MATEMATYKA (poziom podstawowy)
przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
Propozycja zadań maturalnych sprawdzających opanowanie wiadomości i umiejętności matematycznych z zakresu klasy pierwszej i drugiej liceum na poziomie podstawowym.
Test zbudowany jest w oparciu o podstawę programową z matematyki dla szkół
ponadgimnazjalnych z uwzględnieniem standardów wymagań egzaminacyjnych.
Do testu dołączony jest model odpowiedzi i schemat oceniania.
Czas pracy: 120 minut
Maksymalna liczba punktów: 50
Zadanie 1. (3 pkt)
Rozwiąż nierówność 2( x − )
3 ≤ x − 5 .
Zbiór rozwiązań tej nierówności zapisz w postaci x ≤ a 2 + b , gdzie a i b są liczbami całkowitymi. Podaj najmniejszą liczbę całkowitą nie spełniającą tej nierówności.
Zadanie 2. ( 3 pkt)
Dana jest funkcja f : R → R określona wzorem f ( x) = (2 m + ) 1 x + 3
( m − 2)
a) Wyznacz wartość m, dla której miejscem zerowym funkcji f jest liczba (-1).
b) Wyznacz wartość m, dla której prosta będąca wykresem funkcji f tworzy z osią OX
kąt rozwarty.
c) Wyznacz wartość m, dla której funkcja f jest rosnąca.
Zadanie 3. (5 pkt)
Dane są zbiory liczb
A = { x : x ∈ R ∧ x + 3 < }
5
B = { x :
2
x ∈ R ∧ − x + 2 x + 3 ≥ }
0
Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory A, B, A ∪ B , A ∩ B , B\A.
Zadanie 4. (3 pkt)
Funkcja kwadratowa f ( x = x 2
)
+ bx + c jest malejąca w przedziale (−∞ 3
,
i rosnąca
w przedziale
,
3 +∞) . Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f należy do prostej k: y + 2 x − 5 = 0
a) Wyznacz współczynniki b i c.
b) Oblicz miejsca zerowe funkcji f.
Zadanie 5. (4 pkt)
Dany jest wielomian W ( x) = −2 x 3 + kx 2 + 4 x − , 8 x ∈ R
a) Wyznacz wartość parametru k tak, aby reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x+1) była równa (-6).
b) Dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki liniowe.
c) Rozwiąż nierówność W ( x) > 0 .
1
Zadanie 6. (4 pkt)
2
Dana jest funkcja określona wzorem f ( x) =
, x ∈ R \ { }
0 .
x
1
a) Oblicz wartość funkcji f dla argumentu
.
5
b) Oblicz dla jakich argumentów funkcji f osiąga wartości większe od 1.
c) Podaj wzór funkcji g(x) = f(x-3) i określ jej dziedzinę.
Zadanie 7. (6 pkt)
Prosta k: 3 x − y − 3 = 0 przecina parabolę 2
y = − x − 2 x + 3 w punktach A i B.
a) Wyznacz współrzędne punktów A i B.
b) Oblicz odległość wierzchołka paraboli od prostej k.
c) Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB.
Zadanie 8. (3 pkt)
W banku A kapitalizacja odsetek następuje co kwartał i lokaty oprocentowane są w wysokości 20% w stosunku rocznym, zaś w banku B kapitalizacja odsetek następuje dopiero po roku, ale lokata jest oprocentowana w wysokości 21% w stosunku rocznym. Wybierz bank, w którym korzystniej można lokować kapitał na jeden rok.
Zadanie 9. (6 pkt)
Liczby 5, 8, 11 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego ( a .
n )
a) Podaj wzór ogólny ciągu ( a .
n )
b) Określ, które wyrazy ciągu ( a należą do przedziału (63, 74
.
n )
c) Dla jakiej wartości x wyrazy a2, x, a10 są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego?
Zadanie 10. (4 pkt)
Szklarz ma oszklić okno, którego szyba ma kształt i wymiary przedstawione na rysunku obok. Szybę tą wycięto z prostokątnej tafli szkła o wymiarach
m
1
,
1
× ,
0 6 m . Oblicz powierzchnię szyby
i podaj jaki procent stanowią odpady szkła przy jej wycinaniu.
Wynik podaj w metrach kwadratowych z dokładnością do 0,1.
Zadanie 11. (9 pkt)
W trapezie opisanym na okręgu kąty między wysokością a ramionami trapezu mają miary 300
i 600, a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź odpowiedni rysunek i oznacz jego elementy. Oblicz długości podstaw, obwód i pole tego trapezu.
2
MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA.
Numer
Numer
Liczba
Etapy rozwiązania zadania
zadania
czynności
punktów
3 2 − 5
1.1
Rozwiązanie nierówności: x ≤
1
2 − 1
Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności w żądanej
1.
