ce warunek
stabilności stanu cząstki w obecności zaburzeń. Dla atomu mówi ono na jakich trajektoriach elektron nie straci energii w
oscylacyjnym polu czÄ…stek jÄ…dra. Okazuje siÄ™, \
e są to tory, na których kąt precesji spinu wykona całkowitą wielokrotność
pełnych obrotów. I to właśnie dlatego u zarania mechaniki kwantowej postulowano orbity stabilne, jako mieszczące całkowitą
wielokrotność długości fal materii. Ale da się to wytłumaczyć jaśniej, czyli bardziej obrazowo, a mniej - matematycznie. I nie
trzeba mieszać cząstek z falami. Cząstki są tu zawsze sobą.
Ogólnie Schrödingera równanie ma postać:
gdzie: i - jednostka urojona, h = h/2Ä„ (h - staÅ‚a Plancka), t - czas, H - hamiltonian ukÅ‚adu, È - funkcja falowa opisujÄ…ca ten ukÅ‚ad.
8
7. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ, OPERATORY, RÓEWNANIE WA
ASNE, FUNKCJA WA
ASNA I
WARTOŚĆ WA
ASNA
Postulaty fizyczne mechaniki kwantowej.
1. Zasada odpowiedniości.
Wszystkie relacje znane z mechaniki klasycznej, które nie zawierają pochodnej, zachodzą równie\
w mechanice
kwantowej, po zastąpieniu wielkości fizycznych odpowiednimi operatorami.
Dla układów makroskopowych musi nastąpić automatyczne przejście z mechaniki kwantowej w mechanikę klasyczną; nowa i
stara teoria muszą się zgadzać w zakresie, gdzie ró\
nice pomiędzy ich zało\
eniami nie odgrywajÄ… istotnej roli.
2. Zasada komplementarności.
Pewne elementy opisów układów mikroskopowych wykluczają się wzajemnie.
Z empirycznego punktu widzenia \
aden przyrząd nie pozwala zmierzyć dokładniej ni\
to wynika z zasady nieoznaczoności, tzn.
jest to bariera teoretyczna, a nie względy praktyczne.
3. Zasada superpozycji.
Zakładamy, \
e równanie falowe, które opisuje pojedynczą cząstkę musi być równaniem liniowym.
Je\
eli mamy jakieś równanie opisujące jeden obiekt i dodamy drugi, to równanie to musi opisywać dwa obiekty. Jest to bardzo
ograniczające zało\
enie i sÄ… takie dziedziny fizyki, jak optyka nieliniowa, gdzie zasada ta nie gra \
adnej roli.
9
10
8. DEFINICJA OPERATORA HERMITOWSKIEGO I JEGO WA
ASNOÅšCI
11
12
9. KOMUTATORY, JEDNOCZESNA MIEśALNOŚĆ WIELKOŚCI FIZYCZNYCH. ZASADA
KOMUTATORY, JEDNOCZESNA MIE CI FIZYCZNYCH. ZASADA
NIEOZNACZONOÅšCI HEISENBERGA
CI HEISENBERGA
Obserwabla - w mechanice kwantowej mierzalne wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie
mierzalne operatory hermitowskie zwane
obserwablami. Aby dany operator był obserwabl przestrzeni Hilberta.
obserwablami. Aby dany operator był obserwablą jego wektory własne muszą tworzyć bazę przestrzeni Hilberta. Wartości własne
operatora hermitowskiego są rzeczywiste. Podczas pomiaru danej wielkości fizycznej otrzymujemy jako wynik jedną z wartości
rzeczywiste. Podczas pomiaru danej otrzymujemy jako wynik
własnych obserwabli przyporządkowanej danej wielko
dkowanej danej wielkości fizycznej.
Wartość średnią operatora w unormowanym funkcję falową definiujemy
w unormowanym stanie kwantowym opisywanym przez funkcjÄ™
jako:
Natomiast wartość obserwabli w danym stanie własnym wyznaczamy z
obserwabli w danym stanie własnym
zagadnienia własnego:
gdzie a jest wartością własną operatora . W szczególności dla obserwabli jest to liczba rzeczywista.
. W szczegó ci dla obserwabli jest to liczba rzeczywista.
Wartości własne mogą być zdegenerowane, tzn. jednej warto lka liniowo niezale\
nych wektorów
, tzn. jednej wartości własnej odpowiada kilka liniowo niezale
własnych.
Heisenberga zasada nieoznaczoności (nieokre równoczesnego, dokładnego określenia
ci (nieokreśloności), postulat głoszący niemo\
ność równoczesnego, dokładnego okre
wartości par pewnych wielkości fizycznych, opisuj du cząstki, energii i czasu; jedno z
ci fizycznych, opisujących układ kwantowy, np. poło\
enia i pędu czą
podstawowych twierdzeń mechaniki kwantowej.
mechaniki kwantowej.
Zasada nieoznaczoności mówi, \
e nie mo\
na z dowoln nie poło\
enia i pędu cząstki. Odkryta i
\
na z dowolną dokładnością wyznaczyć jednocześnie poło
sformułowana przez Wernera Heisenberga w 1927 roku, jest konsekwencją dualizmu korpuskularno
w dualizmu korpuskularno-falowego. Matematyczna
postać zasady nieoznaczoności:
13
gdzie:
" "x  nieokreśloność pomiaru poło\
enia (odchylenie standardowe poło\
enia),
" "px  nieokreśloność pomiaru pędu (wariancja pędu),
" h  stała Plancka.
Jest uogólniana na inne pary (kanonicznie sprzę\
onych) wielkości fizycznych, np. czas i energię  nie mo\
na z dowolnÄ…
dokładnością wyznaczyć jednocześnie czasu \
ycia nietrwałej cząstki i energii stowarzyszonej z nią fali de Broglie'a:
gdzie:
" "E  nieokreśloność pomiaru energii (odchylenie standardowe energii),
" "t  nieokreśloność pomiaru czasu (odchylenie standardowe czasu).
Zale\
ność ta pierwszy raz została zaproponowana przez Leonida Mandelshtama oraz Igora Tamma w roku 1945.
Wa\
ne jest by podkreślić, \
e "x itd. nie są błędami pomiarowymi wynikającymi z niedoskonałości urządzeń lub metody
pomiarowych, ale rozrzutami wyników (wariancją) wynikających z istoty samego pomiaru lub istoty samej mechaniki kwantowej
(interpretacja kopenhaska). Z matematycznego punktu widzenia zasada nieoznaczoności jest konsekwencją braku komutacji
operatorów poło\
enia i pędu
gdzie komutator [A,B]=AB  BA. W mechanice kwantowej operatory opisujące wielkości fizyczne (obserwable) nie muszą
komutować (być przemienne). Konsekwencją tego jest zasada nieoznaczoności. Zachodzi ona dla dowolnych dwóch obserwabli
(A i B) gdy tylko [A,B] jest ró\
ne od zera.
14
10. CZ
STKA SWOBODNA W JEDNYM WYMIARZE. RÓWNANIE SHRODINGERA, FUNKCJA FALOWA,
STKA SWOBODNA W JEDNYM WYMIARZE. RÓWNANIE SHRODINGERA, FUNKCJA FALOWA,
STKA SWOBODNA W JEDNYM WYMIARZE. RÓWNANIE SHRODINGERA, FUNKCJA FALOWA,
ENERGIA. ZJAWISKO DEGENERACJI
O DEGENERACJI
Równanie Schrödingera na funkcjÄ™ falowÄ… czÄ…stki o masie poruszajÄ…cej siÄ™ w jednym wymiarze, w potencjale
falowÄ… w jednym wymiarze, w potencjale
zadanym funkcją ma postać:
gdzie ( jest stałą Plancka), a jest jednostką urojoną.
jest jednostk
,,Wyprowadzenie''
Poni\
sze rozumowanie nie jest w \
adnym razie cisÅ‚ym wyprowadzeniem równania Schrödingera, lecz jedynie przedstawieniem
adnym razie Å›cisÅ‚ym wyprowadzeniem równania Schrödingera, lecz jedynie przedstawieniem
pewnych intuicji prowadzÄ…cych do niego.
Obserwacje światła prowadzą do wniosku, \
e jego natura jest nie tylko falowa, ale i cz stkowa (sugeruj
do wniosku, \
e jego natura jest nie tylko falowa, ale i czÄ…stkowa (sugerujÄ… to obserwacje zjawiska
fotoelektrycznego i efekt Comptona). CzÄ…stki elektromagnetyczn
fotoelektrycznego i efekt Comptona). Cząstki światła nazywamy fotonami. Z falą elektromagnetyczną o długości fali i
częstości związane są fotony o pędzie i energii danych wzorami
dzie i energii danych wzorami
gdzie jest liczbą falową, a . Inne cząstki (elektrony, neutrony...) równie\
wykazują cechy zarówno
) równie
czÄ…stkowe, jak i falowe. Powy\
szy związek pędu i energii z długością i częstością związanej z dan
Ä…zek p zanej z danÄ… czÄ…stkÄ… fali obowiÄ…zuje dla
wszystkich cząstek, nie tylko dla fotonów.
Powy\
sze zwiÄ…zki prowadzÄ… do wniosku, \
e cz d jedynie wtedy, gdy odpowiadajÄ…ca jej fala jest
do wniosku, \
e cząstka ma określoną energię i pęd jedynie wtedy, gdy odpowiadaj
falą płaską - ma określoną częstość i długość fali. Oznacza to, \
e fala związana z cząstką o określonej energii i pędzie jest
i długość ą o okre
proporcjonalna do pewnej kombinacji liniowej funkcji sinus i cosinus
proporcjonalna do pewnej kombinacji liniowej funkcji sinus
Taka funkcja falowa odpowiada cząstce biegnącej w prawo. Jeśli dopuścimy, aby współczynniki w powy
stce biegn cimy, aby współczynniki w powy\
szej kombinacji były
liczbami zespolonymi, to biorÄ…c , dostajemy
gdzie skorzystaliśmy ze wzoru Eulera . Funkcję falową o takiej postaci przyjmiemy jako funkcję falową
o takiej postaci przy
opisującą cząstkę o określonej energii i pędzie. Powy\
sza funkcja falowa jest dość wyjątkową kombinacją funkcji sinus i cosinus,
ędzie. Powy kombinacj
gdy\
z uwagi na fakt, \
e , ma ona t jest stały - nie zale
, ma ona tę własność, \
e jej moduł nie zale\
y od i . Moduł funkcji
falowej będzie z kolei słu\
ył do wyznaczania prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie. Cząstka o funkcji
ył do wyznaczania prawdopodobie stki w danym punkcie. Cz
falowej danej powy\
szym wzorem będzie mogła być znaleziona z równym prawdopodobieństwem w całej przestrzeni - \
aden
dzie mogła by ństwem w całej przestrzeni
punkt nie będzie wyró\
niony.
Poszukujemy równania ewolucji funkcji falowej zwi . Zakładamy,
Poszukujemy równania ewolucji funkcji falowej związanej z cząstką o masie . Zakładamy, \
e czÄ…stka jest czÄ…stkÄ…
nierelatywistyczną (tzn. porusza się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła lub, mówiąc inaczej, jej energia
z prędko wiatła lub, mówi
kinetyczna jest znacznie mniejsza od jej energii spoczynkowej ). Równanie Schrödingera, do którego zmierzamy, bÄ™dzie
tyczna jest znacznie mniejsza od jej energii spoczynkowej ). Równanie Schrödingera, do którego zmierzamy, b
słu\
yć tylko do opisu takich cząstek. W szczególności nie będzie się ono nadawać do opisu fotonów. Klasyczny,
stek. W szczególno ć do opisu fotonów. Klasyczny,
nierelatywistyczny związek energii i pędu cz ma postać
ędu cząstki
gdzie jest energią potencjalną cząstki, gdy znajduje się ona w punkcie . Naszym celem jest sformułowanie dynamiki
ąstki, gdy znajduje si . Naszym celem jest sformułowanie dynamiki
cząstki za pomocą pewnego równania na funkcj , takiego aby zachowa
pewnego równania na funkcję falową związaną z cząstką, takiego aby zachować powy\
szy związek między
energią i pędem. Zauwa\
my, \
e u\
