Ruch prostoliniowy (podano wartości) Grawitacja
m1m2 Nm2
"s
Fg = G ;G = 6.67 Å"10-11
Wartość siły grawitacji
Prędkość średnia v =
R2 kg2
"t
Natężenie pola Fg
"v F
Å‚ =
Przyspieszenie średnie a = a =
grawitacyjnego
m
;
"t m
m1m2
Prędkość vk = v0 + at
Energia potencjalna Epot = -G
R
at2
Wartość przyspieszenia
Droga
s = s0 + v0t +
m
2 g0 = 10
grawitacyjnego przy
s2
Ruch po okręg (podano wartości) powierzchni Ziemi
Hydrostatyka
"Ä…
É = ; v = ÉR
F = pS
Siła parcia a ciśnienie
Prędkość kątowa "t
Ék = Ép + µt p = Á gh
Ciśnienie hydrostatyczne
FW = Á gV
"É Wartość siÅ‚y wyporu
Przyspieszenie kÄ…towe µ = ;
"t Równanie ciągłości vS = const.
µt2 Áv2
Droga kÄ…towa Ä… = Ä…0 + É0t + p + Á gh + = const.
Prawo Bernoulliego
2 2
ast = µ R
Przyspieszenie styczne W F
Napięcie powierzchniowe à = ; à =
"S l
v2
Przyspieszenie dośrodkowe
ados = = É2R
Sprężystość
R
1
Siła sprężystości
F = -kx
Częstotliwość f =
T F "l
= E
Prawo Hooke a
Dynamika
S l
p = mv Energia potencjalna
Pęd kx2
Ep =
sprężystości
2
"p
Druga zasada dynamiki F = ma; F =
"t Warunki równowagi Fwyp = 0; Mwyp = 0
FT = µFN
Wartość siły tarcia
Ruch drgajÄ…cy
Ciężar ciała Q = mg Przemieszczenie: drgania
x(t) = Acos(É0t +Ć)
nietłumione
mv2
Wartość siÅ‚y doÅ›rodkowej Fdos = = mÉ2R
Częstość kołowa 2Ą k
R
É0 = ; É0 =
oscylatora harmonicznego
T m
Dynamika ruchu obrotowego
v(t) = -AÉ0 sin(É0t +Ć)
Wartość prędkości
M = FR sin !" F, R
Wartość momentu siły
( )
l
; T = 2Ä„ I
T = 2Ä„
n Okresy wahadeł
g mgh
I = ri2
Moment bezwładności
"mi
i =1
x(t) = Ae-²t cos Ét +Ć
{ }
Przemieszczenie: drgania
Moment pÄ™du L = r × p; L = IÉ
b
2 2
tłumione
É = É0 - ² ; ² =
2m
L = Rp sin "" p, R
Wartość momentu pędu ( )
kA2 kA2e-2²t
Energia całkowita Ec = ; Ec =
Druga zasada dynamiki "L
M = Iµ ; M = 2 2
dla ruchu obrotowego
"t
Termodynamika
n
Rozszerzalność liniowa "l = ąl"T
m ri
" i
Środek masy układu n
i = 1
Ciepło właściwe, ciepło Q Q
rs r =
n
c = ; cprzem =
punktów materialnych
przemiany
m"T m
m
" i
i = 1 pV = nRT
Równanie gazu doskonałego
Praca, energia
Cp - CV = R
Równanie Mayera
Energia kinetyczna ruchu mv2 IÉ2 W = p"V
Praca gazu (stałe ciśnienie)
Ek = ; Ek =
postępowego i obrotowego
2 2 "U = Q +W
I zasada termodynamiki
Energia potencjalna (małe
Energia wewnętrzna gazu
Ep = mgh
U = nCVT +U0
zmiany wysokości)
doskonałego
Praca siły W = Fs cosą
i
Zasada ekwipartycji energii kT
Praca a energia kinetyczna "Ek = W
2
Qu\
yteczne T1 -T0
"W
· = =
Moc P = ; P = Fv; P = MÉ
Sprawność silnika Carnot
"t Qcakowitego T1
Geometria Funkcje trygonometryczne kÄ…ta ¸
Obwód okręgu = 2Ąr; pole koła = Ąr2; pole sfery
oÅ› y
4
y x
= 4Ąr2; objętość kuli = Ąr3; powierzchnia walca =
3
sin ¸ = cos ¸ =