1.2
1
postaci: x ≤ 1 − 2 2
Zapisanie najmniejszej liczby całkowitej nie
1.3
1
spełniającej danej nierówności: szukaną liczbą jest (-1) Wyznaczenie wartości m, dla której miejscem zerowym
2.1
1
funkcji f jest liczba (-1): m=3
Wyznaczenie wartości m, dla której prosta będąca
wykresem funkcji f tworzy z osią OX kąt rozwarty: 2.2
1
1
2.
m ∈ − ∞,−
2
Wyznaczenie wartości m, dla której funkcja f jest 2.3
1
1
rosnąca: m ∈ − ,+∞
2
Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną
3.1
i zapisanie rozwiązania w postaci przedziału
1
liczbowego: A=(-8,2)
Rozwiązanie nierówności kwadratowej i zapisanie
3.2
1
zbioru B w postaci przedziału liczbowego: B= − 3
,
1
3.
3.3
Wyznaczenie sumy zbiorów A i B: (− ,
8 3
1
3.4
Wyznaczenie iloczynu zbiorów A i B: − ,
1 2)
1
3.5
Wyznaczenie różnicy B\A:
3
,
2
1
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli:
4.1
1
W=(3,-1)
Zapisanie wzoru trójmianu w postaci kanonicznej,
4.
4.2
przekształcenie do postaci ogólnej i odczytanie
1
współczynników b i c: b=-6, c=8
Obliczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej:
4.3
1
x1=2, x2=4
5.1
Zapisanie warunku W(-1)=-6
1
5.2 Rozwiązanie powyższego warunku: k=4
1
Rozłożenie wielomianu W na czynniki liniowe:
5.3
1
W ( x) = −2( x − 2)( x + 2)( x − 2) 5.
Rozwiązanie nierówności wielomianowej:
x ∈ (− ∞,− 2 )∪ ( 2,2)
5.4
1
3
1
6.1
Obliczenie wartości funkcji f dla x=
: f ( ) = 10
1
5
5
2
6.2
Zapisanie i rozwiązanie nierówności
> 1: x ∈ ( ,
0 2)
1
6.
x
2
6.3
Zapisanie wzoru funkcji g: g( x) =
1
x − 3
6.4
Wyznaczenie dziedziny funkcji g: D = R \
g
{ }
3
1
Wyznaczenie punktów wspólnych prostej i paraboli:
7.1
1
A=(-6,-21), B=(1,0)
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli:
7.2
1
W=(-1, 4)
7.3
Obliczenie odległości punktu od prostej: d(W,k)= 10
1
Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB:
7.4
1
7.
S=(-2,5;-10,5)
Obliczenie długości promienia szukanego okręgu:
7.5
1
7
1
r =
AB =
10
2
2
Zapisanie równania okręgu:
7.6
5 2
21 2
490
1
( x + ) + ( y +
) =
2
2
4
Zapisanie prawidłowego algorytmu do wyznaczenia
8.1
wysokości lokaty w przypadku oferty banku A:
1
1,21550625K0
Zapisanie prawidłowego algorytmu do wyznaczenia
8.
8.2
wysokości lokaty w przypadku oferty banku B:
1
1,21K0
Wybranie korzystniejszej oferty:
8.3
1
oferta banku A
Wyznaczenie pierwszego wyrazu i różnicy ciągu
9.1
arytmetycznego oraz wyznaczenie wzoru na an:
1
a1=5, r=3, an= 3n+2
Ułożenie i rozwiązanie układu nierówności
9.2
3 n + 2 > 63
1
1
, n ∈ 20 ,24
3 n + 2 ≤ 74
3
9.
9.3
Sformułowanie odpowiedzi: a21, a22, a23, a24 1
9.4
Wyznaczenie wyrazów ciągu: a2=8, a10=32 1
Wykorzystanie definicji lub własności ciągu
9.5
geometrycznego do zapisania równania z jedną
1
niewiadomą.
9.6 Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: x=16
1
10.1
Obliczenie powierzchni szyby: Psz = 0,5m2 1
Obliczenie pola niewykorzystanej części materiału:
10.2
1
Po = 0,2m2
10.
Obliczenie jaki procent tafli szkła stanowią odpady
10.3
i zaokrąglenie wyniku do 0,1: 24,5%
2
4
11.1 Sporządzenie rysunku z odpowiednimi oznaczeniami.
1
11.2
Obliczenie długości ramion trapezu: c= 4 3 , d=12
2
Obliczenie długości rzutów prostokątnych ramion
11.3
trapezu na dłuższą podstawę trapezu:
2
x = 2 3, y = 6 3
11.
Obliczenie długości podstaw trapezu:
11.4
2
a = 6 + 6 3, b = 6 − 2 3
Obliczenie obwodu trapezu:
11.5
1
Obw = (
8
3 + )
3
Obliczenie pola trapezu:
11.6
1
P=12(3+ 3 )
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Literatura:
1. „Matura w nowej formule z matematyki” –
praca zbiorowa pod redakcją Alicji Cewe i Haliny Nahorskiej.
2. Matematyka - zbiór zadań dla liceów i techników, klasa II –
K. Kłaczkow, M. Kurczak, E. Świda.
5