ywając funkcji falowej odpowiadającej cząstce o określonym pędzie i poło\
eniu (równanie,
Ä…c funkcji falowej odpowiadaj lonym p
mo\
emy napisać
15
gdzie w ostatnim przejściu skorzystaliśmy ze związków. Oznacza to, \
e
śmy ze zwi
działanie na funkcję falową operacją powoduje pomno\
enie funkcji falowej przez energiÄ™ czÄ…stki. Podobnie mo\
emy
enie funkcji falowej przez energi
napisać
Operacja w działaniu na funkcję falową powoduje więc pomno\
enie jej przez pęd cząstki. Mo\
emy zatem dokonać
Ä™ falow d czÄ…
następującego uto\
samienia energii i pędu z odpowiednimi operacjami na funkcji falowej. Energii odpowiada operacja
ędu z odpowiednimi operacjami na funkcji falowej. Energii odpowiada operacja
ró\
niczkowania po czasie pomno\
ona przez , natomiast pędowi będzie odpowiadać operacja ró\

ona przez operacja ró\
niczkowania po pomno\
ona
przez
Pędowi w kwadracie będzie odpowiadać dwukrotne działanie operacją na funkcję falową
e odpowiada Ä…
Jeśli zatem związek energii i pędu pomno\
ymy przez funkcj
\
ymy przez funkcjÄ™ falowÄ…
a następnie za energię i pęd wstawimy uto\
samione z nimi operacje, to otrzymamy równanie
d wstawimy uto samione z nimi operacje, to otrzymamy równanie
które jest wÅ‚aÅ›nie równaniem Schrödingera.
rödingera.
Degeneracja (zwyrodnienie) - w fizyce kwantowej zwykle mianem degeneracji określa się sytuację
fizyce kwantowej sytuację, kiedy jednej wartości energii
układu odpowiada wiele stanów kwantowych c warunki fizyczne, np. umieszczając go w polu magnetycznym,
stanów kwantowych układu. Zmieniając warunki fizyczne, np. umieszczaj
energie ró\
nych stanów kwantowych mogą zmieni poziom energetyczny na kilka.
ą zmienić się w ró\
nym stopniu, rozdzielajÄ…c jeden poziom energetycz
Typowym przykładem degeneracji są orbitale elektronowe w atomach. Na ka\
dej powłoce energetycznej znajduje się pewna
orbitale powłoce energetycznej
liczba elektronów o tej samej energii, ró\
nią się jednak wartościami liczb kwantowych, są to stany zdegenerowane. Ze
\
niÄ…cych , sÄ…
spinem związany jest moment magnetyczny, przyło\
enie zewnętrznego pola magnetycznego powoduje usunięcie degeneracji,
moment magnetyczny powoduje usuni
gdy\
elektron ze spinem ustawionym zgodnie z zewn w innym stanie energetycznym ni
ustawionym zgodnie z zewnętrznym polem znajdzie się w innym stanie energetycznym ni\
elektron ze
spinem ustawionym w kierunku przeciwnym. Efektem tego jest między innymi rozdzielenie linii spektralnych
spinem ustawionym w kierunku przeciwnym. Efektem tego jest mi linii spektralnych pod wpływem pola
magnetycznego - Efekt Zeemana, pola elektrycznego - efekt Starka.
, pola elektrycznego
Ogólnie w mechanice kwantowej, opisuje się zjawisko kwantowe, polegające na pojawianiu się stanów kwantowych (stanów
, opisuje siÄ™ ce na pojawianiu siÄ™
własnych) operatorów kwantowych skojarzonych z pewn wielkością fizyczną, powiedzmy A, o takiej własności, \
e tej samej
kwantowych skojarzonych z pewną my A, o takiej własno
wartości własnej operatora A odpowiada kilka stanów własnych. Mówimy wówczas, \
e stany wielkości A są zdegenerowane,
operatora A odpowiada kilka stanów własnych. Mówimy wówczas, e stany wielko
bowiem mierząc wartość wielkości A, nie jesteśmy w stanie rozpoznać, w jakim stanie kwantowym znajduje si
ci A, nie jeste , w jakim stanie kwantowym znajduje się układ. Zwykle
istnieje wielkość B, która pozwala rozró\
nić poszczególne stany odpowiadaj ce zdegenerowanej wartości wielkości A.
