MATEMATYKA (poziom podstawowy)

przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

Propozycja zadań maturalnych sprawdzających opanowanie wiadomości i umiejętności matematycznych z zakresu klasy pierwszej i drugiej liceum na poziomie podstawowym.

Test zbudowany jest w oparciu o podstawę programową z matematyki dla szkół

ponadgimnazjalnych z uwzględnieniem standardów wymagań egzaminacyjnych.

Do testu dołączony jest model odpowiedzi i schemat oceniania.

Czas pracy: 120 minut

Maksymalna liczba punktów: 50

Zadanie 1. (3 pkt)

Rozwiąż nierówność 2( x − )

3 ≤ x − 5 .

Zbiór rozwiązań tej nierówności zapisz w postaci x ≤ a 2 + b , gdzie a i b są liczbami całkowitymi. Podaj najmniejszą liczbę całkowitą nie spełniającą tej nierówności.

Zadanie 2. ( 3 pkt)

Dana jest funkcja f : R → R określona wzorem f ( x) = (2 m + ) 1 x + 3

( m − 2)

a) Wyznacz wartość m, dla której miejscem zerowym funkcji f jest liczba (-1).

b) Wyznacz wartość m, dla której prosta będąca wykresem funkcji f tworzy z osią OX

kąt rozwarty.

c) Wyznacz wartość m, dla której funkcja f jest rosnąca.

Zadanie 3. (5 pkt)

Dane są zbiory liczb

A = { x : x ∈ R ∧ x + 3 < }

5

B = { x :

2

x ∈ R ∧ − x + 2 x + 3 ≥ }

0

Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory A, B, A ∪ B , A ∩ B , B\A.

Zadanie 4. (3 pkt)

Funkcja kwadratowa f ( x = x 2

)

+ bx + c jest malejąca w przedziale (−∞ 3

,

i rosnąca

w przedziale

,

3 +∞) . Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f należy do prostej k: y + 2 x − 5 = 0

a) Wyznacz współczynniki b i c.

b) Oblicz miejsca zerowe funkcji f.

Zadanie 5. (4 pkt)

Dany jest wielomian W ( x) = −2 x 3 + kx 2 + 4 x − , 8 x ∈ R

a) Wyznacz wartość parametru k tak, aby reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x+1) była równa (-6).

b) Dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki liniowe.

c) Rozwiąż nierówność W ( x) > 0 .

1

Zadanie 6. (4 pkt)

2

Dana jest funkcja określona wzorem f ( x) =

, x ∈ R \ { }

0 .

x

1

a) Oblicz wartość funkcji f dla argumentu

.

5

b) Oblicz dla jakich argumentów funkcji f osiąga wartości większe od 1.

c) Podaj wzór funkcji g(x) = f(x-3) i określ jej dziedzinę.

Zadanie 7. (6 pkt)

Prosta k: 3 x − y − 3 = 0 przecina parabolę 2

y = − x − 2 x + 3 w punktach A i B.

a) Wyznacz współrzędne punktów A i B.

b) Oblicz odległość wierzchołka paraboli od prostej k.

c) Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB.

Zadanie 8. (3 pkt)

W banku A kapitalizacja odsetek następuje co kwartał i lokaty oprocentowane są w wysokości 20% w stosunku rocznym, zaś w banku B kapitalizacja odsetek następuje dopiero po roku, ale lokata jest oprocentowana w wysokości 21% w stosunku rocznym. Wybierz bank, w którym korzystniej można lokować kapitał na jeden rok.

Zadanie 9. (6 pkt)

Liczby 5, 8, 11 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego ( a .

n )

a) Podaj wzór ogólny ciągu ( a .

n )

b) Określ, które wyrazy ciągu ( a należą do przedziału (63, 74

.

n )

c) Dla jakiej wartości x wyrazy a2, x, a10 są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego?

Zadanie 10. (4 pkt)

Szklarz ma oszklić okno, którego szyba ma kształt i wymiary przedstawione na rysunku obok. Szybę tą wycięto z prostokątnej tafli szkła o wymiarach

m

1

,

1

× ,

0 6 m . Oblicz powierzchnię szyby

i podaj jaki procent stanowią odpady szkła przy jej wycinaniu.

Wynik podaj w metrach kwadratowych z dokładnością do 0,1.

Zadanie 11. (9 pkt)

W trapezie opisanym na okręgu kąty między wysokością a ramionami trapezu mają miary 300

i 600, a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź odpowiedni rysunek i oznacz jego elementy. Oblicz długości podstaw, obwód i pole tego trapezu.

2

MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA.

Numer

Numer

Liczba

Etapy rozwiązania zadania

zadania

czynności

punktów

3 2 − 5

1.1

Rozwiązanie nierówności: x ≤

1

2 − 1

Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności w żądanej

1.

