Z3/4. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 4
1
Z3/4. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 4
Z3/4.1. Zadanie 4
Wyznaczyć analitycznie reakcje we wszystkich przegubach rzeczywistych A, B i C układu trójprzegubowego przedstawionego na rysunku Z3/4.1.
24,0 kN
12,0 kN
B
1,0
8,0 kN
2,0
I
II
2,0
16,0 kN
C
3,0
A
[m]
2,0
2,0
3,0
2,0
Rys. Z3/4.1. Układ trójprzegubowy
Z3/4.2. Analiza kinematyczna układu trójprzegubowego
Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz sztywnych mających razem sześć stopni swobody.
Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C odbierają razem także sześć stopni swobody. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (2.4).
Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C nie leżą na jednej prostej. Został tym samym spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności.
Ponieważ układ trójprzegubowy przedstawiony na rysunku Z3/4.1 spełnia warunek konieczny i dostateczny geometrycznej niezmienności jest więc on układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyzna-czalnym.
Z3/4.3. Analiza statyczna układu trójprzegubowego
W przegubie rzeczywistym jak wiadomo działa jedna reakcja. Wiemy o niej tylko to, że kierunek jej musi przejść przez przegub rzeczywisty. W takim przypadku rozkładamy reakcję w przegubie rzeczywistym na dwie składowe: poziomą i pionową. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C przedstawia rysunek Z3/4.2. Rysunek Z3/4.3 przedstawia założone zwroty reakcji działających na tarcze sztywne numer I i II.
Pierwszym równaniem służącym do wyznaczenia składowych reakcji w przegubie rzeczywistym A bę-
dzie równanie sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu C. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z3/4.2 równanie to będzie miało postać
M = V ⋅9,0− H ⋅2,0−16,0⋅1,0−24,0⋅7,0−12,0⋅2,0−8,0⋅2,0=0
C
A
A
.
(Z3/4.1)
V ⋅9,0− H ⋅2,0=224,0
A
A
Dr inż. Janusz Dębiński
Z3/4. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 4
2
24,0 kN
12,0 kN
B
1,0
8,0 kN
2,0
I
II
2,0
16,0 kN
1,0
C
HC
3,0
V
2,0
C
Y
H
A
A
X
VA
[m]
2,0
2,0
3,0
2,0
Rys. Z3/4.2. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C
H (I)
B
B
B
H (I)
H (II)
B
B
0
(I)
2,
24,0 kN
VB
I
V (I) V (II)
B
B
12,0 kN
16,0 kN
H (II)
B
B
03,
1,0
8,0 kN
V (II)
B
II
H
A
Y
A
2,0
V
C
H
A
C
X
2,0
2,0
VC
[m]
3,0
2,0
Rys. Z3/4.3. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na tarcze sztywne numer I i II Drugim równaniem służącym do wyznaczenia składowych reakcji w przegubie rzeczywistym A będzie równanie sumy momentów wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer I względem punktu B. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z3/4.3
równanie to będzie miało postać
M I = V ⋅4,0− H ⋅5,016,0⋅2,0−24,0⋅2,0=0
B
A
A
.
(Z3/4.2)
V ⋅4,0− H ⋅5,0=16,0
A
A
Równania równowagi (Z3/4.1) i (Z3/4.2) będą tworzyły układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, którymi będą składowe reakcji w przegubie rzeczywistym A, w postaci Dr inż. Janusz Dębiński
Z3/4. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 4
3
{ V ⋅9,0− H ⋅2,0=224,0
A
A
.
(Z3/4.3)
V ⋅4,0− H ⋅5,0=16,0
A
A
Rozwiązaniem układu są składowe reakcji w przegubie rzeczywistym A o wartościach V =29,41 kN
A
,
(Z3/4.4)
H =20,32 kN
A
.
(Z3/4.5)
Obie składowe mają więc zwroty zgodne z przyjętymi na początku obliczeń.
Pierwszym równaniem służącym do wyznaczenia składowych reakcji w przegubie rzeczywistym C będzie równanie sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu A. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z3/4.2 równanie to będzie miało postać
M =− V ⋅9,0− H ⋅2,0−16,0⋅3,024,0⋅2,012,0⋅7,0−8,0⋅4,0=0
A
C
C
.