\
nić poszczególne stany odpowiadające zdegenerowanej warto
16
11. EFEKT TUNELOWY. WNIKANIE CZ
STKI W OBSZAR KLASYCZNIE NIEDOZWOLONY. ODBICIE
CZ
STKI OD PROGU POTENCJAA
U
Przedyskutujemy teraz rozwiÄ…zania niezale\
nego od czasu równania Schrödingera dla czÄ…stki, której energiÄ™ potencjalnÄ… mo\
na
przedstawić w postaci funkcji V(x) mającej ró\
ne stałe wartości na kilku kolejnych odcinkach osi x.
By rozwiązanie było fizycznie poprawne, funkcję własną i ich pochodne muszą mieć następujące
własności: - musi być skończona; , - musi być jednoznaczna; , - musi być
ciągła.
Warunki te zapewniajÄ…, \
e funkcje własne są matematycznie "gładkimi" funkcjami, a więc i mierzalne wielkości fizyczne
obliczone na podstawie znajomości tych funkcji własnych będą tak\
e zmieniać się w sposób gładki.
Skok potencjału
, Warunki początkowe: cząsteczka nadlatuje z lewej strony na barierę potencjału od
której mo\
e się odbić lub wniknąć do obszaru II
E < V0 - Załó\
my, \
e cząstka o masie m i całkowitej energii E znajduje się w obszarze x < 0 i porusza się w kierunku punktu, w
którym V(x) zmienia się skokowo. Według mechaniki klasycznej cząstka będzie się poruszała swobodnie tym obszarze do chwili,
gdy osiągnie punkt x = 0, w którym zadziała na nią siła działająca w kierunku malejących x. Dalszy ruch
czÄ…steczki zale\
y, klasycznie biorąc, od związku między E i V0, co jest równie\
słuszne w mechanice kwantowej. W celu
kwantowego określenia ruchu naszej cząstki musimy znalez
ć funkcjÄ™ falowÄ…, która bÄ™dzie rozwiÄ…zaniem równania Schrödingera
dla potencjału schodkowego przy energii całkowitej Eod czasu, problem nasz sprowadza się do rozwiązania go i znalezienia funkcji własnych. Dla takiego potencjału oś x rozpada się
na dwa obszary. Równanie Schrödingera w ka\
dym z tych obszarów mo\
emy zapisać: , x<0
, x>0
Te dwa równania rozwiązuje się oddzielnie. Wówczas funkcję własną wa\
ną dla całego obszaru x konstruuje się przez połączenie
razem w punkcie x = 0 tych dwóch rozwiązań w sposób spełniający warunki, które wymagają, aby i były
wszędzie skończone i ciągłe.
RozwiÄ…zanie pierwszego to: ;
RozwiÄ…zanie drugiego: ;
ale funkcja musi być ograniczona w , więc C = 0.
Wiemy, \
e , gdzie A - określa amplitudę fali padającej; B - amplituda fali odbitej
od bariery; D - wiÄ…zka przepuszczona przez barierÄ™
Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy :
Mo\
na obliczyć tzw. współczynnik odbicia
Oznacza to, \
e fala zostanie odbita całkowicie, ale nie od krawędzi progu, tylko wniknie nieco w głąb.
17
Oblicza siÄ™ tak\
e tzw. współczynnik wnikania \
e czÄ…steczka wnika do bariery, a
współczynnik wnikania którego niezerowa wartość oznacza, \
e czÄ…
gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząsteczki w obszarze zabronionym maleje wykładniczo z
stwa znalezienia cząsteczki w obszarze zabronionym maleje wykładniczo z x.
steczki w obszarze zabronionym maleje wykładniczo z
E > V0 Całe rozumowanie przeprowadzamy podobnie jak poprzednio.
Całe rozumowanie przeprowadzamy podobnie jak poprzednio.
Całe rozumowanie przeprowadzamy podobnie jak poprzednio.
RozwiÄ…zanie: , , .
,
Z warunków brzegowych przyjmujemy D=0 , gdy ć i porusza się tylko w prawo
=0 , gdy\
w obszarze II fala nie ma od czego się odbić i porusza si
Poniewa\
kwantowo istnieje nieznikajÄ…ca wiÄ…zka odbita, mimo,
wo istnieje nieznikaj
i\
klasycznie cząsteczka w całości przechodzi do obszaru II.
ci przechodzi do obszaru II.
