1

MATEMATYKA (poziom podstawowy)

przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania

dla klasy II Liceum

Propozycja zadań maturalnych sprawdzających opanowanie wiadomości

i umiejętności matematycznych z zakresu klasy pierwszej i drugiej liceum na poziomie
podstawowym.

Test zbudowany jest w oparciu o podstawę programową z matematyki dla szkół

ponadgimnazjalnych z uwzględnieniem standardów wymagań egzaminacyjnych.

Do testu dołączony jest model odpowiedzi i schemat oceniania.

Czas pracy: 120 minut
Maksymalna liczba punktów: 50

Zadanie 1. (3 pkt)

Rozwiąż nierówność

5

)

3

(

2

−

≤

−

x

x

.

Zbiór rozwiązań tej nierówności zapisz w postaci

b

a

x

+

≤

2

, gdzie a i b są liczbami

całkowitymi. Podaj najmniejszą liczbę całkowitą nie spełniającą tej nierówności.

Zadanie 2. ( 3 pkt)
Dana jest funkcja

R

R

f

→

:

określona wzorem

)

2

3

(

)

1

2

(

)

(

−

+

+

=

m

x

m

x

f

a)

Wyznacz wartość m, dla której miejscem zerowym funkcji f jest liczba (-1).

b)

Wyznacz wartość m, dla której prosta będąca wykresem funkcji f tworzy z osią OX
kąt rozwarty.

c)

Wyznacz wartość m, dla której funkcja f jest rosnąca.

Zadanie 3. (5 pkt)
Dane są zbiory liczb

{

}

5

3

:

<

+

∧

∈

=

x

R

x

x

A

{

}

0

3

2

:

2

≥

+

+

−

∧

∈

=

x

x

R

x

x

B

Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory A, B,

B

A

∪

,

B

A

∩

, B\A.

Zadanie 4. (3 pkt)
Funkcja kwadratowa

c

bx

x

x

f

+

+

=

2

)

(

jest malejąca w przedziale

3

,

(

−∞

i rosnąca

w przedziale

)

,

3

+∞

. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f należy do prostej

k:

0

5

2

=

−

+

x

y

a)

Wyznacz współczynniki b i c.

b)

Oblicz miejsca zerowe funkcji f.

Zadanie 5. (4 pkt)
Dany jest wielomian

R

x

x

kx

x

x

W

∈

−

+

+

−

=

,

8

4

2

)

(

2

3

a)

Wyznacz wartość parametru k tak, aby reszta z dzielenia wielomianu W(x)

przez dwumian (x+1) była równa (-6).

b)

Dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki liniowe.

c)

Rozwiąż nierówność

0

)

(

>

x

W

.

2

Zadanie 6. (4 pkt)

Dana jest funkcja określona wzorem

{ }

0

\

,

2

)

(

R

x

x

x

f

∈

=

.

a)

Oblicz wartość funkcji f dla argumentu

5

1

.

b)

Oblicz dla jakich argumentów funkcji f osiąga wartości większe od 1.

c)

Podaj wzór funkcji g(x) = f(x-3) i określ jej dziedzinę.

Zadanie 7. (6 pkt)
Prosta k:

0

3

3

=

−

−

y

x

przecina parabolę

3

2

2

+

−

−

=

x

x

y

w punktach A i B.

a)

Wyznacz współrzędne punktów A i B.

b)

Oblicz odległość wierzchołka paraboli od prostej k.

c)

Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB.

Zadanie 8. (3 pkt)
W banku A kapitalizacja odsetek następuje co kwartał i lokaty oprocentowane są w
wysokości 20% w stosunku rocznym, zaś w banku B kapitalizacja odsetek następuje dopiero
po roku, ale lokata jest oprocentowana w wysokości 21% w stosunku rocznym. Wybierz
bank, w którym korzystniej można lokować kapitał na jeden rok.

Zadanie 9. (6 pkt)
Liczby 5, 8, 11 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego

( )

n

a .

a)

Podaj wzór ogólny ciągu

( )

n

a .

b)

Określ, które wyrazy ciągu

( )

n

a należą do przedziału (63, 74

.

c)

Dla jakiej wartości x wyrazy a

2

, x, a

10

są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu

geometrycznego?

Zadanie 10. (4 pkt)

Szklarz ma oszklić okno, którego szyba ma kształt i wymiary
przedstawione na rysunku obok. Szybę tą wycięto z prostokątnej
tafli szkła o wymiarach

m

m

6

,

0

1

,

1

×

. Oblicz powierzchnię szyby

i podaj jaki procent stanowią odpady szkła przy jej wycinaniu.
Wynik podaj w metrach kwadratowych z dokładnością do 0,1.


Zadanie 11. (9 pkt)
W trapezie opisanym na okręgu kąty między wysokością a ramionami trapezu mają miary 30

0

i 60

0

, a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź odpowiedni rysunek i oznacz

jego elementy. Oblicz długości podstaw, obwód i pole tego trapezu.

3

MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA.

Numer

zadania

Numer

czynności

Etapy rozwiązania zadania

Liczba

punktów

1.1

Rozwiązanie nierówności:

1

2

5

2

3

−

−

≤

x

1

1.2

Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności w żądanej

postaci:

2

2

1

−

≤

x

1

1.