(Z3/4.6)
V ⋅9,0 H ⋅2,0=52,0
C
C
Drugim równaniem służącym do wyznaczenia składowych reakcji w przegubie rzeczywistym C będzie równanie sumy momentów wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer II względem punktu B. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z3/4.3
równanie to będzie miało postać
M II =− V ⋅5,0 H ⋅3,012,0⋅3,08,0⋅1,0=0
B
C
C
.
(Z3/4.7)
V ⋅5,0− H ⋅3,0=44,0
C
C
Równania równowagi (Z3/4.6) i (Z3/4.7) będą tworzyły układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, którymi będą składowe reakcji w przegubie rzeczywistym C w postaci
{ V ⋅9,0 H ⋅2,0=52,0
C
C
.
(Z3/4.8)
V ⋅5,0− H ⋅3,0=44,0
C
C
Rozwiązaniem układu są składowe reakcji w przegubie rzeczywistym C o wartościach V =6,595 kN
C
,
(Z3/4.9)
H =−3,675 kN
C
.
(Z3/4.10)
Składowa pionowa reakcji w przegubie rzeczywistym C ma zwrot zgodny natomiast składowa pozioma reakcji ma zwrot przeciwny do przyjętego.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równania sumy rzutów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy na osie poziomą X i pionową Y. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X lub Y. Równania te, zgodnie z rysunkiem Z3/4.2, mają postać Dr inż. Janusz Dębiński
Z3/4. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 4
4
X = H − H −16,0−8,0=20,32−−3,675−24,0=−0,005≈0
A
C
,
(Z3/4.11)
Y = V V −24,0−12,0=29,416,595−36,0=0,005≈0
A
C
.
(Z3/4.12)
Równania równowagi (Z3/4.11) i (Z3/4.12) zostały spełnione możemy więc stwierdzić, że składowe reakcji w przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.
Rysunek Z3/4.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i C. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na obie tarcze sztywne znajdują się w równowadze.
B
01,
8,0 kN
2,0
12,0 kN
I
24,0 kN
II
02,
16,0 kN
1,0
C
3,675 kN
3,0
0
6,595 kN
2,
20,32 kN
A
29,41 kN
2,0
2,0
3,0
2,0
[m]
Rys. Z3/4.4. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i C
Aby wyznaczyć poziomą składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś X. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z3/4.3 składowa ta ma wartość
X I =− H I H −16,0=0
B
A
− H I 20,32−16,0=0
B
.
(Z3/4.13)
H I =4,32 kN
B
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Aby wyznaczyć pionową składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś Y. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z3/4.3 składowa ta ma wartość
Y I = V I V −24,0=0
B
A
V I 29,41−24,0=0
B
.
(Z3/4.14)
V I =−5,41 kN
B
Reakcja ma więc zwrot przeciwny do założonego.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z3/4. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 4
5
B
4,32 kN
4,325 kN
B
4,32 kN
5,41 kN
2,0
24,0 kN
5,41 kN
5,405 kN
I
16,0 kN
4,325 kN B
3,0
1,0
8,0 kN
5,405 kN
12,0 kN
20,32 kN
A
II
2,0
C
3,675 kN
29,41 kN
2,0
2,0
6,595 kN
[m]
3,0
2,0
Rys. Z3/4.5. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A, B i C
Aby wyznaczyć poziomą składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer II zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś X. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z3/4.3 składowa ta ma wartość
X II = H II − H −8,0=0
B
C
H II −
B
−3,675−8,0=0
.
(Z3/4.15)
H II =4,325 kN
B
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Aby wyznaczyć pionową składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer II zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś Y. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z3/4.3 składowa ta ma wartość
Y II =− V II V −12,0=0
B
C
− V II 6,595−12,0=0
B
.
(Z3/4.16)
V I =−5,405 kN
B
Reakcja ma więc zwrot przeciwny do założonego.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji w przegubie rzeczywistym B zastosujemy równania sumy rzutów sił działających w przegubie rzeczywistym B. Sumy rzutów na oś X i oś Y, zgodnie z rysunkiem Z3/4.3, będą miały postać
X = H I − H II =4,32−4,325=−0,005 kN ≈0 .
(Z3/4.17)
B
B
Y =− V I
II
B V B =−−5,41 −5,405=0,005 kN ≈0
.
(Z3/4.18)
Dr inż. Janusz Dębiński
Z3/4. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 4
6
Jak więc widać reakcje w przegubie rzeczywistym znajdują się w równowadze. Rysunek Z3/4.5
przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A, B i C. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na każdą z tarcz sztywnych znajdują się w równowadze.
Dr inż. Janusz Dębiński