Je\
eli E >>V0 to i oraz , co oznacza, \
e czÄ…steczka zachowuje siÄ™ zgodnie z przewidywaniami
zgodnie z przewidywaniami
klasycznymi.
Je\
eli jednak V0<0 i E0<<|V0| (skok potencjału silnie ujemny) to k1 << k2 oraz i ; następuje całkowite odbicie
(skok potencjału silnie ujemny) to ; nast
wiązki padającej (w przeciwieństwie do mechaniki klasycznej, która przewiduje całkowite przejście wiązki do obszaru II). Ten
mechaniki klasycznej, która przewiduje całkowite przejście wi
efekt kwantowy obserwuje siÄ™ w fizyce jÄ…drowej, np. wtedy, gdy padaj cy neutron o niewielkiej energii ulega odbiciu napotykaj
Ä…drowej, np. wtedy, gdy padajÄ…cy neutron o niewielkiej energii ulega odbiciu napotykajÄ…c
silny potencjał przyciągający przy zbli\
aniu si
iu siÄ™ do powierzchni jÄ…dra.
Bariera potencjału (cząsteczki nadlatują
steczki nadlatujÄ… z lewej strony)
RozwiÄ…zaniem równania Schrödingera (EV0
; ;
Nale\
y zapisać warunki ciągłości na funkcje falow . Otrzymujemy cztery równania na
ci na funkcje falową i jej pochodną w punktach x = 0 i x = a. Otrzymujemy cztery równania na
współczynniki B, C, D, F wyra\
one od amplitudy fali padaj
one od amplitudy fali padajÄ…cej A.
W przypadku bariery mamy do czynienia z ciekawym zjawiskiem - tunelowaniem. Polega ono na tym, \
e istnieje pewne
W przypadku bariery mamy do czynienia z ciekawym zjawiskiem Polega ono na tym,
niezerowe prawdopodobieństwo znalezienia cz \
e
stwo znalezienia cząstki po drugiej stronie bariery potencjału, mimo \
e Ezjawisko tunelowania obserwowane jest w dobrze wszystkim znanym zjawisku: dwa skr cone druty przewodzÄ… prÄ…d pomimo, \
e
zjawisko tunelowania obserwowane jest w dobrze wszystkim znanym zjawisku: dwa skręcone druty przewodz
na ich powierzchni często znajdują się tlenki i zabrudzenia, k dobrymi izolatorami. Elektrony tunelują przez tę barierę i
tlenki i zabrudzenia, które są dobrymi izolatorami. Elektrony tuneluj
prÄ…d mo\
e płynąć. Zjawisko tunelowania wykorzystano w tzw. diodach tunelowych. Zjawisko tunelowania obserwujemy równie
. Zjawisko tunelowania wykorzystano w tzw. diodach tunelowych. Zjawisko tunelowania obserwujemy równie
. Zjawisko tunelowania wykorzystano w tzw. diodach tunelowych. Zjawisko tunelowania obserwujemy równie\

w czasie rozpadów promieniotwórczych. Schematyczne zobrazowanie efektu tunelowego.
Schematyczne zobrazowanie efektu tunelowego.
18
12. OSCYLATOR HARMONICZNY. RÓWNANIE SHRODINGERA, ROZWI ZANIA I ENERGIE. ENERGIA
ARMONICZNY. RÓWNANIE SHRODINGERA, ROZWI
ZANIA I ENERGIE
DRGAC
ZEROWYCH
Oscylator harmoniczny jest układem fizycznym e zastosowanie i znaczenie w wielu działach
układem fizycznym, który ma du\
e zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki. Jest to ciało o
masie , na które działa siła proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym . Poniewa\
siła
proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym zwrotem
to układ opisany jest przez potencjał
Jego energia całkowita jest równa ,gdzie pęd . W mechanice kwantowej pęd
przechodzi w operator spełniający regułę komutacyjną . Wygodnie jest
zdefiniować zamiast x, p dwa operatory
nazywane operatorami anihilacji i kreacji
anihilacji i kreacji. StÄ…d operator
poło\
enia x to
19