1.3

Zapisanie najmniejszej liczby całkowitej nie
spełniającej danej nierówności: szukaną liczbą jest (-1)

1

2.1

Wyznaczenie wartości m, dla której miejscem zerowym
funkcji f jest liczba (-1): m=3

1

2.2

Wyznaczenie wartości m, dla której prosta będąca
wykresem funkcji f tworzy z osią OX kąt rozwarty:













−

∞

−

∈

2

1

,

m

1

2.

2.3

Wyznaczenie wartości m, dla której funkcja f jest

rosnąca:













+∞

−

∈

,

2

1

m

1

3.1

Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną
i zapisanie rozwiązania w postaci przedziału
liczbowego: A=(-8,2)

1

3.2

Rozwiązanie nierówności kwadratowej i zapisanie
zbioru B w postaci przedziału liczbowego: B=

3

,

1

−

1

3.3

Wyznaczenie sumy zbiorów A i B:

(

3

,

8

−

1

3.4

Wyznaczenie iloczynu zbiorów A i B:

)

2

,

1

−

1

3.

3.5

Wyznaczenie różnicy B\A:

3

,

2

1

4.1

Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli:
W=(3,-1)

1

4.2

Zapisanie wzoru trójmianu w postaci kanonicznej,
przekształcenie do postaci ogólnej i odczytanie
współczynników b i c: b=-6, c=8

1

4.

4.3

Obliczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej:
x

1

=2, x

2

=4

1

5.1

Zapisanie warunku W(-1)=-6

1

5.2 Rozwiązanie powyższego warunku: k=4

1

5.3

Rozłożenie wielomianu W na czynniki liniowe:

)

2

)(

2

)(

2

(

2

)

(

−

+

−

−

=

x

x

x

x

W

1

5.

5.4

Rozwiązanie nierówności wielomianowej:

(

) ( )

2

,

2

2

,

∪

−

∞

−

∈

x

1

4

6.1

Obliczenie wartości funkcji f dla x=

5

1

:

10

)

5

1

(

=

f

1

6.2

Zapisanie i rozwiązanie nierówności

1

2

>

x

:

( )

2

,

0

∈

x

1

6.3

Zapisanie wzoru funkcji g:

3

2

)

(

−

=

x

x

g

1

6.

6.4

Wyznaczenie dziedziny funkcji g:

{ }

3

\

R

D

g

=

1

7.1

Wyznaczenie punktów wspólnych prostej i paraboli:
A=(-6,-21), B=(1,0)

1

7.2

Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli:
W=(-1, 4)

1

7.3

Obliczenie odległości punktu od prostej: d(W,k)= 10

1

7.4

Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB:
S=(-2,5;-10,5)

1

7.5

Obliczenie długości promienia szukanego okręgu:

10

2

7

2

1

=

=

AB

r

1

7.

7.6

Zapisanie równania okręgu:

4

490

)

2

21

(

)

2

5

(

2

2

=

+

+

+

y

x

1

8.1

Zapisanie prawidłowego algorytmu do wyznaczenia
wysokości lokaty w przypadku oferty banku A:
1,21550625K

0

1

8.2

Zapisanie prawidłowego algorytmu do wyznaczenia
wysokości lokaty w przypadku oferty banku B:
1,21K

0

1

8.

8.3

Wybranie korzystniejszej oferty:
oferta banku A

1

9.1

Wyznaczenie pierwszego wyrazu i różnicy ciągu
arytmetycznego oraz wyznaczenie wzoru na a

n

:

a

1

=5, r=3, a

n

= 3n+2

1

9.2

Ułożenie i rozwiązanie układu nierówności







≤

+

>

+

74

2

3

63

2

3

n

n

,







∈

24

,

3

1

20

n

1

9.3

Sformułowanie odpowiedzi: a

21

, a

22

, a

23

, a

24

1

9.4

Wyznaczenie wyrazów ciągu: a

2

=8, a

10

=32 1

9.5

Wykorzystanie definicji lub własności ciągu
geometrycznego do zapisania równania z jedną
niewiadomą.

1

9.

9.6 Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: x=16

1

10.1

Obliczenie powierzchni szyby: P

sz

= 0,5m

2

1

10.2

Obliczenie pola niewykorzystanej części materiału:
P

o

= 0,2m

2

1

10.

10.3

Obliczenie jaki procent tafli szkła stanowią odpady
i zaokrąglenie wyniku do 0,1: 24,5%

2

5

11.1 Sporządzenie rysunku z odpowiednimi oznaczeniami.

1

11.2

Obliczenie długości ramion trapezu: c=

3

4

, d=12

2

11.3

Obliczenie długości rzutów prostokątnych ramion
trapezu na dłuższą podstawę trapezu:

3

6

,

3

2

=

=

y

x

2

11.4

Obliczenie długości podstaw trapezu:

3

2

6

,

3

6

6

−

=

+

=

b

a

2

11.5

Obliczenie obwodu trapezu:

)

3

3

(

8

+

=

Obw

1

11.

11.6

Obliczenie pola trapezu:

P=12(3+ 3 )

1

Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej

w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.


Literatura:

1.

„Matura w nowej formule z matematyki” –

praca zbiorowa pod redakcją Alicji Cewe i Haliny Nahorskiej.
2.

Matematyka - zbiór zadań dla liceów i techników, klasa II –

K. Kłaczkow, M. Kurczak, E. Świda.