1.2

1

postaci: x ≤ 1 − 2 2

Zapisanie najmniejszej liczby całkowitej nie

1.3

1

spełniającej danej nierówności: szukaną liczbą jest (-1) Wyznaczenie wartości m, dla której miejscem zerowym

2.1

1

funkcji f jest liczba (-1): m=3

Wyznaczenie wartości m, dla której prosta będąca

wykresem funkcji f tworzy z osią OX kąt rozwarty: 2.2



1 

1

2.

m ∈  − ∞,− 



2 

Wyznaczenie wartości m, dla której funkcja f jest 2.3

 1



1

rosnąca: m ∈  − ,+∞

 2



Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną

3.1

i zapisanie rozwiązania w postaci przedziału

1

liczbowego: A=(-8,2)

Rozwiązanie nierówności kwadratowej i zapisanie

3.2

1

zbioru B w postaci przedziału liczbowego: B= − 3

,

1

3.

3.3

Wyznaczenie sumy zbiorów A i B: (− ,

8 3

1

3.4

Wyznaczenie iloczynu zbiorów A i B: − ,

1 2)

1

3.5

Wyznaczenie różnicy B\A:

3

,

2

1

Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli:

4.1

1

W=(3,-1)

Zapisanie wzoru trójmianu w postaci kanonicznej,

4.

4.2

przekształcenie do postaci ogólnej i odczytanie

1

współczynników b i c: b=-6, c=8

Obliczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej:

4.3

1

x1=2, x2=4

5.1

Zapisanie warunku W(-1)=-6

1

5.2 Rozwiązanie powyższego warunku: k=4

1

Rozłożenie wielomianu W na czynniki liniowe:

5.3

1

W ( x) = −2( x − 2)( x + 2)( x − 2) 5.

Rozwiązanie nierówności wielomianowej:

x ∈ (− ∞,− 2 )∪ ( 2,2)

5.4

1

3

1

1

6.1

Obliczenie wartości funkcji f dla x=

: f ( ) = 10

1

5

5

2

6.2

Zapisanie i rozwiązanie nierówności

> 1: x ∈ ( ,

0 2)

1

6.

x

2

6.3

Zapisanie wzoru funkcji g: g( x) =

1

x − 3

6.4

Wyznaczenie dziedziny funkcji g: D = R \

g

{ }

3

1

Wyznaczenie punktów wspólnych prostej i paraboli:

7.1

1

A=(-6,-21), B=(1,0)

Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli:

7.2

1

W=(-1, 4)

7.3

Obliczenie odległości punktu od prostej: d(W,k)= 10

1

Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB:

7.4

1

7.

S=(-2,5;-10,5)

Obliczenie długości promienia szukanego okręgu:

7.5

1

7

1

r =

AB =

10

2

2

Zapisanie równania okręgu:

7.6

5 2

21 2

490

1

( x + ) + ( y +

) =

2

2

4

Zapisanie prawidłowego algorytmu do wyznaczenia

8.1

wysokości lokaty w przypadku oferty banku A:

1

1,21550625K0

Zapisanie prawidłowego algorytmu do wyznaczenia

8.

8.2

wysokości lokaty w przypadku oferty banku B:

1

1,21K0

Wybranie korzystniejszej oferty:

8.3

1

oferta banku A

Wyznaczenie pierwszego wyrazu i różnicy ciągu

9.1

arytmetycznego oraz wyznaczenie wzoru na an:

1

a1=5, r=3, an= 3n+2

Ułożenie i rozwiązanie układu nierówności

9.2

3 n + 2 > 63



1



1

, n ∈  20 ,24

3 n + 2 ≤ 74



3

9.

9.3

Sformułowanie odpowiedzi: a21, a22, a23, a24 1

9.4

Wyznaczenie wyrazów ciągu: a2=8, a10=32 1

Wykorzystanie definicji lub własności ciągu

9.5

geometrycznego do zapisania równania z jedną

1

niewiadomą.

9.6 Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: x=16

1

10.1

Obliczenie powierzchni szyby: Psz = 0,5m2 1

Obliczenie pola niewykorzystanej części materiału:

10.2

1

Po = 0,2m2

10.

Obliczenie jaki procent tafli szkła stanowią odpady

10.3

i zaokrąglenie wyniku do 0,1: 24,5%

2

4

11.1 Sporządzenie rysunku z odpowiednimi oznaczeniami.

1

11.2

Obliczenie długości ramion trapezu: c= 4 3 , d=12

2

Obliczenie długości rzutów prostokątnych ramion

11.3

trapezu na dłuższą podstawę trapezu:

2

x = 2 3, y = 6 3

11.

Obliczenie długości podstaw trapezu:

11.4

2

a = 6 + 6 3, b = 6 − 2 3

Obliczenie obwodu trapezu:

11.5

1

Obw = (

8

3 + )

3

Obliczenie pola trapezu:

11.6

1

P=12(3+ 3 )

Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Literatura:

1. „Matura w nowej formule z matematyki” –

praca zbiorowa pod redakcją Alicji Cewe i Haliny Nahorskiej.

2. Matematyka - zbiór zadań dla liceów i techników, klasa II –

K. Kłaczkow, M. Kurczak, E. Świda.

5