r r
2Ąr2 + 2Ąrh; objętość walca = Ąr2h; pole trójkąta =

1
y x
ah.
2 r
tg ¸ = ctg ¸ =
y
x y


r r
Iloczyny wektorów
¸
sec ¸ = cosec ¸ =

oÅ› x
x y 0
Ć
Niech î, 5
i k będą wektorami jednostkowymi kierun- x
ków x, y i z. Dowolny wektor o składowych ax, ay
a
i az można przedstawić w postaci Twierdzenie Pitagorasa


Ć
= axî + ay5
+ azk. W trójkącie prostokątnym
a

c

a
a2 + b2 = c2.


Niech b i będą dowolnymi wektorami o długo-
a, c

Å›ciach (moduÅ‚ach) a, b i c, a ¸ bÄ™dzie mniejszym z kÄ…-
b

tów między wektorami i b. Zachodzą związki:
a
Trójkąty

· = b · = axbx + ayby + azbz = ab cos ¸,
a b a
KÄ…ty: A, B, C.
Boki im przeciwległe: a, b, c.

A + B + C = Ä„.

Ć
î 5
k

sin A sin B sin C

× = - × = ax ay az = = .
a b b a

a b c

bx by bz

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C.

ay az ax az Ć ax ay

= î - 5
+ k

by bz bx bz bx by Kąt zewnętrzny D = A + C.
= (aybz - byaz)î + (azbx - bzax)5
+




Ć
+ (axby - bxay)k,

C




b a


a b
× = ab sin ¸,







· ( × = b · ( × = · ( ×
a b c) c a) c a b),
A B D

c
× ( × = ( · b - ( · c.
a b c) a c) a b)
Tożsamości trygonometryczne
Wzory Cramera
sin(Ä„/2 - ¸) = cos ¸
Układ równań z dwiema niewiadomymi x i y
cos(Ä„/2 - ¸) = sin ¸
sin ¸/ cos ¸ = tg ¸
a1x + b1y = c1 oraz a2x + b2y = c2
sin2 ¸ + cos2 ¸ = 1
ma rozwiÄ…zanie
sec2 ¸ - tg2 ¸ = 1


c1 b1
cosec2 ¸ - ctg2 ¸ = 1


c2 b2 c1b2 - c2b1
sin 2¸ = 2 sin ¸ cos ¸

x = =

a1 b1 a1b2 - a2b1

cos 2¸ = cos2 ¸ - sin2 ¸ = 2 cos2 ¸ - 1 = 1 - 2 sin2 ¸


a2 b2
sin(Ä… Ä… ²) = sin Ä… cos ² Ä… cos Ä… sin ²
oraz

cos(Ä… Ä… ²) = cos Ä… cos ² " sin Ä… sin ²

a1 c1


tg Ä… Ä… tg ²

a2 c2 a1c2 - a2c1
tg(Ä… Ä… ²) =

y = = . 1 " tg Ä… tg ²

a1 b1 a1b2 - a2b1

Ä… Ä… ² Ä… " ²

sin Ä… Ä… sin ² = 2 sin cos
a2 b2
2 2
Ä… + ² Ä… - ²
cos Ä… + cos ² = 2 cos cos
2 2
Równanie kwadratowe i jego rozwiązanie
"
Ä… + ² Ä… - ²
-b Ä… b2 - 4ac
cos Ä… - cos ² = -2 sin sin
Jeśli ax2 + bx + c = 0, to x = .
2 2
2a