KOD

ZDAJÑCEGO

Miejsce na naklejk´ z kodem

LISTOPAD

ROK 2009

Za rozwiàzanie

wszystkich zadaƒ

mo˝na otrzymaç

∏àcznie 50 punktów.

PESEL ZDAJÑCEGO

Wpisuje zdajàcy przed rozpocz´ciem pracy

ARKUSZ PRÓBNEJ

MATURY Z OPERONEM

MATEMATYKA

POZIOM ROZSZERZONY

Czas pracy 180 minut

Instrukcja dla zdajàcego

1. Sprawdê, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 13 stron (za-

dania 1–11). Ewentualny brak zg∏oÊ przewodniczàcemu
zespo∏u nadzorujàcego egzamin.

2. Rozwiàzania zadaƒ i odpowiedzi zamieÊç w miejscu na to

przeznaczonym.

3. W rozwiàzaniach zadaƒ przedstaw tok rozumowania pro-

wadzàcy do ostatecznego wyniku.

4. Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym

tuszem/atramentem.

5. Nie u˝ywaj korektora, a b∏´dne zapisy przekreÊl.
6. Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.
7. Obok ka˝dego zadania podana jest maksymalna liczba

punktów, którà mo˝esz uzyskaç za jego poprawne rozwià-
zanie.

8. Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych,

cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

˚yczymy powodzenia!

Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON.

Kopiowanie w ca∏oÊci lub we fragmentach bez zgody wydawcy zabronione. Wydawca zezwala na kopiowanie zadaƒ

przez dyrektorów szkó∏ bioràcych udzia∏ w programie Próbna Matura z OPERONEM.

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 1

2

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 1. (4 pkt)

Rozwià˝ uk∏ad równaƒ:

x

y

x

y

3
3

2

=

+

=

+

(

.

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 2

3

Zadanie 2. (5 pkt)

OkreÊl, jakà liczbà – dodatnià czy ujemnà, jest sin

cos

x

x

+

, wiedzàc, ˝e

,

x

2

!

r r

b

l

i

sin

cos

tg

x

x

x

1

1

3

1

0

+

-

+

=

^

b

h

l

.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 3

4

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 3. (5 pkt)

Obrazem odcinka AB, gdzie

( ,

A

1 0

=

) i

,

B

2 1

= ^

h w jednok∏adnoÊci o skali >

k

1

i Êrodku P jest odcinek

CD

, gdzie

( , ),

( , ).

C

D

4 0

6 2

=

=

Zapisz równanie okr´gu o Êrodku w punkcie P i promieniu AB .

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 4

5

Zadanie 4. (4 pkt)

Wyka˝, ˝e dla >

a

1

i >

x

1

zachodzi nierównoÊç log

log

log

x

a

100

a

x

H

+

.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 5

6

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 5. (3 pkt)

Spiral´ tworzymy nast´pujàco: kreÊlimy pó∏okràg
o Êrednicy AB

r

2

=

i Êrodku O, do tego pó∏okr´gu

dorysowujemy pó∏okràg o Êrednicy OB i Êrodku C.
Nast´pnie kreÊlimy pó∏okràg o Êrednicy OC i Êrod-
ku D itd. Oblicz d∏ugoÊç spirali z∏o˝onej z dziesi´-
ciu tak otrzymanych pó∏okr´gów.

O

A

B

C

D

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 6

7

Zadanie 6. (5 pkt)

Wyka˝, ˝e suma odwrotnoÊci pierwiastków wielomianu ( )

W x

x

x

x

x

4

2

4

4

3

2

=

+

-

-

+

jest liczbà wy-

miernà.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 7

8

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 7. (4 pkt)

Punkty równoodleg∏e od prostej o równaniu y

2

1

= -

i punktu

,

P

0

2

1

=

b

l

nale˝à do wykresu funkcji f .

Znajdê wzór tej funkcji.

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 8

9

Zadanie 8. (4 pkt)

Boki trójkàta ABC sà równe , ,

a b c

. Oblicz d∏ugoÊç Êrodkowej poprowadzonej z wierzcho∏ka A do bo-

ku .

a

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 9

10

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 9. (5 pkt)

Liczby naturalne parzyste od 2 do 100 zapisujemy kolejno jedna za drugà, tworzàc liczb´ naturalnà .

a

Czy liczba a jest kwadratem pewnej liczby naturalnej? Wskazówka: zbadaj podzielnoÊç sumy cyfr.

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 10

11

Zadanie 10. (5 pkt)

OkreÊl, dla jakich wartoÊci parametru k równanie

(

)

, (

)

x

k

x

k

1

0 5

5

0

2

+

+

+

+

=

ma dwa ró˝ne pier-

wiastki dodatnie.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 11

12

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Zadanie 11. (6 pkt)

Trapez o ramionach d∏ugoÊci 6 i 10 jest opisany na okr´gu. Odcinek ∏àczàcy Êrodki ramion trapezu dzie-
li trapez na dwie cz´Êci, których pola pozostajà w stosunku :

3 5

. Oblicz d∏ugoÊci podstaw trapezu.

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 12

13

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 13

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 14

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 15

LMD-MP10-ARK1-ZR 10/23/09 12:30 PM Page 16