WPISUJE ZDAJ
CY
KOD
PESEL
PRÓBNY
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
PRZED MATUR

MAJ 2013
POZIOM ROZSZERZONY
1. Sprawdz
, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron
(zadania 1 11). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
zespołu nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to
przeznaczonym.
Czas pracy:
3. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń
180 minut
w rozwiązaniu zadania otwartego może spowodować, że za
to rozwiązanie nie będziesz mógł dostać pełnej liczby
punktów.
4. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym
tuszem lub atramentem.
5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraz
nie przekreśl.
6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane.
7. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
8. Na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej
naklejkÄ™ z kodem.
Liczba punktów
9. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla
do uzyskania: 50
egzaminatora.
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
2 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Zadanie 1. (4 pkt)
Liczby 1, 2 2, 2 4, 2 6, & sÄ… kolejnymi poczÄ…tkowymi wyrazami nieskoÅ„czonego ciÄ…gu geo­
metrycznego. Ile, co najwyżej, kolejnych poczÄ…tkowych wyrazów tego ciÄ…gu należy zsumo­
21845
wać, aby otrzymać liczbę mniejszą od ?
16384
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 3
Zadanie 2. (4 pkt)
Funkcja f określona jest wzorem f(x) = 6 + x - 2x2 . Wyznacz:
a) dziedzinÄ™ funkcji f;
b) najmniejszą oraz największą wartość funkcji f w przedziale )# 1, 1*#.
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
4 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Zadanie 3. (4 pkt)
D1
N
Sześcian ABCDA1B1C1D1 przecięto płaszczyzną
C1
zawierajÄ…cÄ… przekÄ…tnÄ… AC podstawy ABCD oraz
M
odcinek MN, gdzie M jest środkiem krawędzi
A1
A1D1, zaś N  środkiem krawędzi C1D1 (zobacz
B1
rysunek obok). Oblicz cosinus kÄ…ta AMN otrzy­
manego przekroju.
D
C
A B
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 5
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
6 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Zadanie 4. (6 pkt)
Dla jakich wartości parametru m różne rozwiązania x1, x2 równania x2 + 2x + m  1 = 0 spełniają
warunek |x1| + |x2| d" 3 ?
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 7
Zadanie 5. (6 pkt)
W czworokÄ…cie ABCD przekÄ…tne AC i BD przecinajÄ… siÄ™ w punkcie S(4, 4) i dzielÄ… siÄ™ tak,
że |SB| = |SD| = 2 5 oraz |AC| = 3|SC|. Przekątna BD zawiera się w prostej o równaniu
x + 2y  12 = 0, zaÅ› A( 2,  8).
a) Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków czworokąta.
b) Oblicz pole czworokÄ…ta.
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
8 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Zadanie 6. (4 pkt)
3a - 2b
Wiadomo, że a > 0 i b < 0 i 3b2 = 3a2 + 8ab. Oblicz wartość wyrażenia .
a + 2b
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 9
Zadanie 7. (5 pkt)
m n
Odcinek MN jest średnicą okręgu o(O, r), gdzie r = 2.
Proste m i n są styczne do okręgu odpowiednio w punktach
M oraz N. Przez punkt P okrÄ™gu, który nie należy do Å›red­
M
nicy MN, poprowadzono stycznÄ… p, przecinajÄ…cÄ… proste m
O
i n odpowiednio w punktach A i B (zobacz rysunek).
N
a) Wykaż, że |SðAOB| = 90°.
b) Oblicz wartość iloczynu |AP| Å" |PB|.
p
A
P B
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
10 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Zadanie 8. (3 pkt)
Rozwiąż nierówność x > 1  xlog0,53.
Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność. Odpowiedz
uzasadnij.
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 11
Zadanie 9. (6 pkt)
4
Naszkicuj wykres funkcji f(x) = , gdzie x " R  { 2, 2}, a następnie wyznacz wszystkie
x - 2
4
wartości parametru m, dla których równanie = 3m  m3 ma cztery rozwiązania.
x - 2
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
12 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Zadanie 10. (4 pkt)
a) Wyznacz wszystkie wartości x, gdzie x " )#0, 4Ą*#, dla których liczby:  sin x, cos2x + 1, 8sin x
są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego.
b) Oblicz sumę 101 początkowych wyrazów tego ciągu.
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 13
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
14 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
Zadanie 11. (4 pkt)
Tworzymy wszystkie liczby siedmiocyfrowe o cyfrach należących do zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Cyfry w liczbie mogą się powtarzać. Ile jest takich liczb, w których:
a) cyfry 3 i 4 sąsiadują ze sobą i pozostałe cyfry są większe od 4;
b) cztery cyfry są równe 5 i pozostałe trzy cyfry różnią się między sobą;
c) co najmniej dwie cyfry są nie mniejsze niż 4?
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 15
PESEL
WYPEA
NIA ZDAJ
CY
WYPEA
NIA EGZAMINATOR
Punkty
Nr
zad.
0 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
SUMA
PUNKTÓW
D
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
J
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
16 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
BRUDNOPIS
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro